Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ Toán 12 | Cách khảo sát và vẽ

Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ là nội dung quan trọng trong mạch kiến thức khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ở Toán 12. Dạng toán này giúp học sinh vận dụng đạo hàm để xác định tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, giao điểm và nhận dạng hình dáng đồ thị.

Bài viết hướng dẫn cách khảo sát hai dạng hàm phân thức hữu tỉ thường gặp, kèm bảng biến thiên, hình minh họa, ví dụ và bài tập tự luyện. Qua đó, học sinh có thể củng cố kiến thức về ứng dụng đạo hàm và xử lý nhanh các câu hỏi liên quan trong kỳ thi tốt nghiệp THPT hoặc các bài thi đánh giá năng lực.

Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ là gì?

Hàm số phân thức hữu tỉ là hàm có dạng thương của hai đa thức. Theo mạch kiến thức hàm số trong SGK Toán 12, tập một, học sinh cần biết dùng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

\[ y=\dfrac{P(x)}{Q(x)},\quad Q(x)\ne 0 \]

Tập xác định là toàn bộ các giá trị của \(x\) làm mẫu khác 0:

\[ D=\{x\in\mathbb{R}\mid Q(x)\ne 0\} \]

Trong chương trình lớp 12, hai dạng quan trọng nhất là:

Điểm khác hàm đa thức là hàm phân thức có mẫu số, nên luôn phải kiểm tra giá trị làm mẫu bằng 0. Điểm khác hàm vô tỉ là hàm phân thức không chứa căn thức; điều kiện xác định chủ yếu đến từ mẫu số.

Quy trình khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ

Với chương trình Toán 12, ta có thể quy trình làm bài thành 4 bước:

Bước 1. Tìm tập xác định.

Giải phương trình \(Q(x)=0\), rồi loại các nghiệm đó khỏi \(\mathbb{R}\). Nếu bỏ qua bước này, học sinh rất dễ nhận nhầm nghiệm của phương trình giao điểm hoặc cực trị.

Bước 2. Xét sự biến thiên.

Tính \(y'\), giải \(y'=0\), sau đó xét dấu \(y'\) trên từng khoảng của tập xác định. Điểm làm mẫu bằng 0 phải tách bảng xét dấu, vì tại đó hàm không xác định.

Bước 3. Tìm các đường tiệm cận và lập bảng biến thiên.

Đường tiệm cận có thể hiểu là đường thẳng mà đồ thị tiến gần tới. Với hàm phân thức, tiệm cận đứng thường đến từ nghiệm của mẫu số, còn tiệm cận ngang hoặc xiên đến từ so sánh bậc tử và bậc mẫu.

Khi lập bảng biến thiên, cần ghi đủ các mốc làm \(y'=0\) và các điểm không thuộc tập xác định; dùng vạch kép tại điểm gián đoạn. Trên từng khoảng, điền dấu của \(y'\), chiều biến thiên và giá trị cực trị nếu có. Đặc biệt, phải ghi rõ các giới hạn khi \(x\to\pm\infty\) và các giới hạn một phía khi \(x\) tiến tới điểm gián đoạn; không điền giá trị hàm tại điểm mà hàm không xác định.

Bước 4. Vẽ đồ thị.

Vẽ tiệm cận bằng nét đứt, đánh dấu giao điểm với trục \(Ox\), \(Oy\), điểm cực trị nếu có, rồi nối các nhánh theo bảng biến thiên. Đường cong không được nối xuyên qua tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ dạng bậc nhất trên bậc nhất

Xét hàm:

\[ y=\dfrac{ax+b}{cx+d},\quad c\ne 0,\quad ad-bc\ne 0 \]

Tập xác định:

\[ D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\} \]

Đạo hàm:

\[ y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2} \]

Vì \((cx+d)^2\gt 0\) trên tập xác định, dấu của \(y'\) chỉ phụ thuộc vào \(ad-bc\). Do đó hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị.

Các đặc trưng nhanh:

Ví dụ 1. Khảo sát \(y=\dfrac{2x+1}{x-3}\)

Bước 1. Tập xác định.

Mẫu số bằng 0 khi \(x-3=0\), suy ra \(x=3\). Vậy:

\[ D=\mathbb{R}\setminus\{3\} \]

Bước 2. Đạo hàm và chiều biến thiên.

\[ y'=\dfrac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3)^2}=\dfrac{-7}{(x-3)^2} \]

Với mọi \(x\ne 3\), ta có \(y'\lt 0\). Hàm số nghịch biến trên \((-\infty;3)\) và \((3;+\infty)\). Hàm không có cực trị.

Bước 3. Tiệm cận và bảng biến thiên.

Tiệm cận đứng là \(x=3\). Tiệm cận ngang là \(y=2\). Tâm đối xứng là \(I(3;2)\).

\[ \lim_{x\to 3^-}y=-\infty,\quad \lim_{x\to 3^+}y=+\infty,\quad \lim_{x\to\pm\infty}y=2 \]

Bước 4. Giao trục và phác thảo.

Cho \(x=0\), ta được \(y=-\dfrac{1}{3}\), nên đồ thị cắt \(Oy\) tại \(\left(0;-\dfrac{1}{3}\right)\).

Cho \(y=0\), ta có \(2x+1=0\), suy ra \(x=-\dfrac{1}{2}\). Đồ thị cắt \(Ox\) tại \(\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\).

Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ dạng bậc hai trên bậc nhất

Xét hàm:

\[ y=\dfrac{ax^2+bx+c}{mx+n},\quad m\ne 0 \]

Trước hết cần chia đa thức để đưa hàm về dạng:

\[ y=px+q+\dfrac{r}{mx+n} \]

Từ đó, tiệm cận đứng là \(x=-\dfrac{n}{m}\), còn tiệm cận xiên là \(y=px+q\). Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận.

Dạng này có thể có hai cực trị. Muốn kết luận, không đoán bằng hình mà phải giải \(y'=0\) và xét dấu đạo hàm trên từng khoảng xác định.

Ví dụ 2. Khảo sát \(y=\dfrac{x^2+2x-2}{x+2}\)

Bước 1. Tập xác định.

Mẫu số bằng 0 khi \(x=-2\), nên:

\[ D=\mathbb{R}\setminus\{-2\} \]

Bước 2. Chia đa thức và tính đạo hàm.

\[ x^2+2x-2=x(x+2)-2 \]

\[ y=x-\dfrac{2}{x+2} \]

\[ y'=1+\dfrac{2}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x+6}{(x+2)^2} \]

Vì \(x^2+4x+6=(x+2)^2+2\gt 0\) và \((x+2)^2\gt 0\) với \(x\ne -2\), ta có \(y'\gt 0\) trên từng khoảng xác định. Hàm đồng biến trên \((-\infty;-2)\) và \((-2;+\infty)\), không có cực trị.

Bước 3. Tiệm cận.

Từ dạng \(y=x-\dfrac{2}{x+2}\), ta có tiệm cận đứng \(x=-2\) và tiệm cận xiên \(y=x\). Tâm đối xứng là \(I(-2;-2)\).

\[ \lim_{x\to -2^-}y=+\infty,\quad \lim_{x\to -2^+}y=-\infty \]

Bước 4. Vẽ đồ thị.

Trước hết, xác định các điểm đặc biệt: cho \(x=0\), ta được \(y=-1\), nên giao với \(Oy\) là \((0;-1)\). Cho \(y=0\), ta giải \(x^2+2x-2=0\), được \(x=-1\pm\sqrt{3}\). Sau đó vẽ tiệm cận đứng \(x=-2\) và tiệm cận xiên \(y=x\) bằng nét đứt, đánh dấu tâm \(I(-2;-2)\), rồi phác hai nhánh theo đúng chiều biến thiên và các giới hạn trong bảng biến thiên.

Lưu ý: không phải mọi hàm bậc hai trên bậc nhất đều không có cực trị. Chẳng hạn \(y=\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\) có:

\[ y'=1-\dfrac{1}{x^2} \]

Phương trình \(y'=0\) cho \(x=\pm 1\), nên đồ thị có hai điểm cực trị. Đây là lí do bài toán dạng này luôn cần bước xét đạo hàm.

Các dạng bài tập thường gặp về đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ

Khi luyện thi, học sinh nên biến quy trình khảo sát thành các dạng bài cụ thể: khảo sát hàm cho sẵn, nhận dạng hình vẽ, tìm tham số và đếm giao điểm.

Dạng 1. Khảo sát và vẽ đồ thị cho sẵn

Dấu hiệu nhận biết: đề cho một hàm phân thức cụ thể và yêu cầu khảo sát sự biến thiên hoặc vẽ đồ thị.

Cách làm: áp dụng đủ 4 bước. Không bỏ qua tập xác định, vì nghiệm làm mẫu bằng 0 không được dùng làm giao điểm hay cực trị.

Ví dụ 1 (bậc nhất trên bậc nhất): Khảo sát nhanh \(y=\dfrac{x+1}{x-2}\).

Bước 1. \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Bước 2. \(y'=\dfrac{-3}{(x-2)^2}\lt 0\), nên hàm nghịch biến trên \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Bước 3. Tiệm cận đứng \(x=2\), tiệm cận ngang \(y=1\), tâm \(I(2;1)\).

Bước 4. Giao \(Oy\) là \(\left(0;-\dfrac{1}{2}\right)\), giao \(Ox\) là \((-1;0)\). Dựa vào các dữ kiện này để vẽ hai nhánh hyperbola.

Đáp án: đồ thị có hai nhánh nghịch biến, nhận \(I(2;1)\) làm tâm đối xứng.

Ví dụ 2 (bậc hai trên bậc nhất): Khảo sát nhanh \(y=\dfrac{x^2+1}{x}\).

Bước 1. \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Bước 2. Viết \(y=x+\dfrac{1}{x}\), suy ra \(y'=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}\). Hàm đồng biến trên \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên \((-1;0)\) và \((0;1)\). Điểm cực đại là \((-1;-2)\), điểm cực tiểu là \((1;2)\).

Bước 3. Tiệm cận đứng là \(x=0\), tiệm cận xiên là \(y=x\), tâm đối xứng là \(O(0;0)\). Khi lập bảng biến thiên, đặt vạch kép tại \(x=0\) và ghi đủ các giới hạn một phía.

Bước 4. Đồ thị không cắt \(Ox\) vì \(x^2+1=0\) vô nghiệm thực, cũng không cắt \(Oy\) vì \(x=0\) bị loại. Vẽ hai tiệm cận, hai điểm cực trị rồi phác hai nhánh theo bảng biến thiên.

Dạng 2. Nhận dạng đồ thị từ hình vẽ

Dấu hiệu nhận biết: đề cho hình vẽ và yêu cầu chọn công thức, hoặc cho công thức và yêu cầu chọn hình đúng.

Cách làm nhanh theo thứ tự: đọc tiệm cận đứng, đọc tiệm cận ngang hoặc xiên, kiểm tra chiều biến thiên, rồi kiểm tra giao trục.

Ví dụ: Quan sát đồ thị dưới đây. Đồ thị có tiệm cận đứng \(x=-1\), tiệm cận ngang \(y=-1\) và cắt \(Oy\) tại \((0;1)\). Công thức nào phù hợp?

• A. \(y=\dfrac{-x+1}{x+1}\)

• B. \(y=\dfrac{x+1}{x-1}\)

• C. \(y=\dfrac{x-1}{x+1}\)

• D. \(y=\dfrac{-x+2}{x+1}\)

Bước 1. Tiệm cận đứng \(x=-1\) nên mẫu phải là \(x+1\). Loại B.

Bước 2. Tiệm cận ngang \(y=-1\), nên tỉ số hệ số bậc nhất của tử và mẫu là \(-1\). Còn A và D.

Bước 3. Giao \(Oy\): với A, \(y(0)=1\); với D, \(y(0)=2\). Chọn A.

Đáp án: A.

Dạng 3. Tìm tham số để đồ thị thỏa điều kiện

Dấu hiệu nhận biết: hàm chứa \(m\), đề yêu cầu tiệm cận, tâm đối xứng, giao điểm hoặc cực trị thỏa một điều kiện.

Cách làm: đổi điều kiện hình học thành phương trình theo \(m\), sau đó kiểm tra điều kiện xác định của hàm.

Ví dụ: Tìm \(m\) để đồ thị \(y=\dfrac{mx+1}{x-m}\) có tiệm cận ngang \(y=3\).

Bước 1. Xác định tập xác định theo tham số. Mẫu số bằng 0 khi \(x=m\), nên \(D=\mathbb{R}\setminus\{m\}\).

Bước 2. Tính giới hạn tại vô cực. Chia cả tử và mẫu cho \(x\):

\[\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{mx+1}{x-m}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{m+\frac{1}{x}}{1-\frac{m}{x}}=m\]

Vì vậy, tiệm cận ngang của đồ thị là \(y=m\).

Bước 3. So sánh với yêu cầu \(y=3\), ta có phương trình \(m=3\).

Bước 4. Thử lại \(m=3\): hàm trở thành \(y=\dfrac{3x+1}{x-3}\). Tử số tại \(x=3\) bằng 10 nên không có nhân tử chung để rút gọn; đồng thời \(ad-bc=3(-3)-1=-10\ne 0\). Do đó đồ thị đúng là hàm phân thức không suy biến và có tiệm cận ngang \(y=3\).

Kết luận: \(m=3\).

Dạng 4. Tìm số giao điểm với đường thẳng

Dấu hiệu nhận biết: đề hỏi đồ thị cắt đường thẳng \(y=k\) hoặc tổng quát hơn là \(y=ax+b\) tại bao nhiêu điểm.

Cách làm bám sát bốn bước: (1) ghi điều kiện mẫu khác 0; (2) lập phương trình hoành độ giao điểm bằng cách cho hai biểu thức của \(y\) bằng nhau; (3) khử mẫu và giải phương trình thu được; (4) loại nghiệm không thuộc tập xác định rồi kết luận số giao điểm. Với đường thẳng \(y=ax+b\), phương trình sau khi khử mẫu thường là bậc hai; có thể dùng biệt thức \(\Delta\) để dự đoán số nghiệm thực, nhưng vẫn phải kiểm tra điều kiện mẫu.

Ví dụ: Tìm số giao điểm của đồ thị \(y=\dfrac{2x+1}{x-3}\) với đường thẳng \(y=x-1\).

Bước 1. Điều kiện xác định: \(x-3\ne 0\Leftrightarrow x\ne 3\).

Bước 2. Tại giao điểm, hai tung độ bằng nhau:

\[ \dfrac{2x+1}{x-3}=x-1 \]

Bước 3. Vì \(x\ne 3\), nhân hai vế với \(x-3\):

\[2x+1=(x-1)(x-3)\Leftrightarrow x^2-6x+2=0\]

Ta có \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot2=28\gt0\), nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=3-\sqrt7\) và \(x_2=3+\sqrt7\).

Bước 4. Cả hai nghiệm đều khác 3 nên đều thỏa điều kiện. Thay vào \(y=x-1\), ta được hai giao điểm \(A(3-\sqrt7;2-\sqrt7)\) và \(B(3+\sqrt7;2+\sqrt7)\).

Kết luận: đồ thị cắt đường thẳng \(y=x-1\) tại đúng 2 điểm.

Lỗi thường gặp khi vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ

Lỗi 1. Quên loại nghiệm làm mẫu bằng 0.

Ví dụ, với \(y=\dfrac{x+1}{x-2}\), giá trị \(x=2\) không thuộc tập xác định. Nếu sau khi khử mẫu một phương trình giao điểm sinh ra \(x=2\), nghiệm đó phải bị loại.

Lỗi 2. Nối đường cong xuyên qua tiệm cận đứng.

Tiệm cận đứng là ranh giới tách hai nhánh đồ thị. Khi vẽ, phải ngắt đường cong ở hai phía của đường này.

Lỗi 3. Nhầm tiệm cận ngang với tiệm cận xiên.

Nếu bậc tử bằng bậc mẫu, thường xét tiệm cận ngang bằng tỉ số hệ số cao nhất. Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1 đơn vị, hãy chia đa thức để tìm tiệm cận xiên.

Lỗi 4. Kết luận cực trị chỉ bằng quan sát hình.

Với dạng bậc hai trên bậc nhất, có bài có cực trị và có bài không. Cách chắc chắn là giải \(y'=0\), xét dấu \(y'\), rồi mới kết luận.

Bài tập tự luyện về đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ

Phần trắc nghiệm

Câu 1 [Nhận biết]. Hàm \(y=\dfrac{3x-1}{x+2}\) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

• A. \(x=-2,\ y=3\)

• B. \(x=2,\ y=3\)

• C. \(x=-2,\ y=-3\)

• D. \(x=2,\ y=-3\)

Câu 2 [Nhận biết]. Tâm đối xứng của đồ thị \(y=\dfrac{2x-3}{x+1}\) là:

• A. \(I(-1;2)\)

• B. \(I(1;-2)\)

• C. \(I(-1;-2)\)

• D. \(I(1;2)\)

Câu 3 [Thông hiểu]. Hàm \(y=\dfrac{x^2-2x+3}{x-1}\) có bao nhiêu cực trị?

• A. 0

• B. 1

• C. 2

• D. 3

Câu 4 [Thông hiểu]. Tiệm cận xiên của \(y=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}\) là:

• A. \(y=x\)

• B. \(y=x-1\)

• C. \(y=x+1\)

• D. \(y=-x\)

Lời giải chi tiết phần trắc nghiệm

Câu 1 [Nhận biết]. Mẫu số bằng 0 khi \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\). Tại đây tử số bằng \(3(-2)-1=-7\ne0\), nên \(x=-2\) là tiệm cận đứng. Tử và mẫu cùng bậc một nên tiệm cận ngang là tỉ số hệ số dẫn đầu: \(y=\dfrac{3}{1}=3\). Chọn A.

Câu 2 [Nhận biết]. Tiệm cận đứng là \(x=-1\); tiệm cận ngang là \(y=2\). Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận, tức \(I(-1;2)\). Chọn A.

Câu 3 [Thông hiểu]. Chia đa thức:

\[y=x-1+\dfrac{2}{x-1}\Rightarrow y'=1-\dfrac{2}{(x-1)^2}\]

Giải \(y'=0\) được \((x-1)^2=2\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt2\). Cả hai nghiệm đều thuộc tập xác định và đạo hàm đổi dấu tại mỗi nghiệm, nên hàm có hai cực trị. Chọn C.

Câu 4 [Thông hiểu]. Ta chia \(x^2-x+1\) cho \(x-1\):

\[y=x+\dfrac{1}{x-1}\]

Vì \(\dfrac{1}{x-1}\to0\) khi \(x\to\pm\infty\), tiệm cận xiên là \(y=x\). Chọn A.

Phần tự luận

Bài 5 [Thông hiểu]. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(y=\dfrac{3x+1}{x-1}\).

Lời giải.

Bước 1. \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Bước 2.

\[ y'=\dfrac{3(x-1)-(3x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-4}{(x-1)^2}\lt 0 \]

Hàm nghịch biến trên \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\), không có cực trị.

Bước 3. Viết \(y=3+\dfrac{4}{x-1}\). Do đó tiệm cận đứng là \(x=1\), tiệm cận ngang là \(y=3\), tâm là \(I(1;3)\). Các giới hạn cần điền vào bảng biến thiên là \(\lim_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim_{x\to1^+}y=+\infty\) và \(\lim_{x\to\pm\infty}y=3\).

Bảng biến thiên:

Bước 4. Giao \(Oy\) là \((0;-1)\), giao \(Ox\) là \(\left(-\dfrac{1}{3};0\right)\). Vẽ hai tiệm cận bằng nét đứt và phác hai nhánh nghịch biến.

Đáp án: đồ thị gồm hai nhánh hyperbola, nhận \(I(1;3)\) làm tâm đối xứng.

Bài 6 [Vận dụng]. Tìm cực trị của \(y=\dfrac{x^2+1}{x}\).

Lời giải.

Tập xác định là \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Ta viết:

\[ y=x+\dfrac{1}{x} \]

Đạo hàm:

\[ y'=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2} \]

Giải \(y'=0\), ta được \(x=-1\) hoặc \(x=1\). Xét dấu \(y'\): hàm tăng trên \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\), giảm trên \((-1;0)\) và \((0;1)\).

Bảng biến thiên:

Vì \(y'\) đổi từ dương sang âm tại \(x=-1\), hàm đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị \(y=-2\). Vì \(y'\) đổi từ âm sang dương tại \(x=1\), hàm đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị \(y=2\).

Tiệm cận đứng là \(x=0\), tiệm cận xiên là \(y=x\). Hai nhánh đồ thị tiến gần các tiệm cận này khi \(|x|\) lớn hoặc khi \(x\) tiến về 0.

Đáp án: cực đại \((-1;-2)\), cực tiểu \((1;2)\).

Tổng kết

Muốn học tốt chủ đề này, học sinh nên nhớ ba ý: luôn bắt đầu từ tập xác định, dùng đạo hàm để kết luận biến thiên và dùng tiệm cận để dựng khung hình. Dạng bậc nhất trên bậc nhất thường đi với tiệm cận ngang; dạng bậc hai trên bậc nhất thường đi với tiệm cận xiên.

Khi luyện tập, hãy tự hỏi: mẫu số loại giá trị nào, đạo hàm đổi dấu ở đâu, tiệm cận nằm ở vị trí nào và giao trục có hợp điều kiện không.

Người học có thể tham khảo thêm chuyên mục Toán của ZIM Academy khi cần mở rộng cách đọc đồ thị. Nắm vững các bước này sẽ giúp học sinh xử lí tự tin các bài về đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ.