Tiệm cận ngang là gì? Cách tìm, công thức và bài tập Toán 12

Trong chương trình Toán 12, tiệm cận ngang là kiến thức quan trọng giúp học sinh nhận dạng, khảo sát và vẽ chính xác đồ thị hàm số. Vậy tiệm cận ngang là gì, và đâu là cách tìm tiệm cận ngang chính xác?

Bài viết hệ thống lý thuyết, công thức và cách tìm tiệm cận ngang bằng giới hạn, bậc tử – bậc mẫu và bảng biến thiên; đồng thời hướng dẫn phân biệt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số và tránh các lỗi thường gặp.

Tiệm cận ngang là gì?

Đường thẳng \(y=y_0\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\lim_{x\to+\infty}f\left(x\right)=y_0\) hoặc \(\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=y_0\).

Đường thẳng \(y=y_0\) là tiệm cận ngang của đồ thị khi \(x\to+\infty\)

Đường thẳng \(y=y_0\) là tiệm cận ngang của đồ thị khi \(x\to-\infty\)

Tiệm cận ngang là đường thẳng song song với trục hoành Ox, ký hiệu theo biến y.

Ví dụ: y = 1; y = -3;... là tiệm cận ngang.

Lưu ý: Hàm số đa thức không có tiệm cận ngang mà chỉ xuất hiện ở các hàm số xác định trên khoảng vô hạn, do đó trong các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức, ta không tìm được tiệm cận ngang.

Cách tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

- Các bước tìm tiệm cận ngang:

• Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số

• Bước 2: Tìm giới hạn tại dương vô cực và âm vô cực. Từ đó xác định đường tiệm cận ngang.

- Để tồn tại đường tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất  \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) thì c \(\ne\)0 và ad - bc \(\ne\)0. Khi đó phương trình đường tiệm ngang là: \(y=\frac{a}{c}\).

Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x-2}{5x+1}\)

• Cơ sở lý thuyết: Đường thẳng \(y=y_0\) gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\lim_{x\to+\infty}f\left(x\right)=y_0\) hoặc \(\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=y_0\).

• Lời giải chi tiết

  Tập xác định của hàm số: D = ℝ\{-\(\frac15\)}

  Ta tiến hành tính giới hạn của hàm số khi x tiến ra vô cực:

  • Khi \(x\rightarrow+\infty\): Chia cả tử số và mẫu số cho x ta được:
    \[\lim_{x\to+\infty}\frac{3x-2}{5x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(3-\frac{2}{x}\right)}{x\left(5+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3-\frac{2}{x}}{5+\frac{1}{x}}\]
    Vì \(\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0\) và \(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\) nên \(\lim_{x\to+\infty}\frac{3-0}{5+0}=\frac35\)

  • Khi \(x\rightarrow-\infty\): Chia cả tử số và mẫu số cho x ta được:

    \[\lim_{x\to-\infty}\frac{3x-2}{5x+1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x\left(3-\frac{2}{x}\right)}{x\left(5+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{3-\frac{2}{x}}{5+\frac{1}{x}}\]
    Vì \(\lim_{x\to-\infty}\frac{2}{x}=0\) và \(\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\) nên \(\lim_{x\to-\infty}\frac{3-0}{5+0}=\frac35\)
    

  Vì \(\lim_{x\to+\infty}y=\frac35\) = \(\lim_{x\to-\infty}y=\frac35\) nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=\frac35\).

- Điều kiện để đồ thị hàm số \(y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) có tiệm cận ngang là bậc của f(x) không lớn hơn bậc của g(x). Giả sử bậc của  f(x) là m và bậc của g(x) là n.

• Nếu m < n thì tiệm cận ngang của hàm số là y = 0

• Nếu m = n thì tiệm cận ngang của hàm số là \(y=\frac{a}{b}\) (a là hệ số của \(x^{m}\) và b là hệ số của \(x^{n}\))

• Nếu m > n thì hàm số không có tiệm cận ngang.

- Tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỉ: 

• Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số thì thì tiệm cận ngang của hàm số là y = 0

• Nếu bậc của tử số bằng bậc của mẫu số thì thì tiệm cận ngang của hàm số là \(y=\frac{a}{b}\)
  (a và b là hệ số của biến có bậc cao nhất trong tử số và mẫu số)

• Nếu bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số thì hàm số không có tiệm cận ngang.

Ví dụ: Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
y = \(\frac{\sqrt{4x^2+x+1}-3}{x-2}\)

Lời giải chi tiết

Vì \[4x^2+x+1=\left(2x+\frac14\right)^2+\frac{15}{16}>0\] với mọi \(x\in\) ℝ

Do đó tập xác định của hàm số: D = (-\(\infty\); 2)\(\cup\)(2; +\(\infty\))

Ta tiến hành tính giới hạn của hàm số khi x tiến ra vô cực:

• Khi \(x\rightarrow+\infty\): Ta tiến hành rút thừa số bậc bao nhất \(x^2\) ra khỏi căn bậc:

  y = \(\frac{\sqrt{4x^2+x+1}-3}{x-2}=\frac{\left|x\right|\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-3}{x-2}\)
  Vì \(x\rightarrow+\infty\) nên x > 0 do đó |x| = x

  Chia cả tử và mẫu cho x ta được:

  \[\lim_{x\rightarrow+\infty}y=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-\frac{3}{x}}{1-\frac{2}{x}}\]
  Vì \(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\), \(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0\), \(\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0\) và \(\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x}=0\)
  nên \[\lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4+0+0}-0}{1-0}=\frac21=2\]

  Suy ra y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trên.

• Khi \(x\rightarrow-\infty\):

  Vì \(x\rightarrow-\infty\) nên x < 0 do đó |x| = - x

  Chia cả tử và mẫu cho x ta đươc:
  \[\lim_{x\rightarrow-\infty}y=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-\frac{3}{x}}{1-\frac{2}{x}}\]
  Vì \(\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\), \(\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0\), \(\lim_{x\to-\infty}\frac{2}{x}=0\) và \(\lim_{x\to-\infty}\frac{3}{x}=0\)
  nên \[\lim_{x\to-\infty}y=\lim_{x\to-\infty}\frac{-\sqrt{4+0+0}-0}{1-0}=\frac{-2}{1}=-2\]Suy ra y = - 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trên.

Vậy đồ thị hàm số trên có tất cả hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng: y = 2 và y = -2

Phân biệt tiệm cận ngang và tiệm cận đứng

- Tiệm cận ngang \(y=y_0\): liên quan đến giới hạn tại vô cực, là đường thẳng song song với trục tung.

- Tiệm cận đứng \(x=x_0\): liên quan đến giới hạn vô cực tại một điểm, là đường thẳng song song với trục hoành.

Nhận biết tiệm cận ngang và tiệm cận đứng qua bảng biến thiên:

Mẹo ghi nhớ: 

• Tìm tiệm cận ngang: Nhìn Dòng x ở vị trí vô cực (\(\pm\infty\)) \(\Rightarrow\) Nhìn giá trị y = f(x) ở vị trí vô cùng có bằng số cụ thể hay không.

• Tìm tiệm cận đứng: Nhìn Dòng x ở vị trí không xác định (thường có kí hiệu ∥) Nhìn giá trị y = f(x) ở vị trí đó có ít nhất một bên tiến ra vô cực hay không.

Các dạng bài tập về tiệm cận ngang thường gặp trong Toán 12

Dạng 1: Tìm tiệm cận ngang của hàm số cụ thể (hàm phân thức hữu tỉ, hàm phân thức vô tỉ, hàm mũ, hàm logarit)

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

a, \(y=\frac{3x-2}{4x+1}\)

b, \(y=\frac{x^2-3}{x+1}\)

c, \(y=\frac{2}{x-1}\)

Hướng dẫn giải:

a, \(y=\frac{3x-2}{4x+1}\)

Tập xác định: D = ℝ\{-\(\frac14\)}

Ta tính giới hạn của hàm số khi \(x\rightarrow\pm\infty\)

Ta có: \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3x-2}{4x+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3\left(1-\frac{2}{x}\right)}{4\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac34\]

và \[\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3x-2}{4x+1}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3\left(1-\frac{2}{x}\right)}{4\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac34\]
Vậy \(y=\frac34\) là tiệm cận ngang của hàm số trên.

b, \(y=\frac{x^2-3}{x+1}\)
Tập xác định: D = ℝ\{-1}

Ta có: \[y=\frac{x^2-3}{x+1}=x-1-\frac{2}{x+1}\]

Ta tính giới hạn của hàm số khi \(x\rightarrow\pm\infty\)

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}y=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x-1-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty\]

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}y=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x-1-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty\]
Vậy hàm số trên không có tiệm cận ngang.

c, \(y=\frac{2}{x-1}\)
Tập xác định: D = ℝ\{1}

Ta tính giới hạn của hàm số khi \(x\rightarrow\pm\infty\)

Ta có: \[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x.\frac{2}{x}}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{0}{1-0}=0\]
Vậy y = là tiệm cận ngang của hàm số trên.

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{x-3}{\sqrt{2x^2+1}}\).

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: \[\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x-3}{\sqrt{2x^2+1}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\left(1-\frac{3}{x}\right)}{\sqrt2\left|x\right|\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)}=-\frac{1}{\sqrt2}\]

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x-3}{\sqrt{2x^2+1}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\left(1-\frac{3}{x}\right)}{\sqrt2\left|x\right|\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)}=\frac{1}{\sqrt2}\]
Vậy \(y=\frac{1}{\sqrt2}\) và \(y=-\frac{1}{\sqrt2}\) là tiệm cận ngang của hàm số trên.

Ví dụ 3: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=2^{x}+3\)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ.

- Khi x → + \(\infty\), ta biết \(\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{x}=+\infty\), do đó: \(\lim_{x\rightarrow+\infty}2^{x}+3=+\infty\) (không cho tiệm cận ngang).

- Khi x → - \(\infty\), ta biết \(\lim_{x\rightarrow-\infty}2^{x}=0\), do đó: \[\lim_{x\rightarrow-\infty}2^{x}+3=0+3=3\]

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 3.

Ví dụ 4: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+2}\)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ.

- Khi x → - \(\infty\), ta biết \(\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{x}=0\), do đó: \[\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{x}-1}{e^{x}+2}=\frac{0-1}{0+2}=\frac{-1}{2}\]

- Khi x → +\(\infty\), chia cả tử và mẫu cho \(e^{x}\) ta được: \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}-1}{e^{x}+2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}\left(1-\frac{1}{e^{x}}\right)}{e^{x}\left(1+\frac{2}{e^{x}}\right)}=\frac{1-0}{1+0}=1\]

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y = -1/2 và y = 1.

Ví dụ 5: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{\ln\left(x\right)}\).

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = (0; +\(\infty\)) \ {1}.

Do tập xác định chỉ chứa khoảng về dương vô cực nên ta chỉ xét giới hạn khi x → +\(\infty\):

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln\left(x\right)=+\infty\), suy ra: \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\ln\left(x\right)}=0\]

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 0 (khi x → +\(\infty\)).

Dạng 2: Xác định tiệm cận ngang qua bảng biến thiên hoặc đồ thị cho sẵn.

Các bước nhìn nhanh trên bảng biến thiên:

• Bước 1: Nhìn vào dòng x, tìm hai vị trí đầu mút vô cực là -\(\infty\) (bên trái ngoài cùng) và +\(\infty\) (bên phải ngoài cùng).

• Bước 2: Gióng thẳng hàng dọc xuống dòng y tương ứng để xem giá trị x tiến về đâu.

  • Nếu tại vị trí đó, y tiến tới một số thực cụ thể \(y_0\), thì đường thẳng y = \(y_0\) là 1 tiệm cận ngang.

  • Nếu tại vị trí đó, y tiến tới vô cực (\(\pm\infty\)), thì hướng đó không có tiệm cận ngang.

• Bước 3: Tổng hợp lại có bao nhiêu giá trị \(y_0\) phân biệt để đưa ra kết luận số lượng đường tiệm cận ngang.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số y = f(x) có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

Hướng dẫn giải

Ta tiến hành tính giới hạn của hàm số khi x tiến ra vô cực:

• Khi \(x\rightarrow-\infty\):

Nhìn trên dòng x, tại vị trí đầu mút bên trái ngoài cùng là -\(\infty\).

Dóng thẳng hàng dọc xuống dòng y, ta thấy mũi tên đi từ giá trị -1 xuống -\(\infty\). Điểm bắt đầu tại biên này tương ứng với giá trị -1.

Do đó, ta có giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow-\infty}y=-1\).

Suy ra: Đường thẳng y = -1 là 1 đường tiệm cận ngang (phía bên trái).

• Khi \(x\rightarrow+\infty\):

Nhìn trên dòng x, tại vị trí đầu mút bên phải ngoài cùng là +\(\infty\).

Dóng thẳng hàng dọc xuống dòng y, ta thấy điểm kết thúc của mũi tên tiến về giá trị 0.

Do đó, ta có giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow+\infty}y=0\).

Suy ra: Đường thẳng y = 0 là 1 đường tiệm cận ngang (phía bên phải).

Vậy đồ thị hàm số y = f(x) có 2 đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y = -1 và y = 0.

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ bên. Tìm tiệm cận ngang của hàm số y = f(x)

Hướng dẫn giải

Để tìm tiệm cận ngang dựa vào đồ thị trên, ta quan sát xu hướng đi của nhánh đồ thị khi chạy ra xa vô cực về phía bên trái và phía bên phải:

• Khi \(x\rightarrow-\infty\):

Khi nhìn ra xa vô cực về phía bên trái của trục hoành, nhánh đồ thị phía dưới bên trái đang có xu hướng đi ngang, tiến gần vào đường nét đứt nằm ngang đi qua vị trí y = 1.

Do đó: \(\lim_{x\rightarrow-\infty}y=1\).

Suy ra: Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.

• Khi \(x\rightarrow+\infty\):

Khi nhìn ra xa vô cực về phía bên phải của trục hoành, nhánh đồ thị phía trên bên phải đang đi xuống thấp dần và cũng tiến gần vào đường nét đứt nằm ngang đi qua vị trí y = 1.

Do đó: \(\lim_{x\rightarrow+\infty}y=1\).

Suy ra: Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.

Do giới hạn ở cả hai phía đều đưa về cùng một giá trị, đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang duy nhất là đường thẳng y = 1.

Vì \(\lim_{x\rightarrow+\infty}y=1\) = \(\lim_{x\rightarrow-\infty}y=1\) nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang thỏa mãn điều kiện cho trước.

Ví dụ 1: Tìm tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{\left(m+1\right)x-5m}{2x-m}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Hướng dẫn giải

Tiệm cận ngang của hàm số \(y=\frac{\left(m+1\right)x-5m}{2x-m}\) là:

\[y=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\left(m+1\right)x-5m}{2x-m}=\frac{m+1}{2}\]

Mà tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 1 nên \(\frac{m+1}{2}=1\) hay m = 1

Vậy m = 1 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Dạng 4: Đếm tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Kết hợp tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{2026x-5}{2025-x}\). Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=ℝ\{2025}

Ta có: \[\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2026x-5}{2025-x}=-2026\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trên.

Lại có: \[\lim_{x\rightarrow2025^{-}}y=\lim_{x\rightarrow2025^{-}}\frac{2026x-5}{2025-x}=+\infty\]

\[\lim_{x\rightarrow2025^{+}}y=\lim_{x\rightarrow2025^{+}}\frac{2026x-5}{2025-x}=-\infty\]
nên x = 2025 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Vậy tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là 2.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D=ℝ\{0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và ngang.

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên ta được:

\(\lim_{x\rightarrow-\infty}y=+\infty;\lim_{x\rightarrow+\infty}y=-\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}y=-\infty\) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trên.

Vậy đồ thị hàm số trên có 1 đường tiệm cận đứng và ngang.

Ví dụ 3: Biết rằng đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+1}{bx-2}\) có tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận ngang là
y = 3. Tìm a, b.

Hướng dẫn giải

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì b \(\ne\)0.
Đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+1}{bx-2}\) có tiệm cận đứng là \(x=\frac{2}{b}\) và tiệm cận ngang là \(y=\frac{a}{b}\).
Theo đề bài ta có: \(\frac{2}{b}=2\) và \(\frac{a}{b}=3\) suy ra a = 3 và b = 1.
Vậy a = 3 và b = 1

Lỗi sai thường gặp khi tìm tiệm cận ngang

- Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng: ghi nhầm ký hiệu x thay vì y hoặc ngược lại.
- Chỉ tính giới hạn tại một phía vô cực, bỏ sót trường hợp hai giới hạn cho hai tiệm cận ngang khác nhau.
- Kết luận hàm phân thức có tiệm cận ngang khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu.
- Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận xiên khi bậc tử bằng bậc mẫu cộng một. 

Bài tập tự luyện có gợi ý lời giải

Bài 1(Nhận biết):Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x+2}{2x+4}\) là đường thẳng có phương trình:

A. x = -2
B. \(x=\frac32\)
C. \(y=\frac32\)
D. y = -2

Lời giải

Chọn C
Ta có \(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=\frac32\) nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang \(y=\frac32\)

Bài 2 (Thông hiểu): Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình:

A. y = —1
B. x = —1
C. x = —2
D. y = —2

Lời giải

Chọn A
Ta có: \(\lim_{x\rightarrow\pm}y=-1\) nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = —1

Bài 3 (Thông hiểu): Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+1}\) là:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Lời giải

Chọn B
Ta có: \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{1+\frac{4}{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}{x^2+1}=0\] nên y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 4 (Vận dụng): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y=\frac{x+1}{\sqrt{mx^2+1}}\) có hai tiệm cận ngang.

A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài
B. m<0
C. m=0
D. m>0

Lời giải

Chọn D
Ta có: \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{mx^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{m}}\]

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+1}{\sqrt{mx^2+1}}=-\frac{1}{\sqrt{m}}\]

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là \(y=\frac{1}{\sqrt{m}}\) và \(y=-\frac{1}{\sqrt{m}}\) khi m>0.

Bài 5 (Vận dụng): Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}\) là:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Lời giải

Chọn C
Ta có: \(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}y=5\) nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 5

Tìm tiệm cận đứng: Cho \(x^2-1=0\) khi đó x = 1 hoặc x = -1

Ta có: \[\lim_{x\rightarrow1}\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(5x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(5x+1\right)}{\left(x+1\right)}=3\] nên x = 3 không là tiệm cận đứng.

Lại có: \[\lim_{x\rightarrow^{}-1^{-}}\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow-1^{-}}\frac{\left(5x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1^{-}}\frac{\left(5x+1\right)}{\left(x+1\right)}=+\infty\]\[\lim_{x\rightarrow^{}-1^{+}}\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\frac{\left(5x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\frac{\left(5x+1\right)}{\left(x+1\right)}=-\infty\]
nên x = —1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tổng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Bài viết đã hệ thống kiến thức trọng tâm về tiệm cận ngang, từ định nghĩa, quy trình các bước tìm đường tiệm cận ngang và các dạng bài tập xoay quanh tiệm cận ngang. Bên cạnh việc nhận diện các dạng bài tập thường gặp trong đề thi Toán 12, học sinh cần lưu ý những sai lầm như nhầm lẫn ký hiệu x, y. Để tìm hiểu thêm các kiến thức về các chủ đề liên quan như khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, cực trị, giới hạn trong chương trình Toán 12, bạn có thể tham khảo chuyên mục bài giảng Toán tại ZIM Academy.