Tiệm cận xiên | Công thức, cách tìm và bài tập lớp 12

Trong chương trình Toán 12, tiệm cận xiên là nội dung quan trọng khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đường tiệm cận xiên thường có dạng \(y=ax+b\), được xác định khi đồ thị hàm số tiến gần đến đường thẳng này khi \(x\to\pm\infty\). Bài viết hướng dẫn cách tìm tiệm cận xiên, điều kiện xuất hiện, công thức tiệm cận xiên, cách xác định hệ số góc của tiệm cận xiên, cách tìm bằng giới hạn, chia đa thức và máy tính, kèm bài tập tiệm cận xiên lớp 12.

Tiệm cận xiên là gì?

Đường thẳng \(y = ax + b\) (với điều kiện bắt buộc \(a \neq 0\)) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu ít nhất một trong hai điều kiện giới hạn sau được thỏa mãn: [1]

\[\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\]

hoặc

\[\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0\]

Về mặt hình học, khi \(x\) tiến tới \(+\infty\) hoặc \(-\infty\), hiệu \(f(x)-(ax+b)\) tiến về 0, nghĩa là đồ thị hàm số ngày càng tiến gần đường thẳng \(y=ax+b\). Đồ thị vẫn có thể cắt đường tiệm cận xiên tại một hoặc nhiều điểm hữu hạn; điều kiện tiệm cận chỉ mô tả hành vi của đồ thị khi \(x\) tiến ra vô cực.

Hình minh họa cho thấy đồ thị tiến gần đường tiệm cận xiên khi \(|x|\) tăng lớn.

Khi nào có tiệm cận xiên?

Không phải đồ thị hàm số nào cũng có đường tiệm cận xiên. Trong giới hạn chương trình Toán phổ thông, học sinh sẽ gặp đường tiệm cận này chủ yếu ở dạng hàm phân thức hữu tỉ \(y=\frac{P(x)}{Q(x)}.\) [1]

Với hàm phân thức hữu tỉ sau khi rút gọn, trường hợp thường gặp để có tiệm cận xiên là:

• Bậc của đa thức tử \(P(x)\) lớn hơn bậc của đa thức mẫu \(Q(x)\) đúng 1 đơn vị.

• Khi chia đa thức, nếu \(P(x)=Q(x)(ax+b)+R(x)\) với \(a\ne0\) và \(\deg R<\deg Q\), thì \(\frac{R(x)}{Q(x)}\to0\) khi \(x\to\pm\infty\); do đó \(y=ax+b\) là đường tiệm cận xiên.

Phân biệt tiệm cận xiên với tiệm cận ngang

Học sinh trong quá trình ôn luyện thường có sự nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận xiên. Học sinh cần lưu ý một số điểm quan trọng sau:

Có tiệm cận ngang thì có tiệm cận xiên không? Ở cùng một phía của vô cực, đồ thị không đồng thời có cả tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.

• Tiệm cận ngang có phương trình dạng \(y=b,\) trong khi tiệm cận xiên có phương trình dạng \(y=ax+b \quad (a\ne 0).\)

Tiệm cận ngang có dạng \(y=b\) nên hệ số góc bằng 0, còn tiệm cận xiên có dạng \(y=ax+b\) với \(a\ne0\). Trong chương trình phổ thông, đây là hai loại đường tiệm cận được phân biệt riêng.

• Đối với cùng một phía của vô cực, chẳng hạn \(x\to+\infty\), nếu đồ thị có tiệm cận ngang thì không đồng thời có tiệm cận xiên ở phía đó và ngược lại.

• Một cách nhận biết nhanh là so sánh bậc của tử số và mẫu số trong hàm phân thức \(y=\frac{P(x)}{Q(x)}.\)

Nếu: \(\deg P < \deg Q,\) hàm số thường có tiệm cận ngang \(y=0.\)

Nếu: \(\deg P = \deg Q,\) hàm số có tiệm cận ngang là tỉ số giữa hai hệ số bậc cao nhất.

Nếu: \(\deg P = \deg Q+1,\) hàm số thường xuất hiện tiệm cận xiên.

Các hàm đa thức bậc từ 2 trở lên như \(y=x^2,\ y=x^3,\ y=x^4-2x+1\) không có đường tiệm cận thẳng khi \(x\to\pm\infty\).

Lưu ý: \(\deg P,\deg Q,\) là bậc của đa thức P và Q tức là số mũ cao nhất trong đa thức đó.

Ba cách tìm tiệm cận xiên

Tùy cấu trúc của hàm số, học sinh có thể lựa chọn cách tính tiệm cận xiên bằng giới hạn, chia đa thức hoặc công thức hệ số đối với dạng phân thức phù hợp.

Cách tìm tiệm cận xiên bằng giới hạn

Đây là phương pháp có tính tổng quát, áp dụng cho nhiều dạng hàm số và không giới hạn ở hàm phân thức hữu tỉ.

Cho hàm số \(y = f(x)\), để tìm phương trình tiệm cận xiên \(y = ax + b\), ta đi tìm hai hệ số \(a\) và \(b\) theo các bước:

• Bước 1: Tìm hệ số góc \(a\)

  \[a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\]

  Khi xét \(x\to+\infty\), tính cả \(a\) và \(b\) theo cùng phía này. Với \(x\to-\infty\), thực hiện tương tự. Nếu \(a=0\) hoặc giới hạn không tồn tại thì không có tiệm cận xiên ở phía đang xét.

• Bước 2: Tìm tung độ gốc \(b\)

  Sau khi có \(a\), tính:

  \[b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax]\]

  Nếu \(b\) là số thực hữu hạn và \(a\ne0\), thì \(y=ax+b\) là tiệm cận xiên khi \(x\to+\infty\).

Ví dụ: Tìm tiệm cận xiên của hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}.\)

Lời giải:

Ta áp dụng trực tiếp phương pháp giới hạn để tìm hai hệ số \(a\) và \(b\).

Bước 1: Tìm hệ số góc \(a\)
\[a=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x+3}{x(x-1)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x+3}{x^2-x}.\]

Chia cả tử và mẫu cho \(x^2\):

\[a=\lim_{x\to+\infty} \frac{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}} {1-\frac{1}{x}} =1.\]

Bước 2: Tìm tung độ gốc \(b\)
\[b=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax] =\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+2x+3}{x-1}-x\right).\]

Quy đồng biểu thức trong ngoặc:

\[b=\lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+2x+3-x(x-1)}{x-1}.\]

Rút gọn tử số:

\[b=\lim_{x\to+\infty} \frac{3x+3}{x-1}.\]

Chia cả tử và mẫu cho \(x\):

\[b=\lim_{x\to+\infty} \frac{3+\frac{3}{x}} {1-\frac{1}{x}} =3.\]

Vậy phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y=x+3.\)

Ở ví dụ này, ta hoàn toàn không cần thực hiện phép chia đa thức. Chỉ cần tính hai giới hạn theo đúng định nghĩa là đã xác định được ngay phương trình tiệm cận xiên. Đây chính là ưu điểm lớn nhất của phương pháp giới hạn, bởi nó có thể áp dụng cho nhiều dạng hàm số khác nhau chứ không chỉ riêng các hàm phân thức hữu tỉ.

Cách tìm tiệm cận xiên bằng cách chia đa thức

Khi đối mặt với hàm phân thức \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) thỏa mãn điều kiện bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1 đơn vị, cách nhanh nhất và an toàn nhất ở tự luận là đặt phép chia đa thức.

Khi chia tử \(P(x)\) cho mẫu \(Q(x)\), người học sẽ đưa hàm số về dạng: \(y = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)}\)

Trong đó \(R(x)\) là phần dư (có bậc nhỏ hơn \(Q(x)\)). Khi \(x \to \infty\), cụm phân thức \(\dfrac{R(x)}{Q(x)}\) sẽ dần tiến về 0. Do đó, phần nguyên của phép chia — chính là đa thức bậc nhất \(y = ax + b\) — sẽ là phương trình đường tiệm cận xiên.

Ví dụ minh họa: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x^2 + 5x - 3}{x + 1}\).

Lời giải

Ta thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số.

Bước 1. Lấy số hạng bậc cao nhất của tử chia cho số hạng bậc cao nhất của mẫu: \(\frac{2x^2}{x}=2x.\)

Vậy số hạng đầu tiên của thương là \(2x.\)

Bước 2. Nhân ngược lại: \(2x(x+1)=2x^2+2x.\)

Lấy tử số trừ đi kết quả vừa nhận được: \[(2x^2+5x-3)-(2x^2+2x)=3x-3.\]

Bước 3. Tiếp tục chia số hạng bậc cao nhất của phần còn lại cho số hạng bậc cao nhất của mẫu: \(\frac{3x}{x}=3.\)

Vậy số hạng tiếp theo của thương là \(3.\)

Bước 4. Nhân ngược lại: \(3(x+1)=3x+3.\)

Tiếp tục thực hiện phép trừ: \((3x-3)-(3x+3)=-6.\)

Do đó, thương là: \(2x+3\)

và số dư là: \(-6.\)

Suy ra: \(2x^2+5x-3=(x+1)(2x+3)-6.\)

Hay: \(y=\frac{(x+1)(2x+3)-6}{x+1} =2x+3-\frac{6}{x+1}.\)

Vì: \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-6}{x+1}=0,\)

nên: \(\lim_{x\to\pm\infty}\left[y-(2x+3)\right]=0.\)

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là: \(\boxed{y=2x+3}.\)

Công thức tính tiệm cận xiên nhanh

Với hàm phân thức bậc hai trên bậc một, đây là cách tìm tiệm cận xiên nhanh bằng cách xác định trực tiếp hệ số góc và hệ số tự do mà không cần thực hiện đầy đủ phép chia đa thức.

Với hàm số \(y=\frac{mx^2+nx+p}{qx+r}\) (với \(m\ne0,\ q\ne0\)), công thức tiệm cận xiên cho hệ số góc và hệ số tự do là \(a=\frac{m}{q}\), \(b=\frac{nq-mr}{q^2}\). Khi đó phương trình tiệm cận xiên là \(y=ax+b\).

Hệ số góc của tiệm cận xiên là \(a\) trong phương trình \(y=ax+b\).

Xét hàm số: \(y=\frac{2x^2+5x-3}{x+1}.\)

Lời giải:
Ta có: \[m=2,\qquad n=5,\qquad p=-3,\qquad q=1,\qquad r=1.\]
Áp dụng công thức tính nhanh.
Bước 1. Tính hệ số góc: \(a=\frac{m}{q}=\frac{2}{1}=2.\)
Bước 2. Tính tung độ gốc: \(b=\frac{nq-mr}{q^2}=\frac{5\cdot1-2\cdot1}{1^2}=\frac{3}{1}=3.\)
Bước 3. Viết phương trình tiệm cận xiên: \(y=ax+b=2x+3.\)
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là: \(\boxed{y=2x+3}.\)

Ta vẫn thu được kết quả: \(y = 2x + 3\) giống như ví dụ trước đó.

Cách vẽ tiệm cận xiên trên đồ thị

Sau khi xác định phương trình \(y=ax+b\), chọn hai điểm thuộc đường thẳng để vẽ đường tiệm cận xiên trên hệ trục \(Oxy\). Khi phác họa đồ thị hàm số, thể hiện các nhánh tiến gần đường thẳng này khi \(x\to+\infty\) hoặc \(x\to-\infty\).

Cách tìm tiệm cận xiên bằng máy tính Casio fx-580VN X

Máy tính Casio fx-580VN X hoặc fx-880BTG có thể hỗ trợ kiểm tra gần đúng hệ số của tiệm cận xiên bằng chức năng CALC. Cách bấm máy nên dùng để kiểm tra kết quả; kết luận toán học vẫn cần dựa trên giới hạn hoặc phép chia đa thức.

Quy trình 2 bước truy tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\) cho hàm số \(y = f(x)\):

Bước 1: Tìm hệ số góc \(a\)

• Nhập chính xác vào màn hình biểu thức: \(\frac{f(x)}{x}\)

• Bấm phím CALC và thử với các giá trị có độ lớn tăng dần, chẳng hạn \(x=10^6\), \(x=10^8\) hoặc các giá trị âm tương ứng để quan sát xu hướng khi \(x\to\pm\infty\).

• Nếu kết quả ổn định dần quanh một số thực khác 0 khi tăng độ lớn của \(x\), có thể dùng giá trị đó để ước lượng hệ số góc \(a\).

Bước 2: Tìm tung độ gốc \(b\)

• Xóa màn hình, nhập vào biểu thức mới: \(f(x) - ax\) (với \(a\) là con số vừa tìm được ở Bước 1).

• Tiếp tục bấm CALC với các giá trị \(x\) lớn cùng phía đã dùng ở bước 1 để ước lượng \(b\).

• Nếu kết quả ổn định dần quanh một số thực hữu hạn, lấy đó làm giá trị kiểm tra của \(b\), rồi viết phương trình \(y=ax+b\).

Các dạng bài tập tiệm cận xiên thường gặp

Dưới đây là 5 dạng câu hỏi kinh điển về tiệm cận xiên thường xuất hiện trong các đề thi thử và đề thi chính thức.

Dạng 1: Tìm trực tiếp phương trình tiệm cận xiên của hàm số

Đây là mức độ nhận biết - thông hiểu. Đề bài sẽ cho sẵn một hàm số rõ ràng và yêu cầu chỉ ra phương trình tiệm cận.

Ví dụ: Tìm phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{-x^2 + 3x + 4}{x - 2}\).

Tư duy giải: Hàm bậc hai chia bậc một, bậc tử hơn bậc mẫu 1 đơn vị. Thỏa mãn điều kiện.

Áp dụng công thức tính nhanh:

• \(a=\frac{-1}{1}=-1\)

• \(b=\frac{3 \cdot1 - (-1) \cdot(-2)}{1^2}=\frac{3 - 2}{1}=1\)

  Vậy phương trình tiệm cận xiên là \(y = -x + 1\).

Dạng 2: Xác định tiệm cận xiên từ đồ thị hoặc dữ kiện giới hạn

Ở dạng này, cần dựa vào hình dạng đồ thị hoặc dữ kiện giới hạn để nhận biết đường thẳng mà đồ thị tiến gần khi \(x\to\pm\infty\). Chỉ việc thấy \(f(x)\to\pm\infty\) trên bảng biến thiên chưa đủ để xác định tiệm cận xiên; cần thêm phương trình đường thẳng hoặc điều kiện \(f(x)-(ax+b)\to0\).

Ví dụ: Nếu đề bài cho \[\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(2x-1)]=0\]

thì đường thẳng \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị khi \(x\to+\infty\).

Dạng 3: Bài toán vận dụng chứa tham số m

Đây là dạng phân loại học sinh khá giỏi.

Ví dụ: Tìm giá trị của tham số \(m\) để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 + mx - 1}{x - 1}\) tạo với hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) một tam giác có diện tích bằng 2.

Tư duy giải:

• Bước 1: Viết phương trình TCX chứa m.

  
  Thực hiện phép chia tử cho mẫu: \[x^2 + mx - 1 = x(x - 1) + (m+1)x - 1 = x(x - 1) + (m+1)(x - 1) + m\]

  Hàm số trở thành: \[y = x + (m+1) + \frac{m}{x - 1}\]

  Phương trình đường tiệm cận xiên là \(\Delta: y = x + m + 1\).

• Bước 2: Tìm giao điểm với hai trục tọa độ.
  Giao với trục tung \(Oy\) (cho \(x = 0\)): \(y = m + 1\). Điểm \(A(0; m+1) \Rightarrow OA = |m + 1|\).
  Giao với trục hoành \(Ox\) (cho \(y = 0\)): \(x = -m - 1\). Điểm \[B(-m-1; 0) \Rightarrow OB = |-m - 1| = |m + 1|\]

• Bước 3: Giải phương trình diện tích.
  Diện tích tam giác vuông \(OAB\) là: \(S = \frac{1}{2} OA \cdot OB = \frac{1}{2} |m+1| \cdot |m+1| = \frac{1}{2}(m+1)^2\).
  Theo đề bài, \[S = 2 \Rightarrow \frac{1}{2}(m+1)^2 = 2 \Leftrightarrow (m+1)^2 = 4\]

Giải ra ta được hai trường hợp: \(m + 1 = 2 \Rightarrow m = 1\), hoặc \(m + 1 = -2 \Rightarrow m = -3\).

Vậy \(m \in \{1; -3\}\).
Học sinh có thể quan sát hình ảnh trực quan dưới đây.

Dạng 4: Khoảng cách từ điểm đến tiệm cận xiên

Ví dụ: Cho hàm số\(y = \frac{2x^2 - 4x + 5}{x - 1}\). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0; 0)\) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Tư duy giải: Bài toán kết hợp hai kỹ năng: tìm phương trình đường tiệm cận xiên của hàm phân thức và áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Bước 1: Nhắc lại công thức và tìm phương trình tiệm cận xiên

Xét hàm số phân thức bậc hai trên bậc một có dạng tổng quát:

\[y = \frac{mx^2 + nx + p}{qx + r} \quad (q \neq 0)\]

Phương trình tiệm cận xiên \(\Delta\) có dạng \(y=Ax+B\), trong đó các hệ số được tính theo công thức giải nhanh:

• Hệ số góc: \(A = \frac{m}{q}\)

• Tung độ gốc: \(B = \frac{n \cdot q - m \cdot r}{q^2}\)

Áp dụng vào bài toán:

Hàm số đã cho là \(y = \frac{2x^2 - 4x + 5}{x - 1}\), xác định các hệ số: \[m = 2, \quad n = -4, \quad p = 5, \quad q = 1, \quad r = -1\]

Thay các hệ số vào công thức:

• Tính hệ số góc A: \(A = \frac{m}{q} = \frac{2}{1} = 2\)

• Tính tung độ gốc \(B\): \(B = \frac{n \cdot q - m \cdot r}{q^2} = \frac{(-4) \cdot 1 - 2 \cdot (-1)}{1^2} = \frac{-4 + 2}{1} = -2\)

Suy ra phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = 2x - 2\).

Chuyển phương trình tiệm cận xiên \(\Delta\) về dạng tổng quát \(ax + by + c = 0\): \[\Delta: 2x - y - 2 = 0\]

Bước 2: Nhắc lại công thức và tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm \(M(x_0; y_0)\) đến đường thẳng \(\Delta: ax + by + c = 0\) được tính theo công thức tổng quát:

\[d(M, \Delta) = \frac{\vert{}a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]

Áp dụng vào bài toán:

Cần tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0; 0)\) (tức \(x_0 = 0, y_0 = 0\)) đến đường thẳng \(\Delta: 2x - y - 2 = 0\) (với các hệ số \(a = 2, b = -1, c = -2\)).

Thay tọa độ điểm O và các hệ số vào công thức:

\[d(O, \Delta) = \frac{\vert{}2 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 2\vert{}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}\]

Biến đổi và khử căn thức ở mẫu: \[d(O, \Delta) = \frac{\vert{}-2\vert{}}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Kết luận: Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \[d(O, \Delta) = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Dạng 5: Đếm tổng số đường tiệm cận

Ví dụ: Tìm tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

\[y=\frac{x^2-3x+2}{x-2}\]

Lời giải: Tập xác định là \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Vì \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), nên với \(x\ne2\) ta có \(y=x-1\).

Do \(\lim_{x\to2}y=1\), đường thẳng \(x=2\) không phải tiệm cận đứng.

Mặt khác:

\[\lim_{x\to\pm\infty}[y-(x-1)]=0\]

Theo định nghĩa, \(y=x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị. Điểm khuyết tại \((2;1)\) không làm thay đổi hành vi của hàm số khi \(x\to\pm\infty\).

Kết luận: Đồ thị có 1 đường tiệm cận xiên là \(y=x-1\) và không có tiệm cận đứng tại \(x=2\).

Những lỗi sai thường gặp khi tìm tiệm cận xiên

• Nhầm điều kiện bậc của tử và mẫu: Với hàm phân thức hữu tỉ đã rút gọn, tiệm cận xiên dạng đường thẳng thường xuất hiện khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1 đơn vị. Nếu chênh lệch lớn hơn 1, thương của phép chia có bậc từ 2 trở lên nên không phải đường thẳng.

• Chia đa thức sai dấu: Sai dấu khi trừ đa thức có thể làm sai hệ số tự do \(b\) của phương trình tiệm cận xiên.

• Không rút gọn trước khi xét tiệm cận đứng: Tử và mẫu có nhân tử chung có thể tạo điểm khuyết thay vì tiệm cận đứng. Sau khi rút gọn, vẫn cần kiểm tra tiệm cận xiên theo định nghĩa giới hạn.

• Dùng công thức không đúng dạng: Công thức hệ số nhanh cho \(\frac{mx^2+nx+p}{qx+r}\) chỉ áp dụng trực tiếp cho dạng tử bậc hai, mẫu bậc một.

Bài tập tiệm cận xiên tự luyện có hướng dẫn giải

Phần trắc nghiệm

Câu 1 (Nhận biết): Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận đường thẳng làm tiệm cận xiên?

A. \(y = \frac{3x - 2}{x + 1}\)

B.\(y = \frac{x^3 + 2x - 1}{x - 1}\)

C. \(y = \frac{x^2 - 2x + 5}{x + 2}\)

D. \(y = \frac{x}{x^2 + 1}\)

• Gợi ý: Tiệm cận xiên xuất hiện ở hàm phân thức khi bậc tử = bậc mẫu + 1. Chọn C. (A có TCN, B bậc chênh lệch là 2, D có TCN \(y=0\)).

Câu 2 (Thông hiểu): Phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{-2x^2 + x - 3}{x + 1}\) là:

A. \(y = -2x - 1\)
B. \(y = -2x + 3\)
C. \(y = -2x + 1\)
D. \(y = -2x - 3\)

• Gợi ý: Dùng công thức nhanh: \(A = \frac{-2}{1} = -2\), \(B = \frac{1 \cdot 1 - (-2) \cdot 1}{1^2} = 3\). Chọn B.

Câu 3 (Thông hiểu): Cho hàm số \(y = f(x)\) có \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (3x - 1)] = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(y = 3x - 1\).
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(y = -3x + 1\).
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y = -1\).
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 3\).

• Gợi ý: Dựa đúng vào định nghĩa cơ bản của đường tiệm cận xiên. Chọn A.

Câu 4 (Vận dụng): Giao điểm \(I\) của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 2}\) có tọa độ là:

A. \(I(2; 4)\)
B. \(I(2; 6)\)
C. \(I(-2; -2)\)
D. \(I(2; 0)\)

• Gợi ý: TCĐ: nghiệm của mẫu là \(x = 2\). TCX: Thực hiện chia đa thức ta được \(y = x + 4\). Thay \(x = 2\) vào phương trình TCX ta được tung độ giao điểm \(y = 2 + 4 = 6\). Giao điểm là \(I(2; 6)\). Chọn B.

Câu 5 (Vận dụng cao): Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + (m - 1)x + 1 - m}{x - 1}\) (với m là tham số thực). Gọi \(\Delta\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [-10; 10]\) để đường tiệm cận xiên \(\Delta\) cắt hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) lần lượt tại hai điểm phân biệt \(A, B\) sao cho diện tích tam giác OAB thỏa mãn \(S_{OAB} \le 8\)?

A. 7

B. 6

C. 8

D. 9

Gợi ý và lời giải chi tiết

Bước 1: Tìm phương trình tiệm cận xiên.

Ta có:

\[x^2+(m-1)x+1-m=(x-1)(x+m)+1\]

Suy ra:

\[y=x+m+\frac{1}{x-1}\]

Vì \(\frac{1}{x-1}\to0\) khi \(x\to\pm\infty\), nên với mọi \(m\in\mathbb{R}\), tiệm cận xiên là \(\Delta:y=x+m\).

Bước 2: Xét giao điểm với hai trục tọa độ.

Đường thẳng \(y=x+m\) cắt \(Ox\) tại \(A(-m;0)\) và cắt \(Oy\) tại \(B(0;m)\). Để hai điểm này phân biệt và tạo tam giác với gốc \(O\), cần \(m\ne0\).

Bước 3: Dùng điều kiện diện tích.

\[S_{OAB}=\frac12|m|\cdot|m|=\frac12m^2\le8\]

Suy ra \(-4\le m\le4\). Với \(m\in\mathbb{Z}\) và \(m\ne0\), có 8 giá trị: \[m\in\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\}\].

Chọn C.

Phần tự luận

Bài 1: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - 4x + 3}{x + 1}\).

Lời giải chi tiết:

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).

• Tiệm cận đứng:

  Ta có \(\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 - 4x + 3}{x + 1} = +\infty\) và \(\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 - 4x + 3}{x + 1} = -\infty\).

  Do đó, đường thẳng \(x = -1\) là đường tiệm cận đứng.

• Tiệm cận xiên:

  Thực hiện phép chia đa thức tử cho đa thức mẫu, ta phân tích được:

  \[x^2 - 4x + 3 = x(x + 1) - 5(x + 1) + 8\]

Hàm số được viết lại thành: \(y = x - 5 + \frac{8}{x + 1}\).

Vì \(\lim_{x \to \infty} \frac{8}{x + 1} = 0\), nên đường thẳng \(y = x - 5\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• Kết luận: Đồ thị hàm số có một TCĐ là \(x = -1\) và một TCX là \(y = x - 5\).

Bài 2: Cho hàm số \(y = \frac{x^2 + mx - 2}{x + 1}\). Tìm giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên đi qua điểm \(M(2; 5)\).
Lời giải chi tiết:

• Thực hiện phép chia đa thức để xác định trực tiếp phương trình tiệm cận xiên.

• Thực hiện phép chia đa thức:

  \[x^2 + mx - 2 = x(x + 1) + (m - 1)(x + 1) - m - 1\]

  Suy ra \(y = x + m - 1 - \frac{m + 1}{x + 1}\).

  Đường tiệm cận xiên của đồ thị là \(\Delta: y = x + m - 1\).

• Vì tiệm cận xiên đi qua điểm \(M(2; 5)\), ta thay \(x = 2, y = 5\) vào phương trình \(\Delta\):

  \(5 = 2 + m - 1 \Leftrightarrow m = 4\)

• Kết luận: \(m = 4\) là giá trị cần tìm.

Bài 3 (Vận dụng cao): Tìm tọa độ các điểm \(N\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}\) sao cho khoảng cách từ điểm \(N\) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị bằng \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Lời giải chi tiết:

• Phân tích hàm số:

  \[y = \frac{x(x - 1) + 2(x - 1) + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{1}{x - 1}\]

• Suy ra đường tiệm cận xiên là \(\Delta: y = x + 2 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\).

• Gọi \(N\left(x_0; x_0 + 2 + \frac{1}{x_0 - 1}\right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số (với \(x_0 \neq 1\)).

• Khoảng cách từ điểm \(N\) đến đường thẳng \(\Delta\) được tính theo công thức:

  \[d(N, \Delta) = \frac{\left| x_0 - \left(x_0 + 2 + \frac{1}{x_0 - 1}\right) + 2 \right|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\left| \frac{-1}{x_0 - 1} \right|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}|x_0 - 1|}\]

• Theo giả thiết đề bài, khoảng cách này bằng \(\frac{1}{\sqrt{2}}\): \[\frac{1}{\sqrt{2}|x_0 - 1|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow |x_0 - 1| = 1\]

Giải phương trình trị tuyệt đối, ta có 2 trường hợp:
Trường hợp 1: \(x_0 - 1 = 1 \Leftrightarrow x_0 = 2\) (Thỏa mãn). Tung độ \(y_N = 2 + 2 + \frac{1}{2 - 1} = 5\). Ta có điểm \(N_1(2; 5)\).
Trường hợp 2: \(x_0 - 1 = -1 \Leftrightarrow x_0 = 0\) (Thỏa mãn). Tung độ \(y_N = 0 + 2 + \frac{1}{0 - 1} = 1\). Ta có điểm \(N_2(0; 1)\).

• Kết luận: Có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(N_1(2; 5)\) và \(N_2(0; 1)\).

Tham khảo thêm: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Lý thuyết và bài tập lớp 12.

Bài viết đã hệ thống tiệm cận xiên, công thức tiệm cận xiên, cách xác định hệ số góc, cách tìm bằng giới hạn, chia đa thức và máy tính Casio, cùng các dạng bài tập tiệm cận xiên lớp 12. Khi giải bài, học sinh cần xét đúng phía của vô cực và kiểm tra điều kiện \(\lim[f(x)-(ax+b)]=0\) để kết luận chính xác. Người học có thể tham khảo thêm các nội dung liên quan tại chuyên đề Toán 12 của ZIM Academy.