Hai góc đối đỉnh | Định nghĩa, tính chất và bài tập

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng tạo thành hai cặp góc đối đỉnh. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, nhưng hai góc bằng nhau chưa chắc đối đỉnh.

Bài viết hệ thống định nghĩa, tính chất hai góc đối đỉnh, cách nhận biết và tính số đo góc, kèm ví dụ, bài tập có lời giải theo Bài 8: Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc – Toán 7, Kết nối tri thức với cuộc sống.

Hai góc đối đỉnh là gì?

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. [1]

Điều kiện nhận biết hai góc đối đỉnh

Để nhận biết chính xác hai góc có phải là đối đỉnh hay không, học sinh cần kiểm tra thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

• Hai góc phải có chung đỉnh (ví dụ cùng chung đỉnh O).

• Mỗi cạnh của góc này bắt buộc phải là tia đối của một cạnh của góc kia.

• Hai góc không có cạnh chung; tuy nhiên, chỉ chung đỉnh và không có cạnh chung vẫn chưa đủ để kết luận đối đỉnh.

Ví dụ: Với hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại điểm O. Tại giao điểm O, hai đường thẳng này tạo ra bốn góc đỉnh O, bao gồm: xOy, x'Oy, x'Oy', và xOy'.

Trong hình vẽ:

• Tia Ox và tia Ox' là hai tia đối nhau.

• Tia Oy và tia Oy' là hai tia đối nhau. Khi đó, góc \(\widehat{xOy}\) và góc \(\widehat{x'Oy'}\) tạo thành một cặp góc đối đỉnh. Tương tự, góc \(\widehat{x'Oy}\) và góc \(\widehat{xOy'}\) cũng tạo thành cặp góc đối đỉnh thứ hai. Như vậy, mỗi cặp hai đường thẳng cắt nhau sẽ tạo ra hai cặp góc đối đỉnh.

Hướng dẫn cách vẽ góc đối đỉnh với một góc cho trước

Các bước vẽ góc đối đỉnh gồm:

• Bước 1: Vẽ một góc \(\widehat{xOy}\) bất kỳ (ví dụ góc nhọn 60°).

• Bước 2: Dùng thước thẳng vẽ tia Ox' đối với tia Ox, sao cho O nằm giữa x và x'.

• Bước 3: Vẽ tia Oy' đối với tia Oy, sao cho O nằm giữa y và y'.

• Bước 4: Khi đó, góc \(\widehat{x'Oy'}\) chính là góc đối đỉnh với góc \(\widehat{xOy}\) đã cho.

Tính chất hai góc đối đỉnh

Tính chất cơ bản: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. [1]

Nếu hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O thì góc xOy bằng góc x'Oy', góc x'Oy bằng góc xOy'. Tính chất hai góc đối đỉnh giúp tính số đo góc và chứng minh hai góc bằng nhau.

Chứng minh tính chất dựa trên hai cặp góc kề bù: Có thể chứng minh tính chất bằng hai cặp góc kề bù:

Giả sử hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O, xét góc \(\widehat{xOy}\) và góc \(\widehat{x'Oy'}\).

• Vì tia Ox và Ox' là hai tia đối nhau, nên góc \(\widehat{xOy}\) và góc \(\widehat{x'Oy}\) là hai góc kề bù. Do đó: 

\[\begin{aligned}\widehat{xOy}+\widehat{x\prime Oy}&=180^\circ\\\widehat{xOy}&=180^\circ-\widehat{x\prime Oy}\quad(1)\end{aligned}\]

• Tương tự, vì tia Oy và Oy' là hai tia đối nhau, nên góc \(\widehat{x'Oy}\) và góc \(\widehat{x'Oy'}\) cũng là hai góc kề bù. Do đó: 

\[\begin{aligned}\widehat{x\prime Oy}+\widehat{x\prime Oy\prime}&=180^\circ\\\widehat{x\prime Oy\prime}&=180^\circ-\widehat{x\prime Oy}\quad(2)\end{aligned}\]

Từ (1) và (2), suy ra: \(\widehat{xOy}\) = \(\widehat{x'Oy'}\). Vậy hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau.

Ví dụ minh họa: Cho hai đường thẳng cắt nhau tại điểm O, trong đó có một góc bằng 64°. Hãy tính số đo các góc còn lại tại giao điểm đó.

Hướng dẫn giải

Theo tính chất hai góc đối đỉnh, góc đối đỉnh với góc 64° cũng có số đo bằng 64°.

Hai góc kề bù với góc 64° sẽ có số đo là: 180° - 64° = 116°.

Góc đối đỉnh với góc 116° cũng có số đo bằng 116°.

Lưu ý: Học sinh cần chú ý phân biệt rõ chiều thuận và chiều đảo của mệnh đề:

• Chiều suy luận đúng: Nếu hai góc là đối đỉnh thì chúng chắc chắn bằng nhau.

• Chiều ngược lại không đúng: Nếu hai góc bằng nhau thì chưa chắc chúng đã là hai góc đối đỉnh. Chúng có thể có đỉnh khác nhau hoặc không có các cạnh tương ứng là hai tia đối nhau.

Hai góc đối đỉnh và góc kề bù khác nhau thế nào?

Trong quá trình học tập, học sinh rất hay bị nhầm lẫn giữa hai khái niệm góc đối đỉnh và góc kề bù. 

Đặc điểm của góc đối đỉnh

• Có chung đỉnh.

• Không có cạnh chung.

• Tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Đặc điểm của góc kề bù

• Chung một cạnh.

• Hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau tạo thành một đường thẳng.

• Tính chất: Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180°.

Bảng so sánh nhanh góc đối đỉnh và góc kề bù:

Hai góc bằng nhau có phải luôn là hai góc đối đỉnh không?

Không. Hai góc bằng nhau chưa chắc là hai góc đối đỉnh. Số đo bằng nhau không thay thế điều kiện mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Phản ví dụ minh họa:

Xét hai góc ở hai vị trí hoàn toàn khác nhau trên mặt phẳng, ví dụ góc \(\widehat{ABC}\) = 50° nằm ở góc trái trang giấy và góc \(\widehat{MNP}\) = 50° nằm ở góc phải trang giấy. Mặc dù số đo góc của chúng hoàn toàn bằng nhau, nhưng chúng không hề chung đỉnh và không thỏa mãn điều kiện tia đối, do đó chúng không phải là hai góc đối đỉnh.

Trường hợp góc vuông:

Hai góc cùng bằng 90° (hai góc vuông) cũng chưa đủ điều kiện để kết luận chúng đối đỉnh với nhau. Muốn kết luận chính xác hai góc là đối đỉnh, người học bắt buộc phải kiểm tra mối quan hệ giữa các tia tạo nên góc đó, xem chúng có cùng xuất phát từ một giao điểm và có tạo thành các cặp tia đối nhau hay không.

Các dạng bài tập hai góc đối đỉnh thường gặp

Dạng 1: Nhận biết cặp góc đối đỉnh

Phương pháp giải: Quan sát kỹ hình vẽ, tìm các giao điểm của các đường thẳng. Kiểm tra xem các góc có chung đỉnh và các cạnh có phải là tia đối của nhau hay không.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I, trong đó I nằm giữa A và B, đồng thời nằm giữa C và D. Hãy kể tên các cặp góc đối đỉnh có trên hình.

Hướng dẫn giải

Cặp 1 là \(\widehat{AID}\) và \(\widehat{CIB}\); cặp 2 là \(\widehat{AIC}\) và \(\widehat{DIB}\).

Dạng 2: Vẽ góc đối đỉnh với góc cho trước

Phương pháp giải: Sử dụng thước thẳng, kéo dài hai cạnh của góc đã cho qua đỉnh để tạo thành hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ 1: Cho góc \(\widehat{mOn}\) = 45°. Hãy vẽ góc đối đỉnh với góc \(\widehat{mOn}\).

Hướng dẫn giải

Vẽ tia Om' đối với tia Om và tia On' đối với tia On (kéo dài qua đỉnh O). Góc \(\widehat{m'On'}\) chính là góc cần vẽ.

Ví dụ 2: Cho góc tù \(\widehat{xOy}\) = 120°. Hãy thực hiện vẽ góc đối đỉnh với góc \(\widehat{xOy}\).

Hướng dẫn giải

Vẽ tia Ox' đối với tia Ox và tia Oy' đối với tia Oy (kéo dài qua đỉnh O). Khi đó góc \(\widehat{x'Oy'}\) là góc đối đỉnh với góc \(\widehat{xOy}\).

Dạng 3: Tính số đo góc (kết hợp tính chất đối đỉnh và kề bù)

Phương pháp giải: Kết hợp linh hoạt tính chất hai góc đối đỉnh bằng nhau và tính chất hai góc kề bù có tổng bằng 180°.

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc bằng 74°. Tính số đo ba góc còn lại.

Hướng dẫn giải

Góc đối đỉnh với góc 74° có số đo bằng 74°.

Hai góc kề bù còn lại mỗi góc có số đo là: 180° - 74° = 106°.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O, với O nằm giữa A và B, giữa C và D. Biết góc \(\widehat{AOC}\) = 38°. Hãy tính số đo của các góc \(\widehat{BOD}\), \(\widehat{AOD}\) và \(\widehat{BOC}\).

Hướng dẫn giải

Có: \(\widehat{BOD}\) = \(\widehat{AOC}\) = 38° (hai góc đối đỉnh).

Góc \(\widehat{AOD}\) và \(\widehat{AOC}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat{AOD}\) = 180° - 38° = 142°.

Góc \(\widehat{BOC}\) = \(\widehat{AOD}\) = 142° (hai góc đối đỉnh).

Dạng 4: Chứng minh hai góc bằng nhau

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất bắc cầu hoặc chỉ ra hai góc đó là hai góc đối đỉnh của nhau.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại điểm O. Chứng minh rằng góc \(\widehat{xOy}\) bằng góc x'Oy'.

Hướng dẫn giải

Vì góc \(\widehat{xOy}\) và góc \(\widehat{x'Oy'}\) là hai góc đối đỉnh (do Ox, Ox' và Oy, Oy' là các cặp tia đối nhau), nên áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh suy ra \(\widehat{xOy}\) = \(\widehat{x'Oy'}\).

Dạng 5: Đếm số cặp góc đối đỉnh

Phương pháp giải (mở rộng): Liệt kê từng cặp đường thẳng phân biệt. Mỗi cặp đường thẳng tạo thành hai cặp góc đối đỉnh. Khi đếm tất cả các góc, cần tính cả góc có các tia khác nằm bên trong.

Với n đường thẳng phân biệt cùng đi qua O (n ≥ 2), có n(n − 1)/2 cách chọn hai đường thẳng. Vì vậy, số cặp góc đối đỉnh là n(n − 1). Đây là nội dung mở rộng, không cần dùng để giải các bài tính góc cơ bản.

Lưu ý: 2n chỉ là số góc giữa các tia liên tiếp quanh O. Nếu tính tất cả các góc không bẹt tạo bởi 2n tia, có 2n(n − 1) góc, ghép thành n(n − 1) cặp góc đối đỉnh.

Ví dụ 1: Cho 4 đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một điểm. Hỏi có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh được tạo thành?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức với n = 4, số cặp góc đối đỉnh là: 4 \(\times\)(4 - 1) = 12 cặp góc đối đỉnh.

Ví dụ 2: Cho ba đường thẳng xx', yy' và zz' đồng quy tại điểm O. Hỏi trên hình vẽ có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh được tạo thành bởi các tia đối nhau?

Hướng dẫn giải

Có tất cả 3 \(\times\)(3 - 1) = 6 cặp góc đối đỉnh được tạo thành tại giao điểm O.

Những lỗi thường gặp khi học góc đối đỉnh

Trong quá trình làm bài, học sinh thường mắc phải một số lỗi sai sau đây:

• Nhầm lẫn đối đỉnh với kề bù: Hai góc đối đỉnh bằng nhau, nhưng tổng số đo không nhất thiết bằng 180°. Tổng này chỉ bằng 180° khi mỗi góc là góc vuông.

• Nhầm lẫn về số đo: Cho rằng cứ hai góc bằng nhau thì mặc nhiên chúng là hai góc đối đỉnh.

• Chỉ dựa vào trực giác hình vẽ: Nhìn bằng mắt thấy các góc có vẻ đối diện nhau mà không kiểm tra kỹ tính chất tia đối của các cạnh.

• Dùng thuật ngữ thiếu rõ ràng: “Góc đối” không đồng nghĩa với “góc đối đỉnh”; khi nhận biết cần nêu đúng quan hệ giữa các tia.

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, nhưng hai góc bằng nhau chưa chắc đối đỉnh. Khi giải bài tập, học sinh cần kiểm tra hai cặp tia đối và kết hợp tính chất góc kề bù để tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau.

Học sinh có thể tìm hiểu thêm các chuyên đề Toán 7 để củng cố kiến thức hình học và luyện tập cách trình bày lời giải.