Hàm số bậc hai | Cách vẽ đồ thị và Bài tập Toán 10 có đáp án
Key takeaways
Hàm số bậc hai có dạng \(y=ax^2{}+bx+c\) với \(a\) khác 0. Đồ thị hàm số là một đường parabol nhận đường thẳng \(x=\frac{-b}{2a}\) làm trục đối xứng. Xu hướng biến thiên và hướng bề lõm đồ thị phụ thuộc vào dấu của hệ số \(a\). Học sinh cần thành thạo bốn bước vẽ đồ thị và phân biệt nó với hàm phân thức.
Trong bài 16 Toán 10, hàm số bậc hai là mảng kiến thức nền tảng, xuất hiện dày đặc trong các bài kiểm tra, thi học kỳ dưới dạng khảo sát và vẽ đồ thị.
Việc nắm vững công thức hàm số bậc 2, thành thạo cách lập bảng biến thiên, xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh, đồng thời hiểu rõ bản chất hình học của đồ thị (parabol) sẽ giúp học sinh tự tin đạt điểm cao, xây dựng nền tư duy phân tích vững chắc cho mảng hàm số nâng cao ở các lớp tiếp theo.
Hàm số bậc hai là gì?
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức:
\[y = ax^2 + bx + c\]
Trong đó, \(x\) là biến số; \(a, b, c\) là các hằng số và \(a \neq 0\).
Tập xác định của hàm số bậc hai là R.
Sở dĩ có điều kiện \(a \neq 0\) là vì nếu hệ số \(a = 0\), thành phần bậc hai \(ax^2\) sẽ triệt tiêu. Khi đó, hàm số sẽ biến thành hàm số bậc nhất \(y = bx + c\) (nếu \(b \neq 0\)) hoặc hàm hằng \(y = c\) (nếu \(b = 0\)), mất đi hoàn toàn các tính chất đặc trưng của một hàm bậc hai.
Để giúp học sinh dễ dàng nhận diện và phân biệt với các dạng hàm số khác trong chương trình THPT, chúng ta cùng quan sát bảng so sánh trực quan dưới đây:
Công thức hàm số | Phân loại | Thành phần hệ số |
|---|---|---|
\(y = 2x^2 + 4x - 6\) | Là hàm bậc hai | \(a = 2, b = 4, c = -6\) |
\(y = -x^2 + 1\) | Là hàm bậc hai | \(a = -1, b = 0, c = 1\) |
\(y = x^4 + 3x^2 + 2\) | Không là hàm bậc hai | Chứa thành phần \(x^4\) |
\(y = \frac{1}{x^2}\) | Không là hàm bậc hai | Biến số \(x\) nằm ở mẫu |
Nhận xét: Hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\) đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với \(b=c=0\) .
Đồ thị hàm số bậc hai và các yếu tố cơ bản
Đồ thị của \(y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là một đường cong đối xứng được gọi là đường parabol. Hình dáng và hướng của parabol phụ thuộc chặt chẽ vào dấu của hệ số đứng trước \(x^2\) (hệ số \(a\)).
Bề lõm của đồ thị
Trường hợp \(a > 0\): Parabol sẽ quay bề lõm lên phía trên (hình dáng giống chữ "U"). Khi đó, điểm đỉnh của đồ thị sẽ nằm ở vị trí thấp nhất, đại diện cho giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Trường hợp \(a < 0\): Parabol sẽ quay bề lõm xuống phía dưới (hình dáng giống chữ "U" úp ngược). Lúc này, điểm đỉnh sẽ nằm ở vị trí cao nhất, đại diện cho giá trị lớn nhất của hàm số.
Tọa độ đỉnh và Trục đối xứng
Điểm đặc biệt nhất trên parabol chính là đỉnh, thường ký hiệu là \(I\). Tọa độ của đỉnh \(I\) được xác định duy nhất bằng công thức toán học:
\[I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)\]
Trong đó, \(\Delta = b^2 - 4ac\) là biệt thức của biểu thức bậc hai.
Mỗi parabol luôn có một trục đối xứng, đó là đường thẳng đứng đi qua đỉnh \(I\) và vuông góc với trục hoành \(Ox\). Phương trình của trục đối xứng có dạng:
\[x = -\frac{b}{2a}\]
Nếu ta gấp đôi mặt phẳng tọa độ theo đường thẳng này, hai nhánh của parabol sẽ hoàn toàn trùng khít lên nhau.
Giao điểm với các trục tọa độ
Giao điểm với trục tung (\(Oy\)): Cho \(x = 0\), ta tính được \(y = c\). Do đó, đồ thị luôn cắt trục tung tại một điểm duy nhất có tọa độ là \(M(0; c)\).
Giao điểm với trục hoành (\(Ox\)): Cho \(y = 0\), ta giải phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\). Số giao điểm với trục hoành phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình này: nếu phương trình vô nghiệm, parabol không cắt \(Ox\); nếu có nghiệm kép, parabol tiếp xúc với \(Ox\) tại đỉnh; nếu có hai nghiệm phân biệt, parabol sẽ cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt.
Chiều biến thiên và Bảng biến thiên hàm số bậc hai
Bảng biến thiên là một sơ đồ thu nhỏ diễn tả một cách logic và trực quan chiều hướng đi lên (đồng biến) hoặc đi xuống (nghịch biến) của hàm số trên các khoảng số thực. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai thay đổi khi biến số \(x\) vượt qua giá trị hoành độ đỉnh \(x = -\frac{b}{2a}\).
Trường hợp hệ số \(a > 0\)
Hàm số nghịch biến (đồ thị đi xuống từ trái sang phải) trên khoảng \(\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)\) và đồng biến (đồ thị đi lên) trên khoảng \(\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \[y=-\frac{\Delta}{4a}\].
Bảng biến thiên (\(a > 0\)):
Trường hợp hệ số \(a < 0\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)\). Giá trị lớn nhất của hàm số là \[y = -\frac{\Delta}{4a}\].
Bảng biến thiên (\(a < 0\)):
Ví dụ minh họa
Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = x^2 - 2x\).
Giải
Ta có hệ số \(a = 1 > 0, b = -2, c = 0\).
Hoành độ đỉnh: \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\).
Tung độ đỉnh: \(y(1) = 1^2 - 2(1) = -1\).
Vì \(a = 1 > 0\), hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 1)\) và đồng biến trên khoảng \((1; +\infty)\).
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai
Để vẽ đường parabol \(y=ax^2+bx+c\) ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh \(I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)\).
Bước 2: Vẽ trục đối xứng \(x = -\frac{b}{2a}\).
Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục \(Oy\), trục \(Ox\) (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol.
Bước 4: Vẽ parabol.
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x-2\).
Giải
Vì \(a=-\frac{1}{2}<0\) nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
Ta có \[a=-\frac{1}{2}, b=2, c=-2\]. Suy ra tọa độ đỉnh là \(I(2;0)\) và trục đối xứng \(x=2\).
Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là \(A(0;-2)\).
Giao điểm của đồ thị với trục \(Ox\): Cho \(-\frac{1}{2}x^2 +2x-2 = 0 \implies x = 2\).
Để vẽ đồ thị chính xác hơn, ta có thể lấy thêm điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng \(x=2\) là \(B(4;-2)\).
Vì đỉnh \(I\) trùng với giao điểm của đồ thị với \(Ox\) nên ta lấy thêm 2 điểm là \((-2;-8)\) và \((6;-8)\) đối xứng với nhau để vẽ đồ thị.
Phân biệt hàm số bậc hai với hàm số bậc hai trên bậc một
Một sai sót phổ biến mà học sinh lớp 10 thường gặp phải khi làm các bài thi trắc nghiệm tổng hợp là nhầm lẫn hàm số bậc hai thông thường với hàm số bậc hai trên bậc một. Đây là hai cấu trúc toán học hoàn toàn khác biệt về cả dạng biểu thức lẫn hình học đồ thị.
Hàm số bậc hai trên bậc một có cấu trúc dạng phân thức hữu tỷ:
\[y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}\] (với \(d \neq 0\))
Hàm số này có tập xác định loại trừ giá trị làm mẫu thức bằng không (\(x \neq -\frac{e}{d}\)), khác hoàn toàn với tập xác định \(D = \mathbb{R}\) của hàm số bậc hai thông thường.
Về mặt trực quan hình học, đồ thị của hàm số bậc hai thông thường là một đường parabol duy nhất sở hữu một trục đối xứng (đường thẳng phẳng đứng). Ngược lại, đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc một (lên lớp 12 học sinh sẽ được học gọi là đường hyperbolic dạng xiên) không có trục đối xứng mà sở hữu một tâm đối xứng. Tâm đối xứng này là một điểm cố định mà tại đó, bất kỳ đường thẳng nào đi qua tâm cũng sẽ cắt đồ thị tại hai điểm đối xứng nhau qua tâm đó.
Ví dụ phân biệt: Hàm số \(y = x^2 - 4x + 3\) có đồ thị là một parabol có trục đối xứng \(x = 2\). Trong khi đó, hàm số dạng phân thức \(y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\) lại là hàm số bậc hai trên bậc một, đồ thị của nó bị chia làm hai nhánh tách biệt và nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng đồ thị.
Bài tập vận dụng hàm số bậc hai
Dưới đây là một bài tập điển hình được xây dựng bám sát cấu trúc đề kiểm tra Toán lớp 10 để học sinh tự rèn luyện tư duy.
Bài tập 1: Tìm tọa độ đỉnh và trục đối xứng
Xác định tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của hàm số sau: \[y = 3x^2 - 2x + 1\].
Phân tích đề bài:
Dữ kiện đề cho:
Cho hàm số bậc hai: \(y = 3x^2 - 2x + 1\).
Các hệ số tương ứng: \(a = 3, b = -2, c = 1\).
Thông tin cần tìm:
Tọa độ đỉnh \(I(x_I; y_I)\) của đồ thị (với \(x_I = -\frac{b}{2a}\), \(y_I = f(x_I)\)).
Phương trình trục đối xứng của parabol (đường thẳng \(x = -\frac{b}{2a}\)).
Hướng dẫn giải:
Ta có các hệ số \(a = 3, b = -2, c = 1\).
Hoành độ đỉnh \[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\]. Tung độ đỉnh \[y = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = \frac{2}{3}\].
Vậy tọa độ đỉnh đồ thị là \(I\left(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right)\), phương trình trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{3}\).
Bài tập 2: Xác định hàm số khi biết yếu tố đồ thị
Tìm phương trình hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) biết đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(2; 1)\) và nhận điểm \(I(1; -1)\) làm đỉnh.
Phân tích đề bài:
Dữ kiện đề cho:
Dạng tổng quát của hàm số bậc hai: \(y = ax^2 + bx + c\).
Đồ thị đi qua điểm \(A(2; 1)\).
Đồ thị nhận điểm \(I(1; -1)\) làm đỉnh.
Thông tin cần tìm:
Giá trị của các hệ số \(a,b,c\Rightarrow\) Phương trình cụ thể của hàm số bậc hai cần tìm.
Hướng dẫn giải:
Vì đồ thị có đỉnh \(I(1; -1)\) nên ta có phương trình hoành độ đỉnh: \[-\frac{b}{2a}=1\iff b=-2a\]. Thay tọa độ điểm đỉnh \(I(1; -1)\) và điểm \(A(2; 1)\) vào phương trình hàm số tổng quát, ta thiết lập hệ phương trình:
\[\begin{cases}a(1)^2+b(1)+c=-1\\ a(2)^2+b(2)+c=1\end{cases}\iff\begin{cases}a+b+c=-1\\ 4a+2b+c=1\end{cases}\]Thay \(b = -2a\) vào hệ trên, giải ra ta thu được: \(a = 2, b = -4, c = 1\).
Vậy hàm số cần tìm là: \(y = 2x^2 - 4x + 1\).
Bài tập 3: Vẽ đồ thị parabol
Vẽ đường parabol sau \(y=2x^2+4x-6\).
Phân tích đề bài:
Dữ kiện đề cho:
Hàm số bậc hai: \(y = 2x^2 + 4x - 6\) với các hệ số \(a = 2, b = 4, c = -6\).
Thông tin cần tìm:
Bề lõm của đồ thị (hướng lên trên hay xuống dưới dựa vào dấu của \(a = 2 > 0\)).
Tọa độ đỉnh \(I\) và phương trình trục đối xứng.
Các điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung \(Oy\), giao điểm với trục hoành \(Ox\) và các điểm đối xứng bổ sung.
Hình vẽ parabol hoàn chỉnh trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).
Hướng dẫn giải:
Ta có \(a>2\) nên parabol quay bề lõm lên trên.
Đỉnh \(I(-1;-8)\). Trục đối xứng \(x=-1\).
Giao điểm với \(Oy\) là \((0;-6)\). Điểm đối xứng với điểm \((0;-6)\) qua \(x=-1\) là \((-2;-6)\).
Giao điểm với \(Ox\) là \((-3;0)\) và \((1;0)\).
Bài tập 4: Bài toán thực tế ứng dụng parabol
Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.
Phân tích đề bài:
Dữ kiện đề cho:
Giá nhập xe: 27 triệu đồng/chiếc.
Giá bán ban đầu: 31 triệu đồng/chiếc \(\Rightarrow\) Lợi nhuận ban đầu mỗi xe: \(31 - 27 = 4\) triệu đồng.
Số lượng xe bán ra ban đầu: 600 chiếc/năm.
Quy luật giảm giá: Giảm 1 triệu đồng/xe thì bán tăng thêm 200 chiếc/năm.
Gọi \(x\) (triệu đồng) là số tiền dự định giảm giá (\(0 \le x \le 4\)).
Thông tin cần tìm:
Mức giá bán mới (\(31 - x\) triệu đồng) để tổng lợi nhuận của doanh nghiệp trong một năm đạt giá trị lớn nhất (\(\max f(x)\)).
Hướng dẫn giải:
Gọi \(x\) triệu đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá (\(0 \le x \le 4\)).
Khi đó: Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là \[31 - x - 27 = 4 - x\]
Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là \(600 + 200x\).
Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là:
\[f(x) = (4 - x)(600 + 200x) = -200x^2 + 200x + 2400\]
Xét hàm số \(f(x) = -200x^2 + 200x + 2400\) trên đoạn \([0; 4]\) có bảng biến thiên:
Vậy \(\max_{[0;4]}f(x)=2450\iff x=\dfrac{1}{2}\).
Bài tập 5: Bài toán thực tế ứng dụng parabol
Một cửa hàng sách mua sách từ nhà xuất bản với giá 50 (nghìn đồng)/cuốn. Cửa hàng ước tính rằng, nếu bán một cuốn sách với giá \(x\) nghìn đồng thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua \((150 - x)\) cuốn sách. Hỏi cửa hàng bán một cuốn sách giá bao nhiêu nghìn đồng thì mỗi tháng sẽ tăng lợi nhuận nhất.
Phân tích đề bài:
Dữ kiện đề cho:
Giá nhập sách từ nhà xuất bản: 50 nghìn đồng/cuốn.
Giá bán mỗi cuốn sách cho khách hàng: \(x\) nghìn đồng (\(x > 50\)).
Lãi trên mỗi cuốn sách: \((x - 50)\) nghìn đồng.
Số lượng sách bán ra trong một tháng theo giá \(x\): \((150 - x)\) cuốn.
Thông tin cần tìm:
Giá bán \(x\) (nghìn đồng/cuốn) để hàm lợi nhuận hàng tháng\[T(x) = (150 - x)(x - 50)\] đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Gọi \(T(x)\) là số tiền lãi của cửa hàng mỗi tháng.
Ta có: \[T(x) = (150 - x)(x - 50) = -x^2 + 200x - 7500\]
Đồ thị \(T(x)\) là đường parabol có đỉnh \(I(100; 2500)\).
Do đó lợi nhuận tăng nhất khi bán cuốn sách với giá 100 nghìn đồng.
Việc làm chủ chuyên đề này đòi hỏi học sinh lớp 10 phải thiết lập mối liên hệ logic vững chắc giữa đại số và hình học. Hãy luôn ghi nhớ rằng một hàm số bậc 2 dạng \(y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)\) luôn tương ứng với một đường cong parabol đối xứng qua đường thẳng \(x = -\frac{b}{2a}\), và hướng quay bề lõm hoàn toàn do dấu của hệ số \(a\) điều khiển. Việc luyện tập thường xuyên quy trình lập bảng biến thiên và xác định các điểm đối xứng đặc biệt sẽ giúp các em tối ưu hóa thời gian làm bài thi và hạn chế tối đa sai sót. Để tiếp tục tiếp cận các bài giảng chuyên sâu, các dạng toán nâng cao và hệ thống bài tập tự luyện có lời giải chi tiết về hàm số bậc hai cũng như toàn bộ chương trình Toán lớp 10, học sinh có thể tham khảo thêm tại chuyên mục bài giảng Toán học 10 trên website ZIM Academy.
Bình luận - Hỏi đáp