Định lý Viet | Lý thuyết và bài tập Toán 9

Định lý Viet là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm (\(x₁\), \(x₂\)) và hệ số (\(a, b, c\)) của phương trình bậc hai. Định lý này cho phép học sinh xác định tổng và tích của các nghiệm chỉ thông qua hệ số của phương trình mà không cần giải trực tiếp.

Bài viết dưới đây hướng dẫn cách áp dụng định lý theo từng dạng bài, bao gồm cách tính tổng và tích nghiệm từ hệ số, cách biến đổi biểu thức nghiệm về S và P, điều kiện để phương trình có nghiệm (\(Δ ≥ 0\)), và các lưu ý quan trọng khi sử dụng định lý. Ngoài ra, bài viết còn trình bày ứng dụng của định lý này trong các dạng bài SAT Math và bài toán thực tiễn liên quan đến hình học.

Định lý Viet là gì?

Định nghĩa định lý Viet cho phương trình bậc hai tổng quát \(ax² + bx + c = 0\) (a ≠ 0) 

Định nghĩa định lý Viet cho phương trình bậc 2 phát biểu rằng: Nếu phương trình bậc 2 \(ax² + bx + c = 0\) có 2 nghiệm phân biệt là \(x1\) và \(x2\) thì tổng các nghiệm: S=\(x_1+x_2=\frac{-b}{c}\)và tích các nghiệm P = \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)

Công thức định lý viet và tích nghiệm:

Theo định lý Viet, công thức tổng và tích nghiệm có dạng như sau:[1]

Ý nghĩa của mối liên hệ giữa hệ số và nghiệm.

- Không cần giải phương trình mà vẫn biết tổng và tích các nghiệm: Khi đã chứng minh được phương trình đề bài cho là một phương trình bậc hai với \(a\ne0\), học sinh có thể tìm tổng và tích của phương trình dựa vào hệ số mà không cần phải giải nghiệm. 

-> Điều này sẽ giúp học sinh tiết kiệm thời gian đáng kể khi làm bài tập, đặc biệt những bài toán chỉ yêu cầu tìm tổng hoặc tích và những bài toán nâng cao liên quan tới tham số m. Ngoài ra, học sinh cũng có thể kiểm tra kết quả của nghiệm bằng công thức tích và tổng. 

- Nhẩm nghiệm nhanh: Định lý cho phép học sinh nhẩm nghiệm nhanh nếu xuất hiện các trường hợp đặc biệt: [2]

• Nếu \(a + b + c = 0\), phương trình có một nghiệm là \(x_1\) = \(1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\)

• Nếu \(a - b + c = 0\), phương trình có một nghiệm là \(x_1\)= \(-1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{-c}{a}\)

- Tìm hai số khi biết tổng và tích: Nếu hai số u và v có tổng và tích là S và P, thì hai số đó chính là hai nghiệm \(x1\) và \(x2\) của phương trình: \(x2-Sx+ P=0\) (điều kiện để có u và v là 0)

Cách áp dụng định lý Viet để tìm tổng và tích nghiệm:

• Tìm tổng nghiệm khi chưa biết nghiệm nhưng biết hệ số: 

Tổng các nghiệm: \(S=x1+x2\) =\(\frac{-b}{a}\) điều này có nghĩa là tổng các nghiệm của phương trình bậc 2  \(ax² + bx + c = 0\) (\(a\ne0\)) chỉ phụ thuộc vào hệ số bậc nhất (b) và hệ số bậc hai (a). Vì vậy, học sinh xác định tổng S bằng cách xác định được hệ số bậc nhất (b) và hệ số bậc hai (a) và áp dụng công thức S =\(\frac{-b}{a}\) 

• Tìm tích nghiệm khi chưa biết nghiệm nhưng biết hệ số:

Tích các nghiệm \(P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\), điều này có nghĩa là tích các nghiệm của  phương trình bậc 2  \(ax² + bx + c = 0\) (\(a\ne0\) ) chỉ phụ thuộc vào hệ số tự do (c ) và hệ sốc bậc hai (a). Để tìm được tích P, học sinh chỉ cần xác định được hệ số tự do (c ) và hệ số bậc hai (a) và áp dụng công thức P=\(\frac{c}{a}\)

• Sử dụng định lý trong việc giải nhanh phương trình hoặc kiểm tra nghiệm: 

Học sinh có thể sử dụng nhanh định lý để tìm tổng và tích nghiệm như đã hướng dẫn ở trên hoặc phân tích nhân tử để tìm nghiệm khi đã biết tổng và tích. Đối với phương pháp phân tích nhân tử, học sinh sử dụng định lý Viet đảo để viết ra phương trình bậc 2 một cách nhanh chóng: \((x-x1)(x-x2)=0\) để nghiệm. 

Đối với phần kiểm tra nghiệm, định lý đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học viên kiểm tra lại tính hợp lý của kết quả. Nếu họ đã tìm được hai nghiệm phân biệt, thay hai nghiệm đó vào công thức tổng và tích để kiểm tra chúng có sự mâu thuẫn không.

Ngoài ra, định lý này còn giúp học viên kiểm tra và loại bỏ những đáp án không chính xác trong trắc nghiệm, nhằm tăng cao tính chính xác của đáp án và tiết kiệm thời gian làm bài.

Ví dụ 1: Cho phương trình \(2x² - 5x + 3 = 0\), tính tổng và tích nghiệm.

Bước 1: Xác định hệ số: \( a=2\), \(b=-5\), \(c=3\)

Bước 2: Chứng minh phương trình đề cho là phương trình bậc 2:  Phương trình trên là phương trình bậc 2 ( \(\Delta\ge0\) ).

Bước 3: Tính tổng và tích:

Tổng nghiệm: \(S=x1+ x2\) = \(\frac{-b}{c}=\frac52=2,5\)

Tích nghiệm: P=\(x_1\cdot x_2=\frac32=1,5\)

Thực hành với những phương trình có hệ số đơn giản và phức tạp: 

Ví dụ 2: Phương trình đơn giản: \(x^2-5x+6=0\)

Bước 1: Xác định hệ số: \(a= 1\), \(b = -5\), \(c= 6\)

Bước 2: Chứng minh phương trình là phương trình bậc 2: Phương trình trên là phương trình bậc 2 do (\(\Delta\ge0\))
Bước 3: Tính tổng và tích:

• Tổng nghiệm: S =\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}\)

• Tích nghiệm: P= \(x_{1\cdot}x_2=\frac{c}{a}=6\)

Ví dụ 3: Cho phương trình \(x^2-4x+m-3=0\). Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: \(\left(x_1\right)^2+\left(x_2\right)^2=18\)

Bước 1: Xác định hệ số: \( a= 1\), \(b = -4\), \(c= m-3\)

Bước 2: Tính biệt thức: \(\Delta^{\prime}=(-2)^2-(1)(m-3)\) \(=4-m+3\) \(=7-m\).

Bước 3: Đặt điều kiện
Để phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2,\) ta cần \(\Delta^{\prime}\ge0\):

\[7 - m \ge 0 \implies m \le 7\]Bước 4: Áp dụng định lý Viet:

Trường hợp 1: giả sử \(m \le 7\), ta có:

Tổng nghiệm:

\[S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = \mathbf{4}\]Tích nghiệm:

\[P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m - 3}{1} = \mathbf{m - 3}\]Bước 5: Biến đổi biểu thức

Điều kiện đề bài là \(x_1^2 + x_2^2 = 18\). Ta phải biến đổi biểu thức đối xứng \(x_1^2 + x_2^2\) để đưa về tổng S và tích P:

\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P\]Thế \(S=4\) và \(P=m-3\) thì ta có \(m=2\)

Bước 6: Đối chiếu điều kiện

• Giá trị \(m = 2\) thỏa điều kiện vì có nghiệm là \(m\le7\).

• Vậy \(m = 2\) là giá trị để phương trình \(x^2 - 4x + m - 3 = 0\), có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 18\).

Ứng dụng định lý Viet trong giải các bài toán nâng cao

Dùng định lý để lập phương trình mới có nghiệm liên quan đến nghiệm phương trình ban đầu.

Phương pháp chung là sử dụng định lý đảo: Nếu \(Y_1\) và \(Y_2\) à tổng và tích của các nghiệm của phương trình mới, thì phương trình đó là \(Y^2-(Y_1+Y_2)Y+Y_1Y_2=0\)

Ví dụ: Cho phương trình bậc hai ban đầu: \(x^2 - 5x + 6 = 0 \quad (*)\). Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình (*). Hãy lập một phương trình bậc hai mới có hai nghiệm là: \[y_1 = \frac{1}{x_1} \quad \text{và} \quad y_2 = \frac{1}{x_2}\]Bước 1: Áp dụng định lý Viet cho phương trình (*)

• Hệ số: \(a= 1, b= 5, b=6\)

• Biệt thức \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 1 > 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt

• Theo Viet: \(a= 1, b= 5, b=6\).

  Bước 2: Lập tổng và tích phương trình mới

• Tính tổng nghiệm mới: \(Y_{S}=y_1+y_2=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{5}{6}\)

• Tính tích nghiệm mới: \(Y_{P}=y_1\cdot y_2=\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1 x_2}=\frac{1}{P}=\frac{1}{6}\)

  Bước 3: Áp dụng định lý Viet đảo:

  Phương trình bậc hai mới có dạng: \(Y^2-(Y_{S})Y+Y_{P}=0\). Thế \(Y_S = \frac{5}{6}\) và \(Y_P = \frac{1}{6}\) vào \[Y^2 - \left(\frac{5}{6}\right)Y + \frac{1}{6} = 0\]Ta sẽ có phương trình mới lập là: \(6Y^2 - 5Y + 1 = 0\)

Giải bài toán về tổng và tích của biểu thức liên quan nghiệm.

Phương pháp chung: sử dụng định lý và biến đổi công thức nghiệm thành công thức liên quan tới tổng và tích

Ví dụ: Cho phương trình bậc hai: \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức sau: \(A = x_1^2 + x_2^2\)

Bước 1: Áp dụng định lý Viet:

• Hệ số: \(a=1, b=-7, c=10\).

• Biệt thức \(\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4(1)(10)=49-40=9\). Vì vậy, phương trình luôn có hia nghiệm phân biệt

Bước 2: Xác định tổng S và tích P:

• Tổng nghiệm: \(S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = \mathbf{7}\)

• Tích nghiệm: \(P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{10}{1} = \mathbf{10}\)

Bước 3: biến đổi và tính giá trị:

• Biến đổi A theo S và P: \(A=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\rArr A=S^2-2P\)

• Thay giá trị S và P: \(A=29\)

Vậy giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\) là 29

Vận dụng để chuyển đổi bài toán từ tìm nghiệm sang tìm hệ số.

Phương pháp chung: Sử dụng định lý thuận để thiết lập tổng S và tích P. Tiếp theo, sử dụng điều kiện để có nghiệm để thiết lập phương trình mới chỉ chứa tham số m

Ví dụ: Cho phương trình bậc 2: \(x^2 - 4x + 2m - 1 = 0\). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).

Bước 1: Áp dụng Viet và thiết lập điều kiện nghiệm

• Hệ số: \(a=1, b=-4, c=2m-1\).

• \(\Delta' = (b')^2 - ac = (-2)^2 - (1)(2m - 1)\) \(=4-2m+1=5-2m\)

  Để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\), ta cần \(\Delta^{\prime}\ge0\): \(5 - 2m \ge 0 \implies 5 \ge 2m \implies \mathbf{m \le \frac{5}{2}}\)

• Tổng S: \(S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = \mathbf{4}\)

• Tích P: \(P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2m - 1}{1} = \mathbf{2m - 1} \quad (2)\)

Bước 2: Biến đổi biểu thức và tìm m

• Biến đổi biểu thức đề bài cho: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P\)

• Thay S và P đã tìm được ở trên vào biểu thức và biến đổi thì ta có \(m=2\)

• Đối chiếu giá trị \(m=2\) với điều kiện \(\mathbf{m \le \frac{5}{2}}\) thì thấy \(m = 2\) thỏa

Vậy giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện đề bài là m=2

Bài toán thực tiễn: Tính độ dài các đoạn, tỉ số, dạng bài geometrical liên quan phương trình bậc hai.

Ví dụ: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 26 m và diện tích là \(36\text{ m}^2\): Hãy thiết lập phương trình bậc hai với ẩn là độ dài các cạnh của mảnh đất.

Bước 1: Đặt ẩn và sử dụng công thức hình học

• Gọi chiều dài mảnh đất là \(x_1\), chiều rộng là \(x_2\)

• Điều kiện \(x_1 > 0\) và \(x_2 > 0\) và \(x_1\ge x_2\)

Bước 2: Dùng công thức Chu vi và Diện tích để tìm Tổng và Tích.

• Chu vi: P= \(2(x_1 + x_2) = 26 \implies x_1 + x_2 = \frac{26}{2} = 13\)

• Diện tích: S= \(x_1 \cdot x_2 = 36\)

Bước 3: Áp dụng định lý Viet đảo

Theo Định lí Viet đảo, nếu hai số có tổng là S$và tích là P, thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai: \(x^2 - Sx + P = 0\). Thay \(S = 13\) và \(P = 36\) vào , ta được phương trình: \(\mathbf{x^2 - 13x + 36 = 0}\)

Các lưu ý và chiến thuật quan trọng khi dùng định lý Viet

Kiểm tra điều kiện nghiệm tồn tại (\(Δ ≥ 0\) hoặc \(Δ > 0\) nếu cần nghiệm phân biệt).

Áp dụng công thức: \[\Delta=b^2-4ac\ge0\]hoặc \(\bm{\Delta^{\prime}=(b^{\prime})^2-ac\ge0}\) trong đó \(b = 2b'\) và \(a\neq0\) để kiểm tra phương trình bậc 2 đề bài cho là tồn tại

Nhầm lẫn thường gặp: đổi dấu hệ số; nhầm tổng với tích nghiệm:

Học sinh cần học kỹ công thức tổng và tích cùng với làm bài và dò bài cẩn thận và kĩ càng từng phép tính, đặc biệt ở đổi dấu hệ số khi áp dụng công thức để bài làm có kết quả chính xác nhất.

Mẹo chuyển đổi dạng bài toán để dễ sử dụng định lý Viet.

Để áp dụng định lýdễ dàng hơn, học sinh nên chuyển đổi bài toán về dạng bài phương trình bậc hai và biến đổi biểu thức chứa nghiệm để có thể sử dụng tổng và tích, rồi thay thế bằng biểu thức tương ứng trong định lý Viet.

Một mẹo quan trọng là trong quá tình biến đổi học sinh có thể sử dụng các phép biến đổi đại số như rút gọn, quy đồng, chia tỷ lệ, thêm bớt để làm xuất hiện tổng và tích nhanh chóng hơn

Sử dụng định lý trong trường hợp phương trình có nghiệm phức.

Phương pháp sử dụng Định lí Viet cho nghiệm phức dựa trên nguyên tắc phương trình có nghiệm phức khi \(\Delta < 0\) và các nghiệm \(z_1, z_2\) là số phức liên hợp ( \(z_2 = \overline{z_1}\)). Học sinh có thể sử dụng định lý Viet:

Tổng: \(z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}\) và Tích: \(z_1 z_2 = \frac{c}{a}\) (cả hai đều là số thực).

Học viên sử dụng mẹo hữu ích là biến đổi biến đổi biểu thức đối xứng theo Tổng (S) và Tích (P), đảm bảo kết quả cuối cùng là số thực. Đặc biệt, ta sử dụng tính chất \(|z_1| = \sqrt{P}\) và và thay thế số phức liên hợp \(\overline{z_1}=z_2\) để đơn giản hóa biểu thức.v

Sơ đồ tổng hợp mẹo áp dụng nhanh định lý Viet.

Ứng dụng định lý Viet để giải các bài toán liên quan trong SAT Math

Các dạng bài toán liên quan định lý Viet trong SAT Math.

Dạng 1: Giải bài toán phương trình bậc 2

Dạng bài này yêu cầu thí sinh tìm các nghiệm phân biệt của phương trình. Tuy nhiên, nếu thí sinh nắm vững kiến thức về định lý Viet thì việc loại bỏ và kiểm tra đáp án sẽ giúp học sinh nhanh chóng tìm được kết quả chính xác.

Dạng 2: Xây dựng phương trình bậc 2

Dạng bài này yêu cầu thí sinh xây dựng được phương trình bậc 2 từ kết quả nghiệm của chúng.

Cách giải

Dạng bài 1: Học sinh sẽ dựa vào các nguyên tắc sau trong định lý Viet để loại bỏ đáp án, nâng cao khả năng phán đoán đáp án:

• Phương trình bậc 2 chỉ có tối đa 2 nghiệm

• Áp dụng công thức Tổng (S) và Tích (P) để kiểm tra chéo và loại đáp án

Dạng bài 2: Phương trình bậc hai có nghiệm \(y_1,y_2\) có dạng: \(\mathbf{Y^2 - SY + P = 0}\).

Trong đó: Y là ẩn số phương trình mới, S là tổng của hai nghiệm mới, P là tích của hai nghiệm mới

• Bước 1: Áp dụng Viet cho phương trình ban đầu để tìm tổng ( \(S_{x}\)) và tích (\(P_x\)):

• Bước 2: Biểu diễn tổng của các nghiệm mới \(y_1,y_2\) theo \(S_x\) và \(P_{x}\)

• Bước 3: Biểu diễn tích của các nghiệm mới \(y_1,y_2\text{ }\) theo \(S_x\) và \(P_{x}\)

• Bước 4: Sử dụng định lý Viet đảo: \(Y^2 - S_y Y + P_y = 0\)

  Ví dụ minh họa

  Dạng bài 1: cho phương trình \(2x^2 + 5x - 3 = 0\)

  A. \(x_1 = 3\) và

  \(x_2 = 1\)

  B. \(x_1 = -3\) và \(x_2 = \frac{1}{2}\)

  C. \(x_1 = 3\) và \(x_2 = -\frac{1}{2}\)

  D. \(x_1 = -1\) và \(x_2 = 3\)

  Dạng bài 2: Cho phương trình: \(x^2 - 12x + 18 = 0\). Lập một phương trình bậc hai mới, có ẩn Y, với hai nghiệm là: \(y_1 = x_1 + 1 \quad \text{và} \quad y_2 = x_2 + 1\).

A. \(Y^2 - 10Y + 7 = 0\)

B. \(Y^2 - 14Y + 31 = 0\)

C. \(Y^2 - 13Y + 30 = 0\)

D. \(Y^2 + 14Y + 31 = 0\)

Bài tập

Các dạng bài với mức độ khác nhau

Bài tập cơ bản: Tính tổng và tích nghiệm.

Cho phương trình bậc 2: \(3x^2 - 15x + 12 = 0\). Gọi \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình (nếu có). Hãy tính tổng các nghiệm (S) và Tích các nghiệm (P).

Bài tập trung bình: Lập và giải phương trình mới từ nghiệm phương trình cho trước.

Cho phương trình bậc hai: \(x^2 + 5x - 6 = 0\). Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình trên. Hãy lập một phương trình bậc hai mới, có ẩn $Y$, với hai nghiệm là: \[y_1 = x_1 + 3 \quad \text{và} \quad y_2 = x_2 + 3\]Bài tập nâng cao: Ứng dụng định lý Viet trong các bài toán có điều kiện ràng buộc.

Cho phương trình bậc hai: \(x^2 - 2(m-2)x + 2m - 5 = 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) dương phân biệt thỏa mãn điều kiện: \(x_1 + x_2 + x_1 x_2 < 14\).

Lời giải chi tiết

Bài tập cơ bản: Tính tổng và tích nghiệm

• Hệ số: \(a = 3, b = -15, c = 12.\)

• Kiểm tra phương trình có nghiệm thực: \(\Delta=b^2-4ac\Delta=(-15)^2-4(3)(12)=81\) → Phương trình có hai nghiệm phân biệt

• Tổng các nghiệm (S): \(S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-15}{3}=\frac{15}{3}=\mathbf{5}\)

• Tích các nghiệm (P): \(P=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{12}{3}=\mathbf{4}\)

  Vậy Tổng các nghiệm của phương trình là \(S= 5\). Tích các nghiệm của phương trình là \(P=4\).

Bài tập trung bình: Lập và giải phương trình mới từ nghiệm phương trình cho trước.

• Hệ số phương trình ban đầu: \(a=1, b=5, c=-6\).

• \(\Delta=5^2-4(1)(-6)=25+24=49>0\) → Phương trình có hai nghiệm thực

• Tổng cũ (\(S_{x}\)): \(S_x = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = \mathbf{-5}\)

• Tích cũ (\(P_x\)):\(P_x = x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = \mathbf{-6}\)

• \(S_y = y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3)\) → \(S_y = (-5) + 6 = \mathbf{1}\)

• \(P_{y}=y_1y_2=(x_1+3)(x_2+3)=x_1x_2+3(x_1+x_2)+9=P_{x}+3S_{x}+9\) → \(P_y = -6 - 15 + 9 = -21 + 9 = \mathbf{-12}\)

• Áp dụng định lý viet đảo:

  Phương trình bậc hai mới có dạng: \(Y^2-S_{y}Y+P_{y}=0\). Thay \(S_y = 1\) và \(P_y = -12\)

  Vậy phương trình mới cần lập là: \(Y^2-Y-12=0\).

Bài tập nâng cao: Ứng dụng định lý Viet trong các bài toán có điều kiện ràng buộc.

• Hệ số: \(a=1, b=-2(m-2), c=2m-5\).

• \(\Delta' = (b')^2 - ac = (2-m)^2 - 1(2m - 5)\)\(=m^2-6m+9=(m-3)^2\)

• Để có 2 nghiệm phân biệt: \(\Delta' > 0 \implies (m-3)^2 > 0 \implies \mathbf{m \neq 3} \quad (I)\)

• Điều kiện Tổng nghiệm dương (S>0): S\(=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2(m-2).\)

\(S > 0 \implies 2(m-2) > 0 \implies m - 2 > 0 \implies \mathbf{m > 2} \quad (II)\)

• Điều kiện Tích nghiệm dương (\(P > 0\)): \(P=x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-5\)

\(P > 0 \implies 2m - 5 > 0 \implies 2m > 5 \implies \mathbf{m > \frac{5}{2}} \quad (III)\)

Kết hợp (I), (II), (III), ta có \(\mathbf{m > \frac{5}{2} \text{ và } m \neq 3}\)

• Áp dụng Định lí Viet vào bất đẳng thức ràng buộc: \(x_1 + x_2 + x_1 x_2 < 14\).

• Biến đổi bất đăng thức theo S và P: \(S + P < 14\)

• Thay S và P vào bất đăng thức chứa S và P: \(2(m-2) + (2m - 5) < 14\) → \(\mathbf{m < \frac{23}{4}} \quad (IV)\)

• Tổng hợp tất cả các điều kiện ta có kết quả: \(\frac{5}{2} < m < \frac{23}{4} \quad \text{và} \quad m \neq 3\)

Lời khuyên và chiến lược học tập hiệu quả với định lý Viet.

• Nắm chắc công thức và quy tắc đổi dấu: Việc nắm chắc công thức và quy tắc là chìa khóa giúp học sinh nâng cao tính chính xác và mau chóng khi làm bài, đặc biệt là khi tham gia các kỳ thi quan trọng

• Thường xuyên luyện tập đa dạng dạng bài: Chăm chỉ rèn luyện giúp học sinh hình thành tư duy và phản xạ toán học, nhằm giúp cho bộ não càng nhanh nhạy hơn trong việc nhận diện dạng bài tập và tư duy cách giải một cách nhanh chóng.

• Phân tích kỹ đề bài, xác định rõ dữ kiện để sử dụng định lý đúng chỗ: Khi làm bài, kỹ năng đọc kỹ đề bài và phân tích dữ kiện để áp dụng chính xác vào bài làm là một trong những nguyên tắc để chinh phục những con điểm cao trong các kỳ thi hoặc bài kiểm tra.

• Tích hợp kiến thức định lý Viet với các phần kiến thức khác trong chương trình: Việc kết hợp những phần kiến thức toán khác khi làm bài sẽ giúp học sinh ôn tập lại những kiến thức trọng tâm cũng như là tăng khả năng vận dụng kiến thức của mình mà không bị khuôn khổ, giới hạn chỉ trong một phương pháp nhất định.

Tổng kết

Định lý Viet là một trong những phần toán trọng tâm của học sinh các cấp THCS và THPT. Vì thế nắm vững công cụ toán hữu ích này sẽ giúp học sinh rút ngắn được thời gian làm bài, đặc biệt là trong các kỳ thi hoặc kiểm tra, hoặc kết hợp với những kiến thức toán bổ ích khác để chinh phục các bài toán nâng cao và phức tạp.

Khi cần tìm lời giải cho các bài toán, học sinh có thể nhận được sự hỗ trợ hiệu quả từ ZIM Helper – diễn đàn hỏi đáp chuyên biệt. Tại đây, các thắc mắc về toán học và những vấn đề liên quan đến ôn luyện cho kỳ thi Đại học hay các kỳ thi toán học khác đều được giải đáp chi tiết.