Hàm số tuần hoàn | Cách xác định và chứng minh hàm tuần hoàn

Trong chương trình Toán 11, hàm số tuần hoàn là nội dung giúp học sinh nhận biết sự lặp lại của giá trị hàm số sau một khoảng xác định. Hiểu hàm số tuần hoàn là gì và cách xác định hàm số tuần hoàn giúp học sinh xét tính tuần hoàn, xác định chu kì và phân tích đồ thị mà không cần khảo sát toàn bộ trục số.

Để xét tính tuần hoàn của hàm số, học sinh cần kết hợp tập xác định, điều kiện \(f(x+T)=f(x)\), chu kì và đặc điểm đồ thị. Nội dung dưới đây trình bày cách chứng minh hàm số tuần hoàn, cách tìm chu kì phù hợp và vận dụng vào các dạng bài hàm số tuần hoàn lớp 11.

Hàm số tuần hoàn là gì?

Hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số \(T\neq0\) sao cho với mọi \(x\in D\), đồng thời \(x\pm T\in D\) và \(f(x+T)=f(x)\) [1]. Đây là điều kiện cốt lõi để xét tính tuần hoàn của hàm số.

Nói cách khác, giá trị của hàm số lặp lại sau mỗi khoảng \(T\) trên trục số. Vì vậy, cách xác định hàm số tuần hoàn cần kiểm tra đồng thời tính ổn định của tập xác định khi tịnh tiến và đẳng thức \(f(x+T)=f(x)\).

Chu kì của hàm số tuần hoàn

Số dương \(T_0\) nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện tuần hoàn được gọi là chu kì của hàm số.

Lưu ý: nếu \(T\) thỏa mãn điều kiện tuần hoàn thì các bội \(kT\) với \(k\in\mathbb{Z},\,k\neq0\) cũng thỏa mãn. Khi bài toán yêu cầu chu kì, cần xác định số dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên.

Ý nghĩa hình học

Trên đồ thị, tính tuần hoàn được thể hiện qua sự lặp lại của cùng một dạng đồ thị sau phép tịnh tiến theo phương ngang một đoạn \(T\). Do đó, khi đã xác định một đoạn có độ dài bằng chu kì, có thể suy ra các phần còn lại của đồ thị bằng quy luật lặp.

Nhờ tính chất này, việc khảo sát một hàm tuần hoàn có thể tập trung vào một khoảng đại diện có độ dài bằng chu kì thay vì toàn bộ trục số.

Lưu ý: không phải mọi hàm số đều tuần hoàn

Các hàm sau đây không phải hàm số tuần hoàn:

• \(y=x\) — không tồn tại một số khác 0 làm cho giá trị hàm lặp lại với mọi x.

• \(y=x+\sin x\) — thành phần tuyến tính làm giá trị hàm thay đổi theo x nên không có chu kì cố định.

• \(y=x\cdot\cos x\) — hệ số x làm biên độ thay đổi theo |x| nên hàm không lặp lại sau một khoảng cố định.

Tính tuần hoàn của bốn hàm số lượng giác cơ bản

Hàm y = sin x và y = cos x

Cả hai hàm sin và cos đều là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi\). Đây là nội dung trọng tâm của tính tuần hoàn của hàm số lượng giác trong Toán 11.

Chứng minh với \(y=\sin x\):

Bước 1. Tập xác định của hàm là \(D=\mathbb{R}\), nên với mọi \(x\in\mathbb{R}\), luôn có:

\[x+2\pi\in\mathbb{R},\qquad x-2\pi\in\mathbb{R}.\]

Bước 2. Kiểm tra giá trị hàm khi cộng thêm \(2\pi\):

\[\sin(x+2\pi)=\sin x.\]

Vậy \(2\pi\) là một chu kì của hàm \(y=\sin x\).

Bước 3. Kiểm tra đây là chu kì. Giả sử có chu kì \(T'\) sao cho \(0\lt T'\lt 2\pi\) và \(\sin(x+T')=\sin x\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Thay \(x=0\), thu được \(\sin T'=0\), nên \(T'=\pi\).

Nhưng khi thay \(x=\dfrac{\pi}{2}\):

\[\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)=\sin\frac{3\pi}{2}=-1\neq 1=\sin\frac{\pi}{2}.\]

Vậy không có chu kì dương nào nhỏ hơn \(2\pi\). chu kì của \(y=\sin x\) là \(T=2\pi\).

Chứng minh với \(y=\cos x\):

Bước 1. Tập xác định của hàm là \(D=\mathbb{R}\), nên với mọi \(x\in\mathbb{R}\):

\[x+2\pi\in\mathbb{R},\qquad x-2\pi\in\mathbb{R}.\]

Bước 2. Kiểm tra giá trị hàm khi cộng thêm \(2\pi\):

\[\cos(x+2\pi)=\cos x.\]

Vậy \(2\pi\) là một chu kì của hàm \(y=\cos x\).

Bước 3. Kiểm tra chu kì nhỏ nhất. Giả sử có chu kì \(T'\) sao cho \(0\lt T'\lt 2\pi\) và \(\cos(x+T')=\cos x\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Thay \(x=0\), thu được \(\cos T'=1\).

Trong khoảng \(0\lt T'\lt 2\pi\), không có giá trị nào làm \(\cos T'=1\). Vậy chu kì của \(y=\cos x\) là \(T=2\pi\).

Hàm y = tan x và y = cot x

Cả hai hàm tan và cot đều là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\).

Chứng minh với \(y = \tan x\), tập xác định \[D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}\]

Bước 1. Kiểm tra điều kiện tập xác định.

Nếu \(x \in D\) thì:

\[x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Khi cộng thêm \(\pi\), có:

\[x+\pi \neq \frac{\pi}{2}+(k+1)\pi.\]

Khi trừ đi \(\pi\), có:

\[x-\pi \neq \frac{\pi}{2}+(k-1)\pi.\]

Vì vậy:

\[x+\pi\in D,\qquad x-\pi\in D.\]

Bước 2. Tính:

\[\tan(x + \pi) = \dfrac{\sin(x + \pi)}{\cos(x + \pi)} = \dfrac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x.\]

Và \(\pi\) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn, nên chu kì là \(T = \pi\). Tương tự với \(y = \cot x\).

Bảng tổng hợp chu kì của bốn hàm cơ bản

Cách xác định chu kì của hàm số tuần hoàn

Hàm dạng k · sin(ax + b) và k · cos(ax + b)

Với \(a \neq 0\) và hệ số trước hàm lượng giác khác \(0\), chu kì là:

\[T = \dfrac{2\pi}{\lvert a\rvert}.\]

Ví dụ: \(y = 3\sin(2x + 1)\) có \(a = 2\), suy ra \(T = 2\pi/2 = \pi\). Hệ số \(3\) và số cộng \(1\) không làm đổi độ dài một chu kì.

Hàm dạng k · tan(ax + b) và k · cot(ax + b)

Với \(a \neq 0\) và hệ số trước hàm lượng giác khác \(0\), chu kì là:

\[T = \dfrac{\pi}{\lvert a\rvert}.\]

Ví dụ: \(y = -\tan(3x)\) có \(a = 3\), suy ra \(T = \pi/3\).

Lưu ý: nếu \(a = 0\) hoặc hệ số trước hàm lượng giác bằng \(0\), biểu thức có thể trở thành hàm hằng. Hàm hằng có mọi \(T \neq 0\) là chu kì, nhưng không có chu kì nhỏ nhất.

Hàm là tổng hoặc hiệu của hai hàm tuần hoàn

Nếu \(y = f_1(x) + f_2(x)\), trong đó \(f_1\) có chu kì \(T_1\) và \(f_2\) có chu kì \(T_2\), cần hiểu chu kì chung là một số dương đồng thời là bội của \(T_1\) và \(T_2\).

• Nếu \(T_1/T_2\) là số hữu tỉ: trong các bài lượng giác cơ bản, hàm tổng thường tuần hoàn với chu kì chung nhỏ nhất.

• Nếu \(T_1/T_2\) là số vô tỉ: không được dùng BCNN; với các tổng như \(\cos x + \cos\sqrt{3}\,x\), cần chứng minh riêng rằng hàm không tuần hoàn.

Cách nói "tỉ số vô tỉ thì mọi hàm tổng đều không tuần hoàn" là quá mạnh, vì hàm hằng hoặc hai phần triệt tiêu nhau có thể là ngoại lệ.

Cách tính BCNN khi chu kì là phân số

Nếu \(T_1 = \dfrac{p}{q}\pi\) và \(T_2 = \dfrac{m}{n}\pi\), với các phân số đã tối giản, thì:

\[\text{BCNN}(T_1,T_2)=\dfrac{\text{BCNN}(p,m)}{\text{ƯCLN}(q,n)}\pi.\]

Ví dụ: \(T_1=\pi/3=(1/3)\pi\) và \(T_2=\pi/4=(1/4)\pi\). Khi đó \(\text{BCNN}(\pi/3,\pi/4)=\pi\).

Bảng tóm tắt công thức tính chu kì

Khi biến đổi các biểu thức lượng giác trước khi tìm chu kì, có thể vận dụng công thức biến đổi lượng giác phù hợp.

Cách chứng minh hàm số tuần hoàn

Để chứng minh một hàm số tuần hoàn, thực hiện lần lượt 4 bước:

Bước 1. Dự đoán chu kì \(T\) dựa vào dạng hàm. Nếu nhận ra dạng quen thuộc, áp dụng ngay công thức. Nếu không, đặt \(T\) rồi tìm giá trị phù hợp.

Bước 2. Kiểm tra điều kiện \(x \pm T \in D\) với \(T\) đã chọn.

Bước 3. Tính và chứng minh \(f(x + T) = f(x)\) với mọi \(x \in D\) bằng tính toán đại số cụ thể.

Bước 4. Kết luận hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\) và xác nhận \(T\) là chu kì.

Chứng minh hàm số không tuần hoàn

Giả sử hàm tuần hoàn với chu kì \(T \gt 0\), sau đó chọn một giá trị \(x\) cụ thể thay vào điều kiện \(f(x + T) = f(x)\) để dẫn đến mâu thuẫn.

Ví dụ: chứng minh \(y = x^2\) không tuần hoàn. Giả sử tuần hoàn với \(T \gt 0\). Khi đó với mọi \(x\):

\[(x + T)^2 = x^2 \implies 2xT + T^2 = 0 \implies T(2x + T) = 0.\]

Vì \(T \gt 0\), suy ra \(2x + T = 0\) với mọi \(x\) — mâu thuẫn vì đây chỉ là một phương trình bậc nhất theo \(x\), không thể đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Vậy \(y = x^2\) không tuần hoàn.

Bài tập xét tính tuần hoàn của hàm số và tính chu kì có lời giải

Bảng tóm tắt các dạng bài tập

Xác định hàm số nào là hàm số tuần hoàn

Không nên kết luận chỉ dựa vào hình thức của biểu thức. Khi xét tính tuần hoàn của hàm số, cần kiểm tra theo định nghĩa. Các thành phần không tuần hoàn như \(x\) hoặc \(x^2\) thường làm mất tính tuần hoàn khi kết hợp với hàm lượng giác, trừ những trường hợp đặc biệt có sự triệt tiêu.

Ví dụ nhận biết hàm số tuần hoàn

Trong các hàm số sau, hàm nào là hàm số tuần hoàn? (a) \(y = \sin x\); (b) \(y = x + \sin x\); (c) \(y = x \cdot \cos x\).

Lời giải:

Bước 1. Xét \(y = \sin x\): với mọi \(x \in \mathbb{R}\), điều kiện \(x \pm 2\pi \in \mathbb{R}\) luôn thỏa và \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\) với mọi \(x\). Vậy \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với \(T = 2\pi\).

Bước 2. Xét \(y = x + \sin x\): giả sử tuần hoàn với \(T \gt 0\). Khi đó với mọi \(x\):

\[(x + T) + \sin(x + T) = x + \sin x \implies T + \sin(x + T) - \sin x = 0.\]

Chọn \(x = 0\): \(T + \sin T = 0\), tức \(T = -\sin T\). Vì \(T \gt 0\) và \(|\sin T| \leq 1\), với \(T \gt 1\) thì \(-\sin T \leq 1 \lt T\) — mâu thuẫn. Với \(0 \lt T \leq 1\) thì \(T + \sin T \gt 0\) — cũng mâu thuẫn. Vậy \(y = x + \sin x\) không tuần hoàn.

Bước 3. Xét \(y = x \cdot \cos x\): giả sử tuần hoàn với \(T \gt 0\).

Chọn \(x = 0\), thu được:

\[T\cdot\cos T=0\implies\cos T=0\]

Mặt khác, chọn \(x=\dfrac{\pi}{2}+2n\pi\). Khi đó \(x\cos x=0\), nên \((x+T)\cos(x+T)=0\).

Với \(n\) đủ lớn, \(x+T\neq0\), do đó \(\cos(x+T)=0\). Suy ra \(\cos(\pi/2+T)=0\), nên \(T=k\pi\).

Nhưng nếu \(T=k\pi\) thì \(\cos T=\pm1\), mâu thuẫn với (1). Vậy \(y = x \cdot \cos x\) không tuần hoàn.

Đáp án: Chỉ (a) \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn.

Ví dụ tìm chu kì của hàm trị tuyệt đối

Hàm số \(y = |\sin x|\) có phải hàm số tuần hoàn không? Nếu có, tìm chu kì.

Lời giải: Dự đoán \(T = \pi\). Với mọi \(x \in \mathbb{R}\): \[|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x|\]

Nếu \(T'\) là chu kì thì lấy \(x=0\) được \(|\sin T'|=0\), suy ra \(T'=k\pi\). Số dương nhỏ nhất là \(\pi\).

Đáp án: \(y = |\sin x|\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\).

Tính chu kì của hàm dạng k · sin(ax + b) hoặc k · tan(ax + b)

Cách làm: xác định hệ số \(a\), áp dụng công thức \(T = 2\pi/\lvert a\rvert\) (với sin, cos) hoặc \(T = \pi/\lvert a\rvert\) (với tan, cot).

Ví dụ tính chu kì của hàm tan

Tính chu kì của hàm số \(y=3\tan(5x-7)\).

Lời giải:

Bước 1. Nhận diện dạng \(k\cdot\tan(ax+b)\) với \(a=5\) và \(k=3\).

Bước 2. Với hàm tan, áp dụng công thức:

\[T=\dfrac{\pi}{|a|}=\dfrac{\pi}{5}.\]

Bước 3. Khi x tăng thêm \(\pi/5\), đối số \(5x-7\) tăng thêm \(\pi\), nên giá trị hàm và tập xác định lặp lại.

Đáp án: \(T=\dfrac{\pi}{5}\).

Ví dụ tính chu kì của hàm sin

Tính chu kì của hàm số \(y=-2\sin(6x+5)\).

Lời giải:

Bước 1. Nhận diện dạng \(k\cdot\sin(ax+b)\) với \(a=6\) và \(k=-2\).

Bước 2. Hệ số \(-2\) và hằng số \(5\) không làm thay đổi chu kì, nên:

\[T=\dfrac{2\pi}{|a|}=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}.\]

Bước 3. Hàm sin xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\), nên không có điều kiện loại trừ cần kiểm tra thêm.

Đáp án: \(T=\dfrac{\pi}{3}\).

Tính chu kì của tổng hoặc hiệu hai hàm lượng giác

Cách làm: tính \(T_1\), \(T_2\) → kiểm tra tỉ số → tính BCNN nếu hữu tỉ.

Ví dụ tính chu kì của tổng hai hàm lượng giác

Tính chu kì của hàm số \(y = \sin 3x + \cos 2x\).

Lời giải:

Bước 1. Tính chu kì từng hàm thành phần:

\[T_1 = \dfrac{2\pi}{3} \quad (\text{của } \sin 3x), \qquad T_2 = \dfrac{2\pi}{2} = \pi \quad (\text{của } \cos 2x).\]

Bước 2. Kiểm tra tỉ số: \(T_1/T_2 = 2/3 \in \mathbb{Q}\) → hàm \(y\) tuần hoàn.

Bước 3. Tính BCNN:

Vì \(\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2}{3}\pi\) và \(\pi=\dfrac{1}{1}\pi\), nên:

\[T = \text{BCNN}\!\left(\frac{2\pi}{3},\, \pi\right) = \frac{\text{BCNN}(2,\,1)}{\text{ƯCLN}(3,\,1)}\pi = 2\pi.\]

Đáp án: \(T = 2\pi\).

Ví dụ tính chu kì của hàm có sin và tan

Tính chu kì của hàm số \(y=\sin(4x+\frac{\pi}{3})+\frac{1}{3}\tan(2x-\frac{\pi}{6})\).

Lời giải:

Bước 1. Chu kì của từng hàm thành phần là:

\[T_1=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2},\qquad T_2=\dfrac{\pi}{2}.\]

Bước 2. Hai thành phần có cùng chu kì \(\pi/2\), nên \(T=\pi/2\) là một chu kì chung của hàm.

Bước 3. Khi cộng thêm \(\pi/2\), đối số của hàm tan tăng thêm \(\pi\); vì vậy tập xác định của thành phần tan được giữ nguyên.

Đáp án: \(T=\dfrac{\pi}{2}\).

Chứng minh hàm số tuần hoàn hoặc không tuần hoàn từ định nghĩa

Cách làm: với hàm tuần hoàn — thực hiện 4 bước quy trình. Với hàm không tuần hoàn — giả sử tuần hoàn rồi dẫn đến mâu thuẫn.

Ví dụ chứng minh hàm số tuần hoàn

Chứng minh \(y = \cos x + \cos 3x\) là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì.

Lời giải:

Bước 1. \(T_1 = 2\pi\) (của \(\cos x\)), \(T_2 = 2\pi/3\) (của \(\cos 3x\)). Tỉ số \(T_1/T_2 = 3 \in \mathbb{Q}\). Dự đoán \(T = 2\pi\).

Bước 2. Với mọi \(x \in \mathbb{R}\): \(x + 2\pi \in \mathbb{R}\).

Bước 3.\[f(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) + \cos(3(x + 2\pi)) = \cos(x + 2\pi) + \cos(3x + 6\pi) = \cos x + \cos 3x = f(x)\]

Bước 4. Chứng minh đây là chu kì. Nếu \(S\gt0\) là một chu kì của \(f\), thì \(f(S)=f(0)\). Do đó:

\[\cos S+\cos 3S=2.\]

Vì mỗi giá trị cosin không vượt quá \(1\), tổng bằng \(2\) chỉ xảy ra khi \(\cos S=1\) và \(\cos3S=1\). Từ \(\cos S=1\) suy ra \(S=2k\pi\). Số dương nhỏ nhất là \(2\pi\).

Vậy chu kì là \(T = 2\pi\).

Đáp án: \(y = \cos x + \cos 3x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi\).

Ví dụ chứng minh hàm số không tuần hoàn

Chứng minh hàm số \(y = \cos x + \cos\sqrt{3}\,x\) không phải hàm số tuần hoàn.

Lời giải: Giả sử \(y\) tuần hoàn với chu kì \(T \gt 0\). Chọn \(x = 0\): \[\cos T + \cos(\sqrt{3}\,T) = \cos 0 + \cos 0 = 2\].

Vì \(\cos T \leq 1\) và \(\cos(\sqrt{3}\,T) \leq 1\), đẳng thức chỉ xảy ra khi \(\cos T = 1\) và \(\cos(\sqrt{3}\,T) = 1\), tức \(T = 2k\pi\) và \(\sqrt{3}\,T = 2m\pi\) với \(k, m \in \mathbb{Z}\). Suy ra \(\sqrt{3} = m/k\) — nhưng \(\sqrt{3}\) là số vô tỉ. Mâu thuẫn.

Đáp án: \(y = \cos x + \cos\sqrt{3}\,x\) không phải hàm số tuần hoàn.

Bài tập tự luyện nhanh có bảng đáp án

Chọn đáp án đúng nhất.

Câu 1. Chu kì của \(y=\cos(5x-1)\) là: A. \(\dfrac{2\pi}{5}\); B. \(\dfrac{\pi}{5}\); C. \(5\pi\); D. \(2\pi\).

Câu 2. Chu kì của \(y=\tan(3x+\pi/4)\) là: A. \(\dfrac{2\pi}{3}\); B. \(\dfrac{\pi}{3}\); C. \(3\pi\); D. \(\pi\).

Câu 3. Chu kì của \(y=\sin2x+\cos4x\) là: A. \(\dfrac{\pi}{2}\); B. \(\pi\); C. \(2\pi\); D. Không tuần hoàn.

Câu 4. Hàm \(y=\cos x+\cos\sqrt{2}\,x\) là: A. Tuần hoàn với \(2\pi\); B. Tuần hoàn với \(\pi\); C. Tuần hoàn với \(\sqrt{2}\pi\); D. Không tuần hoàn.

Lỗi thường gặp khi xét tính tuần hoàn của hàm số

Lỗi 1 — Nhầm BCNN khi \(T_1/T_2\) là số vô tỉ. Khi tỉ số \(T_1/T_2\) là số vô tỉ, không tồn tại BCNN theo nghĩa chu kì chung. Với ví dụ \(y = \cos x + \cos\sqrt{3}\,x\), cần chứng minh riêng rằng hàm không tuần hoàn.

Lỗi 2 — Nhầm chu kì của hàm \(\sin^2 x\) hoặc \(\cos^2 x\). Hàm \(y = \sin^2 x\) có chu kì \(T = \pi\), không phải \(2\pi\). Cần hạ bậc: \(\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2\), dạng \(\cos(2x)\) với \(a = 2\), nên \(T = 2\pi/2 = \pi\).

Lỗi 3 — Quên kiểm tra điều kiện \(x \pm T\) thuộc tập xác định. Đặc biệt quan trọng với hàm tan và cot vì tập xác định không phải toàn bộ \(\mathbb{R}\). Bỏ qua bước kiểm tra này dễ dẫn đến kết luận sai.

Lỗi 4 — Nhầm chu kì bất kì với chu kì. Nếu \(T\) là chu kì thì \(2T, 3T, \ldots\) cũng là chu kì. Bài tập thường yêu cầu chu kì — số dương nhỏ nhất. Phải xác nhận không có \(T' \lt T\) nào thỏa mãn theo Đại học Thái Nguyên [2].

Hàm số tuần hoàn là kiến thức nền tảng để học sinh nhận biết tính lặp của hàm số, xác định chu kì và xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác. Việc nắm vững định nghĩa, điều kiện \(f(x+T)=f(x)\), chu kì của các hàm \(\sin x,\cos x,\tan x,\cot x\), cùng cách xác định và chứng minh hàm số tuần hoàn giúp học sinh xử lý chính xác các dạng bài về chu kì, đồ thị và lượng giác.

Người học có thể tiếp tục hệ thống kiến thức và luyện tập các nội dung liên quan trong chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy.