Hình tam giác | Định nghĩa, tính chất và các loại tam giác

Trong chương trình Toán 7 và cấp THCS, hình tam giác là kiến thức nền tảng của hình học phẳng. Việc hiểu rõ hình tam giác là gì, định nghĩa tam giác, đặc điểm và tính chất của tam giác, đồng thời phân biệt các loại tam giác như tam giác thường, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác nhọn và tam giác tù giúp học sinh vận dụng chính xác các định lý, tính tổng 3 góc của một tam giác, chu vi, diện tích và giải bài tập hiệu quả.

Hình tam giác là gì?

Hình tam giác (gọi tắt là tam giác) là một hình học phẳng cơ bản được tạo thành bởi ba đoạn thẳng nối ba điểm phân biệt và không thẳng hàng. Khi cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, nối các đoạn thẳng AB, BC, CA lại với nhau, thu được một tam giác ký hiệu là △ABC .

Một tam giác bao gồm các yếu tố cơ bản sau:

• Ba đỉnh: Là ba điểm phân biệt không thẳng hàng, ký hiệu là A, B, C.

• Ba cạnh: Là ba đoạn thẳng nối các đỉnh với nhau, bao gồm cạnh AB, cạnh BC và cạnh CA (thường được đặt tên theo độ dài tương ứng là c, a, b).

• Ba góc: Là các góc được tạo bởi hai cạnh kề nhau tại mỗi đỉnh, gồm góc BAC (kí hiệu \(\hat{BAC}\)hoặc \(\angle BAC\)), góc ABC và góc BCA. Lưu ý: Góc \(\hat{BAC}\)còn có thể viết tắt là \(\hat{A}\)nếu như điểm trong hình vẽ, góc \(\hat{BAC}\)là góc duy nhất có đỉnh là A.

Trong chương trình toán lớp 7, chủ đề hình tam giác được chia thành 2 chương lớn: “Tam giác bằng nhau’ và “Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác”. Đây là phần kiến thức trọng tâm mở đầu cho chuỗi chủ đề về tính chất tam giác, tam giác bằng nhau, tam giác cân và các đường đồng quy trong tam giác của lớp 7 cũng như tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp của lớp 8, 9.

Ví dụ: Dưới đây là hình minh họa kèm theo sơ đồ cấu trúc của một tam giác ABC đầy đủ các yếu tố:

Phân loại hình tam giác

Để nghiên cứu chuyên sâu về tam giác, toán học chia tam giác ra làm nhiều loại dựa trên hai tiêu chí chính: độ dài các cạnh và số đo các góc.

Phân loại hình tam giác theo độ dài cạnh

Dựa vào mối quan hệ độ dài giữa ba cạnh, tam giác được chia thành ba loại chính :

• Tam giác thường: Là tam giác có độ dài ba cạnh hoàn toàn khác nhau từng đôi một (\(AB ≠ BC ≠ CA\)). Trong tam giác thường, số đo ba góc bên trong cũng hoàn toàn khác nhau.

• Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Ví dụ, nếu hình tam giác ABC có \(AB = AC\) thì tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai cạnh AB và AC gọi là hai cạnh bên, cạnh BC gọi là cạnh đáy. Hai góc ở đáy (\(\angle ABC\) và góc \(\angle ACB\)) có số đo bằng nhau.

• Tam giác đều: Là tam giác có cả ba cạnh bằng nhau (\(AB = BC = CA\)). Tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tam giác cân. Trong tam giác đều, ba góc bên trong đều bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng 60 độ.

Phân loại hình tam giác theo số đo góc

Dựa vào tính chất số đo các góc bên trong, tam giác được phân loại thành ba dạng sau :

• Tam giác nhọn: Là tam giác có cả ba góc bên trong đều là góc nhọn (số đo mỗi góc đều nhỏ hơn 90 độ). Ví dụ, tam giác có các góc lần lượt là 50 độ, 60 độ, 70 độ là tam giác nhọn.

• Tam giác vuông: Là tam giác có một góc vuông (số đo bằng đúng 90 độ). Cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền, hai cạnh còn lại tạo thành góc vuông gọi là hai cạnh góc vuông. Hai góc nhọn còn lại trong tam giác vuông luôn có tổng số đo bằng 90 độ (phụ nhau).

• Tam giác tù: Là tam giác có một góc tù (số đo lớn hơn 90 độ và nhỏ hơn 180 độ). Hai góc còn lại bắt buộc phải là các góc nhọn.

Tính chất tổng ba góc trong hình tam giác

Phát biểu định lý: Tổng số đo ba góc trong một tam giác luôn luôn bằng 180 độ. Cụ thể, xét tam giác ABC bất kỳ, luôn có công thức: \(\angle ABC+\angle BAC+\angle BCA=180^{o}\). [1]

Chứng minh định lý:

• Qua đỉnh A của tam giác ABC, kẻ tia Ax và Ay song song với BC sao cho Ax không nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C và Ay không nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B.

• Khi đó, Ax và Ay là 2 tia đối nhau, \(\angle xAy=180^{o}\)

• Lại có: \(\angle ABC=\angle xAB\)(so le trong); \(\angle ACB=\angle yAC\) (so le trong).

• Do đó, \[\angle ABC+\angle BAC+\angle BCA=\angle xAB+\angle BAC+\angle yAC=\angle xAy=180^{o}\]

Định lý được chứng minh.

Một số hệ quả của định lý tổng 3 góc trong tam giác

• Ứng dụng kiểm tra sự tồn tại của tam giác: Định lý tổng ba góc có ứng dụng thực tế trong việc kiểm tra xem một bộ ba số đo góc có thể tạo thành một tam giác hay không. Nếu tổng ba góc cho trước khác 180 độ (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 180 độ), bộ ba góc đó hoàn toàn không thể tạo thành một tam giác hợp lệ. Ngoài ra có thể kiểm tra sự tồn tại của tam giác theo các cạnh: Một cạnh bất kì trong tam giác luôn lớn hơn hiệu 2 cạnh còn lại và nhỏ hơn tổng 2 cạnh đó (Bất đẳng thức tam giác).

• Tính chất góc ngoài của tam giác: Tại mỗi đỉnh của tam giác, góc ngoài là góc tạo bởi một cạnh và phần kéo dài của cạnh kia. Góc ngoài tại 1 đỉnh luôn kề bù với góc trong tại đỉnh đó. Do đó, mỗi góc ngoài của một tam giác có số đo bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó: Nếu tia Az là tia đối của tia AB thì \[\angle zAC=\angle ABC+\angle ACB\]

• Tính chất tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông: Tam giác ABC vuông tại A thì \(\angle BAC=90^{o}\), mà \[\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180^{o}\]

nên \(\angle ABC+\angle ACB=90^{o}\). Vậy 2 góc nhọn trong tam giác vuông luôn có tổng bằng 90 độ.

• Hệ quả về tam giác đều: Một tam giác có 2 góc bằng 60 độ thì chắc chắn đều (góc còn lại theo định lý tổng 3 góc trong tam giác cũng sẽ là 60 độ). Ngoài ra, một tam giác có 1 góc 60 độ và cân tại 1 đỉnh bất kì thì tam giác đó cũng đều.

Ví dụ: Cho tam giác MNP có số đo góc M bằng 50 độ, số đo góc N bằng 70 độ. Hãy tính số đo của góc P.

Lời giải:

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP:\[\angle NMP+\angle MNP+\angle MPN=180^{o}\]\[50^{o}+70^{o}+\angle MPN=180^{o}\]\[\angle MPN=180^{o}-120^{o}=60^{o}\]

Vậy số đo góc P của tam giác MNP là 60 độ.

Công thức tính chu vi và diện tích tam giác

Công thức tính chu vi

Chu vi của một hình là tổng độ dài đường bao quanh hình đó. Đối với tam giác, chu vi là tổng độ dài ba cạnh xung quanh tam giác đó. Đơn vị tính của chu vi giống với đơn vị tính độ dài chẳng hạn như cm, dm, m, km,…

Chu vi tam giác được tính như sau: \[P = a + b + c\]

Trong đó: P là chu vi tam giác; a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác (cùng đơn vị đo).

Công thức tính diện tích

Diện tích của một hình đại diện cho độ rộng, độ bao phủ của phần bên trong hình đó. Đối với tam giác, diện tích thường được tính bằng một nửa tích của đáy với chiều cao. Do diện tích thể hiện độ bao phủ nên đơn vị tính của diện tích không thể dùng chung với đơn vị đo đội dài như chu vi. Thay vào đó, cần phải dùng các đơn vị đặc thù dùng riêng cho diện tích: cm², dm², m², km²,…

Diện tích của tam giác được tính một cách cơ bản nhất như sau: \[S=\frac{a\cdot h}{2}\]Trong đó: S là diện tích tam giác; a là độ dài cạnh đáy; h là chiều cao tương ứng hạ từ đỉnh đối diện xuống cạnh đáy a (cùng đơn vị đo).

Ngoài ra, diện tích tam giác còn có thể được tính bằng nhiều công thức mở rộng khác, tùy thuộc vào dữ liệu của đề bài cho.

Ví dụ minh họa tính toán cụ thể

Ví dụ: Cho một tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Chiều cao AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh đáy BC có độ dài là 4.8 cm. Hãy tính chu vi và diện tích của hình tam giác ABC.

Lời giải:

Chu vi của tam giác ABC là:\[P=AB+CA+BC=6+8+10=24(cm)\]

Diện tích của tam giác ABC là:\[S=\frac12\cdot BC\cdot AH=\frac12\cdot10\cdot4.8=24(cm^2{}).\]

Đáp số: Chu vi \(P = 24 cm\); Diện tích \(S=24cm^2\).

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Xác định loại hình tam giác dựa vào cạnh hoặc góc

Bài 1: Cho các tam giác với các số liệu sau, hãy xác định dạng của từng tam giác:

a) Hình tam giác ABC có độ dài ba cạnh \(AB = 5 cm, BC = 5 cm, CA = 8 cm\).

b) Hình tam giác DEF có số đo các góc lần lượt là \[\angle EDF=30^{o},\angle DEF=60^{o},\angle DFE=90^{o}\]

c) Hình tam giác XYZ có số đo các góc lần lượt là \[\angle YXZ=100^{o},\angle XYZ=40^{o},\angle YZX=40^{o}\]

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài tập cơ bản, yêu cầu học sinh nắm được các cách phân loại tam giác dựa theo cả 2 tiêu chí: Phân loại theo cạnh và theo góc.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có hai cạnh \(AB = BC = 5 cm\) nên đây là tam giác cân tại B.

b) Tam giác DEF có \(\angle DFE=90^{o}\) nên đây là tam giác vuông tại F.

c) Tam giác XYZ có \(\angle YXZ=100^{o}>90^{o}\) nên đây là tam giác tù. Ngoài ra, do \(\angle XYZ=\angle YZX=40^{o}\) nên đây còn là tam giác tù cân tại X.

Dạng 2: Vận dụng định lý tổng 3 góc trong tam giác để tính góc hoặc chứng minh tam giác cân, tam giác đều

Bài 2: Cho tam giác HKG. Biết rằng \(\angle KHG=45^{o}\), \(\angle HKG\) có số đo gấp đôi \(\angle KHG\) Tính số đo \(\angle KGH\) và cho biết tam giác HKG là tam giác gì.

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài tập cơ bản, yêu cầu học sinh nắm được định lý tổng 3 góc trong tam giác là có thể giải ra được kết quả.

Lời giải:

Số đo góc K là: \[\angle HKG=2\cdot\angle KHG=2\cdot45^{o}=90^{o}\]

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác HKG: \[\angle KHG+\angle HKG+\angle KGH=180^{o}\]\[90^{o}+45^{o}+\angle KGH=180^{o}\]\[\angle KGH=45^{o}\]

Vì tam giác HKG có \(\angle HKG=90^{o}\) và \(\angle KGH=\angle KHG=45^{o}\) nên tam giác HKG là tam giác vuông cân tại K.

Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A có \(\angle ABC=60^{o}\). Tính \(\angle ACB\)và chứng minh rằng: \(AB=\frac12BC\) (Bổ đề về tam giác nửa đều).

Phân tích đề bài: Đây là một trong những bổ đề nâng cao kinh điển nhất của hình học phẳng cấp THCS. Bổ đề này có thể được chứng minh bằng nhiều cách khác nhau dựa theo các kiến thức khác nhau về tam giác cân và tam giác đều, tam giác bằng nhau hoặc đường tròn.

Với giới hạn kiến thức ở cấp độ cơ bản về cạnh và góc cơ tam giác, việc phải sử dụng dữ kiện của đề bài đều đang ở dạng góc để suy ra điều phải chứng minh là ở dạng tỷ lệ cạnh là dấu hiệu cho thấy cần tiếp cận bài toán bằng phương pháp sử dụng tam giác cân và tam giác đều để suy ra từ góc bằng nhau đến cạnh bằng nhau.

Lời giải:

Theo định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác thì: \[\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180^{o}\]

Thay \(\angle ABC=60^{o}\), \(\angle BAC=90^{o}\) thu được: \[\angle ACB+90^{o}+60^{o}=180^{o}\]\[\angle ACB=30^{o}\]

Kẻ tia Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C sao cho \(\angle BAx=60^{o}\). Vì \(\angle BAx<\angle BAC\left(60^{o}<90^{o}\right)\)nên tia Ax nằm giữa AB và AC. Vậy tia Ax cắt đoạn BC, gọi giao điểm của tia Ax và cạnh BC là điểm M.

Tam giác ABM có \(\angle AMB=\angle ABM=60^{o}\) nên tam giác ABM đều (theo hệ quả về tam giác đều). Vậy \(AB=BM=AM\)(1).

\[\angle MAC=\angle BAC-\angle MAB=90^{o}-60^{o}=30^{o}\]

Như vậy \(\angle MAC=\angle ACM=30^{o}\) nên tam giác ACM cân tại M. Do đó \(AM=MC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AB=MB=MC\). Mà \(MB+MC=BC\) nên \(MB=MC=\frac{BC}{2}\). Vậy \(AB=\frac{BC}{2}\) (điều phải chứng minh).

Dạng 3: Tính chu vi và diện tích tam giác

Bài 4: Một khu đất có dạng hình tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 50 m và 120 m, cạnh huyền dài 130 m.

a) Tính chu vi khu đất dạng hình tam giác đó.

b) Tính diện tích khu đất dạng hình tam giác đó.

c) Giả sử bác nông dân muốn làm hàng rào cho khu đất này, phí hàng rào 30.000 đồng/mét. Sau đó bác trồng khoai tây, trung bình cứ 1m² trồng được 5 củ khoai tây giống, giá mỗi củ khoai tây giống là 2.000 đồng. Hỏi tổng chi phí bác nông dân bỏ ra là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Chu vi khu đất hình tam giác là: \[P=50+120+130=300(m)\]

b) Do khu đất có dạng hình tam giác vuông, hai cạnh góc vuông đóng vai trò là cạnh đáy và chiều cao tương ứng. Diện tích khu đất hình tam giác là: \[S=\frac12\times50\times120=3.000(m^2{})\]

c) Chi phí hàng rào bác nông dân cần mua là: \(300\cdot30.000=9.000.000\) (đồng).

Số khoai tây trồng được trên khu đất này là: \(3.000\cdot5=15.000\) (củ).

Chi phí mua khoai tây giống của bác nông dân là: \(15.000\cdot2.000=30.000.000\) (đồng).

Tổng chi phí bác nông dân cần bỏ ra là: \[30.000.000+9.000.000=39.000.000\]

(đồng)

Bài giảng đã cung cấp hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về hình tam giác bao gồm các khái niệm, cách phân loại tam giác theo cạnh và góc, định lý tổng ba góc trong một tam giác kèm các hệ quả cùng với công thức tính chu vi, diện tích của tam giác.

Kiến thức về hình tam giác đóng vai trò nền tảng cốt lõi, giúp học sinh tiếp thu dễ dàng các chủ đề hình học nâng cao hơn trong chuyên đề Toán 7 và các lớp học sau.