Công thức tính diện tích hình tam giác và các cách tính chi tiết

Diện tích tam giác là kiến thức hình học quan trọng với nhiều công thức và cách tính khác nhau tùy theo dữ kiện đề bài.

Bài viết tổng hợp công thức tính diện tích tam giác, cách xác định cạnh đáy, chiều cao, cách tính diện tích hình tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa, ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, đồng thời hướng dẫn cách áp dụng qua các dạng bài tập thường gặp.

Diện tích tam giác là gì?

Diện tích tam giác là số đo phần mặt phẳng được giới hạn bởi ba cạnh của hình tam giác, thường được ký hiệu là \(S\).

Cạnh đáy và chiều cao của hình tam giác

Trước khi thực hiện các phép tính liên quan đến diện tích của tam giác, học sinh cần nhận biết chính xác hai yếu tố cơ bản là cạnh đáy và đường cao tương ứng của hình tam giác.

• Cạnh đáy: Trong một hình tam giác, bất kỳ cạnh nào cũng có thể được chọn làm cạnh đáy. Thông thường, cạnh nằm ngang ở phía dưới được chọn làm đáy để thuận tiện cho việc quan sát và vẽ hình. [1]

• Đường cao: Đường cao của hình tam giác là đoạn thẳng xuất phát từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đáy đối diện (hoặc đường kéo dài của cạnh đáy đó). Độ dài của đoạn thẳng vuông góc này được gọi là chiều cao của hình tam giác. Mỗi hình tam giác có 3 đường cao tương ứng với 3 cạnh đáy. [1]

Các công thức tính diện tích tam giác

Công thức tính diện tích tam giác theo cạnh đáy và chiều cao

\[S=\left(a\times h\right):2\]

hay

\[S=\frac{a\times h}{2}\]

Trong đó:

• S là diện tích của tam giác.

• a là độ dài cạnh đáy.

• h là chiều cao tương ứng với cạnh đáy a.

Quy tắc và công thức tính diện tích hình tam giác được xây dựng dựa trên mối liên hệ giữa độ dài đáy và chiều cao tương ứng.

Quy tắc tính: Muốn tính diện tích của tam giác thì cần lấy độ dài đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo) rồi chia cho 2. Đơn vị tính của diện tích tam giác là đơn vị diện tích tương ứng. [1]

Lưu ý quan trọng: Độ dài đáy và chiều cao bắt buộc phải ở cùng một đơn vị đo (ví dụ: cùng là cm, dm, m,...). Nếu đề bài cho hai kích thước khác đơn vị đo, bước đầu tiên cần thực hiện là quy đổi về cùng một đơn vị đo trước khi áp dụng công thức tính diện tích của tam giác.

Ví dụ: Tam giác ABC có cạnh BC dài 5 cm, cạnh AC dài 5,2 cm. AH, BK lần lượt là 2 đường cao ứng với cạnh BC và cạnh AC. Cạnh AH dài 4 cm. Khi đó có thể tính được diện tích của tam giác ABC và độ dài của đường cao BK như sau:

Coi BC là cạnh đáy, đường cao AH ứng với cạnh đáy BC nên diện tích của tam giác ABC sẽ là:\[S=\frac{\left(AH\times BC\right)}{2}=\frac{5\times4}{2}=10\left(\operatorname{\mathrm{cm}}^2\right)\]

Để dễ hình dung, học sinh có thể xoay lại tam giác sao cho cạnh AC bây giờ trở thành cạnh đáy nằm dưới. Khi đó diện tích của tam giác ABC sẽ có thể tính được theo cạnh AC và đường cao BK như sau:

\[S=\frac{AC\times BK}{2}=\frac{5,2\times BK}{2}=2,6\times BK\]

Do diện tích của tam giác ABC là không đổi, tức là dù tính theo chiều cao và cạnh đáy tương ứng nào thì kết quả tính diện tích của tam giác ABC vẫn giống nhau, nên suy ra được rằng:

\[2,6\times BK=10\]\[BK=10:2,6\]\[BK=\frac{50}{13}\left(\operatorname{\mathrm{cm}}\right)\]

Vậy diện tích của tam giác ABC là 10 cm², chiều cao BK có độ dài \(\frac{50}{13}\)cm.

Công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Khi biết độ dài hai cạnh và số đo góc xen giữa hai cạnh đó, có thể tính diện tích tam giác ABC bằng công thức: \[S=\frac{1}{2}ab\sin C\]

Tương tự: \[S=\frac{1}{2}bc\sin A\]

\[S=\frac{1}{2}ca\sin B\]

Trong đó a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh đối diện với các góc A, B, C.

Ví dụ: Tam giác ABC có AB=6 cm, AC=8 cm và \(\widehat{A}=30^\circ\). Diện tích tam giác ABC là:
\[S=\frac{1}{2}\times6\times8\times\sin30^\circ=12\text{ cm}^2\]

Công thức tính diện tích tam giác khi biết ba cạnh bằng công thức Heron

Khi biết độ dài cả ba cạnh a, b, c nhưng chưa biết chiều cao, có thể sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác.

Trước tiên, tính nửa chu vi: \(p=\frac{a+b+c}{2}\).

Sau đó áp dụng công thức: \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

Trong đó (p) là nửa chu vi của tam giác.

Ví dụ: Tam giác có ba cạnh lần lượt dài 3 cm, 4 cm và 5 cm.

Nửa chu vi tam giác là: \(p=\frac{3+4+5}{2}=6\text{ cm}\).

Diện tích tam giác là: \[S=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} =\sqrt{36} =6\text{ cm}^2\]

Công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp

Nếu biết bán kính r của đường tròn nội tiếp và nửa chu vi (p) của tam giác, diện tích được tính theo công thức:
\[S=p\times r\]

Trong đó:

• \(S\) là diện tích tam giác.

• \(p=\frac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi tam giác.

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Công thức này đặc biệt thuận tiện khi đề bài đã cho bán kính đường tròn nội tiếp hoặc có thể xác định được r từ các dữ kiện khác.

Công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn ngoại tiếp

Khi biết ba cạnh a, b, c và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, diện tích tam giác được tính bằng:
\[S=\frac{abc}{4R}\]

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Từ công thức trên cũng có thể suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp khi đã biết diện tích và ba cạnh:
\[R=\frac{abc}{4S}\]

Cách tính diện tích tam giác vuông

Hình tam giác vuông là trường hợp đặc biệt của hình tam giác, trong đó hai cạnh góc vuông chính là cạnh đáy và đường cao tương ứng.

• Quy tắc riêng: Để tính diện tích của tam giác vuông, cần lấy độ dài hai cạnh góc vuông nhân với nhau rồi chia cho 2.

• Công thức: \(S=\left(a\times b\right):2\) hay \(S=\frac{a\times b}{2}\). Trong đó a và b là độ dài của hai cạnh góc vuông.

Cách tính diện tích tam giác tù

Tam giác tù là tam giác có một góc lớn hơn (\(90^\circ\)). Để tính diện tích tam giác tù, vẫn áp dụng công thức tính diện tích hình tam giác thông thường:

\[S=\frac{a\times h}{2}\]

Trong đó:

• S là diện tích tam giác.

• a là độ dài cạnh đáy.

• h là chiều cao tương ứng với cạnh đáy.

Điểm cần lưu ý là khi chọn một trong hai cạnh kề góc tù làm cạnh đáy, đường cao của tam giác tù có thể nằm ngoài tam giác. Khi đó, cần kéo dài cạnh đáy rồi kẻ đường vuông góc từ đỉnh đối diện xuống đường thẳng chứa cạnh đáy để xác định chiều cao.

Ví dụ: Một tam giác tù có cạnh đáy dài 12 cm và chiều cao tương ứng dài 5 cm. Diện tích tam giác là:

\(S=\frac{12\times5}{2}=30\text{ cm}^2\)

Vậy diện tích của tam giác tù là 30 cm².

Cách tính diện tích tam giác đều

Với tam giác đều có độ dài cạnh a, diện tích được tính theo công thức:

\[S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

Ngoài công thức theo độ dài cạnh, diện tích tam giác đều còn có thể được xác định theo chiều cao, bán kính đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp.

Cách tính diện tích tam giác bằng phương pháp gián tiếp

Diện tích của một tam giác có thể được tính toán thông qua diện tích của các hình đã biết nằm xung quanh nó. Phương pháp tính diện tích này được sử dụng khi thông tin về cạnh đáy hoặc chiều cao (hoặc cả 2) đều là những dữ kiện không biết, nhưng lại có thể so sánh diện tích của tam giác với các hình xung quanh qua phép cộng, phép trừ hoặc tỷ lệ.

Ví dụ minh họa: Xét tam giác ABC, chiều cao AH. Điểm D thuộc cạnh BC. Có thể rút ra các kết quả sau:

• Tam giác ABC được ghép lại từ tam giác ABD và tam giác ADC. Do đó diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tam giác ABD và tam giác ADC cộng lại:

\[S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}\]

• Ngược lại, có thể tính diện tích của tam giác ABD (hoặc tam giác ADC) bằng cách lấy diện tích của tam giác ABC trừ cho diện tích của tam giác còn lại: \(S_{ABD}=S_{ABC}-S_{ADC}\).

• Tam giác ABD, ADC và ABC có cùng chiều cao AH, nên nếu như DC dài gấp đôi BD thì tích \(\frac{DC\times AH}{2}\) sẽ gấp đôi tích \(\frac{BD\times AH}{2}\) hay chính là diện tích của tam giác ADC gấp đôi tam giác ABD. Nói cách khác, chỉ cần biết diện tích của 1 tam giác trong 3 tam giác nói trên, và biết thêm tỉ lệ giữa các cạnh BD, CD, BC thì có thể tính diện tích của tất cả các tam giác.

Cách chọn công thức tính diện tích tam giác phù hợp

Các dạng bài tập thường gặp về diện tích tam giác

Dạng 1: Tính diện tích khi biết cạnh đáy và chiều cao

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất. Đề bài cung cấp trực tiếp độ dài đáy và chiều cao (hoặc có ẩn chứa phép quy đổi đơn vị). Người giải chỉ cần xác định chính xác các số liệu, quy đổi đơn vị nếu cần và áp dụng đúng công thức tính diện tích của tam giác.

Bài 1: Cho hình tam giác có độ dài đáy là 16 cm và chiều cao tương ứng là 10,5 cm. Hãy tính diện tích hình tam giác đó.

Lời giải:

Diện tích hình tam giác là:

(16 x 10,5) : 2 = 84 (cm²).

Đáp số: 84 cm².

Bài 2: Tính diện tích một hình tam giác có độ dài đáy là 2,5 m và chiều cao là 15 dm.

Phân tích: Đáy cho theo đơn vị mét (m), chiều cao cho theo đơn vị đề-xi-mét (dm). Cần đổi về cùng đơn vị đo trước khi tính toán.

Lời giải:

Cách 1: Quy đổi về cùng đơn vị dm: 2,5 m = 25 dm.

Diện tích hình tam giác là:

\((25\times15):2=187,5\) (dm²).

Cách 2: Quy đổi về cùng đơn vị m: 15 dm = 1,5 m.

Diện tích hình tam giác là:

\((2,5\times1,5):2=1,875\) (m²).

Đáp số: 187,5 dm² (hoặc 1,875 m²).

Dạng 2: Tìm cạnh đáy hoặc chiều cao khi biết diện tích tam giác

Đây là dạng bài tập biến đổi công thức (bài toán ngược). Từ công thức gốc \(S=(a\times h):2\), học sinh suy ra các công thức tính cạnh đáy hoặc chiều cao như sau:

• Muốn tìm độ dài đáy (a), lấy diện tích hình tam giác nhân với 2 rồi chia cho chiều cao: \(a=(S\times2):h\).

• Muốn tìm chiều cao (h), lấy diện tích hình tam giác nhân với 2 rồi chia cho độ dài đáy: \(h=(S\times2):a\).

Bài 3: Một hình tam giác có diện tích là 45 cm² và độ dài đáy là 10 cm. Tính chiều cao tương ứng của hình tam giác đó.

Lời giải:

Chiều cao của hình tam giác đó là:

\((45\times2):10=9\) (cm).

Đáp số: 9 cm.

Dạng 3: Tính diện tích tam giác bằng phương pháp gián tiếp

Dạng bài này yêu cầu học sinh tính diện tích bằng cách tìm mối quan hệ giữa diện tích hình cần tìm với diện tích của các hình xung quanh (mối quan hệ cộng trừ, tỉ lệ, …).

Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh 4 cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho \(AM=1\) cm, trên cạnh AD lấy điểm N sao cho \(AN=2\) cm. Tính diện tích tam giác MNC.

Lời giải:

Nhận xét: Tam giác MNC nằm trong hình vuông ABCD. Khi ghép tam giác MNC với các tam giác AMN, NDC và BMC thì thu được hình vuông ABCD. Như vậy:\[S_{ABCD}=S_{MNC}+S_{AMN}+S_{NDC}+S_{BMC}\left(1\right)\]

Diện tích hình vuông ABCD là \(4\times4=16\) (cm²).

Lần lượt tính diện tích các tam giác AMN, NDC và BMC là các tam giác vuông thì thu được:

• \(S_{AMN}=\frac{AM\times AN}{2}=\frac{2\times1}{2}=1\) (cm²).

• \(S_{CDN}=\frac{CD\times DN}{2}=\frac{4\times2}{2}=4\) (cm²).

• \(S_{CBM}=\frac{CB\times BM}{2}=\frac{4\times3}{2}=6\) (cm²).

Thay các số liệu vào công thức (1) thu được: \[16=S_{CMN}+1+4+6\]\[S_{CMN}=16-11\]\[S_{CMN}=5\left(\operatorname{\mathrm{cm^2}}\right)\]Đáp án: 5 cm².

Bài 5: Cho tam giác ABC có diện tích 15 cm². Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho cạnh \(BD=\frac{BC}{3}\). Tính diện tích của tam giác ABD.

Phân tích: Đề bài cho diện tích của tam giác ABC nhưng không biết chiều cao hay độ dài cạnh đáy. Do đó để tính diện tích của tam giác ABD cần sử dụng phương pháp tính gián tiếp, tìm mối liên hệ giữa diện tích của tam giác ABD với diện tích của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi chiều cao của tam giác ABC là AH. Như vậy AH cũng là chiều cao của tam giác ABD.

Diện tích của tam giác ABC là \(\frac{BC\times AH}{2}\). Diện tích của tam giác ABD là \(\frac{BD\times AH}{2}\). Mà \(BD=\frac{BC}{3}\) nên diện tích của tam giác ABD bằng \(\frac13\) diện tích của tam giác ABC và bằng \(\frac{15}{3}=5\) (cm²).

Dạng 4: Bài toán thực tế về diện tích tam giác

Trong các đề thi và bài kiểm tra, dạng toán thực tế thường kết hợp việc tính diện tích tam giác với các bài toán tính năng suất, chi phí, hoặc tỉ lệ phần trăm. Để giải dạng toán này, học sinh thực hiện theo hai bước chính:

• Bước 1: Tính diện tích của bề mặt dạng hình tam giác (mảnh đất, thửa ruộng, lá cờ, tấm biển báo,...).

• Bước 2: Dựa vào kết quả diện tích vừa tìm được để tính toán giá trị thực tế theo yêu cầu (ví dụ: tính lượng sản lượng lúa thu hoạch, số tiền mua vật liệu, lượng sơn cần dùng,...).

Bài 6: Một thửa ruộng đất hình tam giác có độ dài đáy là 32 m, chiều cao bằng 75% độ dài đáy. Người ta trồng lúa trên thửa ruộng đó, trung bình cứ 100 m² thu hoạch được 65 kg thóc. Hỏi trên cả thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

Lời giải:

Chiều cao của thửa ruộng hình tam giác là:

\(32\times75:100=24\)(m).

Diện tích thửa ruộng dạng hình tam giác là:

\((32\times24):2=384\) (m²).

Số ki-lô-gam thóc thu hoạch được trên cả thửa ruộng là:

\(384\times65:100=249,6\) (kg).

Đáp số: 249,6 kg thóc.

Bài viết trên đây đã hệ thống hóa quy tắc, công thức tính diện tích tam giác cùng các dạng toán cơ bản và bài tập thực tế mà học sinh có thể gặp trong bài tập và các bài kiểm tra.

Học sinh có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán học tại ZIM Academy và thường xuyên luyện tập các dạng bài về diện tích tam giác để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.