Diện tích tam giác | Công thức tính và các cách tính chi tiết

Diện tích tam giác là gì? Đây là số đo phần mặt phẳng được giới hạn bởi ba cạnh của tam giác, thường ký hiệu là S. Tùy theo dữ kiện đề bài, có nhiều công thức và cách tính diện tích tam giác khác nhau.

Bài viết tổng hợp các công thức tính diện tích tam giác, cách xác định cạnh đáy và chiều cao, cách tính diện tích hình tam giác khi biết đáy và chiều cao, hai cạnh và góc xen giữa, ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp, đồng thời hướng dẫn áp dụng qua các dạng bài tập thường gặp.

Diện tích tam giác là gì?

Diện tích tam giác là số đo phần mặt phẳng được giới hạn bởi ba cạnh của hình tam giác, thường được ký hiệu là S. Tùy vào dữ kiện đã biết, diện tích của tam giác có thể được tính theo nhiều công thức khác nhau.

Đơn vị tính diện tích tam giác là đơn vị diện tích tương ứng như mm², cm², dm², m²,...

Cạnh đáy và chiều cao của hình tam giác

Trước khi áp dụng công thức tính diện tích hình tam giác, cần xác định chính xác cạnh đáy và chiều cao tương ứng.

• Cạnh đáy: Trong một hình tam giác, bất kỳ cạnh nào cũng có thể được chọn làm cạnh đáy. Thông thường, cạnh nằm phía dưới được chọn làm đáy để thuận tiện khi quan sát và vẽ hình.

• Đường cao: Đường cao của tam giác là đoạn thẳng xuất phát từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện đó. Độ dài của đường cao chính là chiều cao tương ứng với cạnh đáy. Mỗi tam giác có ba đường cao ứng với ba cạnh đáy.

Các công thức tính diện tích tam giác

Có nhiều cách tính diện tích tam giác tùy theo các dữ kiện đã biết. Công thức cơ bản nhất sử dụng cạnh đáy và chiều cao; ngoài ra còn có thể tính diện tích khi biết hai cạnh và góc xen giữa, ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp hoặc bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Công thức tính diện tích tam giác thường theo cạnh đáy và chiều cao

Công thức tính diện tích tam giác thường khi biết cạnh đáy và chiều cao là:

\[S=\frac{a\times h}{2}\]

Trong đó:

• S là diện tích tam giác.

• a là độ dài cạnh đáy.

• h là chiều cao tương ứng với cạnh đáy a.

Quy tắc tính: Muốn tính diện tích hình tam giác, lấy độ dài cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng rồi chia cho 2. Cạnh đáy và chiều cao phải được đưa về cùng một đơn vị đo trước khi thực hiện phép tính.

Lưu ý: Nếu cạnh đáy và chiều cao được cho theo hai đơn vị đo khác nhau, cần quy đổi về cùng một đơn vị trước khi tính diện tích tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 5 cm, AC = 5,2 cm. AH và BK lần lượt là hai đường cao ứng với BC và AC, biết AH = 4 cm.

Chọn BC làm cạnh đáy, diện tích tam giác ABC là:

\[S_{ABC}=\frac{BC\times AH}{2}=\frac{5\times4}{2}=10\text{ cm}^2\]

Nếu chọn AC làm cạnh đáy thì:

\[S_{ABC}=\frac{AC\times BK}{2}=\frac{5,2\times BK}{2}\]

Do diện tích tam giác ABC không thay đổi nên:

\[2,6\times BK=10\]

\[BK=\frac{50}{13}\text{ cm}\]

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 10 cm² và chiều cao BK dài \(\frac{50}{13}\) cm.

Công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó, có thể tính diện tích tam giác ABC bằng các công thức:

\[S=\frac{1}{2}ab\sin C\]

\[S=\frac{1}{2}bc\sin A\]

\[S=\frac{1}{2}ca\sin B\]

Trong đó a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh đối diện với các góc A, B, C.

Ví dụ: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm và góc A = 30°. Diện tích tam giác ABC là:

\[S=\frac{1}{2}\times6\times8\times\sin30^\circ=12\text{ cm}^2\]

Công thức tính diện tích tam giác khi biết ba cạnh bằng công thức Heron

Khi biết độ dài ba cạnh a, b, c nhưng chưa biết chiều cao, có thể sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác.

Trước tiên, tính nửa chu vi tam giác:

\[p=\frac{a+b+c}{2}\]

Sau đó áp dụng công thức:

\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Trong đó p là nửa chu vi của tam giác.

Ví dụ: Một tam giác có ba cạnh lần lượt là 3 cm, 4 cm và 5 cm.

Nửa chu vi tam giác là:

\[p=\frac{3+4+5}{2}=6\text{ cm}\]

Diện tích tam giác là:

\[S=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}=6\text{ cm}^2\]

Công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp

Khi biết bán kính r của đường tròn nội tiếp và nửa chu vi p của tam giác, diện tích tam giác được tính theo công thức:

\[S=p\times r\]

Trong đó:

• S là diện tích tam giác.

• \(p=\frac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi tam giác.

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Công thức này phù hợp khi đề bài đã cho hoặc có thể xác định được bán kính đường tròn nội tiếp.

Công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn ngoại tiếp

Khi biết ba cạnh a, b, c và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, diện tích tam giác được tính bằng:

\[S=\frac{abc}{4R}\]

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Từ công thức trên có thể suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp khi đã biết diện tích và ba cạnh:

\[R=\frac{abc}{4S}\]

Cách chọn công thức tính diện tích tam giác phù hợp

Để chọn cách tính diện tích tam giác phù hợp, cần xác định những dữ kiện đã biết trong đề bài rồi áp dụng công thức tương ứng.

Cách tính diện tích tam giác vuông

Tam giác vuông là trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó hai cạnh góc vuông có thể được xem là cạnh đáy và chiều cao tương ứng.

Quy tắc: Muốn tính diện tích tam giác vuông, lấy tích độ dài hai cạnh góc vuông rồi chia cho 2.

\[S=\frac{a\times b}{2}\]

Trong đó a và b là độ dài hai cạnh góc vuông.

Cách tính diện tích tam giác tù

Tam giác tù là tam giác có một góc lớn hơn 90°. Cách tính diện tích tam giác tù vẫn sử dụng công thức diện tích tam giác thông thường:

\[S=\frac{a\times h}{2}\]

Trong đó:

• S là diện tích tam giác tù.

• a là độ dài cạnh đáy.

• h là chiều cao tương ứng với cạnh đáy.

Điểm cần lưu ý là khi chọn một trong hai cạnh kề góc tù làm cạnh đáy, đường cao có thể nằm ngoài tam giác. Khi đó cần kéo dài cạnh đáy rồi kẻ đường vuông góc từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đáy để xác định chiều cao.

Ví dụ: Một tam giác tù có cạnh đáy dài 12 cm và chiều cao tương ứng dài 5 cm.

Diện tích tam giác tù là:

\[S=\frac{12\times5}{2}=30\text{ cm}^2\]

Vậy diện tích của tam giác tù là 30 cm².

Cách tính diện tích tam giác đều

Với tam giác đều có độ dài cạnh a, diện tích được tính theo công thức:

\[S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

Ngoài công thức theo độ dài cạnh, diện tích tam giác đều còn có thể được xác định theo chiều cao, bán kính đường tròn nội tiếp hoặc bán kính đường tròn ngoại tiếp nếu đề bài cung cấp các dữ kiện tương ứng.

Cách tính diện tích tam giác bằng phương pháp gián tiếp

Trong một số bài toán, cạnh đáy hoặc chiều cao của tam giác không được cho trực tiếp. Khi đó, có thể tính diện tích tam giác bằng phương pháp gián tiếp thông qua diện tích của các hình xung quanh hoặc mối quan hệ về tỉ lệ.

Ví dụ: Xét tam giác ABC có chiều cao AH và điểm D thuộc cạnh BC.

Tam giác ABC được tạo thành từ hai tam giác ABD và ADC, do đó:

\[S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}\]

Ngược lại:

\[S_{ABD}=S_{ABC}-S_{ADC}\]

Các tam giác ABD, ADC và ABC có chung chiều cao AH. Vì vậy, tỉ lệ diện tích giữa các tam giác có cùng chiều cao bằng tỉ lệ giữa độ dài các cạnh đáy tương ứng.

Ví dụ, nếu DC dài gấp đôi BD thì diện tích tam giác ADC cũng gấp đôi diện tích tam giác ABD.

Các dạng bài tập thường gặp về diện tích tam giác

Dạng 1: Tính diện tích khi biết cạnh đáy và chiều cao

Đây là dạng bài cơ bản nhất về diện tích hình tam giác. Đề bài cung cấp độ dài cạnh đáy và chiều cao tương ứng, học sinh cần kiểm tra đơn vị đo rồi áp dụng công thức:

\[S=\frac{a\times h}{2}\]

Bài 1: Một hình tam giác có độ dài đáy là 16 cm và chiều cao tương ứng là 10,5 cm. Tính diện tích hình tam giác.

Lời giải:

Diện tích hình tam giác là:

(16 × 10,5) : 2 = 84 (cm²)

Đáp số: 84 cm².

Bài 2: Tính diện tích một hình tam giác có độ dài đáy là 2,5 m và chiều cao là 15 dm.

Phân tích: Cạnh đáy và chiều cao chưa cùng đơn vị nên cần quy đổi trước khi áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

Cách 1: Đổi 2,5 m = 25 dm.

Diện tích hình tam giác là:

(25 × 15) : 2 = 187,5 (dm²)

Cách 2: Đổi 15 dm = 1,5 m.

Diện tích hình tam giác là:

(2,5 × 1,5) : 2 = 1,875 (m²)

Đáp số: 187,5 dm² hoặc 1,875 m².

Dạng 2: Tìm cạnh đáy hoặc chiều cao khi biết diện tích tam giác

Từ công thức tính diện tích tam giác:

\[S=\frac{a\times h}{2}\]

Có thể suy ra công thức tính cạnh đáy và chiều cao:

• Muốn tính cạnh đáy:

  \[a=\frac{2S}{h}\]

• Muốn tính chiều cao:

  \[h=\frac{2S}{a}\]

Bài 3: Một hình tam giác có diện tích 45 cm² và độ dài đáy 10 cm. Tính chiều cao tương ứng.

Lời giải:

Chiều cao của hình tam giác là:

(45 × 2) : 10 = 9 (cm)

Đáp số: 9 cm.

Dạng 3: Tính diện tích tam giác bằng phương pháp gián tiếp

Dạng bài này yêu cầu xác định mối quan hệ giữa diện tích tam giác cần tìm với diện tích các hình xung quanh thông qua phép cộng, phép trừ hoặc tỉ lệ.

Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh 4 cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1 cm, trên cạnh AD lấy điểm N sao cho AN = 2 cm. Tính diện tích tam giác MNC.

Phân tích: Tam giác MNC nằm trong hình vuông ABCD. Khi ghép tam giác MNC với các tam giác AMN, NDC và BMC thì được hình vuông ABCD.

Do đó:

\[S_{ABCD}=S_{MNC}+S_{AMN}+S_{NDC}+S_{BMC}\]

Diện tích hình vuông ABCD là:

4 × 4 = 16 (cm²)

Diện tích tam giác AMN là:

\[S_{AMN}=\frac{AM\times AN}{2}=\frac{1\times2}{2}=1\text{ cm}^2\]

Diện tích tam giác NDC là:

\[S_{NDC}=\frac{CD\times DN}{2}=\frac{4\times2}{2}=4\text{ cm}^2\]

Diện tích tam giác BMC là:

\[S_{BMC}=\frac{BC\times BM}{2}=\frac{4\times3}{2}=6\text{ cm}^2\]

Suy ra:

\[S_{MNC}=16-1-4-6=5\text{ cm}^2\]

Đáp số: 5 cm².

Bài 5: Cho tam giác ABC có diện tích 15 cm². Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho:

\[BD=\frac{BC}{3}\]

Tính diện tích tam giác ABD.

Phân tích: Tam giác ABC và tam giác ABD có chung chiều cao kẻ từ A xuống đường thẳng BC. Vì vậy, tỉ lệ diện tích của hai tam giác bằng tỉ lệ giữa hai cạnh đáy BD và BC.

Ta có:

\[\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}\]

Do đó:

\[S_{ABD}=\frac{15}{3}=5\text{ cm}^2\]

Đáp số: 5 cm².

Dạng 4: Bài toán thực tế về diện tích tam giác

Trong các bài toán thực tế, cách tính diện tích hình tam giác thường được kết hợp với các yêu cầu về năng suất, chi phí, sản lượng hoặc tỉ lệ phần trăm.

Có thể thực hiện theo hai bước:

• Bước 1: Tính diện tích phần bề mặt có dạng hình tam giác.

• Bước 2: Sử dụng diện tích vừa tìm được để tính giá trị thực tế theo yêu cầu của đề bài.

Bài 6: Một thửa ruộng hình tam giác có độ dài đáy 32 m, chiều cao bằng 75% độ dài đáy. Người ta trồng lúa trên thửa ruộng đó, trung bình cứ 100 m² thu hoạch được 65 kg thóc. Hỏi cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

Lời giải:

Chiều cao của thửa ruộng hình tam giác là:

32 × 75 : 100 = 24 (m)

Diện tích thửa ruộng hình tam giác là:

(32 × 24) : 2 = 384 (m²)

Số ki-lô-gam thóc thu hoạch được là:

384 × 65 : 100 = 249,6 (kg)

Đáp số: 249,6 kg thóc.

Tham khảo thêm: Công thức tính diện tích các hình | Cách tính và bài tập áp dụng.

Muốn tính diện tích tam giác, cần xác định các dữ kiện đã biết để lựa chọn công thức phù hợp. Với bài toán cơ bản, diện tích hình tam giác được tính bằng một nửa tích của cạnh đáy và chiều cao tương ứng. Khi biết các dữ kiện khác như hai cạnh và góc xen giữa, ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp, có thể áp dụng các công thức tương ứng để tính diện tích tam giác chính xác.

Bài viết trên đây đã hệ thống hóa quy tắc, công thức tính diện tích tam giác cùng các dạng toán cơ bản và bài tập thực tế mà học sinh có thể gặp trong bài tập và các bài kiểm tra.

Học sinh có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán học tại ZIM Academy và thường xuyên luyện tập các dạng bài về diện tích tam giác để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.