Phương trình bậc hai một ẩn | Công thức, cách giải và bài tập Toán 9

Phương trình bậc hai một ẩn là kiến thức trọng tâm của Đại số 9 và thường xuất hiện trong bài kiểm tra cũng như đề tuyển sinh lớp 10. Nội dung này nối các kỹ năng biến đổi biểu thức, căn bậc hai và giải phương trình với những bài toán chứa tham số hoặc tình huống thực tế.

Bài viết trình bày từ cách nhận biết, giải dạng khuyết đến công thức nghiệm đầy đủ, công thức thu gọn và biện luận số nghiệm. Mỗi phần đều có quy trình, ví dụ và lỗi cần tránh để học sinh có thể áp dụng ngay khi luyện đề.

Phương trình bậc hai một ẩn là gì?

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

\[ax^2+bx+c=0 \quad (a\ne 0)\]

Trong đó, \(x\) là ẩn số; \(a\), \(b\), \(c\) là các hệ số. Nhất định phải có \(a\ne 0\). Nếu \(a=0\), số hạng \(x^2\) không còn nữa, nên đó không phải phương trình bậc hai.

Nếu phương trình đã ở dạng chuẩn, ta có thể nhìn trực tiếp: hệ số của \(x^2\) là \(a\), hệ số của \(x\) là \(b\), còn số không chứa \(x\) là \(c\). Chỉ khi các số hạng nằm ở hai vế, ta mới cần chuyển tất cả về một vế trước khi xác định hệ số.

Ví dụ: với \(2x^2-3x+1=0\), ta nhìn được ngay \(a=2\), \(b=-3\), \(c=1\).

Với \(x^2-3=0\), có thể viết là \(x^2+0x-3=0\). Khi đó \(a=1\), \(b=0\), \(c=-3\), nên phương trình khuyết số hạng bậc nhất.

Lưu ý: phải lấy cả dấu đứng trước hệ số. Trong \(3x^2-5x+2=0\), hệ số \(b\) là \(-5\), không phải \(5\).

Cũng không thể tự thêm \(x^2\) để biến một phương trình khác thành phương trình bậc hai. Chẳng hạn, \(0x^2-2x-3=0\) có \(a=0\), nên không phải phương trình bậc hai.

Ba dạng thường gặp là:

• Khuyết số hạng tự do: \(ax^2+bx+0=0\), thường viết gọn là \(ax^2+bx=0\). Khi đó \(c=0\); ví dụ \(2x^2-4x=0\).

• Khuyết số hạng bậc nhất: \(ax^2+0x+c=0\), thường viết gọn là \(ax^2+c=0\). Khi đó \(b=0\); ví dụ \(x^2-3=0\).

• Dạng đầy đủ: \(a\), \(b\), \(c\) đều khác \(0\); ví dụ \(2x^2-3x+1=0\). Dạng này thường dùng công thức nghiệm nếu chưa phân tích được thành nhân tử.

  
  

  

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn dạng đặc biệt

Không phải bài nào cũng cần dùng công thức nghiệm. Khi phương trình khuyết một số hạng (chẳng hạn \(b=0\) hoặc \(c=0\)), ta thường giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc đưa về dạng bình phương. Với \(c=0\), ta đặt được \(x\) làm nhân tử chung; với \(b=0\), ta chỉ cần đưa \(x^2\) về một vế rồi lấy căn bậc hai. Hai cách này ít bước tính hơn việc tính \(\Delta\) rồi thay vào công thức nghiệm.

Dạng khuyết số hạng tự do \(c=0\)

Ta có \(ax^2+bx+c=0\). Vì \(c=0\), phương trình trở thành \(ax^2+bx=0\). Ta đặt \(x\) làm nhân tử chung:

\[ax^2+bx=0 \Leftrightarrow x(ax+b)=0\]

Suy ra:

\[x=0 \quad \text{hoặc} \quad x=-\frac{b}{a}\]

Ví dụ: Giải \(2x^2-4x=0\).

Bước 1. Nhận diện \(c=0\), nên đặt \(2x\) làm nhân tử chung.

\[2x^2-4x=2x(x-2)=0\]

Bước 2. Áp dụng tính chất tích bằng \(0\):

\[2x=0 \quad \text{hoặc} \quad x-2=0\]

Bước 3. Kết luận \(x=0\) hoặc \(x=2\), do đó \(S=\{0;2\}\).

Lưu ý lỗi thường gặp: Không chia hai vế cho \(x\), vì cách làm đó khiến nghiệm \(x=0\) bị mất. Hãy đặt \(x\) làm nhân tử chung.

Dạng khuyết số hạng bậc nhất \(b=0\)

Ta có \(ax^2+bx+c=0\). Vì \(b=0\), phương trình trở thành \(ax^2+c=0\). Chuyển vế để được:

\[x^2=-\frac{c}{a}\]

Nếu \(-\dfrac{c}{a}\gt 0\), phương trình có hai nghiệm đối nhau. Nếu \(-\dfrac{c}{a}=0\), phương trình có nghiệm \(x=0\). Nếu \(-\dfrac{c}{a}\lt 0\), phương trình vô nghiệm trong tập số thực.

Ví dụ: Giải \(x^2-9=0\).

Bước 1. Chuyển vế: \(x^2=9\).

Bước 2. Lấy hai giá trị đối nhau vì \(9\gt 0\):

\[x=3 \quad \text{hoặc} \quad x=-3\]

Bước 3. Kết luận \(S=\{-3;3\}\). Học sinh có thể xem thêm cách xử lý căn trong bài quy tắc số mũ và căn bậc.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Với dạng đầy đủ, biệt thức \(\Delta\) cho biết số nghiệm thực trước khi ta tính nghiệm. Biểu thức dưới dấu căn trong công thức nghiệm chính là biệt thức.

\[\Delta=b^2-4ac\]

• Nếu \(\Delta\lt 0\), phương trình vô nghiệm trong tập số thực.

• Nếu \(\Delta=0\), phương trình có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\).

• Nếu \(\Delta\gt 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\]

Quy trình giải phương trình bậc hai một ẩn

• Bước 1. Đưa phương trình về dạng \(ax^2+bx+c=0\) và xác định đúng \(a\), \(b\), \(c\).

• Bước 2. Tính \(\Delta\); nếu \(b\) chẵn, có thể tính \(\Delta'\) để phép tính gọn hơn.

• Bước 3. Dựa vào dấu của biệt thức để biện luận số nghiệm và tính nghiệm nếu có.

• Bước 4. Kết luận tập nghiệm. Có thể thế nghiệm vào phương trình ban đầu để kiểm tra.

Công thức nghiệm thu gọn

Khi \(b\) chẵn, đặt \(b=2b'\). Ta dùng:

\[\Delta'=(b')^2-ac\]

Nếu \(\Delta'\gt 0\), hai nghiệm là:

\[x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a},\qquad x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}\]

Trường hợp \(\Delta'=0\) cho nghiệm kép \(x=-\dfrac{b'}{a}\); trường hợp \(\Delta'\lt 0\) thì vô nghiệm. Công thức thu gọn không tạo ra phương pháp mới mà chỉ giảm số phép tính khi \(b\) chẵn.

Mẹo kiểm tra phương trình bậc hai một ẩn

Sau khi tìm nghiệm, có thể thế từng giá trị vào phương trình ban đầu. Cách này chắc chắn nhưng hơi dài. Nếu đã học định lý Vi-ét, với hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\), hãy kiểm tra nhanh:

\[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}\]

Hai đẳng thức cùng đúng là dấu hiệu mạnh cho thấy phép tính không sai. Tuy nhiên, đây chỉ là bước kiểm tra, không thay thế lời giải bằng công thức nghiệm khi đề yêu cầu trình bày đầy đủ.

Trước khi bấm máy tính, học sinh cũng có thể ước lượng dấu của nghiệm từ tổng và tích. Chẳng hạn, nếu \(\dfrac{c}{a}\lt 0\), hai nghiệm thực sẽ trái dấu. Cách kiểm tra nhanh này giúp phát hiện trường hợp ghi sai dấu của \(b\) hoặc \(c\) trước khi tiếp tục tính.

Các dạng bài tập phương trình bậc hai một ẩn thường gặp

Dạng: Giải phương trình bằng công thức nghiệm

Với phương trình đầy đủ, dùng công thức nghiệm cho mọi trường hợp. Nếu \(b\) chẵn, nên cân nhắc công thức thu gọn để làm việc với số nhỏ hơn.

Ví dụ 1: Giải \(2x^2+x-3=0\) bằng công thức nghiệm đầy đủ.

Bước 1. Xác định \(a=2\), \(b=1\), \(c=-3\).

Bước 2. Tính \(\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=25\gt 0\).

Bước 3. Tính hai nghiệm:

\[x_1=\frac{-1+5}{4}=1,\qquad x_2=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}\]

Bước 4. Kết luận \(S=\left\{-\dfrac{3}{2};1\right\}\).

Ví dụ 2: Giải \(3x^2-8x+4=0\) bằng công thức nghiệm thu gọn.

Bước 1. Xác định \(a=3\), \(b'=-4\), \(c=4\).

Bước 2. Tính \(\Delta'=(-4)^2-3\cdot4=4\gt 0\).

Bước 3. Tính hai nghiệm:

\[x_1=\frac{4+2}{3}=2,\qquad x_2=\frac{4-2}{3}=\frac{2}{3}\]

Bước 4. Kết luận \(S=\left\{\dfrac{2}{3};2\right\}\).

Dạng: Xác định số nghiệm của phương trình chứa tham số

Ta tính \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) theo tham số, rồi xét dấu của biệt thức. Ví dụ: xác định số nghiệm của \(x^2-2x+m=0\) theo \(m\).

Bước 1. Xác định \(a=1\), \(b'=-1\), \(c=m\).

Bước 2. Tính \(\Delta'=1-m\).

Bước 3. Biện luận: \(m\lt 1\) thì có hai nghiệm phân biệt; \(m=1\) thì có nghiệm kép \(x=1\); \(m\gt 1\) thì vô nghiệm trong tập số thực.

Dạng: Tìm tham số để một số cho trước là nghiệm

Ta thay nghiệm đã cho vào phương trình, rồi giải phương trình theo tham số. Ví dụ: tìm \(m\) để \(x^2+(m-2)x-2m=0\) nhận \(x=1\) làm nghiệm.

Bước 1. Thay \(x=1\):

\[1+(m-2)-2m=0\]

Bước 2. Rút gọn \(-m-1=0\), suy ra \(m=-1\).

Bước 3. Với \(m=-1\), phương trình là \(x^2-3x+2=0\) và nhận \(x=1\) làm nghiệm. Kết luận \(m=-1\).

Dạng: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm

Ta chứng minh \(\Delta\ge0\) hoặc \(\Delta'\ge0\) với mọi giá trị của tham số. Ví dụ: chứng minh \(x^2-2(m+1)x+m^2+2m=0\) luôn có nghiệm.

Bước 1. Hệ số \(a=1\ne0\) với mọi \(m\), nên đây luôn là phương trình bậc hai.

Bước 2. Với \(b'=-(m+1)\), ta có:

\[\Delta'=(m+1)^2-(m^2+2m)=1\gt 0\]

Bước 3. Vì \(\Delta'\gt 0\) với mọi \(m\in\mathbb{R}\), phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài: Dùng công thức nghiệm

Giải phương trình \(x^2-7x-8=0\).

Lời giải:

Bước 1. Đây là phương trình bậc hai đầy đủ. Xác định \(a=1\), \(b=-7\), \(c=-8\).

Bước 2. Tính biệt thức theo công thức đầy đủ:

\[\Delta=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-8)=49+32=81\gt 0\]

Bước 3. Vì \(\Delta\gt 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[x_1=\frac{-(-7)+\sqrt{81}}{2\cdot1}=8,\qquad x_2=\frac{-(-7)-\sqrt{81}}{2\cdot1}=-1\]

Bước 4. Kiểm tra nhanh: \(8+(-1)=7=-\dfrac{b}{a}\) và \(8\cdot(-1)=-8=\dfrac{c}{a}\).

Đáp án: \(S=\{-1;8\}\).

Bài: Dùng công thức nghiệm thu gọn

Giải phương trình \(7x^2-12x+5=0\).

Lời giải:

Bước 1. Vì hệ số \(b=-12\) chẵn, dùng công thức nghiệm thu gọn với \(b'=-6\).

Bước 2. Tính biệt thức thu gọn:

\[\Delta'=(-6)^2-7\cdot5=1\gt 0\]

Bước 3. Vì \(\Delta'\gt 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{1}}{7}=1,\qquad x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{1}}{7}=\frac{5}{7}\]

Bước 4. Kết luận tập nghiệm \(S=\left\{\dfrac{5}{7};1\right\}\). Công thức thu gọn giúp tránh phải tính \((-12)^2-4\cdot7\cdot5\).

Đáp án: \(S=\left\{\dfrac{5}{7};1\right\}\).

Bài: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm

Cho \(mx^2-2(m+1)x+m+2=0\). Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).

Lời giải:

Bước 1. Nếu \(m=0\), phương trình trở thành \(-2x+2=0\), nên có nghiệm \(x=1\).

Bước 2. Nếu \(m\ne0\), phương trình là bậc hai. Đặt \(b'=-(m+1)\) và tính:

\[\Delta'=(m+1)^2-m(m+2)=1\gt 0\]

Bước 3. Với mọi \(m\ne0\), \(\Delta'\gt 0\), nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án: phương trình có nghiệm với mọi \(m\in\mathbb{R}\). Điểm quan trọng là phải tách \(m=0\); nếu dùng ngay \(\Delta'\) cho mọi \(m\), ta đã bỏ qua lúc phương trình trở thành bậc nhất.

Ứng dụng phương trình bậc hai một ẩn vào thực tế

Trước khi giải một bài toán thực tế, hãy đi theo sáu bước dưới đây. Đừng vội dùng công thức nghiệm ngay từ đầu: điều quan trọng là lập đúng phương trình.

Quy trình lập phương trình bậc hai một ẩn từ bài toán thực tế

• Bước 1. Đọc đề: Gạch chân các số liệu đã cho và điều đề bài yêu cầu tìm.

• Bước 2. Chọn ẩn: Đặt \(x\) là đại lượng cần tìm, ghi rõ đơn vị và điều kiện của \(x\). Ví dụ, độ dài hoặc thời gian thường phải lớn hơn \(0\).

• Bước 3. Lập phương trình: Dùng các dữ kiện của đề để viết mối liên hệ giữa các đại lượng, rồi đưa phương trình về dạng bằng \(0\).

• Bước 4. Giải phương trình: Chọn cách giải phù hợp: phân tích thành nhân tử nếu thấy được, hoặc dùng công thức nghiệm khi cần.

• Bước 5. Đối chiếu điều kiện: Thử từng nghiệm với điều kiện của \(x\) và bối cảnh đề bài. Nghiệm âm có thể không phù hợp nếu \(x\) là thời gian hay độ dài.

• Bước 6. Kết luận: Trả lời đúng đại lượng cần tìm, kèm đơn vị.

Hình dưới đây giúp hình dung hai tình huống sẽ dùng trong các ví dụ.

Ví dụ chuyển động thẳng đứng

Độ cao của một vật sau \(t\) giây là \(h=19{,}6t-4{,}9t^2\) (m). Tìm thời điểm vật trở lại mặt đất.

Bước 1. Đọc đề: Đề cho công thức độ cao theo thời gian và hỏi lúc vật trở lại mặt đất. Vì vậy ta cần tìm thời gian khi \(h=0\).

Bước 2. Chọn ẩn: Gọi \(t\) (giây) là thời gian tính từ lúc phóng vật; \(t\ge0\).

Bước 3. Lập phương trình: Khi vật chạm đất, độ cao bằng \(0\), nên:

\[19{,}6t-4{,}9t^2=0\]

Bước 4. Giải phương trình: Phân tích thành nhân tử:

\[4{,}9t(4-t)=0\]

Suy ra \(t=0\) hoặc \(t=4\).

Bước 5. Đối chiếu điều kiện: Cả hai nghiệm đều không âm. Tuy nhiên, \(t=0\) là lúc vừa phóng vật, còn đề hỏi lúc vật trở lại mặt đất.

Bước 6. Kết luận: Vật trở lại mặt đất sau \(4\) giây.

Ví dụ hình chữ nhật

Một mảnh vườn rộng \(x\) m, dài hơn rộng \(6\) m và có diện tích \(280\,m^2\). Tìm kích thước mảnh vườn.

Bước 1. Đọc đề: Biết diện tích là \(280\,m^2\), chiều dài hơn chiều rộng \(6\) m và cần tìm cả hai kích thước.

Bước 2. Chọn ẩn: Gọi \(x\) (m) là chiều rộng mảnh vườn. Khi đó \(x\gt 0\) và chiều dài là \(x+6\) (m).

Bước 3. Lập phương trình: Diện tích bằng chiều rộng nhân chiều dài:

\[x(x+6)=280 \Leftrightarrow x^2+6x-280=0\]

Bước 4. Giải phương trình: Ta có \((x-14)(x+20)=0\), nên \(x=14\) hoặc \(x=-20\).

Bước 5. Đối chiếu điều kiện: Loại \(x=-20\) vì độ dài không thể âm. Nhận \(x=14\).

Bước 6. Kết luận: Mảnh vườn rộng \(14\) m và dài \(14+6=20\) m.

Tổng kết

Muốn làm tốt phương trình bậc hai một ẩn, học sinh cần nhận đúng hệ số, ưu tiên cách giải ngắn cho dạng khuyết và dùng \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) chính xác cho dạng đầy đủ. Với bài chứa tham số, luôn xét riêng trường hợp hệ số bậc hai bằng \(0\); với bài thực tế, luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện và đơn vị.

Sau khi thành thạo nội dung này, người học có thể mở rộng sang định lý Vi-ét, phương trình quy về bậc hai và bài toán lập phương trình. Có thể tham khảo thêm các bài phù hợp tại chuyên mục Toán 9 của ZIM.