Key takeaways
Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai thường gặp:
\[\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\] (a, d không đồng thời bằng 0)
\[\sqrt{ax^2+bx+c}=px+q\] (a, p không đồng thời bằng 0)
Để giải các phương trình này, người học làm các bước sau:
Bình phương hai vế và giải phương trình bậc hai thu được.
Thay các nghiệm thu được vào bất phương trình \(ax^2+bx+c\geq0\) (hoặc \(dx^2+ex+f\geq0\)) hay \(px+q\geq0\).
Giữ lại những nghiệm thoả mãn các bất phương trình ở bước 2.
Trong Toán 10, phương trình quy về phương trình bậc hai thường chứa căn thức hoặc biểu thức phức tạp và cần được biến đổi về dạng \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq0\)). Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình quy về phương trình bậc hai theo hai dạng thường gặp, từ xác định điều kiện, bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai đến kiểm tra và loại nghiệm ngoại lai, kèm ví dụ và bài tập vận dụng.
Phương trình quy về phương trình bậc hai là những phương trình ban đầu không có ngay dạng \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne0\), nhưng có thể biến đổi về phương trình bậc hai hoặc phương trình bậc nhất để tìm nghiệm. Trong Bài 18 Toán 10 Kết nối tri thức, nội dung trọng tâm là hai dạng phương trình chứa căn thức: căn bằng căn và căn bằng biểu thức bậc nhất. Sau phép bình phương hai vế, cần đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ngoại lai. [1]
Phương trình bậc hai thu được sau khi khử căn có thể giải bằng phân tích nhân tử hoặc công thức nghiệm. Học sinh cần nắm kiến thức nền về cách giải phương trình bậc 2 trước khi thực hiện bước này.
Vì sao phải thử lại nghiệm? Bình phương hai vế có thể tạo ra nghiệm không thoả mãn phương trình ban đầu. Từ \(A=B\) suy ra \(A^2=B^2\), nhưng chiều ngược lại chỉ cho \(A=B\) hoặc \(A=-B\). Do đó, cần xét dấu hai vế hoặc thay nghiệm vào phương trình ban đầu. [1]
Theo Bài 18 SGK Toán 10, tập hai, Kết nối tri thức, hai dạng trọng tâm là phương trình căn bằng căn và phương trình căn bằng biểu thức bậc nhất. [1]
\[\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\]
Với các hệ số cho trước (thường xét trường hợp hai hệ số bậc hai không đồng thời bằng 0), đặt \(A(x)=ax^2+bx+c\) và \(B(x)=dx^2+ex+f\). Hai vế là căn bậc hai số học nên phương trình tương đương với hệ điều kiện:
\[\begin{cases}A(x)=B(x),\\ A(x)\ge 0.\end{cases}\]
Có thể thay điều kiện \(A(x)\ge0\) bằng \(B(x)\ge0\) vì tại nghiệm của phương trình bình phương hai vế, hai biểu thức này bằng nhau. Bước kiểm tra thường thuận tiện hơn nếu chọn biểu thức đơn giản.
\[\sqrt{ax^2+bx+c}=px+q\]
Đặt \(A(x)=ax^2+bx+c\) và \(L(x)=px+q\). Do vế trái không âm, phương trình tương đương với hệ:
\[\begin{cases} A(x)=[L(x)]^2,\\L(x)\ge0.\end{cases}\]
Ở dạng này, chỉ yêu cầu biểu thức dưới căn không âm là chưa đủ; cần bảo đảm \(px+q\ge0\). Khi bình phương cho ra phương trình bậc nhất, vẫn thực hiện bước đối chiếu điều kiện như bình thường. [1]
Quy trình chung gồm ba bước, áp dụng cho cả hai dạng bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai:
Bước 1 – Nhận diện dạng và biến đổi: Xác định phương trình thuộc dạng căn bằng căn hay căn bằng biểu thức bậc nhất; cô lập căn thức nếu cần, sau đó bình phương hai vế và thu gọn.
Bước 2 – Giải và lọc nghiệm: Giải phương trình đại số nhận được, rồi kiểm tra điều kiện không âm tương ứng. Nếu cần, thay nghiệm vào phương trình ban đầu.
Bước 3 – Kết luận: Chỉ giữ các nghiệm thỏa mãn điều kiện và viết tập nghiệm chính xác.
Trong bước giải phương trình đại số, học sinh có thể dùng công thức nghiệm hoặc phương pháp phân tích nhân tử tùy từng bài. Điều quan trọng là không xem phép bình phương là biến đổi tương đương nếu chưa kèm điều kiện dấu.
Bước | Căn bằng căn | Căn bằng biểu thức bậc nhất |
|---|---|---|
Nhận dạng | \(\sqrt{A(x)}=\sqrt{B(x)}\) | \(\sqrt{A(x)}=L(x)\) |
Bình phương và giải | \(A(x)=B(x)\) | \(A(x)=[L(x)]^2\) |
Kiểm tra nghiệm | \(A(x)\ge0\) (hoặc \(B(x)\ge0\)) | \(L(x)\ge0\) |
Kết luận | Nhận nghiệm thỏa mãn cả đẳng thức và điều kiện | Nhận nghiệm thỏa mãn cả đẳng thức và điều kiện |
Giải phương trình:
\[\sqrt{x^2-4x-4}=\sqrt{x-4}\]
Bước 1 – Bình phương và giải phương trình:
\[x^2-4x-4=x-4\iff x^2-5x=0\]
\[x(x-5)=0\iff x=0\ \text{hoặc}\ x=5\]
Bước 2 – Kiểm tra điều kiện: Với \(x-4\ge0\), suy ra \(x\ge4\). Do đó, loại \(x=0\) và nhận \(x=5\).
Kết luận: Tập nghiệm là \(S=\{5\}\). Đây là ví dụ cho thấy bình phương hai vế có thể tạo ra nghiệm ngoại lai.
Giải phương trình:
\[\sqrt{x+1}=1-x\]
Bước 1 – Bình phương hai vế:
\[x+1=(1-x)^2\]
\[x+1=1-2x+x^2\iff x^2-3x=0\]
Suy ra \(x=0\) hoặc \(x=3\).
Bước 2 – Kiểm tra điều kiện: Vì \(1-x\ge0\) nên \(x\le1\). Chỉ có \(x=0\) thỏa mãn.
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x=0\).
Giải phương trình:
\[\sqrt{x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2+x-3}\]
Bình phương hai vế và thu gọn:
\[x^2+2x+3=2x^2+x-3\]
\[x^2-x-6=0\iff (x-3)(x+2)=0\]
Suy ra \(x=3\) hoặc \(x=-2\). Đối chiếu \(x^2+2x+3\ge0\), cả hai nghiệm đều thỏa mãn (giá trị biểu thức tương ứng là 18 và 3).
Kết luận: \(S=\{-2;3\}\).
Các bài tập dưới đây được biên soạn và sắp xếp theo hai dạng trọng tâm của Bài 18 Toán 10 Kết nối tri thức; một số bài mở rộng dành cho bước vận dụng. Số liệu và cách trình bày không sao chép nguyên văn đề SGK.
Giải phương trình \(\sqrt{3x^2-5x+2}=x-1\).
Phân tích đề bài: Căn thức bằng biểu thức bậc nhất, do đó sau khi bình phương phải kiểm tra \(x-1\ge0\).
Các bước giải:
\[3x^2-5x+2=(x-1)^2\]
\[2x^2-3x+1=0\iff(2x-1)(x-1)=0\]
Phương trình sau bình phương có hai nghiệm \(x=\frac12\) và \(x=1\). Do \(x\ge1\), loại \(x=\frac12\).
Tổng kết đáp án: \(S=\{1\}\).
Giải phương trình \(\sqrt{x^2-4x+3}=\sqrt{2x^2-7x+5}\).
Phân tích đề bài: Cần giải phương trình thu được sau khi bình phương rồi xét điều kiện không âm của một biểu thức dưới căn.
Các bước giải:
\[x^2-4x+3=2x^2-7x+5\]
\[x^2-3x+2=0\iff (x-1)(x-2)=0\]
Các nghiệm ứng viên là \(x=1\) và \(x=2\). Với \(A(x)=x^2-4x+3\), tại \(x=1\) có \(A(1)=0\) nên nhận; tại \(x=2\) có \(A(2)=-1\) nên loại.
Tổng kết đáp án: \(S=\{1\}\).
Giải phương trình \(2\sqrt{x^2-x+1}+x=2x+1\).
Phân tích đề bài: Cần chuyển các hạng tử không chứa căn để đưa về dạng căn bằng biểu thức bậc nhất.
Các bước giải:
\[2\sqrt{x^2-x+1}=x+1\]
\[4(x^2-x+1)=(x+1)^2\]
\[3x^2-6x+3=0\iff 3(x-1)^2=0\]
Nghiệm ứng viên \(x=1\) thỏa mãn \(x+1\ge0\); thay vào phương trình ban đầu cũng cho hai vế đều bằng 3.
Tổng kết đáp án: \(S=\{1\}\).
Giải phương trình \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}=3\).
Phân tích đề bài: Đây là dạng mở rộng, có thể cần bình phương nhiều hơn một lần, không thuộc hai dạng cơ bản được giới thiệu đầu bài.
Các bước giải: Điều kiện \(x\ge1\). Chuyển vế:
\[\sqrt{x+2}=3-\sqrt{x-1}\]
Vì hai vế bằng nhau, vế phải cần không âm. Bình phương rồi thu gọn:
\[x+2=9-6\sqrt{x-1}+x-1\]
\[6\sqrt{x-1}=6\iff\sqrt{x-1}=1\]
\[x=2\]
Thử lại: \(\sqrt{4}+\sqrt{1}=2+1=3\), nên nghiệm này hợp lệ.
Tổng kết đáp án: \(S=\{2\}\).
Giải phương trình \(\sqrt{x+4}=x-2\).
Các bước giải:
\[x+4=(x-2)^2\iff x^2-5x=0\]
Suy ra \(x=0\) hoặc \(x=5\). Điều kiện \(x-2\ge0\) tương đương \(x\ge2\) nên loại nghiệm \(x=0\).
Tổng kết đáp án: \(S=\{5\}\).
Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và độ dài đường chéo bằng 10 cm. Tìm kích thước hình chữ nhật.
Phân tích đề bài: Gọi chiều rộng là \(x\) cm (\(x>0\)), chiều dài là \(x+2\) cm. Theo định lí Pythagore, độ dài đường chéo là \(\sqrt{x^2+(x+2)^2}\) cm.
Các bước giải:
\[\sqrt{x^2+(x+2)^2}=10\]
\[2x^2+4x+4=100\]
\[x^2+2x-48=0\iff(x+8)(x-6)=0\]
Có \(x=-8\) hoặc \(x=6\). Do \(x>0\), chỉ nhận \(x=6\).
Tổng kết đáp án: Chiều rộng 6 cm, chiều dài 8 cm.
Bài 18 SGK Toán 10, tập hai, Kết nối tri thức trình bày cách giải phương trình chứa căn thông qua hoạt động, luyện tập và bài tập vận dụng ở trang 25–27. Nhóm bài tập dưới đây là câu hỏi tự biên soạn theo cùng mục tiêu kiến thức, không phải lời giải nguyên văn các bài 6.20–6.23 trong SGK. [1]
Để ôn tập hiệu quả, học sinh cần: nhận diện đúng hai dạng; bình phương và giải phương trình đại số; kiểm tra dấu hai vế; trình bày rõ lý do nhận hoặc loại nghiệm.
Bài tự luyện | Phương trình | Đáp án kiểm tra |
|---|---|---|
1 – Căn bằng căn | \(\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{x+2}\) | \(S=\{0;3\}\) |
2 – Căn bằng bậc nhất | \(\sqrt{x+4}=x-2\) | \(S=\{5\}\) |
3 – Vô nghiệm | \(\sqrt{x^2+1}=-x\) | Vô nghiệm thực |
4 – Hai căn thức | \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}=3\) | \(S=\{2\}\) |
Những bài này giúp rèn cách lọc nghiệm; nếu cần luyện thêm thao tác với căn thức trước khi giải phương trình, học sinh có thể tham khảo rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.
Xét phương trình \(\sqrt{2x^2+3x}=\sqrt{x^2+4x+2}\). Bình phương hai vế thu được:
\[2x^2+3x=x^2+4x+2\iff x^2-x-2=0\]
\[(x-2)(x+1)=0\]
Hai nghiệm ứng viên là \(x=2\) và \(x=-1\). Với \(x=-1\), biểu thức \(2x^2+3x=-1<0\), nên phải loại. Phương trình chỉ nhận \(x=2\).
Xét phương trình \(\sqrt{x^2-x-6}=x-4\). Sau khi bình phương và thu gọn:
\[x^2-x-6=(x-4)^2\iff7x=22\]
Nghiệm ứng viên là \(x=\frac{22}{7}\). Tuy nhiên điều kiện \(x-4\ge0\) yêu cầu \(x\ge4\), nên nghiệm ứng viên không hợp lệ và phương trình vô nghiệm. Việc chỉ xét \(x^2-x-6\ge0\) không đủ để kết luận.
Khi phương trình chứa thêm hạng tử ngoài dấu căn, cần cô lập căn thức trước để tránh khai triển dài và dễ nhầm dấu. Sau khi tìm được nghiệm ứng viên, cần đối chiếu với các điều kiện thay vì kết luận ngay.
Phương trình quy về phương trình bậc hai thường chứa căn hoặc cấu trúc cần phép biến đổi. Một phương trình bậc hai đã ở dạng chuẩn thì không cần quy trình khử căn; phần cần chú ý nhất của dạng quy về là điều kiện nghiệm sau khi bình phương.
Tóm lại, phương trình quy về phương trình bậc hai trong Bài 18 Toán 10 Kết nối tri thức tập trung vào hai dạng căn bằng căn và căn bằng biểu thức bậc nhất. Khi giải, học sinh cần thực hiện phép biến đổi phù hợp, giải phương trình thu được và đối chiếu điều kiện không âm để loại nghiệm ngoại lai. Việc luyện đều hai dạng cơ bản cùng bài tập vận dụng giúp củng cố kỹ năng giải phương trình chứa căn.
Việc làm chủ hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai là một bước đệm quan trọng giúp học sinh tự tin chinh phục chương trình Toán lớp 10. Bằng cách nắm vững quy trình 3 bước để giải hai dạng phương trình căn bằng đa thức \(\sqrt{ax^2+bx+c}=px+q\) và căn bằng căn \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\), người học có thể giải và loại bỏ các nghiệm ngoại lai một cách chính xác.
Để củng cố lý thuyết, cũng như thực hành thêm nhiều dạng bài tập tự luận, trắc nghiệm có lời giải chi tiết và tiếp cận các phương pháp giải hiệu quả, học sinh có thể truy cập ngay chuyên mục các bài giảng Toán lớp 10 tại ZIM Academy.
Nguồn tham khảo
“Toán 10, tập hai – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai.” Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Accessed 10 September 2026.
Đánh giá
(0)Gửi đánh giá
Bình luận - Hỏi đáp