Phương trình quy về phương trình bậc hai | Cách giải và bài tập

Trong Toán 10, phương trình quy về phương trình bậc hai thường chứa căn thức hoặc biểu thức phức tạp và cần được biến đổi về dạng \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq0\)). Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình quy về phương trình bậc hai theo hai dạng thường gặp, từ xác định điều kiện, bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai đến kiểm tra và loại nghiệm ngoại lai, kèm ví dụ và bài tập vận dụng.

Phương trình quy về phương trình bậc hai là gì?

Phương trình quy về phương trình bậc hai là những phương trình ban đầu không có dạng quen thuộc \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq0\)), nhưng bằng các phép biến đổi đại số phù hợp như cô lập căn thức hoặc bình phương hai vế, có thể đưa về phương trình bậc hai (hoặc phương trình bậc nhất) để giải. Sau đó, cần đối chiếu điều kiện và thử lại nghiệm trong phương trình ban đầu để loại nghiệm ngoại lai. [1]

Lưu ý khi kiểm tra nghiệm:

Sau khi giải xong phương trình bậc hai thu được sau phép biến đổi, người học cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu hay không.

Lý do cần phải thử lại nghiệm là vì phép bình phương hai vế không phải là phép biến đổi tương đương, nó chỉ đảm bảo rằng nếu \(a=b\) thì \(a^2=b^2\). Nhưng chiều ngược lại thì không đúng như vậy, nếu \(a^2=b^2\) chỉ suy ra được \(a=\pm b\) , chứ không kết luận được là \(a=b\) . [1]

Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt{x^2-4x-4}=\sqrt{x-4}\) (1).

Bình phương hai vế phương trình đã cho, ta thu được phương trình \[x^2-4x-4=x-4\iff x^2-5x=0\]

Ta giải được hai nghiệm là \(x=0\) và \(x=5\). Thay lần lượt hai giá trị vào phương trình ban đầu, nhận thấy với \(x=0\) thì các biểu thức dưới dấu căn không có nghĩa (do x - 4 < 0).

Vì vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm \(x=5\).

Lưu ý: Các nghiệm bị loại (\(x=0\)) được gọi là nghiệm ngoại lai của phương trình (1).

Phương trình có dạng \(\sqrt{ax^2+bx+c}=px+q\) (a và p không đồng thời bằng 0)

Để giải phương trình có dạng căn bằng đa thức như trên, người học thực hiện các bước sau:

1. Bình phương hai vế của phương trình đã cho thu được phương trình \(ax^2+bx+c=\left(px+q\right)^2\) và giải phương trình này.

2. Thay lần lượt các nghiệm vào bất phương trình \(px+q\geq0\) và giữ lại các nghiệm thoả mãn.

3. Kết luận các nghiệm được giữ lại cũng chính là nghiệm của phương trình \(\sqrt{ax^2+bx+c}=px+q\). [1]

Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt{x+1}=1-x\) (2).

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (2), ta thu được phương trình \(x+1=\left(1-x\right)^2\) \[\iff x+1=1-2x+x^2\iff x^2-3x=0\]

Giải phương trình ta được hai nghiệm \(x=0\) và \(x=3\).

Bước 2: Thay lần lượt các nghiệm vào bất phương trình \(1-x\geq0\), ta loại được nghiệm \(x=3\).

Bước 3: Kết luận phương trình (2) chỉ có một nghiệm \(x=0\).

Phương trình có dạng \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\) (a và d không đồng thời bằng 0)

Để giải phương trình có dạng căn bằng căn như trên, người học thực hiện các bước sau:

1. Bình phương hai vế của phương trình đã cho thu được phương trình \[ax^2+bx+c=dx^2+ex+f\]

   và giải phương trình này.

2. Thay lần lượt các nghiệm của phương trình \[ax^2+bx+c=dx^2+ex+f\]vào bất phương trình \(ax^2+bx+c\geq0\) (hoặc \(dx^2+ex+f\geq0\)) và giữ lại các nghiệm thoả mãn.

3. Kết luận các nghiệm được giữ lại cũng chính là nghiệm của phương trình \[\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\] [1]

Lưu ý: Ở bước 2, người học ưu tiên chọn biểu thức đơn giản hơn giữa \(ax^2+bx+c\) và \(dx^2+ex+f\).

Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt{x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2+x-3}\) (3).
Bước 1: Bình phương hai vế của (3) thu được phương trình \[x^2+2x+3=2x^2+x-3\]

Người học biến đổi rút gọn phương trình thành \[x^2-x-6=0\]

Giải phương trình thu được hai nghiệm \(x=3\) và \(x=-2\).

Bước 2: Thay lần lượt các nghiệm vào bất phương trình \(x^2+2x+3\geq0\), nhận thấy rằng cả hai nghiệm đều thoả mãn.

Bước 3: Kết luận phương trình (3) có hai nghiệm là \(x=3\) và \(x=-2\).

Cách giải phương trình quy về phương trình bậc hai

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình đã cho và giải phương trình bậc hai thu được.

Sau khi đưa phương trình về dạng bậc hai, tùy cấu trúc bài toán, học sinh có thể phân tích nhân tử, dùng công thức nghiệm hoặc áp dụng định lý Viet để khai thác mối liên hệ giữa các nghiệm và hệ số khi phù hợp.

Bước 2: Thay lần lượt các nghiệm vừa giải được vào các biểu thức của phương trình ban đầu sao cho các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa.

Bước 3: Kết luận các nghiệm được giữ lại chính là nghiệm của phương trình ban đầu. [1]

Tóm tắt cách giải hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình quy về phương trình bậc hai

Người học quên thử lại nghiệm sau khi giải phương trình dẫn đến giữ lại nghiệm ngoại lai

Đây là một sai lầm vô cùng phổ biến, học sinh sau khi bình phương hai vế và giải ra nghiệm của phương trình bậc hai thường kết luận ngay đó là nghiệm của phương trình ban đầu, mà quên mất rằng phép bình phương có thể tạo ra nghiệm ngoại lai.

Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt{2x^2+3x}=\sqrt{x^2+4x+2}\) (4).

Sau khi bình phương hai vế của (4) ta thu được \(2x^2+3x=x^2+4x+2\). Qua một vài phép biến đổi, phương trình có thể được rút gọn thành \(x^2-x-2=0\). Sau khi giải ra được hai nghiệm là \(x=-1\) và \(x=2\), học sinh thường quên mất bước thử lại nghiệm mà vội vàng kết luận tập nghiệm của phương trình.

Ở bài toán này, sau khi thay các nghiệm vào bất phương trình \(2x^2+3x\geq0\) ta nhận thấy rằng chỉ có \(x=2\) là thoả mãn. Đây cũng chính là nghiệm duy nhất của phương trình (4).

Lỗi đặt điều kiện xác định không đầy đủ khi giải phương trình

Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt{x^2-x-6}=x-4\).

Người học thường chỉ đặt điều kiện xác định cho biểu thức dưới dấu căn là \(x^2-x-6\geq0\), mà quên mất điều kiện \(x-4\geq0\) (một vế là căn thức không âm không thể bằng một vế mang giá trị âm).

Do đó, sau khi bình phương hai vế và giải phương trình \[x^2-x-6=\left(x-4\right)^2\iff x^2-x-6=x^2-8x+16\]

Phương trình có thể rút gọn thành \(7x=22\) và thu được nghiệm \(x=\frac{22}{7}\).

Nghiệm \(x=\frac{22}{7}\) thoả mãn bất phương trình \(x^2-x-6\geq0\), tuy nhiên lại không thoả mãn \(x-4\geq0\). Do ban đầu người học không đặt đầy đủ điều kiện xác định nên vẫn chấp nhận nghiệm \(x=\frac{22}{7}\) và giải sai bài toán này.

Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai có lời giải

Bài tập 1 (Dạng căn bằng đa thức - mức độ cơ bản)

Giải phương trình \(\sqrt{3x^2-5x+2}=x-1\) (1).

Hướng dẫn giải:

Phương trình (1) có dạng căn bằng đa thức quen thuộc, người học thực hiện các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của (1) thu được \[3x^2-5x+2=\left(x-1\right)^2\iff3x^2-5x+2=x^2-2x+1\]

Người học thực hiện các phép biến đổi để rút gọn phương trình thành \[2x^2-3x+1=0\]

Giải phương trình ta được hai nghiệm \(x=1\) và \(x=\frac12\).

Bước 2: Người học thay lần lượt các nghiệm vào bất phương trình \(x-1\geq0\) và loại được nghiệm \(x=\frac12\).

Bước 3: Các nghiệm được giữ lại (\(x=1\)) chính là nghiệm của phương trình (1).

Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(x=1\).

Bài tập 2 (Dạng căn bằng căn - mức độ cơ bản)

Giải phương trình \(\sqrt{x^2-4x+3}=\sqrt{2x^2-7x+5}\) (2).

Hướng dẫn giải:

Phương trình (2) có dạng căn bằng căn quen thuộc, người học thực hiện các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của (2) thu được phương trình \[x^2-4x+3=2x^2-7x+5\]

Qua các phép biến đổi, người học có thể rút gọn phương trình thành \(x^2-3x+2=0\). Giải phương trình ta được hai nghiệm \(x=1\) và \(x=2\).

Bước 2: Người học thay lần lượt các nghiệm vào bất phương trình \(x^2-4x+3\geq0\) và loại được nghiệm \(x=2\).

Bước 3. Các nghiệm được giữ lại (\(x=1\)) chính là nghiệm của phương trình (2).

Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(x=1\).

Bài tập 3 (Dạng căn bằng đa thức - mức độ trung bình)

Giải phương trình \(2\sqrt{x^2-x+1}+x=2x+1\) (3).

Hướng dẫn giải:

Trước khi bình phương hai vế, người học cần cô lập căn thức bằng cách chuyển vế các đơn thức còn lại sang một vế của phương trình như sau: \[2\sqrt{x^2-x+1}=2x+1-x\iff2\sqrt{x^2-x+1}=x+1\]

(4).

Khi đó, phương trình trở thành dạng căn bằng đa thức quen thuộc, người học thực hiện các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của (4) ta được \[4\left(x^2-x+1\right)=\left(x+1\right)^2\iff4x^2-4x+4=x^2+2x+1\]

Người học có thể rút gọn phương trình thành \(3x^2-6x+3=0\). Giải phương trình thu được nghiệm kép \(x=1\).

Bước 2: Thay nghiệm \(x=1\) vào bất phương trình \(x+1\geq0\), nhận thấy rằng \(x=1\) thoả mãn nên ta giữ lại nghiệm.

Bước 3: Các nghiệm được giữ lại (\(x=1\)) chính là nghiệm của phương trình (3).

Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(x=1\).

Bài tập 4 (Bình phương hai lần - mức độ nâng cao)

Giải phương trình \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}=3\) (4).

Hướng dẫn giải:

Nhận thấy rằng, khi bình phương hai vế của phương trình thì phương trình thu được vẫn chứa căn thức. Tuy nhiên, phương trình lúc này sẽ có dạng căn bằng đa thức quen thuộc.

Người học có thể chuyển vế một căn thức trước khi thực hiện phép bình phương hai vế, để phương trình thu được đơn giản hơn:

(4) \(\iff\sqrt{x+2}=3-\sqrt{x-1}\). Bình phương hai vế, ta được \[\left(\sqrt{x+2}\right)^2=\left(3-\sqrt{x-1}\right)^2\]\[\iff x+2=9-2\times3\times\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^2\]\[\iff x+2=9-6\sqrt{x-1}+x-1\]

Tương tự bài tập 3, ta sẽ cô lập căn thức như sau: \[x+2=x+8-6\sqrt{x-1}\iff6\sqrt{x-1}=x+8-x-2\]

\[\iff6\sqrt{x-1}=6\iff\sqrt{x-1}=1\iff x-1=1\] hay \[x=2\]

Người học thay lần lượt \(x=2\) vào các bất phương trình \(x+2\geq0\) và \(x-1\geq0\), nhận thấy rằng \(x=2\) thoả mãn nên ta giữ lại nghiệm.

Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(x=2\).

Việc làm chủ hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai là một bước đệm quan trọng giúp học sinh tự tin chinh phục chương trình Toán lớp 10. Bằng cách nắm vững quy trình 3 bước để giải hai dạng phương trình căn bằng đa thức \(\sqrt{ax^2+bx+c}=px+q\) và căn bằng căn \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\), người học có thể giải và loại bỏ các nghiệm ngoại lai một cách chính xác.

Để củng cố lý thuyết, cũng như thực hành thêm nhiều dạng bài tập tự luận, trắc nghiệm có lời giải chi tiết và tiếp cận các phương pháp giải hiệu quả, học sinh có thể truy cập ngay chuyên mục các bài giảng Toán lớp 10 tại ZIM Academy.