Phương trình tham số của đường thẳng | Cách viết, công thức và bài tập Toán 10

Phương trình tham số của đường thẳng là cách biểu diễn mọi điểm thuộc một đường thẳng thông qua một tham số thực t, trong đó vectơ chỉ phương xác định hướng và một điểm cố định xác định vị trí của đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Trong Toán 10, học sinh cần nắm công thức phương trình tham số của đường thẳng, cách viết và cách lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm, qua hai điểm A,B hoặc đường thẳng d đi qua điểm M, đồng thời biết chuyển đổi giữa dạng tham số, chính tắc và phương trình tổng quát để giải các bài toán về giao điểm và quan hệ hình học.

Vectơ chỉ phương là gì?

Vectơ \(\vec{u}\ne\vec{0}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) nếu giá của nó song song hoặc trùng với \(d\). Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương thì \(k\vec{u}\), với \(k\ne0\), cũng là vectơ chỉ phương. Vì vậy, một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương cùng phương.

Cho \(M_0(x_0;y_0)\in d\) và \(\vec{u}=(a;b)\) là vectơ chỉ phương, trong đó \(a,b\) không đồng thời bằng \(0\). Với điểm bất kỳ \(M(x;y)\in d\), hai vectơ \(\overrightarrow{M_0M}\) và \(\vec{u}\) cùng phương nên tồn tại \(t\in\mathbb{R}\) sao cho:

\[\overrightarrow{M_0M}=t\vec{u}\]

Do \(\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0;y-y_0)\), so sánh từng tọa độ cho:

\[d:\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Đây là công thức phương trình tham số của đường thẳng d đi qua \(M_0(x_0;y_0)\) và nhận \(\vec{u}=(a;b)\) làm vectơ chỉ phương.

Khi \(t\) chạy trên \(\mathbb{R}\), điểm \(M\) chạy qua toàn bộ đường thẳng. Đặc biệt, \(t=0\) cho \(M=M_0\).

Ví dụ, cho \(d\) đi qua \(A(1;2)\) và có \(\vec{u}=(2;-1)\).

Bước 1: Xác định điểm gốc \(A(1;2)\) và hai thành phần chỉ phương \(a=2\), \(b=-1\).

Bước 2: Thay vào công thức:

\[d:\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Bước 3: Kiểm tra với \(t=1\), ta được \(B(3;1)\) và \(\overrightarrow{AB}=(2;-1)=\vec{u}\). Vậy hệ trên đúng là phương trình cần tìm.

Cách viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết một điểm và vectơ chỉ phương

Quy trình gồm ba bước: Xác định điểm \(M_0(x_0;y_0)\); đọc vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(a;b)\) và kiểm tra \(a^2+b^2\ne0\); sau đó thay đúng vị trí vào \(x=x_0+at\), \(y=y_0+bt\).

Ví dụ, viết phương trình của \(\Delta\) qua \(M(-2;3)\) và nhận \(\vec{u}=(3;4)\) làm vectơ chỉ phương.

Bước 1: Ta có \(x_0=-2\), \(y_0=3\).

Bước 2: Vectơ \(\vec{u}=(3;4)\) hợp lệ vì \(3^2+4^2=25\ne0\).

Bước 3: Thay dữ kiện:

\[\Delta:\begin{cases}x=-2+3t\\y=3+4t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Kiểm tra nhanh: cho \(t=0\) thu được đúng điểm \(M(-2;3)\); các hệ số của \(t\) lần lượt là \(3\) và \(4\), đúng bằng tọa độ của \(\vec{u}\).

Nếu đề cho vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=(A;B)\), không thay trực tiếp \(A,B\) vào hệ. Do vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ pháp tuyến, có thể chọn:

\[\vec{u}=(-B;A)\quad\text{hoặc}\quad\vec{u}=(B;-A)\]

Chẳng hạn, \(\vec{n}=(2;-5)\) cho một vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=(5;2)\). Lỗi thường gặp là dùng luôn \((2;-5)\) làm vectơ chỉ phương, khiến đường viết được vuông góc với đường cần tìm.

Cách lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm

Cho hai điểm phân biệt \(A(x_A;y_A)\) và \(B(x_B;y_B)\). Khi đó, vectơ nối hai điểm là một vectơ chỉ phương:

\[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\]

Quy trình viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm:

Bước 1: Tính \(\overrightarrow{AB}\) và chọn một vectơ cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\) làm vectơ chỉ phương.

Bước 2: Chọn \(A\) hoặc \(B\) làm điểm gốc.

Bước 3: Thay tọa độ điểm gốc và vectơ chỉ phương vừa tìm vào \(x=x_0+at\), \(y=y_0+bt\).

Lưu ý: Nếu đổi từ \(\overrightarrow{AB}\) sang \(\overrightarrow{BA}\), phương trình nhìn khác nhưng vẫn biểu diễn cùng đường thẳng.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua \(A(-1;2)\) và \(B(3;-4)\).

Bước 1: Tính vectơ chỉ phương:

\[\overrightarrow{AB}=(3-(-1);-4-2)=(4;-6)\]Có thể rút gọn thành \(\vec{u}=(2;-3)\) vì hai vectơ cùng phương.

Bước 2: Chọn \(A(-1;2)\) làm điểm gốc.

Bước 3: Lập phương trình:

\[AB:\begin{cases}x=-1+2t\\y=2-3t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Kiểm tra điểm \(B\): từ \(-1+2t=3\) suy ra \(t=2\); khi đó \(y=2-3\cdot2=-4\). Vậy \(B\) thuộc đường thẳng và kết quả đúng.

Lưu ý: Nếu đề bài cho phương trình tham số của một đường thẳng thay vì cho trực tiếp vectơ chỉ phương, hãy lấy các hệ số của \(t\) làm tọa độ của vectơ chỉ phương. Cụ thể, từ \(x=x_0+at\), \(y=y_0+bt\), có thể chọn \(\vec{u}=(a;b)\).

Phương trình tham số của đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường cho trước

Quy trình viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua một điểm và song song với \(\Delta\):

Bước 1: Xác định một vectơ chỉ phương của \(\Delta\). Nếu \(\Delta\) có dạng tổng quát \(Ax+By+C=0\), có thể chọn \(\vec{u}_\Delta=(-B;A)\); nếu \(\Delta\) ở dạng tham số, lấy các hệ số của \(t\) làm tọa độ vectơ chỉ phương.

Bước 2: Vì \(d\) song song với \(\Delta\), chọn \(\vec{u}_d\) cùng phương với vectơ chỉ phương của \(\Delta\).

Bước 3: Thay tọa độ điểm đã cho và \(\vec{u}_d\) vào \(x=x_0+at\), \(y=y_0+bt\).

Ví dụ: Viết \(d\) qua \(P(1;-2)\) và song song với \(\Delta:2x-3y+5=0\).

Bước 1: \(\Delta\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_\Delta=(2;-3)\), nên chọn \(\vec{u}_\Delta=(3;2)\).

Bước 2: Vì \(d\parallel\Delta\), lấy \(\vec{u}_d=(3;2)\).

Bước 3: Dùng điểm \(P\):

\[d:\begin{cases}x=1+3t\\y=-2+2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Kiểm tra: \(\vec{u}_d\cdot\vec{n}_\Delta=3\cdot2+2\cdot(-3)=0\), nên \(\vec{u}_d\) song song với \(\Delta\). Vậy hệ trên thỏa cả điều kiện đi qua \(P\) và song song với đường đã cho.

Nếu \(d\) vuông góc với \(\Delta\), một vectơ pháp tuyến của \(\Delta\) có thể dùng làm vectơ chỉ phương của \(d\). Cũng có thể chọn vectơ \(\vec{u}_d\) sao cho tích vô hướng \(\vec{u}_d\cdot\vec{u}_\Delta=0\).

Ví dụ: Viết \(d\) qua \(Q(-2;1)\) và vuông góc với \(\Delta:x+4y-7=0\).

Bước 1: \(\Delta\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_\Delta=(1;4)\).

Bước 2: Vì \(d\perp\Delta\), chọn \(\vec{u}_d=(1;4)\).

Bước 3: Dùng điểm \(Q\):

\[d:\begin{cases}x=-2+t\\y=1+4t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Kiểm tra: một vectơ chỉ phương của \(\Delta\) là \((-4;1)\) và \((1;4)\cdot(-4;1)=0\). Vậy hai đường vuông góc, đồng thời \(t=0\) cho đúng điểm \(Q\).

Để phân biệt thêm các trường hợp cắt nhau, song song và trùng nhau, học sinh có thể xem bài Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Mối liên hệ giữa phương trình tham số, chính tắc và tổng quát

Từ hệ \(x=x_0+at\), \(y=y_0+bt\), nếu \(a\ne0\) và \(b\ne0\) thì:

\[t=\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}\]

Do đó, phương trình chính tắc là:

\[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}\]

Nếu \(a=0\) hoặc \(b=0\), không được chia cho \(0\) để viết dạng chính tắc này. Khi đó, giữ dạng tham số hoặc chuyển sang dạng tổng quát.

Muốn chuyển sang phương trình tổng quát, khử \(t\). Từ \(x-x_0=at\) và \(y-y_0=bt\), nhân chéo rồi chuyển vế:

\[b(x-x_0)-a(y-y_0)=0\]

Ví dụ: Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số dưới đây. Hãy chuyển \(d\) sang dạng chính tắc và dạng tổng quát.

\[d:\begin{cases}x=2+3t\\y=-1-2t\end{cases}\]

Bước 1: Nhận ra \(M_0(2;-1)\) và \(\vec{u}=(3;-2)\).

Bước 2: Vì hai thành phần đều khác \(0\), dạng chính tắc là:

\[\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}\]

Bước 3: Khử tham số bằng \(-2(x-2)-3(y+1)=0\).

Bước 4: Thu gọn được phương trình tổng quát:

\[2x+3y-1=0\]

Thay \(M_0(2;-1)\) vào vế trái được \(4-3-1=0\), nên phép chuyển đổi đúng. Dạng tổng quát đặc biệt hữu ích khi tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

Bài tập vận dụng viết phương trình tham số của đường thẳng

Bài 1. Biết một điểm và vectơ chỉ phương

Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(2;-3)\), có \(\vec{u}=(-1;5)\).

Lời giải: Điểm gốc là \(A(2;-3)\); hai hệ số của \(t\) là \(-1\) và \(5\). Vì \((-1)^2+5^2\ne0\), vectơ hợp lệ. Suy ra:

\[d:\begin{cases}x=2-t\\y=-3+5t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Đáp án: Hệ phương trình trên.

Bài 2. Biết hai điểm

Viết phương trình đường thẳng \(MN\) qua \(M(0;1)\) và \(N(4;3)\).

Lời giải: \(\overrightarrow{MN}=(4;2)\), rút gọn được \(\vec{u}=(2;1)\). Chọn \(M\) làm điểm gốc:

\[MN:\begin{cases}x=2t\\y=1+t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Với \(t=2\) thu được \(N(4;3)\), nên kết quả thỏa dữ kiện.

Đáp án: \(x=2t\), \(y=1+t\).

Bài 3: Biết điểm và đường thẳng song song

Viết \(d\) qua \(P(-1;2)\) và song song với \(\Delta:x=3-2t\), \(y=1+4t\).

Lời giải: Đường \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \((-2;4)\), rút gọn thành \((-1;2)\). Do \(d\parallel\Delta\), dùng cùng vectơ chỉ phương và điểm \(P\):

\[d:\begin{cases}x=-1-t\\y=2+2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Đáp án: Hệ phương trình trên.

Bài 4: Biết điểm và đường thẳng vuông góc

Viết \(d\) qua \(Q(3;0)\) và vuông góc với \(\Delta:3x+2y-6=0\).

Lời giải: \(\Delta\) có vectơ pháp tuyến \((3;2)\). Vì \(d\perp\Delta\), chọn \(\vec{u}_d=(3;2)\). Kết hợp với điểm \(Q\):

\[d:\begin{cases}x=3+3t\\y=2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}\]

Đáp án: Hệ phương trình trên.

Muốn lập phương trình tham số của đường thẳng, học sinh cần xác định một điểm thuộc đường và một vectơ chỉ phương khác vectơ không. Vectơ này có thể được cho trực tiếp, suy ra từ hai điểm, lấy theo hướng của đường song song hoặc lấy từ vectơ pháp tuyến của đường vuông góc.

Sau khi có hai dữ kiện cốt lõi, chỉ cần thay vào \(x=x_0+at\), \(y=y_0+bt\) và kiểm tra lại bằng một điểm. Khi cần, giải theo \(t\) để viết dạng chính tắc hoặc khử \(t\) để về dạng tổng quát. Người học có thể tiếp tục ôn các chuyên đề liên quan tại chuyên mục bài giảng Toán 10 của ZIM Academy.