Tích có hướng của 2 vectơ | Công thức, cách tính và ứng dụng Oxyz

Trong chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian, tích có hướng của 2 vecto là kiến thức dùng để xác định một vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho.

Nội dung trọng tâm gồm tích có hướng là gì, công thức tích có hướng, cách tính theo tọa độ trong không gian Oxyz, độ dài tích có hướng và một số ứng dụng trong các bài toán về vectơ pháp tuyến, diện tích và quan hệ hình học.

Tích có hướng của 2 vecto là gì?

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\) và \(\overrightarrow{v} = (a’; b’; c’)\). Khi đó vectơ \(\overrightarrow{n} = (bc’ - b’c; ca’ - c’a; ab’ - a’b)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\), được gọi là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\), kí hiệu là \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]\). [1]

Như vậy tích có hướng khác với tích vô hướng ở chỗ kết quả của tích có hướng giữa hai vectơ là một vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho. Người học cần lưu ý sự khác biệt giữa các khái niệm tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ.

Công thức tích có hướng của 2 vecto và cách tính

Tích có hướng có thể được biểu diễn theo dạng định thức. Với bốn số x, y, x’, y’, kí hiệu:

\[\begin{vmatrix} x & y \\ x' & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y\]

Với \(\overrightarrow{u} = (a; b; c)\) và \(\overrightarrow{v} = (a’; b’; c’)\), công thức tính tích có hướng của 2 vectơ theo tọa độ trong không gian Oxyz là: [1]

\[[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] = \left( \begin{vmatrix} b & c \\ b' & c' \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} c & a \\ c' & a' \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} \right)\]

Một sai lầm thường thấy khi tính toán tích có hướng bằng cách này là ghi sai thứ tự của tọa độ. Người học cần lưu ý, khi viết \([\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]\), các tọa độ của \(\overrightarrow{u}\) sẽ được viết ở phía trên của định thức như trên. Ngược lại, nếu viết \([\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}]\), các tọa độ của \(\overrightarrow{v}\) sẽ được viết ở phía trên của định thức.

Ví dụ: Tính tọa độ vectơ \([\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]\), với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) được cho như sau:

a. \(\overrightarrow{a} = (1; 2; 3)\) và \(\overrightarrow{b} = (2; 1; 1)\)

b. \(\overrightarrow{a} = (2; -1; 0)\) và \(\overrightarrow{b} = (1; 3; -2)\)

c. \(\overrightarrow{a} = (1; 2; -1)\) và \(\overrightarrow{b} = (-2; -4; 2)\)

Hướng dẫn giải:

a. Áp dụng công thức tính tọa độ tích có hướng giữa hai vectơ có:

\[[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\left(\begin{vmatrix}2 & 3\\ 1 & 1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{vmatrix}\right)\]

\[\Rightarrow [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] = (2\cdot 1-3\cdot 1;3\cdot 2-1\cdot 1;1\cdot 1-2\cdot 2)\]

\[\Rightarrow [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(-1;5;-3)\]

Vậy \(\Rightarrow [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(-1;5;-3)\).

b. Áp dụng công thức tính tọa độ tích có hướng của hai vectơ có:

\[[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\left(\begin{vmatrix}-1 & 0\\ 3 & -2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}0 & 2\\ -2 & 1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}2 & -1\\ 1 & 3\end{vmatrix}\right)\]

\[\Rightarrow[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=((-1)\cdot (-2)-0\cdot 3;0\cdot 1-2\cdot (-2);2\cdot 3-(-1)\cdot 1)\]

\(\Rightarrow[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(2;4;7)\)

Vậy \([\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] = (2; 4; 7)\)

c. Áp dụng công thức tính tọa độ tích có hướng của hai vectơ có:

\[[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\left(\begin{vmatrix}2 & -1\\ -4 & 2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}-1 & 1\\ 2 & -2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1 & 2\\ -2 & -4\end{vmatrix}\right)\]

\[\Rightarrow[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(2\cdot 2-(-1)\cdot (-4);(-1)\cdot (-2)-1\cdot 2;1\cdot (-4)-2\cdot (-2))\]

\(\Rightarrow[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(0;0;0)\)

Vậy \([\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] = (0; 0; 0)\)

Ở câu c, khi \([\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] = (0; 0; 0) = \overrightarrow{0}\), có thể kết luận hai vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) cùng phương, do tích có hướng của hai vectơ này là vectơ không.

Có tính chất sau đây: \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] = \overrightarrow{0}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương. [1] Như vậy, đối với hai vectơ cùng phương, tích có hướng của hai vectơ này bằng vectơ không.

Độ dài tích có hướng của 2 vecto

Nếu \([\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=(x;y;z)\), thì độ dài tích có hướng được tính theo công thức: [1]

\[\left|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

Công thức này được sử dụng khi bài toán yêu cầu tính độ dài của vectơ thu được sau phép tính tích có hướng.

Ứng dụng của tích có hướng của 2 vecto

Tìm vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

Dạng toán này yêu cầu người học tìm vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước. Do tích có hướng của hai vectơ luôn vuông góc với hai vectơ đó nên người học chỉ cần lưu ý xác định chính xác cách tính tọa độ của tích có hướng này, sau đó đối chiếu với điều kiện đề bài và kết luận.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (2; -1; 3)\) và \(\overrightarrow{b} = (1; 0; -2)\). Vectơ nào dưới đây đồng thời vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\)?

A. \(\overrightarrow{u} = (2; -7; 1)\)

B. \(\overrightarrow{u} = (2; 7; 1)\)

C. \(\overrightarrow{u} = (2; 7; -1)\)

D. \(\overrightarrow{u} = (-2; 7; 1)\)

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài cho trước tọa độ hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Do đó, thay vì thử từng đáp án để kiểm tra xem vectơ \(\overrightarrow{u}\) nào vuông góc với cả \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), có thể tính tọa độ tích có hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), sau đó kiểm tra xem tích có hướng này cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{u}\) nào trong các đáp án.

Giải:

Có:

\[[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\left(\begin{vmatrix}-1 & 3\\ 0 & -2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}3 & 2\\ -2 & 1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}2 & -1\\ 1 & 0\end{vmatrix}\right)\]

\[\Rightarrow[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=((-1)\cdot (-2)-3\cdot 0;3\cdot 1-2\cdot (-2);2\cdot 0-(-1)\cdot 1)\]

\(\Rightarrow[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(2;7;1)\)

Nhận thấy khi \(\overrightarrow{u} = (2; 7; 1)\) thì \(\overrightarrow{u}\) cùng phương và bằng \(\left\lbrack\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right\rbrack\), do đó chọn đáp án B.

Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Dạng toán này yêu cầu người học tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Người học cần lưu ý tính chất sau đây: Nếu \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì vectơ \([\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]\) là một vectơ pháp tuyến của (P). [2] Do đó, để làm được dạng bài tập này, người học cần:

• Xác định tọa độ hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) của mặt phẳng.

• Chọn vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng bằng vectơ \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]\).

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(1; 2; -1), N(2; 1; 0) và P(0; 1; 2). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) có tọa độ là:

A. \(\overrightarrow{n} = (1; 2; 1)\)

B. \(\overrightarrow{n} = (-2; -4; 2)\)

C. \(\overrightarrow{n} = (1; -2; 1)\)

D. \(\overrightarrow{n} = (2; -4; 2)\)

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài cho tọa độ ba điểm M, N, P của mặt phẳng (MNP), do đó có thể viết được 2 vectơ chỉ phương của mặt phẳng (MNP). Khi đó tích có hướng của hai vectơ chỉ phương này chính là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP).

Giải:

Có:

\[\overrightarrow{MN}=(x_N-x_M;y_N-y_M;z_N-z_M)=(1;-1;1)\]

\[\overrightarrow{MP}=(x_P-x_M;y_P-y_M;z_P-z_M)=(-1;-1;3)\]

Khi đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là:

\[\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP}] = \left( \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \right)\]

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=((-1)\cdot 3-1\cdot (-1);1\cdot (-1)-1\cdot 3;1\cdot (-1)-(-1)\cdot (-1))\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=(-2;-4;-2)\)

Nhận thấy \(\overrightarrow{n} = (-2; -4; -2)\) cùng phương với vectơ có tọa độ (1; 2; 1), do đó có thể chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q): x + 2y - z + 1 = 0 và (R): 2x - y + 3z - 2 = 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có thể là vectơ nào sau đây?

A. \(\overrightarrow{n} = (5; 5; 5)\)

B. \(\overrightarrow{n} = (1; -1; -1)\)

C. \(\overrightarrow{n} = (1; 1; -1)\)

D. \(\overrightarrow{n} = (-1; -1; 1)\)

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài cho phương trình hai mặt phẳng (Q) và (R) cùng vuông góc với mặt phẳng (P), do đó có thể suy ra hai vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) và (R) là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P). Từ đó có thể xác định được vectơ pháp tuyến của (P).

Giải:

Có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}\) của (Q) và \(\overrightarrow{n_2}\) của (R) có tọa độ như sau:

\(\overrightarrow{n_1} = (1; 2; -1)\)

\(\overrightarrow{n_2} = (2; -1; 3)\)

Do hai mặt phẳng (Q) và (R) cùng vuông góc với mặt phẳng (P), nên hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}\) của (Q) và \(\overrightarrow{n_2}\) của (R) chính là hai vectơ chỉ phương của (P).

Khi đó vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của (P) có tọa độ:

\[\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}] = \left( \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \right)\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{n}=(2\cdot 3-(-1)\cdot (-1);(-1)\cdot 2-1\cdot 3;1\cdot (-1)-2\cdot 2)\]

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=(5;-5;-5)\)

Nhận thấy \(\overrightarrow{n} = (5; -5; -5) = 5\cdot (1; -1; -1)\), do đó vectơ vừa tìm được cùng phương với vectơ có tọa độ là (1; -1; -1). Chọn đáp án B.

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Dạng toán này yêu cầu người học xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Người học cần lưu ý tính chất sau:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) lần lượt đi qua các điểm \(A_1(x_1; y_1; z_1)\) và \(A_2(x_2; y_2; z_2)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1} = (a_1; b_1; c_1)\), \(\overrightarrow{u_2} = (a_2; b_2; c_2)\). Các trường hợp được xác định như sau:

• \(\Delta_1//\Delta_2\Leftrightarrow\overrightarrow{u_1}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u_2}\) và \(A_1 \notin \Delta_2\).

• \(\Delta_1 \equiv \Delta_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{u_1}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u_2}\) và \(A_1 \in \Delta_2\).

• \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \begin{cases} [\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] \neq \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot [\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] = 0. \end{cases}\)

• \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau \(\Leftrightarrow \overrightarrow{A_1A_2} \cdot [\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] \neq 0\).

Do đó, với dạng bài này, người học cần xác định được vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và hai điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng đó.

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) sau:

\(d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{3}\)

\(d_2: \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 5 + 3t \end{cases}\)

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Bài toán cho phương trình của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\). Từ hai phương trình đó có thể xác định được vectơ chỉ phương và một điểm thuộc mỗi đường, khi đó có thể xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.

Giải: Có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\) của đường thẳng \(d_1\) có tọa độ:

\(\overrightarrow{u_1} = (2; 1; 3)\)

Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\) của đường thẳng \(d_2\) có tọa độ:

\(\overrightarrow{u_2} = (2; 1; 3)\)

Nhận thấy \(\overrightarrow{u_1} = \overrightarrow{u_2}\). Lấy điểm \(A(1; -1; 2) \in d_1\), có thể nhận thấy \(A \notin d_2\), vì vậy đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song với nhau.

Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) sau:

\(d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}\)

\(d_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-5}{-1}\)

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Tương tự như ví dụ 1, với hai phương trình của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), có thể xác định vectơ chỉ phương và một điểm thuộc mỗi đường.

Giải: Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\) của đường thẳng \(d_1\) có tọa độ:

\(\overrightarrow{u_1} = (1; -1; 2)\)

Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\) của đường thẳng \(d_2\) có tọa độ:

\(\overrightarrow{u_2} = (1; 2; -1)\)

Khi đó:

\[[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] = \left( \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right)\]

\(\Rightarrow [\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(-3;3;3)\)

Lấy điểm \(A(1; 2; 3) \in d_1\) và \(B(2; 1; 5) \in d_2\), khi đó \(\overrightarrow{AB} = (1; -1; 2)\). Từ đó:

\[\overrightarrow{AB}\cdot [\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=1\cdot (-3)+(-1)\cdot 3+2\cdot 3=0\]

Từ đó có thể kết luận đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau.

Bài tập tích có hướng của 2 vecto

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (1; 2; -1)\) và \(\overrightarrow{b} = (2; -1; 3)\). Hãy tìm tọa độ của một vectơ \(\overrightarrow{n}\) khác vectơ không sao cho \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Bài toán cho trước tọa độ của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Có thể tìm ra một vectơ vuông góc với hai vectơ này là tính tọa độ tích có hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).

Giải: Lấy \(\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\). Có:

\[\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] = \left( \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \right)\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{n}=(2\cdot 3-(-1)\cdot (-1);(-1)\cdot 2-1\cdot 3;1\cdot (-1)-2\cdot 2)\]

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=(5;-5;-5)\)

Vậy \(\overrightarrow{n} = (5; -5; -5)\).

Bài 2: Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) đi qua ba điểm phân biệt M(1; 1; 1), N(2; -1; 3) và P(0; 2; 4).

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Với 3 điểm M, N, P đã cho thuộc mặt phẳng (P), có thể viết tọa độ cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P). Khi đó có thể lấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương vừa viết.

Giải: Lấy cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) như sau:

\(\overrightarrow{u_1} = \overrightarrow{MN} = (1; -2; 2)\)

\(\overrightarrow{u_2} = \overrightarrow{MP} = (-1; 1; 3)\)

Khi đó một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng (P) có tọa độ:

\[\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] = \left( \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \right)\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{n}=((-2)\cdot 3-2\cdot 1;2\cdot (-1)-1\cdot 3;1\cdot 1-(-2)\cdot (-1))\]

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=(-8;-5;-1)\)

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ (-8; -5; -1).

Bài 3: Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 1; 3) và chứa đường thẳng d có phương trình:

\(d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-2}\)

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài cho sẵn tọa độ một điểm M và phương trình một đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P). Có thể xác định \(M \notin d\), do đó có thể tạo 2 vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P), bằng cách chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng d và vectơ tạo bởi điểm M và một điểm thuộc đường thẳng d.

Giải: Do \(d \in (P)\) nên vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1} = (2; 1; -2)\) là một vectơ chỉ phương của (P).

Lấy điểm \(A(1; -1; 0) \in (P)\), khi đó \(\overrightarrow{u_2} = \overrightarrow{MA} = (-1; -2; -3)\) là một vectơ chỉ phương của (P).

Từ đó chọn vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng (P) sao cho:

\[\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] = \left( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} \right)\]

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=(-7;8;-3)\)

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (-7; 8; -3).

Bài 4: Cho hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) có phương trình:

\(d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-3}{-1}\)

\(d_2: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{m} = \frac{z-2}{1}\)

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài cho sẵn phương trình của đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\). Khi đó có thể viết tọa độ vectơ chỉ phương và một điểm thuộc \(d_1\), tọa độ vectơ chỉ phương theo m và một điểm thuộc \(d_2\). Khi đó có thể tính tọa độ tích có hướng của hai vectơ chỉ phương này theo m, kết hợp với điều kiện để \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau để tìm ra giá trị của m.

Giải: Để đường thẳng \(d_2\) xác định thì \(m\ne0\).

Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\) của đường thẳng \(d_1\) có tọa độ:

\(\overrightarrow{u_1} = (1; 2; -1)\)

Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\) của đường thẳng \(d_2\) có tọa độ:

\(\overrightarrow{u_2} = (2; m; 1)\)

Khi đó:

\[[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] = \left( \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ m & 1 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & m \end{vmatrix} \right)\]

\(\Rightarrow [\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] = (m+2;-3;m-4)\)

Lấy điểm \(A(1; -2; 3) \in d_1\) và \(B(-1; 1; 2) \in d_2\), khi đó \(\overrightarrow{AB} = (-2; 3; -1)\). Để hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau cần:

\[\begin{cases} [\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}] \neq \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{AB}\cdot [\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=0\end{cases}\]

Điều kiện 1 luôn đúng (do tung độ của \([\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]\) luôn bằng -3 với mọi m). Đối với điều kiện 2:

\[-2\cdot (m + 2) + 3\cdot (-3) + (-1)\cdot (m - 4) = 0\]

\(\Rightarrow -3m - 9 = 0\)

\(\Rightarrow m = -3\) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne0\))

Vậy m = -3 để hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau.

Tham khảo thêm: Phương trình tham số của đường thẳng | Cách viết, công thức và bài tập Toán 10.

Tích có hướng của 2 vecto là kiến thức quan trọng trong phương pháp tọa độ trong không gian, với nội dung trọng tâm gồm khái niệm, công thức tính, độ dài và các tính chất của tích có hướng. Việc xác định đúng tọa độ của tích có hướng giúp vận dụng vào các bài toán về vectơ pháp tuyến, diện tích và quan hệ hình học trong không gian Oxyz.

Người học có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 12 để hệ thống kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian và luyện tập các dạng bài liên quan.