Vectơ chỉ phương của đường thẳng | Lý thuyết và bài tập Toán 12

Vecto chỉ phương của đường thẳng là khái niệm quan trọng trong không gian tọa độ Oxyz.

Qua bài viết, người học sẽ hiểu vecto chỉ phương của đường thẳng là gì, nắm được công thức liên quan và cách tìm vectơ chỉ phương của một đường thẳng để vận dụng khi lập phương trình tham số, phương trình chính tắc và xét vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì?

Vectơ \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) nếu giá của \(\overrightarrow{u}\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(\Delta\). [1]

Các tính chất cơ bản:

• Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

• Nếu \(\overrightarrow{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) thì k\(\overrightarrow{u}\) (với k là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta\).

• Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương của \(\Delta\).

Điều kiện hai vectơ cùng phương: Vectơ \(\overrightarrow{a}\) = (x; y; z) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{b}\) = (x'; y'; z') \(\ne\)0 khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:\[ \left\{ \begin{aligned} x&=kx'\\ y&=ky'\\ z&=kz' \end{aligned} \right. \]

• Mẹo nhận dạng nhanh bằng tỉ lệ tọa độ: Trong trường hợp các tọa độ x’, y’, z’ đều khác 0, hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương khi và chỉ khi các tỉ số tọa độ tương ứng bằng nhau: \(\frac{x}{x^{\prime}}=\frac{y}{y^{\prime}}=\frac{z}{z^{\prime}}\).

• Chú ý: Nếu một hoành độ bằng 0 thì hoành độ tương ứng cũng phải bằng 0 (x’ = 0 thì x = 0). Tương tự với tung độ và cao độ.

Các phương pháp xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng;

Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian Oxyz, tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta sẽ sử dụng một trong số các phương pháp phổ biến sau:

Phương pháp 1: Đọc trực tiếp từ phương trình tham số

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm \(M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)\) có dạng:\[ d:\left\{ \begin{aligned} x&=x_0+at\\ y&=y_0+bt\\ z&=z_0+ct \end{aligned} \right. \]Cách xác định: Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) chính là vectơ có tọa độ từ các hệ số của tham số t: \(\overrightarrow{u}\) = (a; b ; c).

Phương pháp 2: Đọc trực tiếp từ phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc của đường thẳng d có dạng: \[d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\left(a,b,c\ne0\right)\]Cách xác định: Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) chính là các hệ số nằm ở mẫu số của các phân thức: \(\overrightarrow{u}\) = (a; b ; c).

Phương pháp 3: Lấy vectơ nối hai điểm thuộc đường thẳng

Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt đã biết tọa độ là \(A\left(x_{A};y_{A};z_{A}\right)\) và \(B\left(x_{B};y_{B};z_{B}\right)\):

Cách xác định: Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) có thể chọn là vectơ \(\overrightarrow{AB}\) hoặc \(\overrightarrow{BA}\).

\[\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A}\right)\]

Phương pháp 4: Khi đường thẳng song song với đường thẳng cho trước

Cho đường thẳng d // d’.

Cách xác định: Hai đường thẳng song song thì có cùng phương hướng. Do đó, có thể chọn vectơ chỉ phương của d là vectơ chỉ phương của d': \(\overrightarrow{u_d}=k\overrightarrow{u_{d'}},k\ne0\).

Phương pháp 5: Khi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (\(\alpha\))

Cho \(d\perp\left(\alpha\right)\) có phương trình: Ax + By + Cz +D = 0.

Cách xác định: Mặt phẳng (\(\alpha\)) có vectơ pháp tuyến \(n_{\left(\alpha\right)}\) = (A; B; C). Vì; \(d\perp\left(\alpha\right)\) nên giá của vectơ pháp tuyến \(n_{\left(\alpha\right)}\) sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng d. Do đó, vectơ chỉ phương của d chọn bằng vectơ pháp tuyến của (\(\alpha\)): \(\overrightarrow{u_{d}}=\overrightarrow{n_{\left(\alpha\right)}}\) = (A; B; C).

Phương pháp 6: Khi đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng \(d_1,d_2\)

Nếu \(d\perp d_1\) và \(d\perp d_2\) (trong đó \(d_1,d_2\) có các vectơ chỉ phương không cùng phương).

Cách xác định: Vì \(d\perp d_1\) và \(d\perp d_2\) nên vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d}}\) phải vuông góc với cả \(\overrightarrow{u_{d_1}}\) và \(\overrightarrow{u_{d_2}}\). Do đó vectơ chỉ phương của d được tính bằng tích có hướng của hai vectơ chỉ phương tương ứng:

\[\overrightarrow{u_{d}}=\left\lbrack\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\right\rbrack\]

Công thức của tích có hướng: Nếu \(\overrightarrow{u_{d_1}}=\left(a,b,c\right)\) và \(\overrightarrow{u_{d_2}}=\left(x,y,z\right)\) thì:

\[\overrightarrow{u_{d}}=\left\lbrack\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\right\rbrack=\left(\begin{vmatrix}b & c\\ y & z\end{vmatrix},\begin{vmatrix}c & a\\ z & x\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a & b\\ x & y\end{vmatrix}\right)=\left(bz-cy,cx-az,ay-bx\right)\]

Vectơ chỉ phương của các đường thẳng đặc biệt trong không gian Oxyz

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Ox: \(\overrightarrow{u}\) = \(\overrightarrow{i}\) = (1; 0; 0) hoặc \(\overrightarrow{u}\) = k(1; 0; 0).

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oy: \(\overrightarrow{u}\) = \(\overrightarrow{j}\) = (0; 1; 0) hoặc \(\overrightarrow{u}\) = k(0; 1; 0).

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oz: \(\overrightarrow{u}\) = \(\overrightarrow{k}\) = (0; 0; 1) hoặc \(\overrightarrow{u}\) = k(0; 0; 1).

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M(a; b; c): \(\overrightarrow{u}\) = \(\overrightarrow{OM}\) = (a; b ; c).

Bảng tổng hợp vectơ chỉ phương các trường hợp đặc biệt:

Quan hệ giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Khi đường thẳng d nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P): Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow{u_{d}}\) vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\overrightarrow{n_{P}}\), tức là tích vô hướng của hai vectơ bằng 0: \(\overrightarrow{u_{d}}\).\(\overrightarrow{n_{P}}\)= 0 (Nếu \(\overrightarrow{u_{d}}\) = (a; b; c) và \(\overrightarrow{n_{P}}\) = (A ;B ;C) thì aA + bB + cC = 0).

Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow{u_{d}}\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\overrightarrow{n_{P}}\) song song (hoặc trùng nhau). Khi đó \(\overrightarrow{u_{d}}\) = k.\(\overrightarrow{n_{P}}\) (k \(\ne\)0).

Ứng dụng: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d' bằng cách lấy tích có hướng \( \overrightarrow{u_d} = \left[ \overrightarrow{n_P}, \overrightarrow{u_{d'}} \right] \).

Kiểm tra một vectơ có phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng hay không: Để xác minh một vectơ \(\overrightarrow{v}\) có phải vectơ chỉ phương của d hay không, ta kiểm tra xem \(\overrightarrow{v}\) có khác \(\overrightarrow{0}\) và có thỏa mãn điều kiện cùng phương với vectơ chỉ phương ban đầu \(\overrightarrow{u_{d}}\).

• Bước 1: Xác định một vectơ chỉ phương ​​\(\overrightarrow{u_{d}}=(a_0;b_0;c_0)\) của đường thẳng d.

• Bước 2: Xét vectơ \(\overrightarrow{v}\) = (a;b;c)

Kiểm tra v=0 và xem có tồn tại số thực k=0 sao cho: \( \overrightarrow v=k\overrightarrow{u_d} \)

Nếu tồn tại hằng số \(k\ne0\) thỏa mãn thì \(\overrightarrow{v}\) là vectơ chỉ phương của d.

Bài tập vectơ chỉ phương của đường thẳng theo từng dạng có lời giải

Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng từ phương trình tham số hoặc chính tắc

Ví dụ 1: Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z}{1}\).

Lời giải

Từ các mẫu số của phương trình chính tắc trên, ta được một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow{u}\) = (2; -3; 1).

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \( d:\left\{ \begin{aligned} x&=-1+3t\\ y&=1\\ z&=2t \end{aligned} \right. \)

Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của d.

Lời giải

Dựa vào hệ số của tham số t trong phương trình tham số nên ta được \(\overrightarrow{u}\) = (3; 0; 2) là một vectơ chỉ phương của d.

Dạng 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết hai điểm thuộc đường thẳng

Ví dụ: Cho A(-1; 2; 1) và B(3; 0; 2). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Lời giải

Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) = (3 - (-1); 0 - 2; 2 - 1) = (4; -2; 1) chính là một vectơ chỉ phương của AB.

Dạng 3: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng trong bài toán hình hộp, hình lăng trụ

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC’ mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Lời giải

Do tính chất của hình hộp, các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, đường thẳng BC’ song song với đường thẳng AD’.

Đường thẳng BC’ nhận các vectơ \(\overrightarrow{BC^{\prime}}\), \(\overrightarrow{C^{\prime}B}\), \(\overrightarrow{AD^{\prime}}\), \(\overrightarrow{D^{\prime}A}\) là các vectơ chỉ phương.

Dạng 4: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng khi đường thẳng thỏa mãn điều kiện liên quan đến mặt phẳng

Ví dụ 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + 3z -1 = 0.

Lời giải

Do d \(\perp\)(P) nên vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) = \(\overrightarrow{n_{P}}\) = (2; -1; 3).

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y - z + 3 = 0 và (Q): 2x - y + z - 1 = 0. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Tìm một vectơ chỉ phương của d.

Lời giải

Vì d là giao tuyến của (P) và (Q) nên d nằm trong cả hai mặt phẳng:

• d \(\subset\) (P) \(\overrightarrow{u_{d}}\) \(\perp\) \(\overrightarrow{n_{P}}\), trong đó \(\overrightarrow{n_{P}}\)=(1; 2; -1).

• d \(\subset\) (Q) \(\overrightarrow{u_{d}}\) \(\perp\) \(\overrightarrow{n_{Q}}\), trong đó \(\overrightarrow{n_{Q}}\) = (2; -1; 1).

Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d}}\) vuông góc với cả \(\overrightarrow{n_{P}}\) và \(\overrightarrow{n_{Q}}\), nên ta chọn: \(\overrightarrow{u_{d}}\) = [\(\overrightarrow{n_{P}}\), \(\overrightarrow{n_{Q}}\)]

\[ \vec{u}_d = \left[\vec{n}_P,\vec{n}_Q\right] = \left( \begin{vmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} -1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & -1 \end{vmatrix} \right) = (1;-3;-5) \]Vậy một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow{u_{d}}\) = (1; -3; -5).

Dạng 5: Nhận dạng và kiểm tra vectơ chỉ phương của đường thẳng trong câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án

Ví dụ: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) = (1; -2; 2). Vectơ nào dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của d?

A. \(\overrightarrow{u_1}\) = (-1; 2; -2)

B. \(\overrightarrow{u_2}\) = (2; -4; 4)

C. \(\overrightarrow{u_3}\) = (3; -6; 6)

D. \(\overrightarrow{u_4}\) = (1; 2; 2)

Lời giải

Chọn D.

Vì \(\frac11\ne\frac{-2}{2}\) nên \(\overrightarrow{u_4}\) = (1; 2; 2) không cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). Do đó \(\overrightarrow{u_4}\) không phải là vectơ chỉ phương của d.

Bài tập tự luyện theo mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng

Bài 1 (Nhận biết): Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-1}{4}\). Vectơ chỉ phương của d là:

Đáp số: \(\overrightarrow{u}\) = (3 ;-2; 4).

Bài 2 (Thông hiểu): Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua 2 điểm A (2; 1; -1) và B (0; 3; 2). Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của d có hoành độ bằng 2.

Đáp số: \(\overrightarrow{u}\) = (2; -2; -3).

Bài 3 (Vận dụng): Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 0; 2), song song với mặt phẳng (P): x + y - 2z + 1 = 0 và vuông góc với d’: \[\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{3}\]

Đáp số: \(\overrightarrow{u}\) = [\(\overrightarrow{n_{P}}\), \(\overrightarrow{u_{d^{\prime}}}\)] = (5; -7; -1). \[ d:\left\{ \begin{aligned} x&=1+5t\\ y&=-7t\\ z&=2-t \end{aligned} \right. \qquad (t\in\mathbb{R}) \]

Ứng dụng vectơ chỉ phương vào lập phương trình đường thẳng

Lập phương trình tham số

Đường thẳng đi qua \(M_0\)(\(x_0;y_0;z_0\)) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) = (a; b ; c) có phương trình tham số: \[ d:\left\{ \begin{aligned} x&=x_0+at\\ y&=y_0+bt\\ z&=z_0+ct \end{aligned} \right. \qquad (t\in\mathbb{R}) \]

Lập phương trình chính tắc

Nếu a, b, c đều khác 0, ta có thể khử tham số t từ hệ phương trình tham số để được phương trình chính tắc có dạng: \[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\]

Xử lý trường hợp có hệ số bằng 0

Nếu 1 hoặc 2 trong 3 hệ số a, b, c bằng 0 (Ví dụ a = 0, b \(\ne\)0, c \(\ne\)0) thì đường thẳng không có phương trình chính tắc. Khi đó, ta phải sử dụng phương trình tham số để biểu diễn đường thẳng.

Chuyển đổi linh hoạt giữa phương trình tham số và phương trình chính tắc

Từ tham số sang chính tắc: Rút t từ từng phương trình tham số ta được:

\[t=\frac{x-x_0}{a};t=\frac{y-y_0}{b};t=\frac{z-z_0}{c}\]Sau đó ta cho các biểu thức chứa t này bằng nhau, thu được phương trình chính tắc.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số: \[d:\begin{cases}x=1+2t\\ y=3-4t\\ z=-2+t\end{cases}\left(t\in\mathbb{R}\right)\]Hãy chuyển phương trình đường thẳng d về dạng phương trình chính tắc.

Lời giải

• Từ từng phương trình thành phần của d, ta biểu diễn tham số t theo các biến x, y, z:

  \[x=1+2t\Rightarrow2t=x-1\Rightarrow t=\frac{x-1}{2}\]

  \[y=3-4t\Rightarrow4t=3-y\Rightarrow t=\frac{y-3}{-4}\]
  \[z=-2+t\Rightarrow t=z+2\Rightarrow t=\frac{z+2}{1}\]
  Cho các biểu thức cùng bằng t này bằng nhau, ta thu được phương trình chính tắc của đường thẳng\[d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z+2}{1}\]

• Từ chính tắc sang tham số: Đặt các tỉ số bằng t, sau đó rút x, y, z theo \(t=\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\)\[ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x&=x_0+at\\ y&=y_0+bt\\ z&=z_0+ct \end{aligned} \right. \]
  Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{2}\). Hãy chuyển phương trình đường thẳng d về dạng phương trình tham số.

  Lời giải

  Đặt các tỉ số trong phương trình chính tắc bằng tham số t:

  \[t=\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{2}\]

  Rút từng biến x, y, z theo t:

• \(t=\frac{x-2}{3}\Rightarrow x-2=3t\Rightarrow x=3t+2\)

• \(t=\frac{y+1}{-1}\Rightarrow y+1=-t\Rightarrow y=-1-t\)

• \(t=\frac{z-4}{2}\Rightarrow z-4=2t\Rightarrow z=4+2t\)
  Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:
  \[d:\begin{cases}x=2+3t\\ y=-1-t\\ z=4+2t\end{cases}\]

Hiểu rõ được định nghĩa, tính chất của vectơ chỉ phương của đường thẳng, các phương pháp xác định, các trường hợp đường thẳng đặc biệt, quan hệ với vectơ pháp tuyến và ứng dụng vào lập phương trình đường thẳng là chìa khóa quan trọng trong việc giải các bài tập. Đây là khái niệm quan trọng để tiếp cận với nội dung kiến thức chương phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz.

Để ôn luyện thêm các chủ đề liên quan như phương trình đường thẳng trong không gian và vị trí tương đối giữa các đường thẳng, học sinh có thể tham khảo chuyên mục bài giảng Toán lớp 12 tại ZIM Academy nhé!