Quy đồng mẫu số | Cách làm và bài tập có lời giải chi tiết

Quy đồng mẫu số là biến đổi các phân số đã cho thành những phân số tương ứng bằng chúng và có cùng mẫu số, giúp học sinh so sánh, cộng và trừ phân số khác mẫu. Bài viết hướng dẫn quy tắc quy đồng mẫu số hai phân số trong chương trình Toán 4, cách chọn mẫu số chung và trình bày ví dụ từng bước, kèm bài tập có lời giải để học sinh luyện tập.

Quy đồng mẫu số là gì?

Quy đồng mẫu số là biến đổi các phân số đã cho thành những phân số tương ứng bằng chúng và có cùng mẫu số. Giá trị của mỗi phân số được giữ nguyên sau khi quy đồng. [1]

Mẫu số dùng chung được gọi là mẫu số chung, viết tắt là MSC. Mẫu số là số ở dưới gạch ngang của phân số; trong phạm vi bài học, mẫu số là số tự nhiên khác 0.

Cách quy đồng phân số dựa trên tính chất cơ bản của phân số: nhân hoặc chia đồng thời cả tử số và mẫu số cho cùng một số thích hợp thì giá trị phân số không đổi.

Học sinh cần ôn lại tử số, mẫu số và tính chất cơ bản của phân số để hiểu vì sao quy đồng không làm thay đổi giá trị.

• Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

• Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên khác 0 thì sau khi chia thu được một phân số bằng phân số đã cho.

Khi quy đồng mẫu số, học sinh cần kiểm tra hai điều: các phân số mới có cùng mẫu số và mỗi phân số mới bằng phân số ban đầu. Các quy tắc dưới đây vận dụng tính chất phân số trong Toán 4, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

Mục đích và vai trò của quy đồng mẫu số

Với cùng một đơn vị, mẫu số cho biết đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau. Đưa các phân số về cùng mẫu số giúp học sinh so sánh và tính toán trên những phần có cùng kích thước. Quy đồng thường được vận dụng trong ba dạng toán:

1. So sánh hai hoặc nhiều phân số khác mẫu số:

   Muốn biết phân số nào lớn hơn hoặc nhỏ hơn khi mẫu số của chúng khác nhau, học sinh không thể chỉ nhìn vào tử số. Việc đưa về cùng mẫu số giúp học sinh áp dụng quy tắc cơ bản: Trong hai phân số có cùng mẫu số dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.

2. Thực hiện phép cộng hai hoặc nhiều phân số khác mẫu số:

   Theo cách cộng phân số khác mẫu số được học ở tiểu học, học sinh quy đồng mẫu số rồi cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số chung. Có thể rút gọn trước khi quy đồng để việc tính toán thuận tiện hơn.

3. Thực hiện phép trừ hai phân số khác mẫu số:

   Tương tự, khi trừ hai phân số khác mẫu số theo cách đưa về cùng mẫu, học sinh quy đồng trước, trừ các tử số rồi giữ nguyên mẫu số chung. Trong bài học lớp 4, các ví dụ phép trừ được chọn có kết quả không âm.

Quy tắc quy đồng mẫu số lớp 4 khi một mẫu chia hết cho mẫu còn lại

Trong Bài 57 Toán 4 Kết nối tri thức, học sinh thực hành cách quy đồng hai phân số khi một mẫu số chia hết cho mẫu số còn lại. Khi đó, chọn mẫu số lớn hơn làm mẫu số chung và chỉ cần biến đổi phân số có mẫu số nhỏ hơn.[1]

Quy tắc thực hiện

Khi quy đồng mẫu số hai phân số mà mẫu số của phân số này chia hết cho mẫu số của phân số kia:

Bước 1: Chọn mẫu số lớn hơn làm mẫu số chung (MSC), vì mẫu này chia hết cho mẫu còn lại.

Bước 2: Lấy mẫu số chung chia cho mẫu số còn lại để tìm thương (thừa số phụ).

Bước 3: Nhân cả tử số và mẫu số của phân số có mẫu số nhỏ hơn với thương vừa tìm được.

Bước 4: Giữ nguyên phân số có mẫu số lớn hơn (phân số đã có mẫu số là MSC).

Ví dụ minh họa và so sánh phương pháp

Ví dụ 1: Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{7}{12}\).

Phân tích:

• Mẫu số 12 chia hết cho mẫu số 3 (12 : 3 = 4).

• Chọn MSC = 12.

Thực hiện:

• Tìm thương: 12 : 3 = 4.

• Nhân tử số và mẫu số của phân số \(\frac{2}{3}\) với 4:

  \[\begin{aligned}\frac{2}{3} &= \frac{2 \times 4}{3 \times 4} \\&= \frac{8}{12}\end{aligned}\]

• Giữ nguyên phân số \(\frac{7}{12}\).

Kết luận: Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{7}{12}\) thu được hai phân số \(\frac{8}{12}\) và \(\frac{7}{12}\).

So sánh hai phương pháp giải cho bài toán trên

Cách quy đồng mẫu số hai phân số bằng tích hai mẫu

Có thể lấy tích hai mẫu số làm mẫu số chung để quy đồng hai phân số. Cách này dùng được với mọi cặp phân số có mẫu số là số tự nhiên khác 0, nhưng đôi khi tạo ra các số lớn hơn cần thiết. [1]

Quy tắc thực hiện từng bước

Muốn quy đồng mẫu số hai phân số trong trường hợp thông thường, học sinh thực hiện theo 2 bước rõ ràng:

• Bước 1: Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.

• Bước 2: Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.

Lưu ý: Tích hai mẫu số là một mẫu số chung có thể chọn, không nhất thiết là mẫu số chung nhỏ nhất. Nếu một mẫu chia hết cho mẫu còn lại, nên ưu tiên cách giữ nguyên phân số có mẫu số lớn hơn.

Công thức quy đồng mẫu số hai phân số

Với hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\), trong đó a, c là số tự nhiên và b, d là số tự nhiên khác 0, có thể chọn MSC = b × d:

\[\frac{a}{b}=\frac{a\times d}{b\times d}\]

\[\frac{c}{d}=\frac{c\times b}{d\times b}\]

Hai phân số mới lần lượt bằng hai phân số ban đầu và có cùng mẫu số b × d. Học sinh lớp 4 có thể ghi nhớ bằng lời: nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với mẫu số của phân số còn lại.

Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{2}{5}\).

• Phân tích:

Phân số thứ nhất là \(\frac{3}{4}\) (tử số là 3, mẫu số là 4).

Phân số thứ hai là \(\frac{2}{5}\) (tử số là 2, mẫu số là 5).

Hai mẫu số 4 và 5 không chia hết cho nhau. mẫu số chung = \(4\times5\) = 20.

• Thực hiện:

Nhân tử số và mẫu số của \(\frac{3}{4}\) với mẫu số 5:

\[\begin{aligned}\frac{3}{4} &= \frac{3 \times 5}{4 \times 5} \\&= \frac{15}{20}\end{aligned}\]

Nhân tử số và mẫu số của \(\frac{2}{5}\) với mẫu số 4:

\[\begin{aligned}\frac{2}{5} &= \frac{2 \times 4}{5 \times 4} \\&= \frac{8}{20}\end{aligned}\]

Kết luận: Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{2}{5}\) thu được hai phân số \(\frac{15}{20}\) và \(\frac{8}{20}\).

Ví dụ 2: Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{5}{7}\) và \(\frac{1}{3}\).

• Phân tích:

mẫu số chung = \(7 \times 3 = 21\).

• Thực hiện:

Nhân tử số và mẫu số của \(\frac{5}{7}\) với 3:

\[\begin{aligned}\frac{5}{7} &= \frac{5 \times 3}{7 \times 3} \\&= \frac{15}{21}\end{aligned}\]

Nhân tử số và mẫu số của \(\frac{1}{3}\) với 7:

\[\begin{aligned}\frac{1}{3} &= \frac{1 \times 7}{3 \times 7} \\&= \frac{7}{21}\end{aligned}\]

Kết luận: Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{5}{7}\) và \(\frac{1}{3}\) thu được hai phân số \(\frac{15}{21}\) và \(\frac{7}{21}\).

Cách quy đồng mẫu số ba phân số

Khi bài toán yêu cầu quy đồng mẫu số của 3 phân số, học sinh cần mở rộng quy tắc nhân tử số và mẫu số của từng phân số với tích các mẫu số còn lại, hoặc tìm mẫu số chung thích hợp. [1]

Ưu tiên tìm một mẫu số chia hết cho các mẫu còn lại. Cách lấy tích ba mẫu dưới đây là phương án mở rộng có thể dùng khi chưa nhận ra mẫu số chung thuận tiện. Trong công thức, T₁, T₂, T₃ là các tử số; M₁, M₂, M₃ là các mẫu số khác 0 tương ứng.

Quy tắc tổng quát

Muốn quy đồng mẫu số ba phân số theo cách tổng quát:

Bước 1: Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với tích mẫu số của phân số thứ hai và phân số thứ ba.

Bước 2: Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ hai với tích mẫu số của phân số thứ nhất và phân số thứ ba.

Bước 3: Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ ba với tích mẫu số của phân số thứ nhất và phân số thứ hai.

Công thức tổng quát:

\[\text{MSC} = M_1 \times M_2 \times M_3\]\[\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_1 \times M_2 \times M_3}{M_1 \times M_2 \times M_3}\]\[\frac{T_2}{M_2} = \frac{T_2 \times M_1 \times M_3}{M_2 \times M_1 \times M_3}\]\[\frac{T_3}{M_3} = \frac{T_3 \times M_1 \times M_2}{M_3 \times M_1 \times M_2}\]

Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1 (Cách tổng quát): Quy đồng mẫu số ba phân số \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{2}{5}\).

Phân tích: Các mẫu số là 2, 3, 5.

• Mẫu số chung = \(2 \times 3 \times 5 = 30\).

Thực hiện:

• Nhân tử và mẫu của \(\frac{1}{2}\) với tích \((3 \times 5 = 15)\):

  \[\begin{aligned}\frac{1}{2} &= \frac{1 \times 3 \times 5}{2 \times 3 \times 5} \\&= \frac{15}{30}\end{aligned}\]

• Nhân tử và mẫu của \(\frac{2}{3}\) với tích \((2 \times 5 = 10)\):

  \[\begin{aligned}\frac{2}{3} &= \frac{2 \times 2 \times 5}{3 \times 2 \times 5} \\&= \frac{20}{30}\end{aligned}\]

• Nhân tử và mẫu của \(\frac{2}{5}\) với tích \((2 \times 3 = 6)\):

  \[\begin{aligned}\frac{2}{5} &= \frac{2 \times 2 \times 3}{5 \times 2 \times 3} \\&= \frac{12}{30}\end{aligned}\]

Kết luận: Quy đồng mẫu số ba phân số \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{2}{5}\) thu được ba phân số \(\frac{15}{30}\), \(\frac{20}{30}\), \(\frac{12}{30}\)

Ví dụ 2: Quy đồng mẫu số ba phân số \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{7}\) và \(\frac{9}{14}\).

Phân tích: 14 chia hết cho cả 2 và 7 nên chọn MSC = 14.

Thực hiện:

\[\begin{aligned}\frac{1}{2}&=\frac{1\times7}{2\times7}\\&=\frac{7}{14}\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\frac{2}{7}&=\frac{2\times2}{7\times2}\\&=\frac{4}{14}\end{aligned}\]

Giữ nguyên phân số \(\frac{9}{14}\).

Kết luận: Ba phân số sau khi quy đồng lần lượt là \(\frac{7}{14}\), \(\frac{4}{14}\) và \(\frac{9}{14}\).

Cách chọn mẫu số chung và rút gọn trước khi quy đồng

Cách quy đồng mẫu số chung: Trước hết kiểm tra một mẫu có chia hết cho các mẫu còn lại không; nếu có, có thể chọn mẫu đó. Nếu chưa nhận ra mẫu số chung thuận tiện, có thể lấy tích các mẫu. Trong bài này, học sinh chỉ cần vận dụng bảng nhân, phép chia và tính chất phân số; không cần dùng thuật toán tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN).

Chẳng hạn, với \(\frac{1}{6}\) và \(\frac{5}{8}\), 24 chia hết cho cả 6 và 8. Khi chọn MSC = 24, hai phân số mới là \(\frac{4}{24}\) và \(\frac{15}{24}\). Chọn 48 cũng đúng, nhưng 24 giúp số liệu gọn hơn.

Rút gọn trước khi quy đồng có thể giúp các số trong phép tính nhỏ hơn. Đây là phương pháp lựa chọn khi thuận tiện, không phải bước bắt buộc trong mọi bài. Nếu đề đã chỉ định mẫu số chung, học sinh cần đưa các phân số về đúng mẫu số đó. [1]

Quy tắc thực hiện chiến thuật

Bước 1 (Kiểm tra và rút gọn): Quan sát các phân số; nếu tử số và mẫu số cùng chia hết cho một số tự nhiên lớn hơn 1 thì có thể rút gọn trước.

Bước 2 (Xác định MSC mới): Tìm mẫu số chung từ các mẫu số của phân số đã tối giản.

Bước 3 (Thực hiện quy đồng): Áp dụng quy tắc thông thường hoặc trường hợp đặc biệt để quy đồng các phân số đã tối giản.

Ví dụ so sánh hai phương pháp làm bài

Ví dụ: Quy đồng mẫu số hai phân số \(\frac{6}{10}\) và \(\frac{9}{12}\).

Cách 1: Quy đồng trực tiếp không rút gọn

Mẫu số chung = \(10 \times 12 = 120\).

Thực hiện:

\[\begin{aligned}\frac{6}{10} &= \frac{6 \times 12}{10 \times 12} \\&= \frac{72}{120}\end{aligned}\]\[\begin{aligned}\frac{9}{12} &= \frac{9 \times 10}{12 \times 10} \\&= \frac{90}{120}\end{aligned}\]

Nhận xét: Học sinh phải thực hiện các phép nhân \(6 \times 12\) và \(9 \times 10\), tạo ra mẫu số 120 rất lớn. Nếu sau đó phải thực hiện phép cộng \(\frac{72}{120} + \frac{90}{120} = \frac{162}{120}\), học sinh sẽ rất khó khăn để rút gọn kết quả cuối cùng.

Cách 2: Áp dụng chiến thuật rút gọn trước khi quy đồng

Bước 1: Rút gọn phân số

• Rút gọn \(\frac{6}{10}\) (cả tử và mẫu chia hết cho 2):

  \[\begin{aligned}\frac{6}{10} &= \frac{6 : 2}{10 : 2} \\&= \frac{3}{5}\end{aligned}\]

• Rút gọn \(\frac{9}{12}\) (cả tử và mẫu chia hết cho 3):

  \[\begin{aligned}\frac{9}{12} &= \frac{9 : 3}{12 : 3} \\&= \frac{3}{4}\end{aligned}\]

Bước 2: Quy đồng hai phân số tối giản \(\frac{3}{5}\) và \(\frac{3}{4}\)

• mẫu số chung mới = \(5 \times 4 = 20\).

• Thực hiện:

  \[\begin{aligned}\frac{3}{5} &= \frac{3 \times 4}{5 \times 4} \\&= \frac{12}{20}\end{aligned}\];

  \[\begin{aligned}\frac{3}{4} &= \frac{3 \times 5}{4 \times 5} \\&= \frac{15}{20}\end{aligned}\]

Nhận xét: Sau khi rút gọn, có thể chọn mẫu số chung 20 thay vì 120. Không nên hiểu rằng quy đồng trực tiếp là sai hoặc luôn phải rút gọn trước.

Bài tập quy đồng mẫu số lớp 4 có lời giải

Để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và khắc sâu kiến thức, dưới đây là hệ thống bài tập phân loại theo từng dạng toán cụ thể từ cơ bản đến nâng cao.[1]

Dạng 1: Quy đồng mẫu số hai phân số bằng tích hai mẫu

Bài 1: Quy đồng mẫu số các cặp phân số sau:

a) \(\frac{1}{4}\) và \(\frac{2}{7}\)

b) \(\frac{3}{5}\) và \(\frac{4}{9}\)

c) \(\frac{5}{8}\) và \(\frac{2}{3}\)

d) \(\frac{4}{7}\) và \(\frac{3}{10}\)

Lời giải

a) \(\frac{1}{4}\) và \(\frac{2}{7}\):

• \(\text{MSC} = 4 \times 7 = 28\).

• \[\begin{aligned}\frac{1}{4} &= \frac{1 \times 7}{4 \times 7} \\&= \frac{7}{28}\end{aligned}\]

• \[\begin{aligned}\frac{2}{7} &= \frac{2 \times 4}{7 \times 4} \\&= \frac{8}{28}\end{aligned}\]

Đáp số: \(\frac{7}{28}\) và \(\frac{8}{28}\).

b) \(\frac{3}{5}\) và \(\frac{4}{9}\):

• \(\text{MSC} = 5 \times 9 = 45\).

• \[\begin{aligned}\frac{3}{5} &= \frac{3 \times 9}{5 \times 9} \\&= \frac{27}{45}\end{aligned}\]

• \[\begin{aligned}\frac{4}{9} &= \frac{4 \times 5}{9 \times 5} \\&= \frac{20}{45}\end{aligned}\]

  Đáp số: \(\frac{27}{45}\) và \(\frac{20}{45}\).

c) \(\frac{5}{8}\) và \(\frac{2}{3}\):

• \(\text{MSC} = 8 \times 3 = 24\).

• \[\begin{aligned}\frac{5}{8} &= \frac{5 \times 3}{8 \times 3} \\&= \frac{15}{24}\end{aligned}\]

• \[\begin{aligned}\frac{2}{3} &= \frac{2 \times 8}{3 \times 8} \\&= \frac{16}{24}\end{aligned}\]

  Đáp số: \(\frac{15}{24}\) và \(\frac{16}{24}\).

d) \(\frac{4}{7}\) và \(\frac{3}{10}\):

• \(\text{MSC} = 7 \times 10 = 70\).

• \[\begin{aligned}\frac{4}{7} &= \frac{4 \times 10}{7 \times 10} \\&= \frac{40}{70}\end{aligned}\]

• \[\begin{aligned}\frac{3}{10} &= \frac{3 \times 7}{10 \times 7} \\&= \frac{21}{70}\end{aligned}\]

  Đáp số: \(\frac{40}{70}\) và \(\frac{21}{70}\).

Dạng 2: Quy đồng mẫu số hai phân số khi một mẫu chia hết cho mẫu còn lại

Bài 2: Quy đồng mẫu số các cặp phân số sau bằng cách chọn mẫu số chung nhỏ nhất:

a) \(\frac{1}{3}\) và \(\frac{5}{12}\)

b) \(\frac{3}{8}\) và \(\frac{11}{24}\)

c) \(\frac{7}{15}\) và \(\frac{2}{5}\)

d) \(\frac{9}{40}\) và \(\frac{3}{8}\)

Lời giải

a) \(\frac{1}{3}\) và \(\frac{5}{12}\)

• Vì 12 : 3 = 4 nên chọn MSC = 12.

• \[\begin{aligned}\frac{1}{3} &= \frac{1 \times 4}{3 \times 4} \\&= \frac{4}{12}\end{aligned}\]

• Giữ nguyên phân số \(\frac{5}{12}\).

  Đáp số: \(\frac{4}{12}\) và \(\frac{5}{12}\).

b) \(\frac{3}{8}\) và \(\frac{11}{24}\):

• Vì 24 : 8 = 3 nên chọn MSC = 24.

• \[\begin{aligned}\frac{3}{8} &= \frac{3 \times 3}{8 \times 3} \\&= \frac{9}{24}\end{aligned}\]

• Giữ nguyên phân số \(\frac{11}{24}\).

  Đáp số: \(\frac{9}{24}\) và \(\frac{11}{24}\).

c) \(\frac{7}{15}\) và \(\frac{2}{5}\):

• Vì 15 : 5 = 3 nên chọn MSC = 15.

• Giữ nguyên phân số \(\frac{7}{15}\).

• \[\begin{aligned}\frac{2}{5} &= \frac{2 \times 3}{5 \times 3} \\&= \frac{6}{15}\end{aligned}\]

  Đáp số: \(\frac{7}{15}\) và \(\frac{6}{15}\).

d) \(\frac{9}{40}\) và \(\frac{3}{8}\):

• Vì 40 : 8 = 5 nên chọn MSC = 40.

• Giữ nguyên phân số \(\frac{9}{40}\).

• \[\begin{aligned}\frac{3}{8} &= \frac{3 \times 5}{8 \times 5} \\&= \frac{15}{40}\end{aligned}\]

  Đáp số: \(\frac{9}{40}\) và \(\frac{15}{40}\).

Dạng 3: Rút gọn phân số trước khi quy đồng

Bài 3: Rút gọn các phân số chưa tối giản rồi tiến hành quy đồng mẫu số:

a) \(\frac{4}{6}\) và \(\frac{15}{20}\)

b) \(\frac{8}{12}\) và \(\frac{10}{25}\)

c) \(\frac{12}{18}\) và \(\frac{14}{21}\)

Lời giải

a) \(\frac{4}{6}\) và \(\frac{15}{20}\):

• Rút gọn: \[\begin{aligned}\frac{4}{6} &= \frac{4 : 2}{6 : 2} \\&= \frac{2}{3}\end{aligned}\]

• Rút gọn: \[\begin{aligned}\frac{15}{20} &= \frac{15 : 5}{20 : 5} \\&= \frac{3}{4}\end{aligned}\]

• Quy đồng \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{3}{4}\) với \(\text{MSC} = 3 \times 4 = 12\):

  \[\begin{aligned}\frac{2}{3} &= \frac{2 \times 4}{3 \times 4} \\&= \frac{8}{12}\end{aligned}\]

  \[\begin{aligned}\frac{3}{4} &= \frac{3 \times 3}{4 \times 3} \\&= \frac{9}{12}\end{aligned}\]

  Đáp số: \(\frac{8}{12}\) và \(\frac{9}{12}\).

b) \(\frac{8}{12}\) và \(\frac{10}{25}\):

• Rút gọn: \[\begin{aligned}\frac{8}{12} &= \frac{8 : 4}{12 : 4} \\&= \frac{2}{3}\end{aligned}\]

• Rút gọn: \[\begin{aligned}\frac{10}{25} &= \frac{10 : 5}{25 : 5} \\&= \frac{2}{5}\end{aligned}\]

• Quy đồng \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{2}{5}\) với \(\text{MSC} = 3 \times 5 = 15\):

  \[\begin{aligned}\frac{2}{3} &= \frac{2 \times 5}{3 \times 5} \\&= \frac{10}{15}\end{aligned}\];

  \[\begin{aligned}\frac{2}{5} &= \frac{2 \times 3}{5 \times 3} \\&= \frac{6}{15}\end{aligned}\]

  Đáp số: \(\frac{10}{15}\) và \(\frac{6}{15}\).

c) \(\frac{12}{18}\) và \(\frac{14}{21}\):

• Rút gọn: \[\begin{aligned}\frac{12}{18} &= \frac{12 : 6}{18 : 6} \\&= \frac{2}{3}\end{aligned}\]

• Rút gọn: \[\begin{aligned}\frac{14}{21} &= \frac{14 : 7}{21 : 7} \\&= \frac{2}{3}\end{aligned}\]

• Hai phân số sau khi rút gọn đều bằng \(\frac{2}{3}\) nên chúng đã có cùng mẫu số!

  Đáp số: Hai phân số đã quy đồng là \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{2}{3}\).

Dạng 4: Quy đồng mẫu số ba phân số

Bài 4: Quy đồng mẫu số các bộ ba phân số sau:

a) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{3}{5}\)

b) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{5}{8}\)

c) \(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{7}{15}\)

Lời giải

a) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{3}{5}\):

• \(\text{MSC} = 2 \times 3 \times 5 = 30\).

• \[\begin{aligned}\frac{1}{2} &= \frac{1 \times 15}{2 \times 15} \\&= \frac{15}{30}\end{aligned}\]

• \[\begin{aligned}\frac{2}{3} &= \frac{2 \times 10}{3 \times 10} \\&= \frac{20}{30}\end{aligned}\]

• \[\begin{aligned}\frac{3}{5} &= \frac{3 \times 6}{5 \times 6} \\&= \frac{18}{30}\end{aligned}\]

  Đáp số: \(\frac{15}{30}\), \(\frac{20}{30}\) và \(\frac{18}{30}\).

b) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{5}{8}\):

• Nhận xét: 8 chia hết cho cả 2 (8 : 2 = 4) và 4 (8 : 4 = 2). Chọn MSC = 8.

• \[\begin{aligned}\frac{1}{2} &= \frac{1 \times 4}{2 \times 4} \\&= \frac{4}{8}\end{aligned}\]

• \[\begin{aligned}\frac{3}{4} &= \frac{3 \times 2}{4 \times 2} \\&= \frac{6}{8}\end{aligned}\]

• Giữ nguyên phân số \(\frac{5}{8}\).

  Đáp số: \(\frac{4}{8}\), \(\frac{6}{8}\) và \(\frac{5}{8}\).

c) \(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{7}{15}\):

• Nhận xét: 15 chia hết cho 3 (15 : 3 = 5) và 5 (15 : 5 = 3). Chọn MSC = 15.

• \[\begin{aligned}\frac{2}{3} &= \frac{2 \times 5}{3 \times 5} \\&= \frac{10}{15}\end{aligned}\]

• \[\begin{aligned}\frac{1}{5} &= \frac{1 \times 3}{5 \times 3} \\&= \frac{3}{15}\end{aligned}\]

• Giữ nguyên phân số \(\frac{7}{15}\).

  Đáp số: \(\frac{10}{15}\), \(\frac{3}{15}\) và \(\frac{7}{15}\).

Dạng 5: Vận dụng quy đồng mẫu số vào bài toán so sánh và giải toán có lời văn

Bài 5: So sánh hai phân số \(\frac{4}{5}\) và \(\frac{7}{10}\).

Lời giải

• Mẫu số 10 chia hết cho 5 (10 : 5 = 2). Chọn MSC = 10.

• Quy đồng phân số \(\frac{4}{5}\):

  \[\begin{aligned}\frac{4}{5} &= \frac{4 \times 2}{5 \times 2} \\&= \frac{8}{10}\end{aligned}\]

• Giữ nguyên phân số \(\frac{7}{10}\).

• Vì \(\frac{8}{10} > \frac{7}{10}\) (do 8 > 7) nên \(\frac{4}{5} > \frac{7}{10}\).

Bài 6 (Bài toán thực tế): An ăn \(\frac{1}{3}\) cái bánh, Bình ăn \(\frac{2}{5}\) cái bánh đó. Hỏi người nào ăn nhiều bánh hơn?

Lời giải

• Để biết ai ăn nhiều bánh hơn, cần so sánh hai phân số \(\frac{1}{3}\) và \(\frac{2}{5}\).

• Quy đồng mẫu số hai phân số với \(\text{MSC} = 3 \times 5 = 15\):

  \[\begin{aligned}\frac{1}{3} &= \frac{1 \times 5}{3 \times 5} \\&= \frac{5}{15}\end{aligned}\]

  \[\begin{aligned}\frac{2}{5} &= \frac{2 \times 3}{5 \times 3} \\&= \frac{6}{15}\end{aligned}\]

• Vì \(\frac{5}{15} < \frac{6}{15}\) (do 5 < 6) nên \(\frac{1}{3} < \frac{2}{5}\).

  Kết luận: Bình ăn nhiều bánh hơn An.

Lỗi thường gặp khi quy đồng mẫu số

Cách quy đồng mẫu số đúng phải dựa trên tính chất phân số bằng nhau. Sau khi làm bài, học sinh nên kiểm tra các lỗi dưới đây. [1]

• Chỉ nhân mẫu số: đổi \(\frac{2}{3}\) thành \(\frac{2}{12}\) là sai vì giá trị đã thay đổi. Nhân mẫu với 4 thì cũng phải nhân tử với 4, được \(\frac{8}{12}\).

• Nhân tử và mẫu với hai số khác nhau: cần dùng cùng một số nhân cho cả tử và mẫu của mỗi phân số.

• Luôn chọn mẫu số lớn hơn: chỉ giữ nguyên mẫu lớn hơn khi mẫu đó chia hết cho mẫu còn lại. Với mẫu 4 và 6, không thể chọn 6; có thể chọn 12 hoặc 24.

• Cho rằng hai phân số mới phải có tử số bằng nhau: quy đồng mẫu số chỉ yêu cầu cùng mẫu số; các tử số có thể khác nhau.

• Cho rằng tích các mẫu luôn nhỏ nhất: tích các mẫu là một lựa chọn đúng, nhưng có thể có mẫu số chung nhỏ hơn.

Câu hỏi thường gặp về quy đồng mẫu số

Các câu hỏi sau giúp học sinh ôn lại cách quy đồng phân số và phân biệt với những thao tác gần giống. [1]

Muốn quy đồng mẫu số hai phân số, cần làm gì?

Chọn một mẫu số chung thích hợp, xác định số cần nhân với mỗi mẫu rồi nhân cả tử và mẫu của phân số đó với số vừa tìm. Nếu một phân số đã có mẫu số bằng mẫu số chung thì giữ nguyên phân số ấy.

Hai phân số đã cùng mẫu số có cần quy đồng không?

Không cần, trừ khi đề yêu cầu đổi về một mẫu số chung khác. Có thể dùng ngay các phân số đã cùng mẫu số để so sánh hoặc thực hiện phép cộng, phép trừ.

Quy đồng mẫu số để cộng phân số như thế nào?

Quy đồng mẫu số rồi cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số chung. Ví dụ:

\[\begin{aligned}\frac{1}{4}+\frac{1}{8}&=\frac{2}{8}+\frac{1}{8}\\&=\frac{3}{8}.\end{aligned}\]

Quy đồng mẫu số lớp 5 có khác lớp 4 không?

Nguyên tắc vẫn là biến đổi thành các phân số bằng phân số đã cho và có cùng mẫu số. Khi ôn tập lớp 5, học sinh tiếp tục vận dụng cách chọn mẫu số chung, rút gọn và tính toán với phân số.

Quy đồng tử số có giống quy đồng mẫu số không?

Hai thao tác có mục tiêu khác nhau: quy đồng tử số đưa các phân số về cùng tử số, còn quy đồng mẫu số đưa về cùng mẫu số. Trong cả hai trường hợp, phải giữ nguyên giá trị từng phân số. Bài viết này tập trung vào quy đồng mẫu số.

Để quy đồng mẫu số chính xác, học sinh cần nắm vững quy tắc, biết chọn mẫu số chung và nhân cả tử số lẫn mẫu số với cùng một số thích hợp. Luyện tập các dạng quy đồng hai phân số, ba phân số và rút gọn trước khi quy đồng giúp củng cố kiến thức, hỗ trợ so sánh, cộng và trừ phân số. Học sinh có thể tham khảo thêm các chuyên đề Toán 4 tại ZIM Academy để tiếp tục ôn tập và vận dụng kiến thức.