Số hữu tỉ | Kí hiệu, cách nhận biết và biểu diễn trên trục số

Trong Toán 7, số hữu tỉ là nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về các tập hợp số và mối quan hệ giữa chúng. Bài viết giới thiệu khái niệm số hữu tỉ, kí hiệu tập hợp Q, các dạng số thuộc tập hợp này, cách nhận biết số hữu tỉ, phân biệt với số vô tỉ và cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.

Số hữu tỉ là gì?

Số hữu tỉ là số có thể viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với a, b \(\in\) ℤ, b \(\ne\)0. [1]

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là ℚ.

Để hiểu rõ bản chất của định nghĩa trên, chúng ta cùng phân tích hai thành phần cấu tạo nên phân số \(\frac{a}{b}\):

• Tử số a: Là một số nguyên bất kỳ (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …). Tử số hoàn toàn có thể bằng 0.

• Mẫu số b: Cũng là một số nguyên, nhưng bắt buộc phải khác 0 (b \(\ne\) 0). 

Các ví dụ minh họa cụ thể:

• Số nguyên: Số 5 có thể viết thành \(\frac51\); số -7 có thể viết thành \(\frac{-7}{1}\).

• Phân số: Các số như \(\frac23\), \(\frac{-4}{5}\), \(\frac{7}{-9}\) hiển nhiên mang dạng ab với tử và mẫu là số nguyên.

• Hỗn số: Hỗn số \(2\frac13\) đổi ra phân số là \(\frac{2.3+1}{3}\) = \(\frac73\).

• Số thập phân: Số 0,75 đổi ra phân số là \(\frac{75}{100}\) = \(\frac34\); số -1,2 đổi ra phân số là \(\frac{-12}{10}\) = \(\frac{-6}{5}\).

Kí hiệu tập hợp số hữu tỉ Q

Trong toán học, Q là kí hiệu của tập hợp số hữu tỉ; nếu x là số hữu tỉ thì viết x∈Q, còn nếu x không phải số hữu tỉ thì viết \(x\notin\mathbb{Q}\).

Để diễn đạt một số có phải là số hữu tỉ hay không, chúng ta dùng các ký hiệu toán học tiêu chuẩn:

• Nếu số x là số hữu tỉ, ta viết: x \(\in\) ℚ (đọc là "x thuộc ℚ" hoặc "x là thành phần của tập hợp số hữu tỉ").

  • Ví dụ: \(\frac12\) \(\in\) ℚ, -3 \(\in\) ℚ, 0,15 \(\in\) ℚ.

• Nếu số y không phải là số hữu tỉ, ta viết: y \(\notin\) ℚ (đọc là "y không thuộc ℚ").

  • Ví dụ: Tỷ số π \(\notin\) ℚ, số \(\sqrt2\) \(\notin\) ℚ (đây là các số vô tỉ mà ta sẽ được học ở các bài sau).

Mối quan hệ giữa tập hợp ℚ, ℕ, ℤ

Tập hợp số tự nhiên (ℕ): ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}.

Tập hợp số nguyên (ℤ): ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

Mối quan hệ giữa ba tập hợp này được thiết lập như sau

• Mọi số tự nhiên đều là số nguyên (ℕ ⊂ ℤ).

• Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ (ℤ ⊂ ℚ), vì mọi số nguyên n đều viết được dưới dạng phân số \(\frac{n}{1}\).

Do đó, ta có quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.

(Đọc là: Tập hợp ℕ là tập con của tập hợp ℤ, tập hợp ℤ là tập con của tập hợp ℚ). 

Số hữu tỉ gồm những số nào?

Dưới đây là phân loại chi tiết giúp học sinh nhận biết mọi dạng số hữu tỉ thường gặp.

Số nguyên là số hữu tỉ

Mọi số nguyên a \(\in\) ℤ đều có thể viết dưới dạng phân số là \(\frac{a}{1}\).

• Ví dụ: 8 = \(\frac81\) \(\in\) ℚ, -11 = \(\frac{-11}{1}\) \(\in\) ℚ.

Phân số và hỗn số là số hữu tỉ

• Phân số: Bất kỳ phân số nào có tử và mẫu là số nguyên (mẫu khác 0) đều là số hữu tỉ. Ví dụ: \(\frac72\) \(\in\) ℚ,\(\frac58\) \(\in\) ℚ.

• Hỗn số: Mọi hỗn số đều chuyển đổi được thành phân số bằng công thức \(a\frac{b}{c}\) = \(\frac{ac+b}{c}\). Ví dụ: \(3\frac25\) = \(\frac{3.5+2}{5}\) = \(\frac{17}{5}\) \(\in\) ℚ.

Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn

• Số thập phân hữu hạn: Là các số thập phân có số chữ số sau dấu phẩy là hữu hạn. Chúng ta dễ dàng viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi rút gọn.

  • Ví dụ: 0,4 = \(\frac{4}{10}\) = \(\frac25\) \(\in\) ℚ ; -2,15 = \(\frac{-215}{100}\) = \(\frac{-43}{20}\) \(\in\) ℚ.

• Số thập phân vô hạn tuần hoàn: Là số thập phân có phần thập phân lặp lại vô hạn theo một chu kỳ nhất định. Tất cả các số này đều viết được dưới dạng phân số.

  • Ví dụ: 0,3333… = 0(3) = \(\frac13\) \(\in\) ℚ.

  • Ví dụ: 1,181818… = 1(18) = \(\frac{13}{11}\) \(\in\) ℚ.

Số 0 có phải số hữu tỉ không?

Có. Vì số 0 có thể viết thành \(\frac01\), \(\frac02\),... (tổng quát là \(\frac{0}{b}\) với b \(\ne\)0). Do đó 0 \(\in\) ℚ. Đặc biệt, số 0 là số hữu tỉ không âm và cũng không dương.

Số 1 có phải số hữu tỉ không?

Có. Vì 1 = \(\frac11\) = \(\frac22\) =... \(\in\) ℚ.

Số 3 có phải số hữu tỉ không?

Có. Vì 3 = \(\frac31\) = \(\frac62\) =... \(\in\) ℚ.

Số đối của một số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Số đối của số hữu tỉ

Trên tập hợp số hữu tỉ, mỗi số đều có một số đối duy nhất:

• Số đối của số hữu tỉ x được ký hiệu là -x.

• Số đối của phân số \(\frac{a}{b}\) là -\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{-a}{b}\) = \(\frac{a}{-b}\).

• Hai số đối nhau có tổng bằng 0: x + (-x) = 0.

• Ví dụ:

  • Số đối của \(\frac34\) là -\(\frac34\).

  • Số đối của -\(\frac75\) là -(-\(\frac75\)) = \(\frac75\).

  • Số đối của 0 là chính nó (0).

Cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Trục số là một đường thẳng nằm ngang, trên đó chọn một điểm O làm gốc (ứng với số 0), chiều từ trái sang phải là chiều dương.

Các bước biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\)(b > 0) trên trục số:

• Bước 1: Chia đoạn đơn vị thành b phần bằng nhau. Mỗi phần nhỏ có độ dài bằng \(\frac{1}{b}\) đơn vị mới.

• Bước 2:

  • Nếu a > 0 (số hữu tỉ dương): Đi từ gốc 0 sang bên phải a phần đơn vị mới. Điểm dừng lại chính là điểm biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\).

    

  • Nếu a < 0 (số hữu tỉ âm): Đi từ gốc 0 sang bên trái |a| phần đơn vị mới. Điểm dừng lại chính là điểm biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\).

    

Ví dụ minh họa: Biểu diễn số hữu tỉ \(\frac53\) và -\(\frac32\) trên trục số:

• Với \(\frac53\): Chia đoạn đơn vị [0, 1] thành 3 phần bằng nhau. Lấy về phía bên phải gốc 0 một khoảng bằng 5 phần đó.

  

• Với -\(\frac32\): Chia đoạn đơn vị [-1, 0] thành 2 phần bằng nhau. Lấy về phía bên trái gốc 0 một khoảng bằng 3 phần đó.

  

Ý nghĩa của điểm biểu diễn số hữu tỉ trên trục số trong việc so sánh các số

Biểu diễn trên trục số giúp chúng ta dễ dàng so sánh hai số hữu tỉ bất kỳ:

• Khi biểu diễn hai số hữu tỉ x, y trên trục số nằm ngang, nếu điểm x nằm bên trái điểm y thì số x nhỏ hơn số y, ký hiệu x < y.

• Tất cả các số hữu tỉ dương (nằm bên phải gốc 0) đều lớn hơn 0.

• Tất cả các số hữu tỉ âm (nằm bên trái gốc 0) đều nhỏ hơn 0.

• Số hữu tỉ âm luôn nhỏ hơn số hữu tỉ dương: (Số âm) < 0 < (Số dương).

Bài tập vận dụng về số hữu tỉ

Dạng 1: Bài tập nhận biết ký hiệu (\(\in\), \(\notin\), \(\subset\))

Đề bài 1: Điền ký hiệu thích hợp (\(\in\), \(\notin\), \(\subset\)) vào ô trống: 

a) -5 ☐ ℕ

b) -5 ☐ ℤ

c) -5 ☐ ℚ

d) -\(\frac37\) ☐ ℤ

e) -\(\frac37\) ☐ ℚ

f) ℤ ☐ ℚ

Lời giải chi tiết

a) -5 \(\notin\) ℕ (vì -5 là số nguyên âm, không phải số tự nhiên).

b) -5 \(\in\) ℤ (vì -5 là số nguyên âm).

c) -5 \(\in\) ℚ (vì -5 = -\(\frac51\) là số hữu tỉ).

d) -\(\frac37\) \(\notin\) ℤ (vì -\(\frac37\) là phân số không rút gọn ra số nguyên).

e) -\(\frac37\) \(\in\) ℚ (vì -\(\frac37\) có dạng \(\frac{a}{b}\) với a = -3, b = 7 \(\in\) ℤ, b \(\ne\) 0).

f) ℤ \(\subset\) ℚ (vì tập hợp các số nguyên là tập con của tập hợp các số hữu tỉ).

Dạng 2: Bài tập xác định một số cho trước có phải là số hữu tỉ không và giải thích

Đề bài 2: Trong các số sau:

A = 1\(\frac34\)

B = - 0,8

C = \(\frac09\)

D = \(\frac50\).

Số nào là số hữu tỉ? Giải thích tại sao.

Lời giải chi tiết

• Số A = 1\(\frac34\) là số hữu tỉ vì 1\(\frac34\) = \(\frac74\), với 7; 4 \(\in\) ℤ và 4 \(\ne\) 0.

• Số B = - 0,8 là số hữu tỉ vì - 0,8 = -\(\frac{8}{10}\) = -\(\frac45\), với - 4; 5 \(\in\) ℤ và 5 \(\ne\)0.

• Số C = \(\frac09\) là số hữu tỉ vì 0; 9 \(\in\) ℤ và 9 \(\ne\) 0 (kết quả bằng 0).

• Số D = \(\frac50\) không phải là số hữu tỉ vì có mẫu số bằng 0 (phép chia cho 0 không xác định).

Dạng 3: Bài tập tìm số đối của một số hữu tỉ cho trước

Đề bài 3: Tìm số đối của các số hữu tỉ sau: 3,5; -\(\frac49\); 0; -2\(\frac13\).

Lời giải chi tiết

• Số đối của 3,5 là - 3,5.

• Số đối của -\(\frac49\) là -(-\(\frac49\)) = \(\frac49\).

• Số đối của 0 là 0.

• Ta có -2\(\frac13\) = -\(\frac73\), nên số đối của -\(\frac13\) là \(\frac73\) (hoặc 2\(\frac13\)).

Dạng 4: Bài tập biểu diễn và so sánh số hữu tỉ

Đề bài 4: 

a) So sánh hai số hữu tỉ x = -\(\frac35\) và y = \(\frac{2}{-5}\).

b) Biểu diễn số x = -\(\frac35\) trên trục số.

Lời giải chi tiết

a) Ta đưa hai số hữu tỉ về dạng phân số có cùng mẫu số dương:

• x = -\(\frac35\) = \(\frac{-3}{5}\)

• y = \(\frac{2}{-5}\) = \(\frac{-2}{5}\) và mẫu số 5 > 0 nên \(\frac{-3}{5}\)\(\frac35\) < \(\frac{-2}{5}\). Vậy x < y.

b) Cách biểu diễn x = -\(\frac35\) trên trục số:

• Vẽ trục số nằm ngang, đánh dấu gốc 0.

• Chia đoạn thẳng đơn vị nối điểm 0 và điểm -1 (phía bên trái gốc 0) thành 5 phần bằng nhau.

• Đi từ gốc 0 sang bên trái 3 phần, ta đánh dấu điểm đó. Đó chính là điểm biểu diễn số hữu tỉ -\(\frac35\).

  

Tham khảo thêm: Giá trị tuyệt đối l Công thức, tính chất và bài tập có lời giải.

Tóm lại, số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với a, b \(\in\) ℤ, b \(\ne\)0 và được ký hiệu là ℚ. Việc nắm vững khái niệm, ký hiệu và cách biểu diễn số hữu tỉ là bước then chốt giúp học sinh chinh phục các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 7. Hãy luyện tập bài tập thường xuyên và hệ thống lại kiến thức trọng tâm Toán 7 để ghi nhớ kiến thức vững chắc và vận dụng hiệu quả khi làm bài.