Thể tích tứ diện | Công thức, cách tính và bài tập có lời giải

Thể tích tứ diện được tính bằng một phần ba tích diện tích mặt đáy và chiều cao tương ứng. Với khối tứ diện ABCD, có thể chọn bất kỳ mặt nào làm đáy; chiều cao là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến mặt phẳng chứa đáy.

Bài viết hệ thống công thức tính thể tích tứ diện, tứ diện đều và tứ diện vuông trong chương trình Toán 11; hướng dẫn chọn mặt đáy, xác định đường cao và tính diện tích tam giác đáy để giải các bài tập vận dụng.

Khối tứ diện là gì?

Hình tứ diện ABCD được tạo bởi bốn tam giác ABC, ABD, ACD và BCD, với A, B, C, D là bốn điểm không đồng phẳng. Bốn điểm đó là các đỉnh của tứ diện. [1]

Xét bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình tứ diện ABCD có bốn mặt là các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD.

Khối tứ diện là phần không gian được giới hạn bởi bốn mặt tam giác của hình tứ diện. Khi nghiên cứu thể tích, đối tượng được xét là khối tứ diện, bao gồm phần không gian nằm bên trong các mặt giới hạn.

Cần phân biệt hình tứ diện và khối tứ diện. Hình tứ diện biểu thị hình hình học được tạo thành bởi các đỉnh, cạnh và mặt; khối tứ diện bao gồm cả hình tứ diện và phần không gian bên trong hình đó.

Các yếu tố của khối tứ diện

Một khối tứ diện có bốn đỉnh, bốn mặt và sáu cạnh.

• Đỉnh: Với tứ diện ABCD, bốn đỉnh là A, B, C, D.

• Mặt: Bốn mặt là các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD.

• Cạnh: Sáu cạnh gồm AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Mỗi đỉnh là điểm chung của ba cạnh và ba mặt. Mỗi cạnh là cạnh chung của hai mặt tam giác. Các đặc điểm này giúp xác định cấu tạo của tứ diện và lựa chọn những yếu tố cần thiết trong bài toán tính thể tích.

Bất kỳ mặt nào của tứ diện cũng có thể được chọn làm mặt đáy. Khi chọn một mặt làm đáy, đỉnh còn lại là đỉnh đối diện với mặt đáy. Chiều cao tương ứng là khoảng cách từ đỉnh đó đến mặt phẳng chứa đáy.

Việc lựa chọn mặt đáy phù hợp giúp đơn giản hóa quá trình giải. Thông thường, nên ưu tiên mặt có diện tích dễ tính và đỉnh đối diện có chiều cao dễ xác định.

Ví dụ minh họa

Cho tứ diện MNPQ. Hãy xác định các đỉnh, mặt và cạnh của tứ diện. Nếu chọn tam giác MNP làm đáy, hãy xác định đỉnh đối diện và chiều cao tương ứng.

Lời giải

Bốn đỉnh của tứ diện là M, N, P, Q.

Bốn mặt của tứ diện là các tam giác MNP, MNQ, MPQ và NPQ.

Sáu cạnh của tứ diện là: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.

Khi chọn tam giác MNP làm đáy, đỉnh đối diện là Q. Gọi H là hình chiếu vuông góc của Q lên mặt phẳng chứa tam giác MNP. Khi đó, QH vuông góc với mặt phẳng MNP và chiều cao của tứ diện ứng với đáy MNP là QH.

Ví dụ trên cho thấy việc nhận diện đúng các mặt, cạnh và đỉnh là bước đầu tiên khi giải bài toán thể tích. Sau khi lựa chọn đáy, cần xác định diện tích tam giác đáy và chiều cao tương ứng.

Công thức tính thể tích tứ diện

Thể tích khối tứ diện (hay còn gọi ngắn gọn là thể tích tứ diện) được tính bằng một phần ba tích của diện tích mặt đáy và chiều cao tương ứng. [2]

Công thức tổng quát:\[V=\frac13S_{\text{đáy}}\cdot h\]Trong đó:

• V là thể tích khối tứ diện.

• \(S_{\text{đáy}}\) là diện tích mặt được chọn làm đáy.

• h là chiều cao ứng với mặt đáy đó.

Nếu chọn tam giác ABC làm đáy của tứ diện ABCD, công thức được viết:\[V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h_D\]

Trong đó, \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác ABC, còn \(h_D\) là khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng chứa tam giác ABC.

Công thức trên áp dụng cho mọi khối tứ diện, không phụ thuộc vào hình dạng của các mặt hoặc vị trí tương đối của các cạnh. Điều kiện quan trọng là diện tích đáy và chiều cao phải tương ứng với cùng một mặt đáy. Ngoài ra, khi tính thể tích khối tứ diện, người tính được tự do chọn đáy tùy ý sao cho việc tính toán thuận lợi nhất.

Đơn vị của thể tích là đơn vị độ dài lũy thừa ba. Chẳng hạn, nếu diện tích đáy có đơn vị \(\text{cm}^2\) và chiều cao có đơn vị cm, thể tích thu được có đơn vị \(\text{cm}^3\).

Bảng tổng hợp công thức thể tích tứ diện

Các độ dài phải cùng đơn vị; thể tích được ghi bằng đơn vị lập phương. Diện tích toàn phần của tứ diện là tổng diện tích bốn mặt, khác với thể tích phần không gian bên trong.

Cách xác định chiều cao

Chiều cao của khối tứ diện là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến mặt phẳng chứa mặt đáy. Đây là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đó đến mặt phẳng đáy.

Xét tứ diện ABCD có đáy là tam giác ABC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng chứa tam giác ABC. Khi đó: \(DH\perp\left(\text{ABC}\right)\)

Chiều cao của tứ diện là: \(h_D=DH\)

Điểm H không nhất thiết nằm bên trong tam giác ABC. Hình chiếu vuông góc có thể nằm trên phần kéo dài của mặt đáy. Tuy nhiên, khoảng cách từ D đến mặt phẳng đáy vẫn được xác định bằng độ dài đoạn vuông góc DH.

Có thể xác định chiều cao bằng một số phương pháp sau:

• Phương pháp 1: Dựa vào giả thiết vuông góc: Nếu đề bài cho biết một cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh đó chính là chiều cao. Chẳng hạn, nếu AD vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC, khi chọn tam giác ABC làm đáy thì chiều cao là AD.

• Phương pháp 2: Sử dụng tam giác vuông: Nếu chiều cao chưa được cho trực tiếp nhưng có một tam giác vuông chứa đoạn cần tìm, có thể áp dụng định lý Pythagore hoặc các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính chiều cao.

• Phương pháp 3: Dựng đường vuông góc đến mặt phẳng đáy: Trong các bài toán phức tạp hơn, cần dựng đường vuông góc từ đỉnh đối diện đến mặt phẳng đáy. Sau đó, sử dụng các dữ kiện về cạnh, góc hoặc quan hệ vuông góc để xác định độ dài đoạn vuông góc.

• Phương pháp 4: Xác định chiều cao trung gian qua một chiều cao khác: Phương pháp này được áp dụng khi có 1 chiều cao khác đã biết, và có các cơ sở như định lý Thales để tính được tỉ lệ giữa chiều cao cần tìm và chiều cao đã biết đó.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông cân tại A, \(AB=AC=6\mathrm{cm}\). Khoảng cách từ D đến mặt phẳng chứa tam giác ABC bằng 5cm. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Lời giải

Theo đề bài, tam giác ABC vuông cân tại A nên: \(S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot6}{2}=18\mathrm{cm}^2\).

\(S_{ABC}=18\text{cm}^2\) và \(h_{D}=5\text{cm}\), áp dụng công thức tính thể tích thu được:\[V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h_D\]

Thay số:\[V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot18\cdot5\]\[V_{ABCD}=30\text{cm}^3\]

Vậy thể tích khối tứ diện ABCD bằng \(30\text{cm}^3\).

Trong ví dụ này, chiều cao là dữ liệu cho trước, đồng thời diện tích tam giác rơi vào trường hợp cơ bản nên phép tính tương đối đơn giản. Đối với những bài toán nâng cao, phần khó thường nằm ở việc tìm chiều cao hoặc lựa chọn mặt đáy thuận lợi.

Mối liên hệ giữa thể tích tứ diện và thể tích khối chóp

Khối tứ diện là trường hợp đặc biệt của khối chóp tam giác

Khối chóp là khối đa diện có một mặt là đa giác được gọi là đáy, còn các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh gọi là đỉnh chóp. [1]

Khi đáy của khối chóp là một tam giác, khối hình có ba mặt bên và một mặt đáy. Tổng cộng, khối hình có bốn mặt tam giác, bốn đỉnh và sáu cạnh. Do đó, khối chóp tam giác chính là khối tứ diện, và ngược lại, mọi tứ diện đều có thể coi là hình chóp tam giác (với đỉnh chóp là một đỉnh bất kỳ và đáy là mặt đối diện).

Xét khối chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác đáy và S là đỉnh chóp. Bốn mặt của khối hình là các tam giác ABC, SAB, SAC và SBC.

Vì vậy, mọi công thức tính thể tích khối chóp đều có thể áp dụng cho khối tứ diện khi xác định đúng diện tích đáy và chiều cao.

So sánh hai công thức tính thể tích của khối chóp và khối tứ diện

Công thức tính thể tích khối chóp là [2]:\[V=\frac13S_{\text{đáy}}\cdot h\]

Trong đó, \(S_{\text{đáy}}\) là diện tích mặt đáy và h là chiều cao của khối chóp.

Như vậy, có thể thấy rằng công thức thể tích khối chóp và công thức thể tích khối tứ diện hoàn toàn giống nhau. Sự khác biệt nằm ở hình dạng mặt đáy: khối tứ diện luôn có mặt đáy là tam giác, trong khi khối chóp nói chung có thể có đáy là tam giác, tứ giác hoặc một đa giác khác.

Việc hiểu mối liên hệ giữa hai loại khối hình giúp học sinh giảm số lượng công thức cần ghi nhớ. Chỉ cần nắm vững công thức thể tích khối chóp và nhận biết khối tứ diện là một trường hợp đặc biệt của khối chóp tam giác.

Ví dụ: Cho khối chóp tam giác S.ABC có diện tích đáy \(S_{ABC}=24\text{cm}^2\) và chiều cao \(SH=6\text{cm}\). Biết SH vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải

Vì khối chóp có đáy là tam giác nên đây là một khối tứ diện.

Áp dụng công thức: \[V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SH\]

Thay số:\[V=\frac{1}{3}\cdot24\cdot6\]\[V=48\text{cm}^3\]

Vậy thể tích khối chóp S.ABC, đồng thời là thể tích khối tứ diện tương ứng, bằng \(48\text{cm}^3\).

Các bước tính thể tích tứ diện trong bài toán hình học

Để giải bài toán tính thể tích khối tứ diện một cách chính xác, có thể thực hiện theo ba bước cơ bản.

Bước 1: Xác định diện tích một mặt của tứ diện làm đáy

Trước hết, cần quan sát hình vẽ và dữ kiện đề bài để lựa chọn mặt đáy. Vì tứ diện có bốn mặt tam giác nên bất kỳ mặt nào cũng có thể được chọn làm đáy.

Nên ưu tiên mặt có diện tích đã được cho sẵn hoặc có thể tính nhanh từ các dữ kiện đã biết. Nếu diện tích mặt đáy chưa được xác định, cần tính diện tích tam giác dựa trên độ dài cạnh, đường cao, góc hoặc công thức diện tích phù hợp.

Ví dụ, nếu đáy là tam giác ABC, có cạnh AB bằng a và đường cao tương ứng CH bằng \(h_C\), diện tích đáy được tính bằng:\[S_{ABC}=\frac12a\cdot h_{C}\]

Ngoài ra, tùy vào dữ liệu bài cho, học sinh có thể vận dụng các công thức tính diện tích nâng cao, trong đó tính diện tích bằng công thức Heron và công thức diện tích bằng 2 cạnh và góc xen giữa là 2 trường hợp phổ biến nhất.

Tham khảo thêm: Diện tích tam giác | Công thức tính và các cách tính chi tiết.

Lựa chọn mặt đáy phù hợp có thể giảm đáng kể số bước biến đổi hình học trong quá trình giải.

Bước 2: Xác định chiều cao ứng với mặt đáy đã chọn

Sau khi chọn đáy, cần tìm khoảng cách từ đỉnh đối diện đến mặt phẳng chứa đáy. Đây là bước có ý nghĩa quyết định vì chiều cao của khối tứ diện không nhất thiết trùng với một cạnh bất kỳ.

Nếu một cạnh bên vuông góc với mặt đáy, cạnh đó chính là chiều cao. Trường hợp này thường xuất hiện trong các bài toán tứ diện có một cạnh vuông góc với mặt đối diện.

Nếu không có cạnh nào vuông góc với mặt đáy, cần xác định hình chiếu vuông góc của đỉnh đối diện lên mặt phẳng đáy. Từ đó, sử dụng các dữ kiện về độ dài cạnh, góc hoặc quan hệ vuông góc để tính chiều cao.

Cần phân biệt chiều cao của tam giác đáy với chiều cao của khối tứ diện. Chiều cao của khối tứ diện phải vuông góc với cả mặt phẳng chứa đáy; đường cao của tam giác đáy chỉ vuông góc với cạnh đáy tương ứng trong tam giác đó.

Bước 3: Áp dụng công thức tính thể tích

Khi đã có diện tích đáy và chiều cao tương ứng, áp dụng công thức:\[V=\frac{1}{3}S_{\text{đáy}}\cdot h\]

Sau khi thay số, thực hiện phép tính và ghi kết quả kèm đơn vị thể tích.

Có thể kiểm tra kết quả bằng cách rà soát ba yếu tố: diện tích đáy đã chính xác chưa, chiều cao có vuông góc với mặt phẳng đáy hay không và hệ số \(\frac{1}{3}\) đã được sử dụng đúng chưa.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC, độ dài các cạnh AB, BC, CA, AD bằng 4, 5, 6, 7 (cm). Tính thể tích khối tứ diện.

Lời giải

Vì AD vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC, khi chọn tam giác ABC làm đáy thì chiều cao của tứ diện là AD bằng 7 cm.

Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh đã biết → tính diện tích bằng công thức Heron. Nửa chu vi là:\[p=\frac{4 + 5 + 6}{2}=\frac{15}{2}=7,5\]

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác ABC là:

\[S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{7,5\cdot(7,5-4)\cdot(7,5-5)\cdot(7,5-6)}=\frac{15\sqrt7}{4}\]

Áp dụng công thức tính thể tích:\[V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot AD\]

Thay số:\[V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{15\sqrt7}{4}\cdot7\]\[V_{ABCD}=\frac{35\sqrt7}{4}\text{cm}^3\]

Vậy thể tích khối tứ diện bằng \(\frac{35\sqrt7}{4}\text{cm}^3\).

Các công thức tính thể tích tứ diện đặc biệt kèm chứng minh

Thể tích tứ diện đều

Công thức: Tứ diện đều là một khối đa diện lồi có 4 mặt đều là tam giác đều bằng nhau, sở hữu 6 cạnh bằng nhau.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khi đó thể tích của tứ diện tính theo a là:\[V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\]

Chứng minh:

Bước 1: Tính diện tích đáy

Vì tứ diện đều có bốn mặt là những tam giác đều bằng nhau nên có thể chọn tam giác ABC làm đáy.

Trong tam giác ABC, kẻ đường cao AK. Độ dài AK là:\[AK=AB\cdot\sin60^{\circ}=\frac{a\sqrt3}{2}\]

Diện tích tam giác đều ABC là:\[S_{ABC}=\frac{BC\cdot AK^{}}{2}=\frac{a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Bước 2: Tính chiều cao từ đỉnh

Kẻ đường cao DH của tứ diện, khi đó \(HA^2=DA^2-DH^2\) (định lý Pythagoras), tương tự có \(HB^2=DB^2-DH^2\) và \(HC^2=DC^2-DH^2\). Mà \(DA=DB=DC\) (tứ diện đều) nên \(HA=HB=HC\).

Do đó H phải là tâm của tam giác ABC, tức H vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác, vừa là trực tâm và trọng tâm.

Theo tính chất trọng tâm, khoảng cách từ tâm H đến mỗi đỉnh bằng hai phần ba đường trung tuyến tương ứng (cũng chính là đường cao). Do đó:\[AH=\frac{2}{3}\cdot AK=\frac23\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]

Xét tam giác vuông DAH, theo định lý Pythagore:\[DH^2=DA^2-AH^2\]\[DH^2=a^2-\frac{a^2}{3} =\frac{2a^2}{3}\]

Suy ra: \(DH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Bước 3: Tính thể tích

Áp dụng công thức tính thể tích:\[V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot DH\]

Thay các biểu thức đã tìm được:\[V_{ABCD} =\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot\frac{a\sqrt{6}}{3}\]

Rút gọn biểu thức:\[V_{ABCD}=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\]

Vậy công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a là:\[V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\]

Thu được công thức cần chứng minh.

Thể tích tứ diện vuông

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC xuất phát từ O đôi một vuông góc và có độ dài lần lượt là a, b, c. Công thức thể tích là: [2]

\[V_{OABC}=\frac{abc}{6}\]

Chứng minh: Chọn OAB làm đáy, \(S_{OAB}=\frac12ab\). Vì \(OC\perp OA\) và \(OC\perp OB\) nên \(OC\perp(OAB)\), chiều cao bằng c. Do đó \(V=\frac13\cdot\frac12ab\cdot c=\frac{abc}{6}\).

Công thức tứ diện vuông được suy trực tiếp từ công thức khối chóp. Các trường hợp gần đều, hai cạnh đối và hai mặt kề dưới đây là phần mở rộng; cần kiểm tra đúng giả thiết trước khi áp dụng.

Thể tích tứ diện gần đều có các cặp cạnh đối bằng nhau

Công thức: Cho tứ diện gần đều ABCD, tức là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau: \(AB=CD=a\), \(BC=AD=b\), \(AC=BD=c\). Khi đó thể tích tứ diện là:\[V=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})}\]

Điều kiện tồn tại tứ diện gần đều không suy biến: \(a^2+b^2>c^2\), \(b^2+c^2>a^2\) và \(c^2+a^2>b^2\). Ba điều kiện này bảo đảm các kích thước hình hộp trong chứng minh đều dương.

Chứng minh:

Thực chất tứ diện gần đều ABCD là 1 tứ diện đặc biệt nằm gọn trong hình hộp chữ nhật, với cặp cạnh đối của tứ diện tương ứng với 2 đường chéo của 2 mặt hình chữ nhật song song với nhau. Để tính thể tích của hình tứ diện, chỉ cần dựng lại hình hộp chữ nhật đang bị ẩn đi.

Bước 1 (Dựng hình):

Dựng một hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng cách qua mỗi cạnh của tứ diện, dựng một mặt phẳng song song với cạnh đối diện.

Cụ thể, dựng hai mặt phẳng lần lượt qua AB, CD và song song với cạnh đối diện; làm tương tự với hai cặp AC, BD và AD, BC. Sáu mặt phẳng này giới hạn hình hộp AMCN.PBQD. Bốn đỉnh A, B, C, D là bốn đỉnh không kề nhau của hình hộp.

Do tính chất hình hộp, ACQP là hình bình hành nên \(AC=PQ\). Mà \(AC=BD\) theo giả thiết nên \(BD=PQ\).

Xét PBQD là hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau nên đây là hình chữ nhật.

Tương tự chứng minh được tất cả các mặt còn lại của hình hộp AMCN.PBQD là hình chữ nhật. Do đó AMCN.PBQD là hình hộp chữ nhật.

Bước 2 (Thiết lập hệ phương trình):

Đặt \(MA=x,MB=y,MC=z\). Khi đó, các cạnh của tứ diện ABCD là các đường chéo của các mặt hình hộp chữ nhật. Theo định lý Pythagoras thì:

\(MA^2+MB^2=AB^2\Leftrightarrow x^2+y^2=a^2\)

\(MB^2+MC^2=BC^2\Leftrightarrow y^2+z^2=b^2\)

\(MA^2+MC^2=AC^2\Leftrightarrow z^2+x^2=c^2\)

Bước 3 (Tính x, y, z theo a, b, c):

Cộng ba phương trình lại và chia đôi: \[x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{2}\]

Từ đó suy ra:\[\begin{aligned}x^{2}=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}\\ y^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}\\ z^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}\end{aligned}\]

Bước 4 (Tính thể tích):

Ký hiệu V_H là thể tích hình hộp chữ nhật. Khi đó \(V_{\mathrm{H}} = x.y.z\).

Thể tích khối tứ diện ABCD bằng thể tích hình hộp trừ đi thể tích của 4 khối chóp tam giác vuông ở 4 góc. Các khối này gồm: MABC, NACD, QBCD, PADB.

Mỗi khối chóp góc trên có thể tích bằng \(\frac{1}{6}xyz\). Thật vậy, xét \(V_{MACB}=\frac13\cdot S_{MAB}\cdot CM=\frac13\cdot\frac{x\cdot y}{2}\cdot z=\frac16xyz\). Chứng minh tương tự, thể tích các khối còn lại NACD, QBCD, PADB cũng có thể tích là \(\frac{1}{6}xyz\).

Do đó, thể tích khối tứ diện ABCD là:\[\begin{aligned}V_{ABCD}&=V_{\mathrm{H}}-4\cdot \left(\frac{1}{6}xyz\right)\\&=V_{\mathrm{H}}-\frac{2}{3}V_{\mathrm{H}}\\&=\frac{1}{3}V_{\mathrm{H}}\\&=\frac{1}{3}xyz\end{aligned}\]

Thay x, y, z từ Bước 3 vào:\[\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})}\end{aligned}\]

Thu được công thức cần chứng minh.

Thể tích tứ diện biết hai cạnh đối, khoảng cách và góc giữa chúng

Công thức: Cho tứ diện ABCD có \(AD = a, BC = b\). Khoảng cách giữa AD và BC là d, góc giữa AD và BC là \(\alpha\). Khi đó thể tích khối tứ diện là:\[V=\frac16abd\sin\alpha\]

Chứng minh:

Bước 1 (Dựng hình phụ):

Qua A, chọn điểm E sao cho \(AE\parallel BC\) và \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}\).

Khi đó B, C, E, A theo thứ tự tạo thành hình bình hành. Hai tam giác ABC và ACE có diện tích bằng nhau, mỗi diện tích bằng một nửa diện tích hình bình hành.

Đặt \(\theta=\widehat{DAE}\). Vì AE song song BC, góc \(\theta\) bằng \(\alpha\) hoặc bù với \(\alpha\), do đó \(\sin\theta=\sin\alpha\).

Bước 2 (Chuyển đổi thể tích):

Vì \(BC\parallel AE\) nên \(BC\parallel(ADE)\). Mặt phẳng (ADE) chứa AD và một đường thẳng song song BC. Đường vuông góc chung của AD, BC vuông góc với cả AD và AE, nên vuông góc (ADE). Vì vậy, khoảng cách từ C đến (ADE) bằng khoảng cách giữa AD và BC, tức bằng d.

Xét thể tích tứ diện ABCD và DACE: Khi lấy D làm đỉnh thì 2 tứ diện trên có chung chiều cao từ D và diện tích đáy ABC và ACE bằng nhau. Vậy 2 tứ diện này có thể tích bằng nhau.

Như vậy có thể tính thể tích tứ diện ABCD bằng DACE, với DACE đã có dữ liệu chiều cao từ đỉnh C (là d) kèm theo cạnh AD, AE và góc \(\widehat{DAE}\).

Bước 3 (Tính thể tích):\[\begin{aligned}V_{ABCD}&=V_{DACE}\\&=\frac13\cdot d\cdot S_{ADE}\\&=\frac13\cdot d\cdot\frac{a\cdot b\cdot\sin\alpha}{2}\\&=\frac16abd\sin\alpha\end{aligned}\]

Thu được công thức cần chứng minh.

Thể tích tứ diện biết diện tích 2 mặt kề, góc giữa 2 mặt đó và độ dài cạnh chung

Công thức: Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ABD) kề nhau chung cạnh \(AB = a\). Diện tích hai mặt lần lượt là \(S_1=S_{ABC}\), \(S_2=S_{ABD}\). Góc giữa hai mặt phẳng này là\(\alpha\). Khi đó thể tích tứ diện ABCD là:\[V=\frac{2S_1S_2\sin\alpha}{3a}\]

Chứng minh:

Chứng minh: Gọi I là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AB. Qua I, trong mặt phẳng (ABD), kẻ đường thẳng l vuông góc AB. Mặt phẳng chứa CI và l vuông góc AB, do đó góc giữa CI và l bằng góc giữa (ABC) và (ABD), tức \(\alpha\).

Trong mặt phẳng này, hạ CK vuông góc l tại K. Khi đó CK vuông góc cả l và AB nên \(CK\perp(ABD)\). Suy ra \(h=CK=CI\sin\alpha\). Nếu \(\alpha=90^\circ\) thì K trùng I và hệ thức vẫn đúng.

Vì \(S_1=\frac12a\cdot CI\) nên \(h=\frac{2S_1\sin\alpha}{a}\). Chọn ABD làm đáy, thu được:

\[V=\frac13S_2h=\frac{2S_1S_2\sin\alpha}{3a}\]

Những nhầm lẫn thường gặp khi tính thể tích tứ diện

Chọn sai mặt đáy và chiều cao tương ứng

Một sai lầm phổ biến là chọn một mặt làm đáy nhưng lại sử dụng chiều cao ứng với mặt khác. Diện tích và chiều cao trong công thức phải tương ứng với cùng một mặt đáy.

Chẳng hạn, nếu chọn tam giác ABC làm đáy của tứ diện ABCD, chiều cao phải là khoảng cách từ D đến mặt phẳng chứa tam giác ABC. Không thể tùy ý sử dụng độ dài cạnh AB, AC hoặc AD làm chiều cao nếu chưa xác định được quan hệ vuông góc cần thiết.

Để tránh nhầm lẫn, cần ghi rõ mặt đáy đã chọn và xác định đoạn vuông góc với mặt phẳng chứa đáy trước khi thay số vào công thức.

Nhầm lẫn giữa công thức thể tích tứ diện và thể tích lăng trụ

Công thức thể tích khối lăng trụ là:\[V=S_{\text{đáy}}\cdot h\]

Trong khi đó, công thức thể tích khối tứ diện là:\[V=\frac13S_{\text{đáy}}\cdot h\]

Hai công thức đều sử dụng diện tích đáy và chiều cao, nhưng có hệ số khác nhau. Nếu áp dụng nhầm công thức lăng trụ cho tứ diện, kết quả sẽ gấp ba lần giá trị đúng.

Nguyên nhân của sự nhầm lẫn thường là do cả hai loại khối hình đều có thể được tính thể tích thông qua diện tích đáy và chiều cao. Cần ghi nhớ rằng khối tứ diện là một khối chóp tam giác, không phải khối lăng trụ.

Cho rằng một cạnh bất kỳ luôn là chiều cao

Không phải mọi cạnh của tứ diện đều là chiều cao. Một cạnh chỉ có thể được sử dụng làm chiều cao khi nó vuông góc với mặt phẳng đáy đã chọn và nối đỉnh đối diện với mặt đáy đó.

Ví dụ, nếu AD không vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC, độ dài AD không phải chiều cao của tứ diện khi chọn tam giác ABC làm đáy. Khi đó, cần xác định khoảng cách từ D đến mặt phẳng chứa tam giác ABC.

Nếu hình vẽ thể hiện các cạnh nghiêng hoặc không có dấu vuông góc, không nên suy luận về tính vuông góc chỉ dựa vào hình minh họa. Mọi kết luận phải xuất phát từ giả thiết hoặc được chứng minh bằng các quan hệ hình học.

Không thống nhất đơn vị đo

Diện tích đáy và chiều cao cần được đổi về những đơn vị phù hợp trước khi tính toán. Chẳng hạn, nếu diện tích đáy được cho bằng \(\text{m}^2\) nhưng chiều cao được cho bằng cm, cần đổi một trong hai đại lượng trước khi nhân.

Ngoài ra, kết quả thể tích phải có đơn vị lập phương, chẳng hạn \(\text{cm}^3\), \(\text{dm}^3\) hoặc \(\text{m}^3\). Việc ghi đơn vị diện tích hoặc đơn vị độ dài ở kết quả cuối cùng là không chính xác.

Bài tập vận dụng có lời giải

Bài tập 1. Tính thể tích khi biết diện tích đáy và chiều cao

Cho tứ diện MABC có diện tích tam giác ABC bằng \(15\text{cm}^2\). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa tam giác ABC bằng \(8\text{cm}\). Tính thể tích tứ diện MABC.

Lời giải

Theo đề bài: \(S_{ABC}=15\text{cm}^2\) và \(h_{M}=8\text{cm}\)

Áp dụng công thức: \[V_{MABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h_M\]

Thay số:\[V_{MABC}=\frac{1}{3}\cdot15\cdot8\]\[V_{MABC}=40\text{cm}^3\]

Vậy thể tích tứ diện MABC bằng \(40\text{cm}^3\).

Bài tập 2. Tính thể tích tứ diện đều

Tính thể tích tứ diện đều có cạnh 6 cm.

Lời giải

Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện đều:\[V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot6^3=18\sqrt2\left(\mathrm{cm}^3\right)\]

Đáp số: \(18\sqrt2\left(\mathrm{cm}^3\right)\).

Bài tập 3. Vận dụng vào tình huống thực tế

Một nhà máy dự kiến sản xuất kẹo sô-cô-la dạng tứ diện vuông có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc và bằng nhau. Khối lượng tịnh mỗi viên là 5,67 g; giả sử khối lượng riêng của sô-cô-la là \(1{,}26\,\text{g/cm}^3\).

Lô đầu tiên gồm 5 triệu viên. Giả sử đơn giá vật liệu bao bì là \(25.000\,\text{VND/m}^2\).

Giả sử bao bì ôm sát bốn mặt của viên kẹo, không tính phần mép dán, độ dày và hao hụt. Tính chi phí vật liệu bao bì của lô kẹo. Các số liệu là giả định của bài toán, không phải giá thị trường được khảo sát.

Lời giải

Bước 1: Tính thể tích của 1 viên kẹo sô-cô-la

Khối lượng tịnh của 1 chiếc kẹo: \(m = 5{,}67\text{ gam}\); Khối lượng riêng của sô-cô-la: \(D = 1{,}26\text{ gam/cm}^3\).

Do đó, Thể tích của 1 chiếc kẹo là:\[V = \frac{m}{D} = \frac{5{,}67}{1{,}26} = 4{,}5\text{ (cm}^3\text{)}\]

Bước 2: Áp dụng công thức thể tích tứ diện để tính độ dài cạnh của khối tứ diện vuông

Đặt tên khối tứ diện vuông có 3 cạnh đôi một vuông góc bằng nhau là ABCD, với AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Đặt cạnh \(AB=AC=AD=a\) . Thể tích của viên kẹo hình tứ diện này được tính theo công thức: \[V=\frac13\cdot S_{ABC}\cdot AD=\frac13\cdot\frac{a\cdot a}{2}\cdot a=\frac{1}{6}a^3\]

Thay giá trị thể tích vào để tìm được cạnh a: \[\frac{1}{6}a^3=4{,}5\to a^3=4{,}5\times6=27\to a=3\text{ (cm)}\]

Bước 3: Tính diện tích toàn phần của 1 chiếc kẹo

Khối tứ diện vuông có ba cạnh đôi một vuông góc dài \(a = 3\text{ cm}\) có tổng diện tích toàn phần S (chính là diện tích bao bì cho 1 chiếc kẹo) là:\[S=S_{ABC}+S_{ABD}+S_{ADC}+S_{BCD}\]

Trong đó, ABC, ABD, ADC là 3 tam giác vuông cân có cạnh góc vuông \(a = 3\text{ cm}\) nên có thể tính ngay được diện tích của chúng bằng nhau và bằng \(\frac{3\cdot3}{2}=\frac92\), riêng chỉ có BCD là tam giác chưa biết diện tích.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A thì \(BC=AB\sqrt2=3\sqrt2cm\). Tương tự thì \(CD=BD=3\sqrt2cm\). Vậy tam giác BCD là tam giác đều cạnh \(3\sqrt2cm\).

Áp dụng công thức diện tích tam giác đều: \[S_{BCD}=\frac{\left(3\sqrt2\right)^2\cdot\sqrt3}{4}=\frac{9\sqrt3}{2}\]

Vậy diện tích bao bì cho chiếc kẹo là:\[S=3\cdot\frac92+\frac{9\sqrt3}{2}=\frac{9(3 + \sqrt{3})}{2}\text{ (cm}^2\text{)}\]

Bước 4: Tính tổng diện tích bao bì cho 5 triệu chiếc kẹo

Số lượng kẹo sản xuất: \(N = 5.000.000\) chiếc.

Tổng diện tích bao bì là:\[\text{S}=5.000.000\times\frac{9(3 + \sqrt{3})}{2}=22.500.000(3+\sqrt{3})\text{ (cm}^2\text{)}\]

Đổi sang đơn vị mét vuông:\[\text{S}=\frac{22.500.000(3 + \sqrt{3})}{10.000}=2.250(3+\sqrt{3})\text{ (m}^2\text{)}\]

Bước 5: Tính tổng chi phí bao bì

Với giá thị trường của bao bì là\(25.000\text{ VND/m}^2\), tổng chi phí là:\[2.250(3+\sqrt{3})\times25.000=56.250.000(3+\sqrt{3})\approx266.177.858\text{ (VND) }\]

Vậy chi phí dự kiến cho phần bao bì của lô kẹo sản xuất lần đầu tiên xấp xỉ 266.177.858 VND.

Thể tích tứ diện được tính theo công thức \(V=\frac{1}{3}S_{\text{đáy}}h\), với \(h\) là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến mặt phẳng đáy. Khi giải bài tập, học sinh cần chọn mặt đáy thuận tiện, xác định đúng chiều cao tương ứng và thống nhất đơn vị đo. Với tứ diện đều hoặc tứ diện vuông, cần kiểm tra đầy đủ giả thiết trước khi áp dụng công thức riêng.

Học sinh có thể luyện tập thêm các chuyên đề Toán 11 theo chương trình Kết nối tri thức để củng cố phương pháp tính thể tích khối đa diện và vận dụng vào bài toán thực tế.