Tỉ lệ thức | Tính chất, cách lập và bài tập lớp 7 có đáp án

Tỉ lệ thức là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 7, được hình thành từ hai tỉ số bằng nhau. Bài học giúp học sinh hiểu tỉ lệ thức là gì, tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, cách lập tỉ lệ thức, tìm số hạng chưa biết, tìm x trong tỉ lệ thức, vận dụng dãy tỉ số bằng nhau và giải các dạng bài tập tỉ lệ thức lớp 7 có đáp án thường gặp.

Tỉ lệ thức là gì?

Tỉ lệ thức (TLT) là đẳng thức của hai tỉ số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\).

Trong đó:

• a, b, c, d là các số thực, với điều kiện \(b \neq 0\) và \(d \neq 0\).

• Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của TLT.

• a và d là các số hạng ngoài (gọi tắt là ngoại hạng).

• b và c là các số hạng ở giữa (gọi tắt là trung hạng).

Cách viết tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức giữa hai tỉ số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) được viết dưới dạng:

\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad \text{hoặc} \quad a : b = c : d\]

Lưu ý: Tỉ số \(\dfrac{a}{b}\) chính là phép chia a : b. Do đó, hai tỉ số bằng nhau khi chúng có cùng giá trị sau khi thu gọn hoặc tính toán.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: So sánh hai tỉ số \(\dfrac{3}{4}\) và \(\dfrac{6}{8}\).

• Ta thấy \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 : 2}{8 : 2} = \dfrac{3}{4}\).

• Vì hai tỉ số này bằng nhau nên ta có tỉ lệ thức: \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}\) (hoặc 3 : 4 = 6 : 8).

• Ở đây: 3 và 8 là các ngoại hạng; 4 và 6 là các trung hạng.

Ví dụ 2: Hai tỉ số \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{3}{5}\) có lập thành tỉ lệ thức không?

• Đổi ra số thập phân: \(\dfrac{1}{2} = 0,5\) và \(\dfrac{3}{5} = 0,6\).

• Vì \(0,5 \neq 0,6\) nên \(\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{3}{5}\). Hai tỉ số này không lập thành tỉ lệ thức.

Tính chất tỉ lệ thức

Tính chất tỉ lệ thức là cơ sở để tìm số hạng chưa biết, tìm x và lập tỉ lệ thức từ một đẳng thức tích. Hai tính chất cơ bản gồm tính chất tích chéo và tính chất đảo.

Tính chất 1: Tính chất tích chéo

Nếu ta có tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì:

\[a \cdot d = b \cdot c\]

Nói cách khác: Trong một tỉ lệ thức, tích các ngoại hạng bằng tích các trung hạng.

Tính chất 2: Tính chất đảo

Nếu có đẳng thức tích \(a \cdot d = b \cdot c\) (với \(a, b, c, d \neq 0\)) thì ta có thể suy ra tỉ lệ thức \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\]

Từ tính chất này, ta còn suy ra cách tìm một thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức:

\[\text{Nếu } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \implies a = \dfrac{b \cdot c}{d}, \quad b = \dfrac{a \cdot d}{c}, \quad c = \dfrac{a \cdot d}{b}, \quad d = \dfrac{b \cdot c}{a}\]

Ví dụ áp dụng

Tìm x biết \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{12}{20}\).

Lời giải

Áp dụng tính chất tích chéo của tỉ lệ thức:

\(x \cdot 20 = 5 \cdot 12\)

\(\Leftrightarrow\) \(x \cdot 20 = 60\)

\(\Leftrightarrow\) \(x = 60 : 20\)

\(\Leftrightarrow\) \(x = 3\)

Vậy x = 3.

Cách lập tỉ lệ thức từ một đẳng thức tích

Nguyên tắc lập tỉ lệ thức

Từ một đẳng thức dạng \(a \cdot d = b \cdot c\) (với \(a, b, c, d \neq 0\)), ta có thể lập được đúng 4 tỉ lệ thức khác nhau bằng cách giữ nguyên một cặp (ngoại hạng hoặc trung hạng) và đổi chỗ cặp còn lại.

Các bước thực hiện

Để không bị sót hoặc nhầm lẫn, các em nên thực hiện theo các bước cụ thể:

Bước 1: Viết tỉ lệ thức ban đầu bằng cách giữ a, d làm ngoại hạng, b, c làm trung hạng:\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\]

Bước 2: Đổi chỗ hai ngoại hạng a và d cho nhau:

\[\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}\]

Bước 3: Đổi chỗ hai trung hạng b và c cho nhau từ tỉ lệ thức ban đầu:

\[\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\]

Bước 4: Đổi chỗ cả hai ngoại hạng a, d và hai trung hạng b, c:

\[\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}\]

Ví dụ minh họa

Bài toán: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ đẳng thức \(2 \cdot 6 = 3 \cdot 4\).

Lời giải

Trong đẳng thức \(2 \cdot 6 = 3 \cdot 4\), ta coi (2; 6) là cặp ngoại hạng và (3; 4) là cặp trung hạng. Bằng cách áp dụng các bước trên, ta lập được 4 tỉ lệ thức:

1. Giữ nguyên vị trí: \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\)

2. Đổi chỗ hai ngoại hạng (2 và 6): \(\dfrac{6}{3} = \dfrac{4}{2}\)

3. Đổi chỗ hai trung hạng (3 và 4): \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}\)

4. Đổi chỗ cả ngoại hạng và trung hạng: \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)

Các dạng bài tập về tỉ lệ thức lớp 7

Các dạng bài tập về tỉ lệ thức lớp 7 thường gồm nhận biết tỉ lệ thức, lập tỉ lệ thức, tìm x và giải bài toán thực tế. Mỗi dạng có thể áp dụng định nghĩa hoặc tính chất tích chéo để giải.

Bài tập tỉ lệ thức lớp 7 có đáp án và lời giải

Dạng 1: Nhận biết hai tỉ số có lập thành tỉ lệ thức không

Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức hay không?

a) \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{15}{25}\)

b) \((-7) : 21\) và \(\dfrac{2}{5} : \left(-\dfrac{6}{5}\right)\)

Lời giải

a) Ta có: \[\dfrac{15}{25} = \dfrac{15 : 5}{25 : 5} = \dfrac{3}{5}\]

Vì \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{15}{25}\) nên hai tỉ số này có lập thành tỉ lệ thức.

b) Ta tính giá trị từng tỉ số:

Tỉ số thứ nhất: \[(-7) : 21 = \dfrac{-7}{21} = -\dfrac{1}{3}\]

Tỉ số thứ hai: \[\dfrac{2}{5} : \left(-\dfrac{6}{5}\right) = \dfrac{2}{5} \cdot \left(-\dfrac{5}{6}\right) = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}\]

Vì cả hai tỉ số đều bằng \(-\dfrac{1}{3}\) nên hai tỉ số này có lập thành tỉ lệ thức: \[(-7) : 21 = \dfrac{2}{5} : \left(-\dfrac{6}{5}\right)\]

Dạng 2: Bài tập lập tỉ lệ thức

Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ 4 số sau: 3; 9; 27; 81.

Lời giải

Bước 1: Tìm đẳng thức tích từ 4 số đã cho.

Ta thấy: \(3 \cdot 81 = 243\) và \(9 \cdot 27 = 243\).

Do đó, ta có đẳng thức tích: \(3 \cdot 81 = 9 \cdot 27\).

Bước 2: Lập 4 tỉ lệ thức từ đẳng thức \(3 \cdot 81 = 9 \cdot 27\):

1. \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{27}{81}\)

2. \(\dfrac{81}{9} = \dfrac{27}{3}\)

3. \(\dfrac{3}{27} = \dfrac{9}{81}\)

4. \(\dfrac{81}{27} = \dfrac{9}{3}\)

Dạng 3: Bài tập tìm x trong tỉ lệ thức

Tìm x trong các tỉ lệ thức sau, biết:

a) \(\dfrac{x}{-4} = \dfrac{-9}{12}\)

b) \(\dfrac{1,2}{x} = \dfrac{0,4}{2,5}\)

c) \(\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{12}{x - 1}\) (với \(x \neq 1\))

Lời giải

a) \(\dfrac{x}{-4} = \dfrac{-9}{12}\)

\(\implies x \cdot 12 = (-4) \cdot (-9)\)

\(\implies\)\(12x = 36\)

\(\implies\)\(x = 36 : 12\)

\(\implies\)x = 3

Vậy x = 3.

b) \(\dfrac{1,2}{x} = \dfrac{0,4}{2,5}\)

\(\implies x \cdot 0,4 = 1,2 \cdot 2,5\)

\(\implies\) 0,4x = 3

\(\implies\) x = 3 : 0,4

\(\implies\) x = 7,5

Vậy x = 7,5.

c) \(\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{12}{x - 1}\)

\(\implies (x - 1) \cdot (x - 1) = 3 \cdot 12\)

\(\implies\)\((x - 1)^2 = 36\)

Vì \(36 = 6^2 = (-6)^2\) nên ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \[x - 1 = 6 \implies x = 7\]

Trường hợp 2: \[x - 1 = -6 \implies x = -5\]

Vậy \(x \in \{7; -5\}\).

Dạng 4: Bài toán thực tế vận dụng

Trong các bài toán thực tế, khi hai đại lượng thay đổi theo cùng một tỉ số, học sinh có thể vận dụng kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận để lập tỉ lệ thức và tìm giá trị chưa biết.

Để pha nước cam ngon, người ta pha theo tỉ lệ 2 phần nước cốt cam và 5 phần nước lọc. Hỏi nếu dùng 150 ml nước cốt cam thì cần bao nhiêu ml nước lọc để đạt tỉ lệ trên?

Lời giải

Gọi lượng nước lọc cần dùng là x ml (điều kiện x > 0).

Theo đề bài, tỉ lệ giữa nước cốt cam và nước lọc là \(\dfrac{2}{5}\).

Do đó, ta lập được tỉ lệ thức:

\(\dfrac{150}{x} = \dfrac{2}{5}\)

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

\(2 \cdot x = 150 \cdot 5\)

\(\Leftrightarrow\) \(2x = 750\)

\(\Leftrightarrow\) \(x = 750 : 2\)

\(\Leftrightarrow\) \(x = 375 \text{ (thỏa mãn)}\)

Vậy cần dùng 375 ml nước lọc để pha đúng tỉ lệ.

Hiểu rõ khái niệm tỉ lệ thức, nắm vững tính chất tích chéo và quy tắc lập là bước đệm quan trọng giúp học sinh học tốt môn Toán 7. Các kiến thức sẽ xuất hiện trong các đề kiểm tra và còn là nền tảng trực tiếp để học bài Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tiếp theo. Học sinh hãy rèn luyện các dạng bài tập trên để tự tin đạt điểm cao nhé!

Học sinh tham khảo thêm các chuyên đề Toán 7 tại ZIM Academy để củng cố kiến thức và luyện tập thêm các dạng bài liên quan.