Đại lượng tỉ lệ thuận | Công thức, tính chất và bài tập lớp 7

Trong Toán 7, đại lượng tỉ lệ thuận là nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu mối quan hệ giữa hai đại lượng có dạng y = ax, trong đó a là hệ số tỉ lệ.

Bài học tập trung làm rõ đại lượng tỉ lệ thuận là gì, công thức và tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, cách xác định hệ số tỉ lệ, lập bảng giá trị và giải bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận. Qua đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức để giải bài tập tỉ lệ thuận và các bài toán thực tế thường gặp.

Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức \(y=ax\) (a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a. [1]

Đẳng thức \(y=ax\) được gọi là công thức liên hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận y và x với hệ số tỉ lệ a.

Ví dụ 1: Một cây bút có giá 5000 đồng. Gọi x (cây bút) là số lượng bút và y (đồng) là tổng số tiền để mua x cây bút. Hãy viết Công thức liên hệ giữa y và x.

• Hệ số tỉ lệ \(a=5000\).

• Công thức liên hệ giữa y và x là: \(y=5000x\).

• Khi đó, ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ \(a=5000\).

Bảng sau sẽ thể hiện rõ hơn sự liên hệ giữa hai đại lượng này:

Lưu ý: Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a (a là hằng số khác 0) thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{a}\). Khi đó ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. [1]

\[y=ax\rightarrow x=\dfrac{1}{a}y\]

Ví dụ 2: Cho y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ \(a=3\).

a) Tìm giá trị của y khi \(x=3\);

b) Tìm giá trị của x khi y = 15.

Lời giải:

Theo đề bài, ta có y tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ \(a=3\), suy ra x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{a}=\dfrac13\). Nghĩa là:

\(y=3x\) và \(x=\dfrac13y\).

a) Thay \(x=3\) vào \(y=3x\), thu được \(y=3\times3=9\).

b) Thay y = 15 vào \(x=\dfrac13y\), thu được \(x=\dfrac13\times15=5\).

Kết luận:

a) Khi \(x=3\) thì \(y=9\);

b) Khi \(y=15\) thì \(x=5\).

Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận

Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a thì: [1]

• Tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ:

\[\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{y_3}{x_3}=\ldots=a\]

(1)

• Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

\[\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{x_1}{x_2};\dfrac{y_1}{y_3}=\dfrac{x_1}{x_3};\dfrac{y_2}{y_3}=\dfrac{x_2}{x_3};\ldots\]

(2)

Ví dụ 3: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Hãy thay giá trị phù hợp vào các dấu ? trong bảng sau:

Lời giải:

Bài toán yêu cầu tìm các giá trị của \(x_3\) và \(y_1\).

Áp dụng tính chất (1), ta có \(\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac84=2\), suy ra \[y_1=2\times x_1=2\times3=6\]

Áp dụng tính chất (2), ta có \(\dfrac{x_3}{x_1}=\dfrac{y_3}{y_1}=\dfrac{18}{6}=3\), suy ra \[x_3=3\times x_1=3\times3=9\]

Kết luận: Vậy \(x_3=9\) và \(y_1=6\).

Lưu ý: Khi nói "x, y, z tỉ lệ với a, b, c" thì ta hiểu là tỉ lệ thuận, nghĩa là \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\).

Cách nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận

Nhận biết qua công thức liên hệ

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức \(y=ax\) (a là hằng số khác 0) thì ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Ví dụ 4:

• Các công thức \(y=3x\) và \(x=5y\) là công thức liên hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận.

• Công thức \(y=2x-1\) không phải là công thức liên hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Nhận biết qua quy luật thực tế

Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận thì khi một giá trị của x được nhân với một số thì giá trị tương ứng của y cũng được nhân với cùng số đó.

Ví dụ 5: Các đại lượng dưới đây là các đại lượng tỉ lệ thuận.

• Tổng số tiền phải trả và số lượng hàng hoá với đơn giá cố định.

• Quãng đường (S) và thời gian di chuyển (t) khi vận tốc (v) không đổi (\(S=v.t\)).

Nhận biết qua bảng giá trị

Cho bảng số liệu:

Để kiểm tra hai đại lượng x và y trong một bảng số liệu có tỉ lệ thuận với nhau hay không, ta thực hiện hai bước:

1. Lập tỉ số \(\dfrac{y}{x}\) (hoặc \(\dfrac{x}{y}\)) cho từng cặp giá trị tương ứng, tức là \(\dfrac{y_1}{x_1};\dfrac{y_2}{x_2};\dfrac{y_3}{x_3};\ldots\)

2. So sánh các tỉ số vừa tính được:

   • Nếu tất cả các tỉ số đều bằng nhau và bằng một số \(a\neq0\) thì hai đại lượng tỉ lệ thuận theo hệ số tỉ lệ a.

   • Nếu có ít nhất một tỉ số khác các giá trị còn lại thì hai đại lượng không tỉ lệ thuận.

Ví dụ 6: Hãy kiểm tra xem hai đại lượng x và y trong bảng số liệu dưới đây có tỉ lệ thuận hay không?

Lời giải:

Bước 1: Lập tỉ số \(\dfrac{y}{x}\) cho từng cặp tương ứng, thu được \[\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac62=3;\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{12}{4}=3;\dfrac{y_3}{x_3}=\dfrac{18}{6}=3\]

Bước 2: So sánh các tỉ số vừa tính được, nhận thấy tất cả các tỉ số đều bằng nhau và bằng 3, suy ra x và y chính là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Ví dụ 7: Hãy kiểm tra xem hai đại lượng x và y trong bảng số liệu dưới đây có tỉ lệ thuận hay không?

Lời giải:

Bước 1: Lập tỉ số \(\dfrac{y}{x}\) cho từng cặp tương ứng, thu được \[\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac62=3;\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{16}{4}=4;\dfrac{y_3}{x_3}=\dfrac{21}{7}=3\]

Bước 2: So sánh các tỉ số vừa tính được, nhận thấy tỉ số \(\dfrac{y_2}{x_2}=4\) khác với tỉ số các cặp còn lại, suy ra x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Các dạng bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7

Các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7 thường yêu cầu xác định hệ số tỉ lệ, tìm giá trị chưa biết, chia một số thành các phần tỉ lệ thuận hoặc vận dụng vào bài toán thực tế.

Dạng 1: Xác định hệ số tỉ lệ và lập công thức liên hệ

Phương pháp giải:

• Bước 1: Sử dụng dữ kiện cặp giá trị ban đầu (\(x_1, y_1\)) để tìm hệ số tỉ lệ \(a = \dfrac{y_1}{x_1}\).

• Bước 2: Lập công thức liên hệ \(y=ax\) (hoặc \(x=\dfrac{1}{a}y\)).

• Bước 3: Áp dụng công thức phù hợp để giải yêu cầu bài toán.

Ví dụ 8: Cho x và y tỉ lệ thuận. Biết khi x = 3 thì y = -15.

a) Tìm hệ số tỉ lệ a của y đối với x và viết công thức liên hệ;

b) Tìm giá trị của y khi x = -4.

c) Tìm giá trị của x khi y = 30.

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ \(a=\dfrac{y_{}}{x_{}}=\frac{-15}{3}=-5\). Công thức liên hệ \(y=ax=-5x\).

b) Thay x = -4 vào công thức liên hệ, thu được \[y=-5x=-5\times\left(-4\right)=20\]

c) Thay y = 30 vào công thức liên hệ, thu được \[30=-5x\rightarrow x=\dfrac{30}{-5}=-6\]

Dạng 2: Tìm các giá trị chưa biết dựa vào tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận

Phương pháp giải:

• Áp dụng các tính chất \(\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}\) và \(\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{x_1}{x_2}\).

• Biến đổi dữ kiện của bài toán kết hợp tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Ví dụ 9: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi \(x_1, x_2\) là hai giá trị của x và \(y_1, y_2\) là hai giá trị tương ứng của y. Biết \(x_1 = 4, x_2 = -6\) và \(y_1 + y_2 = -10\). Tính \(y_1\) và \(y_2\).

Lời giải:

Vì x và y tỉ lệ thuận nên:\[\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}\iff\dfrac{y_1}{4}=\dfrac{y_2}{-6}\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, thu được:\[\dfrac{y_1}{4}=\dfrac{y_2}{-6}=\dfrac{y_1+y_2}{4+\left(-6\right)}=\frac{-10}{-2}=5\]

Suy ra: \[y_1=5\times4=20,y_2=5\times\left(-6\right)=-30\]

Dạng 3: Chia một số thành các phần tỉ lệ thuận với các số cho trước

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi các phần cần tìm là x, y, z (đặt điều kiện nếu có).

• Bước 2: Thiết lập dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) và phương trình tổng x + y + z = S.

• Bước 3: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \[\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}\]

Ví dụ 10: Ba lớp A, B, C tham gia phong trào trồng cây gây rừng và trồng được tổng cộng 180 cây. Biết số cây trồng được của ba lớp lần lượt tỉ lệ thuận với 3; 4; 5. Tính số cây mỗi lớp đã trồng.

Lời giải:

Gọi số cây trồng được của lớp A, B, C lần lượt là x, y, z (cây; x, y, z là số tự nhiên).

Theo đề bài ta có: \(x + y + z = 180\) và \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \[\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x + y + z}{3 + 4 + 5} = \dfrac{180}{12} = 15\]

Suy ra:

• Lớp A trồng được: x = 15 × 3 = 45 (cây).

• Lớp B trồng được: y = 15 × 4 = 60 (cây).

• Lớp C trồng được: z = 15 × 5 = 75 (cây).

Dạng 4: Bài toán thực tế

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định hai đại lượng trong bài toán có quan hệ tỉ lệ thuận (số lượng sản phẩm và số tiền, quãng đường và thời gian di chuyển khi vận tốc không đổi, …).

• Bước 2: Lập tỉ lệ thức giữa các giá trị tương ứng rồi sử dụng tính chất của tỉ lệ thức để tìm đại lượng chưa biết.

Ví dụ 11: Cứ 100 kg thóc thì cho ra 65 kg gạo. Hỏi một bác nông dân thu hoạch được 2,4 tấn thóc thì thu được bao nhiêu tạ gạo?

Lời giải:

Đổi đơn vị: 2,4 tấn = 2400 kg.

Nhận xét: Khối lượng thóc và khối lượng gạo thu được là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Gọi x (kg) là khối lượng gạo thu được từ 2400 kg thóc (x > 0).

Ta có tỉ lệ thức: \[\dfrac{100}{2400}=\dfrac{65}{x}\implies x=\dfrac{2400\times65}{100}=1560\]

(kg)

Ta lại đổi đơn vị: 1560 kg = 15,6 tạ.

Kết luận: Bác nông dân thu hoạch được 15,6 tạ gạo.

Những nhầm lẫn thường gặp khi giải toán tỉ lệ thuận

Trong quá trình học và làm bài kiểm tra, học sinh thường mắc phải các lỗi sai cơ bản dưới đây.

Nhận biết sai các đại lượng tỉ lệ thuận

Sai lầm phổ biến: Học sinh thường có thói quen là cứ thấy đại lượng này tăng, đại lượng kia cũng tăng thì vội kết luận ngay là hai đại lượng này tỉ lệ thuận.

Ví dụ 12: Mối quan hệ giữa tuổi của mẹ và tuổi của con không phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Khi tuổi mẹ tăng thì tuổi của con cũng tăng, nhưng tỉ số giữa hai đại lượng thay đổi.

Cách khắc phục: Không chỉ dựa vào việc hai đại lượng cùng tăng. Cần kiểm tra tỉ số giữa các giá trị tương ứng có không đổi hay không, theo phương pháp đã trình bày ở phần trên.

Xác định sai hệ số tỉ lệ giữa hai đại lượng

Sai lầm phổ biến: Nhầm lẫn vị trí tử số và mẫu số khi đề bài thay đổi đối tượng phát biểu, dẫn đến việc lấy nhầm nghịch đảo của hệ số tỉ lệ, tức là nhầm lẫn giữa \(a\) và \(\dfrac1a\).

Quy tắc phân biệt:

• Nếu đề bài nói: "y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a", ta có \[y = ax \implies a = \dfrac{y}{x}\]

• Nếu đề bài nói: "x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k" ta có \[x = ky \implies k = \dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{a}\]

Ví dụ 13: Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số a = 4 (tức là y = 4x).

Khi đề bài hỏi "Hệ số tỉ lệ của x đối với y là bao nhiêu?", học sinh thường trả lời sai là 4.

Câu trả lời đúng phải là \(k = \dfrac{1}{4}\) (vì \(x = \dfrac{1}{4}y\)).

Sai lầm khi gặp dạng bài tập chia một số thành các phần tỉ lệ thuận với nhiều số cho trước

Quên đặt điều kiện cho các ẩn số

Khi gọi các phần cần chia là x, y, z, học sinh thường quên đặt điều kiện dựa trên ngữ cảnh bài toán (ví dụ: số người, số cây, số sản phẩm thì x, y, z phải là số tự nhiên; độ dài đoạn thẳng, khối lượng thì x, y, z > 0).

Áp dụng sai tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Khi thực hiện phép tính với dãy tỉ số \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\), phép tính của tử số và mẫu số phải tương ứng với nhau.

• Nếu tử là tổng x + y + z: \[\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}\]

• Nếu tử là biểu thức kết hợp 2x - y + 3z: \[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{2x}{2a} = \dfrac{3z}{3c} = \dfrac{2x - y + 3z}{2a - b + 3c}\]

Học sinh rất hay quên nhân hệ số ở dưới mẫu, chẳng hạn để nguyên mẫu là a - b + c.

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận có lời giải

Dưới đây là các bài tập tỉ lệ thuận lớp 7 từ cơ bản đến vận dụng kèm lời giải chi tiết.

Bài tập 1 (Xác định hệ số tỉ lệ và lập công thức liên hệ - Mức độ dễ)

Đề bài: Cho x và y tỉ lệ thuận. Biết khi x = 4 thì y = -12.

a) Tìm hệ số tỉ lệ a của x đối với y và viết công thức liên hệ.

b) Tính giá trị của y khi x = -3.

Lời giải:

a) Vì x tỉ lệ thuận với y, ta có \(a=\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{-12}=-\dfrac13\). Suy ra công thức liên hệ là \(x=-\dfrac13y\).

b) Thay x = -3 vào \(x=-\dfrac13y\), thu được \[-3=-\dfrac13y\implies y=-3\times\left(-3\right)=9\]

Kết luận:

a) Hệ số tỉ lệ a của x đối với y là \(a=-\dfrac13\) và công thức liên hệ là \(x=-\dfrac13y\).

b) Khi x = -3 thì y = 9.

Bài tập 2 (Chia một số thành các phần tỉ lệ thuận với các số cho trước - Mức độ trung bình)

Đề bài: Một tam giác có chu vi bằng 36 cm và độ dài ba cạnh tỉ lệ thuận với 3; 4; 5. Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.

Lời giải:

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c (cm; a, b, c > 0).
Theo đề bài, ta có a + b + c = 36 và \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, thu được:

\[\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5} = \dfrac{a + b + c}{3 + 4 + 5} = \dfrac{36}{12} = 3\].

Suy ra:

• a = 3 × 3 = 9 (cm).

• b = 4 × 3 = 12 (cm).

• c = 5 × 3 = 15 (cm).

Kết luận: Độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là 9 cm, 12 cm và 15 cm.

Bài tập 3 (Bài toán thực tế - Mức độ vận dụng)

Đề bài: Để pha nước cam chuẩn vị, một cửa hàng quy định tỉ lệ khối lượng giữa nước cốt cam và nước đường tỉ lệ thuận với 2 và 4. Biết giá nguyên liệu là 120.000 đồng/kg nước cốt cam và 30.000 đồng/kg nước đường. Tính tổng chi phí nguyên liệu để làm 600 g nước cam chuẩn vị.

Lời giải:

Bước 1: Tính khối lượng từng loại nguyên liệu

Gọi khối lượng nước cốt cam và nước đường cần dùng lần lượt là x (g) và y (g) (Điều kiện: x, y > 0).

Theo đề bài, tổng khối lượng nước cam cần pha là 600 g và khối lượng hai thành phần tỉ lệ thuận với 2 và 4, ta có x + y = 600 và \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\[\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{x + y}{2 + 4} = \dfrac{600}{6} = 100\].

Suy ra:

• Khối lượng nước cốt cam: \(x=2\times100\) = 200 (g) = 0,2 (kg).

• Khối lượng nước đường: \(y=4\times100\) = 400 (g) = 0,4 (kg).

Bước 2: Tính tổng chi phí nguyên liệu

• Chi phí nước cốt cam là: \(0,2\times120000=24000\) (đồng).

• Chi phí nước đường là:

  \(0,4\times30000\) = 12000 (đồng).

• Tổng chi phí nguyên liệu để pha 600 g nước cam là:

  24000 + 12000 = 36000 (đồng).

Kết luận: Tổng chi phí nguyên liệu để làm 600 g nước cam chuẩn vị là 36000 đồng.

Bài viết đã hệ thống toàn bộ kiến thức trọng tâm về đại lượng tỉ lệ thuận trong chương trình Toán 7: Từ công thức y = ax, các tính chất cơ bản, các cách nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận đến phương pháp giải các dạng toán điển hình. Việc hiểu rõ bản chất, chú ý quy đổi đồng nhất đơn vị đo và rèn luyện các dạng bài thường gặp sẽ giúp học sinh tránh được những nhầm lẫn phổ biến, tự tin làm chủ kiến thức và đạt điểm số cao trong các bài kiểm tra. Để ôn tập thêm các nội dung liên quan, học sinh có thể tham khảo chuyên đề Toán 7 tại ZIM Academy.