Tỉ số lượng giác lớp 9 | Công thức, bảng giá trị và cách tính

Trong chương trình Toán 9, tỉ số lượng giác của góc nhọn biểu thị mối quan hệ giữa số đo góc và độ dài các cạnh trong tam giác vuông. Nội dung trọng tâm gồm các công thức sin, cos, tan, cot, tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, bảng lượng giác và cách vận dụng để tính cạnh, tính góc.

Phần kiến thức này được củng cố thông qua bài tập tỉ số lượng giác lớp 9, bài tập về sin cos tan và các dạng bài vận dụng trong tam giác vuông.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì?

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là tỉ số giữa độ dài hai cạnh của tam giác vuông, được xác định theo góc đang xét. Bốn tỉ số gồm sin, cos, tan và cot. [1]

Xét một tam giác vuông và chọn góc nhọn \(\alpha\). Ba cạnh của tam giác được gọi tên theo vị trí so với góc đó:

• Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông và là cạnh dài nhất của tam giác vuông.

• Cạnh đối là cạnh nằm đối diện góc \(\alpha\).

• Cạnh kề là cạnh góc vuông nằm sát góc \(\alpha\), không phải cạnh huyền.

Với \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), bốn tỉ số lượng giác được định nghĩa trong bảng sau. [1]

Các tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc vào số đo của góc nhọn chứ không phụ thuộc vào kích thước của tam giác. Nguyên nhân là các tam giác vuông có cùng một góc nhọn thì đồng dạng nên các cạnh tương ứng luôn tỉ lệ với nhau.

Ví dụ, nếu một tam giác có tỉ số cạnh đối trên cạnh huyền bằng \(\dfrac{3}{5}\) và một tam giác đồng dạng có tỉ số \(\dfrac{6}{10}\) thì hai tỉ số đều bằng \(0{,}6\).

Khi chuyển sang góc nhọn còn lại, cạnh đối và cạnh kề đổi vai trò; cạnh huyền giữ nguyên. Học sinh có thể ôn lại cách nhận diện các cạnh trong tam giác vuông.

Tính chất của các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Với mọi góc nhọn \(\alpha\), tức là \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), ta có: [1]

\[0<\sin\alpha<1,\qquad 0<\cos\alpha<1\]

Đồng thời:

\[\tan\alpha>0,\qquad\cot\alpha>0\]

Các tỉ số lượng giác còn liên hệ với nhau qua các hệ thức:

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

\[\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]

\[\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\]

Hệ thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) có thể suy ra từ Định lí Pythagore. Trong tam giác vuông:

\[(\text{cạnh đối})^2+(\text{cạnh kề})^2=(\text{cạnh huyền})^2\]

Chia cả hai vế cho bình phương cạnh huyền sẽ thu được hệ thức trên.

Khi so sánh các tỉ số lượng giác của các góc nhọn, góc càng lớn thì sin và tan càng lớn, còn cos và cot càng nhỏ.

Ví dụ:

\[35^\circ<50^\circ\Rightarrow\sin35^\circ<\sin50^\circ\]

Trong bài viết này, quy tắc so sánh được xét trên khoảng góc nhọn \(0^\circ<\alpha<90^\circ\).

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng \(90^\circ\). Nếu hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) phụ nhau thì: [1]

\[\alpha+\beta=90^\circ\]

Khi đó, sin của góc này bằng cos của góc kia và tan của góc này bằng cot của góc kia:

\[\sin\alpha=\cos\beta,\qquad\cos\alpha=\sin\beta\]

\[\tan\alpha=\cot\beta,\qquad\cot\alpha=\tan\beta\]

Với \(\beta=90^\circ-\alpha\), có thể viết:

\[\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha),\qquad\cos\alpha=\sin(90^\circ-\alpha)\]

\[\tan\alpha=\cot(90^\circ-\alpha),\qquad\cot\alpha=\tan(90^\circ-\alpha)\]

Ví dụ: Vì \(30^\circ+60^\circ=90^\circ\) nên:

\[\sin30^\circ=\cos60^\circ=\frac12\]

Tương tự:

\[\tan30^\circ=\cot60^\circ=\frac{\sqrt3}{3}\]

Học sinh có thể đối chiếu bảng công thức tỉ số lượng giác khi ôn tập và kiểm tra lời giải.

Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

Ba góc \(30^\circ\), \(45^\circ\) và \(60^\circ\) thường xuất hiện trong các bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9. Học sinh nên ghi nhớ bảng giá trị sau: [1]

Với góc \(45^\circ\), có thể xét tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông cùng bằng 1. Khi đó cạnh huyền bằng \(\sqrt2\), nên:

\[\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\]

Để ghi nhớ công thức theo cạnh của tam giác vuông, có thể dựa vào quy tắc: sin là cạnh đối trên cạnh huyền, cos là cạnh kề trên cạnh huyền, tan là cạnh đối trên cạnh kề và cot là cạnh kề trên cạnh đối.

Cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn bằng máy tính cầm tay

Khi tính với số đo góc theo đơn vị độ, học sinh cần đặt máy ở chế độ DEG. Máy tính cho giá trị gần đúng; chỉ làm tròn ở bước cuối theo yêu cầu đề bài. [1]

Ví dụ: \(\sin40^\circ\approx0{,}643\). Ngược lại, nếu \(\sin\alpha=0{,}6\) và \(\alpha\) là góc nhọn thì dùng hàm sin⁻¹ để được \(\alpha\approx36{,}87^\circ\).

Lưu ý: sin⁻¹ trên máy tính là hàm tìm góc, khác với \(1/\sin\alpha\). Với cot, có thể dùng \(\cot\alpha=1/\tan\alpha\).

Các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9

Phần dưới đây tổng hợp các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 thường gặp, từ tính trực tiếp các tỉ số đến tính cạnh, sử dụng góc phụ nhau và chứng minh đẳng thức. [1]

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác khi biết độ dài các cạnh

Dạng bài này thường cho một tam giác vuông cùng độ dài các cạnh và yêu cầu tính sin, cos, tan hoặc cot của một góc nhọn.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=6\), \(AC=8\). Tính các tỉ số lượng giác của góc \(B\).

Bước 1: Tính cạnh huyền.

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\]

Bước 2: Với góc \(B\), cạnh đối là \(AC=8\), cạnh kề là \(AB=6\) và cạnh huyền là \(BC=10\).

Bước 3: Áp dụng công thức:

\[\sin B=\frac{8}{10}=\frac45,\qquad\cos B=\frac{6}{10}=\frac35\]

\[\tan B=\frac86=\frac43,\qquad\cot B=\frac68=\frac34\]

Dạng 2: Tính độ dài cạnh khi biết tỉ số lượng giác

Dạng bài cho một tỉ số lượng giác và độ dài một cạnh, sau đó yêu cầu tìm độ dài cạnh còn lại. Cần lựa chọn tỉ số chứa đồng thời cạnh đã biết và cạnh cần tìm.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=12\) và \(\sin C=\frac35\). Tính \(BC\) và \(AC\).

Với góc \(C\):

\[\sin C=\frac{AB}{BC}\]

Suy ra:

\[\frac{12}{BC}=\frac35\Rightarrow BC=20\]

Dùng định lí Pythagore:

\[AC=\sqrt{20^2-12^2}=16\]

Vậy \(BC=20\) và \(AC=16\).

Dạng 3: Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Dạng này thường xuất hiện khi biểu thức chứa hai góc có tổng bằng \(90^\circ\). Khi đó, có thể chuyển sin thành cos hoặc tan thành cot để rút gọn.

Ví dụ: Tính:

\(A=\sin^2 25^\circ+\sin^2 65^\circ\).

Vì:

\[65^\circ=90^\circ-25^\circ\]

nên:

\[\sin65^\circ=\cos25^\circ\]

Do đó:

\[A=\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ=1\]

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Với dạng bài chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào góc nhọn \(\alpha\), cần biến đổi biểu thức về các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau bằng 1 với mọi góc nhọn \(\alpha\):

\(P=\sin^4\alpha+\cos^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)

Ta có:

\[P=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2\]

Vì:

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

nên:

\[P=1\]

Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 có lời giải

Dưới đây là các bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 từ mức cơ bản đến vận dụng. Học sinh nên tự làm trước khi đối chiếu đáp án. [1]

Bài 1

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=3\), \(AC=4\). Tính \(\sin B\) và \(\cos B\).

Lời giải:

\[BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\]

Với góc \(B\), cạnh đối là \(AC=4\) và cạnh kề là \(AB=3\).

Đáp án: \(\sin B=\frac45\), \(\cos B=\frac35\).

Bài 2

Cho góc nhọn \(\alpha\) có \(\sin\alpha=0{,}6\). Tính \(\cos\alpha\).

Lời giải:

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-0{,}36=0{,}64\]

Vì \(\alpha\) là góc nhọn nên \(\cos\alpha>0\).

Đáp án: \(\cos\alpha=0{,}8\).

Bài 3

Tính:

\(\cos^2 20^\circ+\cos^2 70^\circ\).

Vì \(\cos70^\circ=\sin20^\circ\) nên:

\[\cos^2 20^\circ+\sin^2 20^\circ=1\]

Đáp án: 1.

Bài 4

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(B=60^\circ\) và \(AB=5\). Tính \(AC\).

Ta có:

\[\tan60^\circ=\frac{AC}{AB}\]

Suy ra:

\[AC=5\sqrt3\approx8{,}66\]

Bài 5

So sánh \(\sin40^\circ\) và \(\cos40^\circ\).

Ta có:

\[\cos40^\circ=\sin50^\circ\]

Vì \(40^\circ<50^\circ\) nên:

\[\sin40^\circ<\sin50^\circ=\cos40^\circ\]

Bài 6

Giả sử tường vuông góc với mặt đất. Một chiếc thang dài \(4\,\text{m}\) dựa vào tường và tạo với mặt đất góc \(60^\circ\). Tính độ cao mà thang chạm vào tường.

Chiếc thang là cạnh huyền, còn độ cao là cạnh đối với góc \(60^\circ\).

\[h=4\sin60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\]

Đáp án: \(2\sqrt3\approx3{,}46\,\text{m}\).

Bài 7

Một con dốc thẳng có chiều dài đo dọc theo mặt dốc là \(50\,\text{m}\), nghiêng \(6^\circ\) so với phương ngang. Tính độ cao tăng thêm khi đi hết con dốc.

Độ cao là cạnh đối, chiều dài dốc là cạnh huyền nên:

\[h=50\sin6^\circ\approx5{,}23\,\text{m}\]

Đáp án: khoảng \(5{,}23\,\text{m}\).

Bảng đáp án tóm tắt

Để tiếp tục vận dụng các tỉ số lượng giác vào bài toán tính cạnh và góc trong tam giác vuông, học sinh có thể tham khảo thêm hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Những lỗi thường gặp khi học tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khi làm bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn, học sinh thường mắc một số lỗi sau: [1]

• Nhầm cạnh đối và cạnh kề: cạnh đối và cạnh kề được xác định theo góc đang xét. Khi đổi góc, vai trò của hai cạnh này cũng thay đổi.

• Xác định sai cạnh huyền: cạnh huyền luôn là cạnh đối diện góc vuông và là cạnh dài nhất của tam giác vuông.

• Quên điều kiện góc nhọn: các nhận xét về sự tăng giảm của sin, cos, tan và cot trong bài này được áp dụng đối với các góc nằm trong khoảng \(0^\circ<\alpha<90^\circ\).

• Nhầm công thức sin, cos, tan và cot: nên xác định cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền trước khi thay số vào công thức.

• Không kiểm tra lại kết quả: khi đã tính được sin và cos của cùng một góc, có thể kiểm tra bằng hệ thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Ví dụ, nếu \(\sin\alpha=\frac35\) nhưng tính được \(\cos\alpha=1\) thì kết quả chắc chắn sai vì:

\[\left(\frac35\right)^2+1^2\ne1\]

Tỉ số lượng giác của góc nhọn gồm các tỉ số sin, cos, tan, cot, mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau, giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt và cách sử dụng máy tính để xác định tỉ số lượng giác. Việc nắm vững công thức và phương pháp vận dụng giúp học sinh giải chính xác các bài toán tính cạnh, tính góc và các dạng bài tập tỉ số lượng giác lớp 9 trong chương Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Người học có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 9 để hệ thống kiến thức và luyện tập các dạng bài liên quan.