Tỉ số lượng giác | Công thức, bảng sin cos tan và bài tập lớp 9

Trong chương trình Toán 9, tỉ số lượng giác của góc nhọn biểu thị mối quan hệ giữa số đo góc và độ dài các cạnh trong tam giác vuông. Nội dung trọng tâm gồm các công thức sin, cos, tan, cot, tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, bảng lượng giác và cách vận dụng để tính cạnh, tính góc.

Phần kiến thức này được củng cố thông qua bài tập tỉ số lượng giác lớp 9, bài tập về sin cos tan và các dạng bài vận dụng trong tam giác vuông.

Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông: Cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền

Tỉ số lượng giác của một góc nhọn là các tỉ số giữa độ dài cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền trong tam giác vuông khi xét theo góc nhọn đó. Bốn tỉ số lượng giác gồm sin, cos, tan và cot; các giá trị này phụ thuộc vào số đo của góc nhọn và được sử dụng để xác định mối quan hệ giữa góc với các cạnh của tam giác vuông. [1]

Cách xác định cạnh đối, cạnh kề của một góc nhọn trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A. Xét góc nhọn B. Cạnh AC gọi là cạnh đối của góc B, cạnh AB gọi là cạnh kề của góc B.

Nguyên tắc xác định các cạnh theo một góc nhọn \(\alpha\)

• Cạnh huyền: Luôn là cạnh đối diện với góc vuông (cạnh dài nhất của tam giác, cố định và không phụ thuộc vào góc nhọn đang xét).

• Cạnh đối: Cạnh góc vuông nằm đối diện trực tiếp với góc nhọn \(\alpha\).

• Cạnh kề: Cạnh góc vuông tạo nên góc nhọn \(\alpha\)(cùng với cạnh huyền kẹp lấy góc \(\alpha\)).

Vai trò của cạnh huyền trong việc tính tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông và luôn là cạnh có độ dài lớn nhất. Cạnh huyền giữ vai trò then chốt trong việc định nghĩa và áp dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha\)

• \(\sin\alpha = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}}\)

• \(\cos\alpha = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}}\)

Cạnh huyền đóng vai trò là độ dài chuẩn để so sánh tỉ lệ với các cạnh góc vuông.

Ngoài ra, khi biết cạnh huyền và một góc nhọn, có thể tính ngay độ dài hai cạnh góc vuông mà không cần thông qua các cạnh khác:

• \(\text{Cạnh đối} = \text{Cạnh huyền} \cdot \sin\alpha\)

• \(\text{Cạnh kề} = \text{Cạnh huyền} \cdot \cos\alpha\)

  Ví dụ 1

  Cho tam giác MNP vuông tại M có độ dài các cạnh lần lượt là \(MN = 3\text{ cm}\), \(MP = 4\text{ cm}\), \(NP = 5\text{ cm}\). Xác định vai trò các cạnh và tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn N và góc nhọn P.

Lời giải:

• Đối với góc nhọn N:

  • Cạnh huyền: \(NP = 5\text{ cm}\)

  • Cạnh đối: \(MP = 4\text{ cm}\)

  • Cạnh kề: \(MN = 3\text{ cm}\)

    \[\sin N = \frac{MP}{NP} = \frac{4}{5}, \quad \cos N = \frac{MN}{NP} = \frac{3}{5}, \quad \tan N = \frac{MP}{MN} = \frac{4}{3}, \quad \cot N = \frac{MN}{MP} = \frac{3}{4}\]

• Đối với góc nhọn P:

  • Cạnh huyền: \(NP = 5\text{ cm}\)

  • Cạnh đối: \(MN = 3\text{ cm}\)

  • Cạnh kề: \(MP = 4\text{ cm}\)

    \[\sin P = \frac{MN}{NP} = \frac{3}{5}, \quad \cos P = \frac{MP}{NP} = \frac{4}{5}, \quad \tan P = \frac{MN}{MP} = \frac{3}{4}, \quad \cot P = \frac{MP}{MN} = \frac{4}{3}\]

Công thức sin cos tan cot lớp 9

Sin, cos, tan, cot của một góc nhọn

Cho góc nhọn \(\alpha\). Xét tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng \(\alpha\). Có:

• Tỉ số giữa cạnh đối của góc \(\alpha\) và cạnh huyền gọi là sin của \(\alpha\), kí hiệu \(\sin \alpha\).

• Tỉ số giữa cạnh kề của góc \(\alpha\) và cạnh huyền gọi là côsin của \(\alpha\), kí hiệu \(\cos \alpha\).

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc \(\alpha\) gọi là tang của \(\alpha\), kí hiệu \(\tan \alpha\).

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc \(\alpha\) gọi là côtang của \(\alpha\), kí hiệu \(\cot \alpha\).

Công thức tỉ số lượng giác lớp 9 theo cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền

\(\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}\)

\(\cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}\)

\(\tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB}\)

\(\cot \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AB}{AC}\)
Ví dụ

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = \(3\text{ cm}\), AC =\(4\text{ cm }\).

Hãy tính các tỉ số lượng giác \(\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha\)với \(\alpha = \widehat{B}\)

Giải

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A, \(\widehat{B} = \alpha\).

Theo định lí Pythagore

\(BC^2=AC^2+AB^2=4^2+3^2=25\rightarrow BC=5\text{ (cm)}\).

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang [2] có

\[\sin \alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}, \cos \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}, \tan \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}\]

Chú ý: \(\sin \alpha\)còn được viết là \(\sin \widehat{B}\)hay \(\sin B\).

Tham khảo thêm: Tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 | Công thức và bài tập.

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Mối quan hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau trong cùng một tam giác vuông

Định lí [2]: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Chú ý:

• Cho\(\alpha\) và \(\beta\) là hai góc phụ nhau, khi đó: \[\sin\alpha = \cos\beta, \; \cos\alpha = \sin\beta, \; \tan\alpha = \cot\beta, \; \cot\alpha = \tan\beta\]

• Hai góc phụ nhau có thể coi là hai góc nhọn của một tam giác vuông.

Cách viết tỉ số lượng giác của một góc lớn hơn 45 độ thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 45 độ

Để viết tỉ số lượng giác của một góc lớn hơn \(45^\circ\) (và nhỏ hơn \(90^\circ\)) thành tỉ số lượng giác của một góc nhỏ hơn \(45^\circ\), có thể sử dụng tính chất của hai góc phụ nhau (hai góc có tổng số đo bằng \(90^\circ\)).

Nếu là góc lớn hơn \(45^\circ\), áp dụng các công thức đổi chéo giữa các hàm lượng giác và lấy \(90^\circ\) trừ đi góc đó:

• \(\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\)

• \(\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)\)

• \(\tan\alpha = \cot(90^\circ - \alpha)\)

• \(\cot\alpha = \tan(90^\circ - \alpha)\)

(Do \(\alpha > 45^\circ\) nên góc hiệu \(90^\circ - \alpha\) chắc chắn sẽ nhỏ hơn\(45^\circ\)).

Ví dụ 3

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn \(45^\circ\):

\[\sin 60^\circ, \; \cos 75^\circ, \; \sin 52^\circ 30', \; \tan 80^\circ, \; \cot 82^\circ.\]

Giải:

Có:

• \(\sin 60^\circ = \cos(90^\circ - 60^\circ) = \cos 30^\circ\);

• \(\cos 75^\circ = \sin(90^\circ - 75^\circ) = \sin 15^\circ\);

• \(\sin 52^\circ 30' = \cos(90^\circ - 52^\circ 30') = \cos 37^\circ 30'\);

• \(\tan 80^\circ = \cot(90^\circ - 80^\circ) = \cot 10^\circ\);

• \(\cot 82^\circ = \tan(90^\circ - 82^\circ) = \tan 8^\circ\).

(Góc chú thích bên phải về đơn vị đo góc: Về số đo góc, dưới đơn vị độ (\(^\circ\)) còn có các đơn vị phút (\('\)) và giây (\(''\)) với \(1^\circ = 60'\),\(1' = 60''\).)

Bảng tỉ số lượng giác lớp 9 và các góc đặc biệt

Bảng sin cos tan cot của các góc 30°, 45°, 60°

Bảng dưới đây tổng hợp các giá trị sin, cos, tan, cot của ba góc đặc biệt thường dùng trong Toán 9.

• Quy luật căn bậc hai:

  • Khi góc tăng từ \(30^\circ \to 45^\circ \to 60^\circ\), giá trị của\(\sin\)tăng dần theo mẫu số 2: \(\frac{\sqrt{1}}{2} \to \frac{\sqrt{2}}{2} \to \frac{\sqrt{3}}{2}\).

  • Giá trị của \(\cos\) giảm dần theo chiều ngược lại: \(\frac{\sqrt{3}}{2} \to \frac{\sqrt{2}}{2} \to \frac{\sqrt{1}}{2}\).

• Tính chất góc phụ nhau:

  • Vì \(30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\)nên \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) và \(\tan 30^\circ = \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

  • Góc \(45^\circ\) phụ với chính nó nên \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(\tan 45^\circ = \cot 45^\circ = 1\).

• Hệ quả hình học thường dùng trong bài tập:

  • Trong tam giác vuông có góc \(30^\circ\), cạnh đối diện góc \(30^\circ\) luôn bằng một nửa cạnh huyền .

  • Trong tam giác vuông cân ( có hai góc \(45^{\circ}\)), hai cạnh góc vuông bằng nhau và cạnh huyền bằng cạnh góc vuông nhân với \(\sqrt{2}\).

Cách sử dụng máy tính cầm tay để tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn bất kỳ

Bước 1: Kiểm tra đơn vị đo góc là Độ (chữ "D")

• Đảm bảo màn hình hiển thị ký hiệu chữ D (Degree).

• Nếu máy chưa ở chế độ độ, mở phần cài đặt đơn vị góc và chọn Degree (DEG). Tên phím hoặc đường dẫn cài đặt có thể khác nhau tùy dòng máy tính.

Bước 2: Bấm phím hàm lượng giác và nhập số đo góc

• Với \(\sin, \cos, \tan\): Nhấn trực tiếp phím tương ứng sin, cos hoặc tan.

• Với \(\cot\): Nhấn 1 \(\rightarrow\) ÷ \(\rightarrow\) tan.

• Nhập số đo góc \(\alpha\):

  • Nếu góc nguyên độ: Nhập số độ.

  • Nếu góc có độ, phút, giây: Dùng phím ° ' " sau từng giá trị độ, phút, giây (ví dụ: 25 ° ' " 30 ° ' ").

Bước 3: Đóng ngoặc, nhấn phím thực hiện và đọc kết quả

• Nhấn dấu đóng ngoặc ) rồi nhấn phím =.

• Đọc kết quả hiển thị trên màn hình và làm tròn chữ số thập phân theo yêu cầu của đề bài.

Ví dụ 4: Dùng MTCT, tính \(\sin27^{\circ},\cos32^{\circ}15^{\prime},\tan52^{\circ}12^{\prime},\cot35^{\circ}23^{\prime}\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

Lời giải

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba thu được \(\sin27^{\circ}\approx0,454;\cos32^{\circ}15^{\prime}\approx0,846;\tan52^{\circ}12^{\prime}\approx1,289;\cot35^{\circ}23^{\prime}\approx1,408\).

Lưu ý về thứ tự bấm phím:

• Phím [°'"]: Phím này được sử dụng để nhập các đơn vị độ, phút, và giây.

• Phím [x⁻¹]: Do máy tính cầm tay không có phím [cot] trực tiếp, giá trị côtang (cot) được tính bằng cách lấy nghịch đảo của tang (tan) theo công thức: \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\).

Cách tìm số đo góc nhọn khi biết giá trị của một tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay

Để tìm số đo của một góc nhọn \(\alpha\) khi đã biết trước giá trị tỉ số lượng giác (\(\sin\alpha,\cos\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha\)), có thể sử dụng các phím hàm nghịch đảo (\(\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}\)) trên máy tính cầm tay theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra đơn vị đo góc là Độ (chữ "D")

• Đảm bảo màn hình hiển thị ký hiệu chữ D (Degree).

• Nếu máy chưa ở chế độ độ, mở phần cài đặt đơn vị góc và chọn Degree (DEG). Tên phím hoặc đường dẫn cài đặt có thể khác nhau tùy dòng máy tính.

Bước 2: Các bước bấm máy cho từng trường hợp

Trường hợp 1: Khi biết \(\sin\alpha = k\)(với 0 < k < 1)

• Quy tắc bấm: SHIFT \(\rightarrow\) sin \(\rightarrow\) nhập giá trị k \(\rightarrow\) nhấn “)" \(\rightarrow\) nhấn “=" \(\rightarrow\) ° ' " (để đổi sang độ, phút, giây).

Trường hợp 2: Khi biết \(\cos\alpha = k\) (với 0 < k < 1)

• Quy tắc bấm: SHIFT \(\rightarrow\) cos \(\rightarrow\) nhập giá trị k \(\rightarrow\) nhấn “)" \(\rightarrow\) nhấn “=" \(\rightarrow\) ° ' " (để đổi sang độ, phút, giây).

Trường hợp 3: Khi biết \(\tan\alpha = k\) (với k > 0)

• Quy tắc bấm: SHIFT \(\rightarrow\) tan \(\rightarrow\) nhập giá trị k \(\rightarrow\) nhấn “)" \(\rightarrow\) nhấn “=" \(\rightarrow\) ° ' " (để đổi sang độ, phút, giây).

Trường hợp 4: Khi biết \(\cot\alpha = k\) (với k > 0)

• Nguyên tắc: Vì máy tính không có phím \(\cot^{-1}\), sử dụng công thức biến đổi \(\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = \frac{1}{k}\).

• Quy tắc bấm:SHIFT \(\rightarrow\) tan \(\rightarrow\) nhập giá trị k \(\rightarrow\) nhấn ”(" \(\rightarrow1\rightarrow\div\)\(\rightarrow\)nhập k \(\rightarrow\) nhấn ”)" \(\rightarrow\) nhấn “=" \(\rightarrow\) ° ' " (để đổi sang độ, phút, giây).

Ví dụ 5: Tìm góc nhọn\(\alpha\)biết \(\sin\alpha = 0{,}625\).

Lời giải

Thao tác: SHIFT \(\rightarrow\) sin \(\rightarrow\) nhập 0.625 \(\rightarrow\) nhấn “)" \(\rightarrow\) nhấn “=" \(\rightarrow\) ° ' " (để đổi sang độ, phút, giây).

Màn hình hiện: \(38^\circ 40' 55.77''\)

Kết quả: \(\alpha \approx 38^\circ 41'\) (hoặc làm tròn đến độ là \(\alpha \approx 39^\circ\)).

Quy tắc làm tròn kết quả số đo góc thường gặp

• Làm tròn đến độ: Nếu số phút \(\ge 30'\) thì tăng thêm \(1^\circ\)

• Làm tròn đến phút: Nếu số giây\(\ge 30''\) thì tăng thêm 1’

Bài tập tỉ số lượng giác lớp 9 có lời giải

Bài tập về tỉ số lượng giác khi biết hai cạnh của tam giác vuông

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm và \(AC = 8\text{ cm}\). Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Lời giải

Áp dụng định lí Pythagore tính cạnh huyền BC:

\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}\]

Đối với góc nhọn B:

• Cạnh đối: \(AC = 8\text{ cm}\)

• Cạnh kề: \(AB = 6\text{ cm}\)

• Cạnh huyền:\(BC = 10\text{ cm}\)

\(\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)

\(\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

\(\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)

\(\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)

Bài tập 2: Cho tam giác MNP vuông tại M, biết \(MN = 8\text{ cm}\) và \(MP = 15\text{ cm}\). Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn N.

Lời giải:

• Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(MNP\):

\[NP = \sqrt{MN^2 + MP^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\text{ cm}\]

• Các tỉ số lượng giác của góc N:

  • \(\sin N = \frac{MP}{NP} = \frac{15}{17}\)

  • \(\cos N = \frac{MN}{NP} = \frac{8}{17}\)

  • \(\tan N = \frac{MP}{MN} = \frac{15}{8}\)

  • \(\cot N = \frac{MN}{MP} = \frac{8}{15}\)

Bài tập tính tỉ số lượng giác và số đo góc bằng máy tính

Bài tập 3:Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) \(\sin 40^\circ 54'\)

b)\(\cos 52^\circ 15'\)

c)\(\tan 69^\circ 36'\)

d) \(\cot 25^\circ 18'\)

Lời giải:

• a) \(\sin 40^\circ 54'\)

  • Cách bấm phím: \[\text{[sin]} \quad [4] \quad [0] \quad [\circ'\,\text{''}] \quad [5] \quad [4] \quad [\circ'\,\text{''}] \quad [=]\]

  • Kết quả:\(\sin 40^\circ 54' \approx 0,655\)

• b) \(\cos 52^\circ 15'\)

  • Cách bấm phím: \[\text{[cos]} \quad [5] \quad [2] \quad [\circ'\,\text{''}] \quad [1] \quad [5] \quad [\circ'\,\text{''}] \quad [=]\]

  • Kết quả: \(\cos 52^\circ 15' \approx 0,612\)

• c)\(\tan 69^\circ 36'\)

  • Cách bấm phím: \[\text{[tan]} \quad [6] \quad [9] \quad [\circ'\,\text{''}] \quad [3] \quad [6] \quad [\circ'\,\text{''}] \quad [=]\]

  • Kết quả: \(\tan 69^\circ 36' \approx 2,689\)

• d) \(\cot 25^\circ 18'\)

  • Lưu ý: Vì máy tính không có sẵn phím \(\cot\), sử dụng công thức nghịch đảo \(\cot x = \dfrac{1}{\tan x}\).

  • Cách bấm phím: \[\text{[tan]} \quad [2] \quad [5] \quad [\circ'\,\text{''}] \quad [1] \quad [8] \quad [\circ'\,\text{''}] \quad [=] \quad [x^{-1}] \quad [=]\]

  • Kết quả:\(\cot 25^\circ 18' \approx 2,115\)

Bài tập thực tế về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông

Bài tập 4: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42°. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

Lời giải

• Chiều cao của cột đèn là đoạn thẳng AC.

• Chiều dài bóng của cột đèn trên mặt đất là \(AB = 7{,}5\text{ m}\).

• Góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là \(\widehat{ABC} = 42^\circ\).

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:

\[AC = AB \cdot \tan B = 7{,}5 \cdot \tan 42^\circ \approx 6{,}753\text{ m}\]

Kết luận: Chiều cao của cột đèn khoảng \(6{,}753\text{ m}\).

Bài tập 5: Một chiếc thang dài 4 m được đặt tựa vào tường. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc 65°. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Lời giải

• Gọi BC là chiều dài của chiếc thang (\(BC = 4\text{ m}\)).

• Gọi AC là khoảng cách từ chân thang C đến chân tường A.

• Góc tạo bởi thang và mặt đất là \(\widehat{C} = 65^\circ\).

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông:

\[AC = BC \cdot \cos\widehat{C} = 4 \cdot \cos 65^\circ \approx 1{,}69\text{ m}\]

Kết luận: Chân thang cách chân tường khoảng \(1{,}69\text{ m}\).

Tỉ số lượng giác của góc nhọn gồm các tỉ số sin, cos, tan, cot, mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau, giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt và cách sử dụng máy tính để xác định tỉ số lượng giác. Việc nắm vững công thức và phương pháp vận dụng giúp học sinh giải chính xác các bài toán tính cạnh, tính góc và các dạng bài tập tỉ số lượng giác lớp 9 trong chương Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Người học có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 9 để hệ thống kiến thức và luyện tập các dạng bài liên quan.