Tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 | Công thức và bài tập

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là nội dung quan trọng trong Toán 9, giúp xác định mối quan hệ giữa góc nhọn và các cạnh của tam giác vuông thông qua bốn tỉ số sin, cos, tan và cot. Trong Toán 9 Bài 11 Kết nối tri thức, học sinh cần nắm khái niệm, tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau và cách sử dụng máy tính cầm tay để tính tỉ số lượng giác.

Bài viết tổng hợp kiến thức tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9, công thức, bảng giá trị của các góc đặc biệt, cách tính cạnh và góc, cùng các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn có lời giải chi tiết.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì?

Trong Toán 9 Bài 11 Kết nối tri thức, tỉ số lượng giác của góc nhọn được xác định thông qua các cạnh của một tam giác vuông. Với một góc nhọn cho trước, cần xác định đúng cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền trước khi tính sin, cos, tan hoặc cot.

Xét một tam giác vuông và chọn góc nhọn \(\alpha\). Ba cạnh của tam giác được gọi tên theo vị trí so với góc đó:

• Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông và là cạnh dài nhất của tam giác vuông.

• Cạnh đối là cạnh nằm đối diện góc \(\alpha\).

• Cạnh kề là cạnh góc vuông nằm sát góc \(\alpha\), không phải cạnh huyền.

Từ ba cạnh của tam giác vuông, bốn tỉ số lượng giác của góc nhọn được xác định như sau:

\[\sin\alpha=\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}\]

\[\cos\alpha=\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}\]

\[\tan\alpha=\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}\]

\[\cot\alpha=\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}\]

Bảng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc vào số đo của góc nhọn chứ không phụ thuộc vào kích thước của tam giác. Nguyên nhân là các tam giác vuông có cùng một góc nhọn thì đồng dạng nên các cạnh tương ứng luôn tỉ lệ với nhau.

Ví dụ, nếu một tam giác có tỉ số cạnh đối trên cạnh huyền bằng \(\dfrac{3}{5}\) và một tam giác đồng dạng có tỉ số \(\dfrac{6}{10}\) thì hai tỉ số đều bằng \(0{,}6\).

Tính chất của các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Với mọi góc nhọn \(\alpha\), tức là \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), ta có:

\[0<\sin\alpha<1,\qquad 0<\cos\alpha<1\]

Đồng thời:

\[\tan\alpha>0,\qquad\cot\alpha>0\]

Các tỉ số lượng giác còn liên hệ với nhau qua các hệ thức:

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

\[\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]

\[\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\]

Hệ thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) có thể suy ra từ Định lí Pythagore. Trong tam giác vuông:

\[(\text{cạnh đối})^2+(\text{cạnh kề})^2=(\text{cạnh huyền})^2\]

Chia cả hai vế cho bình phương cạnh huyền sẽ thu được hệ thức trên.

Khi so sánh các tỉ số lượng giác của các góc nhọn, góc càng lớn thì sin và tan càng lớn, còn cos và cot càng nhỏ.

Ví dụ:

\[35^\circ<50^\circ\Rightarrow\sin35^\circ<\sin50^\circ\]

Quy tắc này chỉ áp dụng khi các góc được xét đều là góc nhọn.

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng \(90^\circ\). Nếu hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) phụ nhau thì:

\[\alpha+\beta=90^\circ\]

Khi đó, sin của góc này bằng cos của góc kia và tan của góc này bằng cot của góc kia:

\[\sin\alpha=\cos\beta,\qquad\cos\alpha=\sin\beta\]

\[\tan\alpha=\cot\beta,\qquad\cot\alpha=\tan\beta\]

Với \(\beta=90^\circ-\alpha\), có thể viết:

\[\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha),\qquad\cos\alpha=\sin(90^\circ-\alpha)\]

\[\tan\alpha=\cot(90^\circ-\alpha),\qquad\cot\alpha=\tan(90^\circ-\alpha)\]

Ví dụ: Vì \(30^\circ+60^\circ=90^\circ\) nên:

\[\sin30^\circ=\cos60^\circ=\frac12\]

Tương tự:

\[\tan30^\circ=\cot60^\circ=\frac{\sqrt3}{3}\]

Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

Ba góc \(30^\circ\), \(45^\circ\) và \(60^\circ\) thường xuất hiện trong các bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9. Học sinh nên ghi nhớ bảng giá trị sau:

Với góc \(45^\circ\), có thể xét tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông cùng bằng 1. Khi đó cạnh huyền bằng \(\sqrt2\), nên:

\[\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\]

Để ghi nhớ công thức theo cạnh của tam giác vuông, có thể dựa vào quy tắc: sin là cạnh đối trên cạnh huyền, cos là cạnh kề trên cạnh huyền, tan là cạnh đối trên cạnh kề và cot là cạnh kề trên cạnh đối.

Cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn bằng máy tính cầm tay

Với những góc không thuộc nhóm góc đặc biệt \(30^\circ,45^\circ,60^\circ\), học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính gần đúng các tỉ số lượng giác.

Trước khi tính, cần kiểm tra máy tính đang ở chế độ độ (DEG), sau đó sử dụng các phím sin, cos hoặc tan tương ứng.

Tính tỉ số lượng giác khi biết số đo góc

Ví dụ: Tính \(\sin40^\circ\).

Sử dụng máy tính cầm tay ở chế độ DEG, ta được:

\[\sin40^\circ\approx0{,}643\]

Tìm góc khi biết tỉ số lượng giác

Ngược lại, khi biết một tỉ số lượng giác, có thể sử dụng chức năng nghịch đảo trên máy tính để tìm số đo góc.

Ví dụ: Cho:

\[\sin\alpha=0{,}6\]

Sử dụng chức năng \(\sin^{-1}\), ta được:

\[\alpha\approx36{,}87^\circ\]

Các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9

Phần dưới đây tổng hợp các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 thường gặp, từ tính trực tiếp các tỉ số đến tính cạnh, sử dụng góc phụ nhau và chứng minh đẳng thức.

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác khi biết độ dài các cạnh

Dạng bài này thường cho một tam giác vuông cùng độ dài các cạnh và yêu cầu tính sin, cos, tan hoặc cot của một góc nhọn.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=6\), \(AC=8\). Tính các tỉ số lượng giác của góc \(B\).

Bước 1: Tính cạnh huyền.

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\]

Bước 2: Với góc \(B\), cạnh đối là \(AC=8\), cạnh kề là \(AB=6\) và cạnh huyền là \(BC=10\).

Bước 3: Áp dụng công thức:

\[\sin B=\frac{8}{10}=\frac45,\qquad\cos B=\frac{6}{10}=\frac35\]

\[\tan B=\frac86=\frac43,\qquad\cot B=\frac68=\frac34\]

Dạng 2: Tính độ dài cạnh khi biết tỉ số lượng giác

Dạng bài cho một tỉ số lượng giác và độ dài một cạnh, sau đó yêu cầu tìm độ dài cạnh còn lại. Cần lựa chọn tỉ số chứa đồng thời cạnh đã biết và cạnh cần tìm.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=12\) và \(\sin C=\frac35\). Tính \(BC\) và \(AC\).

Với góc \(C\):

\[\sin C=\frac{AB}{BC}\]

Suy ra:

\[\frac{12}{BC}=\frac35\Rightarrow BC=20\]

Dùng Định lí Pythagore:

\[AC=\sqrt{20^2-12^2}=16\]

Vậy \(BC=20\) và \(AC=16\).

Dạng 3: Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Dạng này thường xuất hiện khi biểu thức chứa hai góc có tổng bằng \(90^\circ\). Khi đó, có thể chuyển sin thành cos hoặc tan thành cot để rút gọn.

Ví dụ: Tính:

\(A=\sin^2 25^\circ+\sin^2 65^\circ\).

Vì:

\[65^\circ=90^\circ-25^\circ\]

nên:

\[\sin65^\circ=\cos25^\circ\]

Do đó:

\[A=\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ=1\]

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Với dạng bài chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào góc nhọn \(\alpha\), cần biến đổi biểu thức về các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ví dụ: Chứng minh:

\(P=\sin^4\alpha+\cos^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)

Ta có:

\[P=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2\]

Vì:

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

nên:

\[P=1\]

Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 có đáp án

Dưới đây là các bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 từ mức cơ bản đến vận dụng. Học sinh nên tự làm trước khi đối chiếu đáp án.

Bài 1

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=3\), \(AC=4\). Tính \(\sin B\) và \(\cos B\).

Lời giải:

\[BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\]

Với góc \(B\), cạnh đối là \(AC=4\) và cạnh kề là \(AB=3\).

Đáp án: \(\sin B=\frac45\), \(\cos B=\frac35\).

Bài 2

Cho góc nhọn \(\alpha\) có \(\sin\alpha=0{,}6\). Tính \(\cos\alpha\).

Lời giải:

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-0{,}36=0{,}64\]

Vì \(\alpha\) là góc nhọn nên \(\cos\alpha>0\).

Đáp án: \(\cos\alpha=0{,}8\).

Bài 3

Tính:

\(\cos^2 20^\circ+\cos^2 70^\circ\).

Vì \(\cos70^\circ=\sin20^\circ\) nên:

\[\cos^2 20^\circ+\sin^2 20^\circ=1\]

Đáp án: 1.

Bài 4

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(B=60^\circ\) và \(AB=5\). Tính \(AC\).

Ta có:

\[\tan60^\circ=\frac{AC}{AB}\]

Suy ra:

\[AC=5\sqrt3\approx8{,}66\]

Bài 5

So sánh \(\sin40^\circ\) và \(\cos40^\circ\).

Ta có:

\[\cos40^\circ=\sin50^\circ\]

Vì \(40^\circ<50^\circ\) nên:

\[\sin40^\circ<\sin50^\circ=\cos40^\circ\]

Bài 6

Một chiếc thang dài \(4\,\text{m}\) dựa vào tường và tạo với mặt đất góc \(60^\circ\). Tính độ cao mà thang chạm vào tường.

Chiếc thang là cạnh huyền, còn độ cao là cạnh đối với góc \(60^\circ\).

\[h=4\sin60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\]

Đáp án: \(2\sqrt3\approx3{,}46\,\text{m}\).

Bài 7

Một con dốc dài \(50\,\text{m}\), nghiêng \(6^\circ\) so với phương ngang. Tính độ cao tăng thêm khi đi hết con dốc.

Độ cao là cạnh đối, chiều dài dốc là cạnh huyền nên:

\[h=50\sin6^\circ\approx5{,}23\,\text{m}\]

Đáp án: khoảng \(5{,}23\,\text{m}\).

Bảng đáp án tóm tắt

Để tiếp tục vận dụng các tỉ số lượng giác vào bài toán tính cạnh và góc trong tam giác vuông, học sinh có thể tham khảo thêm hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Những lỗi thường gặp khi học tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khi làm bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn, học sinh thường mắc một số lỗi sau:

• Nhầm cạnh đối và cạnh kề: cạnh đối và cạnh kề được xác định theo góc đang xét. Khi đổi góc, vai trò của hai cạnh này cũng thay đổi.

• Xác định sai cạnh huyền: cạnh huyền luôn là cạnh đối diện góc vuông và là cạnh dài nhất của tam giác vuông.

• Quên điều kiện góc nhọn: các nhận xét về sự tăng giảm của sin, cos, tan và cot trong bài này được áp dụng đối với các góc nằm trong khoảng \(0^\circ<\alpha<90^\circ\).

• Nhầm công thức sin, cos, tan và cot: nên xác định cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền trước khi thay số vào công thức.

• Không kiểm tra lại kết quả: khi đã tính được sin và cos của cùng một góc, có thể kiểm tra bằng hệ thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Ví dụ, nếu \(\sin\alpha=\frac35\) nhưng tính được \(\cos\alpha=1\) thì kết quả chắc chắn sai vì:

\[\left(\frac35\right)^2+1^2\ne1\]

Qua bài viết, người học đã có một hệ thống kiến thức đầy đủ về chủ đề này. Cần ghi nhớ định nghĩa bốn tỉ số sin, cos, tan, cot theo cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền; bảng giá trị của ba góc đặc biệt \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\); cùng các hệ thức như \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) và quan hệ hai góc phụ nhau.

Cuối cùng, nên luyện đều đặn bốn dạng bài kèm thói quen kiểm tra lại kết quả. Khi đã vững phần tỉ số lượng giác của góc nhọn, người học có thể học tiếp hệ thức lượng trong tam giác vuông và các ứng dụng đo đạc thực tế trong chuyên mục Toán 9 trên ZIM để mở rộng kiến thức.