Tỉ số lượng giác của góc nhọn | Lý thuyết và bài tập Toán 9

Tỉ số lượng giác của góc nhọn biểu thị mối quan hệ giữa góc và các cạnh trong tam giác vuông qua sin, cos, tan và cot.

Bài viết hệ thống cho học sinh kiến thức Toán lớp 9 – Bài 11 Kết nối tri thức, gồm công thức, cạnh đối – cạnh kề – cạnh huyền, bảng góc đặc biệt và bài tập có lời giải.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì

Xét một tam giác vuông, trong đó có một góc vuông và hai góc nhọn. Khi ta chọn ra một góc nhọn \(\alpha\) để khảo sát thì ba cạnh của tam giác được gọi tên theo vị trí so với góc đó.

• Cạnh huyền là cạnh dài nhất, luôn nằm đối diện góc vuông.

• Cạnh đối là cạnh nằm đối diện góc \(\alpha\).

• Cạnh kề là cạnh góc vuông nằm sát góc \(\alpha\), không phải cạnh huyền.

Từ ba cạnh này, ta định nghĩa bốn tỉ số lượng giác cần nhớ như sau.

\[\sin\alpha=\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}\]

\[\cos\alpha=\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}\]

\[\tan\alpha=\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}\]

\[\cot\alpha=\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}\]

Một câu hỏi hay gặp là vì sao các tỉ số này không đổi khi tam giác to nhỏ khác nhau. Lí do nằm ở chỗ hai tam giác vuông có cùng góc nhọn \(\alpha\) thì đồng dạng, nên các cặp cạnh tương ứng luôn tỉ lệ với nhau. Tỉ lệ đó chỉ phụ thuộc số đo góc chứ không phụ thuộc độ dài cạnh, một ý quan trọng giúp tránh sa đà vào việc đo cạnh cụ thể.

Ví dụ, nếu một tam giác có tỉ số cạnh đối/cạnh huyền là \(\dfrac{3}{5}\) và một tam giác đồng dạng có tỉ số \(\dfrac{6}{10}\), hai giá trị đều bằng \(0{,}6\).

Có thể xem bốn tỉ số như dấu hiệu nhận diện của mỗi góc nhọn: biết số đo góc thì xác định được các tỉ số, và biết một tỉ số thì có thể tìm lại góc tương ứng. Đây cũng là nền tảng để học tiếp các bài tính cạnh, tính góc và đo đạc thực tế trong Toán 9.

Tính chất của các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Nắm chắc nhóm tính chất dưới đây giúp việc biến đổi và tự kiểm tra kết quả trở nên rõ ràng hơn.

Về phạm vi giá trị, với mọi góc nhọn \(\alpha\) (tức là \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ\)), cạnh đối và cạnh kề đều ngắn hơn cạnh huyền, nên ta luôn có hai bất đẳng thức sau.

\[0 \lt \sin\alpha \lt 1, \qquad 0 \lt \cos\alpha \lt 1\]

Riêng \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\) luôn dương và có thể lớn hơn 1. Nói cách khác, cả hai nằm trong khoảng giá trị dương.

\[\tan\alpha,\ \cot\alpha \in (0;+\infty)\]

Các tỉ số này còn có thể đổi qua lại bằng một số công thức quan trọng.

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

\[\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]

\[\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\]

Hệ thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) thực chất là Định lí Pythagore viết lại, rất hữu ích để kiểm tra kết quả ở cuối bài làm.

Vì \((\text{cạnh đối})^2+(\text{cạnh kề})^2=(\text{cạnh huyền})^2\), chia cả hai vế cho \((\text{cạnh huyền})^2\) sẽ ra hệ thức trên.

Về hai góc phụ nhau, đây là hai góc có tổng số đo bằng \(90^\circ\). Khi đó sin của góc này bằng cos của góc kia, tan của góc này bằng cot của góc kia; viết đủ hai chiều như sau.

\[\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha), \qquad \cos\alpha=\sin(90^\circ-\alpha)\]

\[\tan\alpha=\cot(90^\circ-\alpha), \qquad \cot\alpha=\tan(90^\circ-\alpha)\]

Có thể đối chiếu thêm phần kiến thức về sin và cos của các góc phụ nhau để thấy sin với cos, tan với cot luôn đi theo từng cặp bổ sung cho nhau.

Khi so sánh các tỉ số lượng giác của góc nhọn, có thể dùng quy tắc tăng giảm sau: góc càng lớn thì \(\sin\alpha\) và \(\tan\alpha\) càng lớn, còn \(\cos\alpha\) và \(\cot\alpha\) càng nhỏ. Nhờ vậy ta so sánh nhanh được, ví dụ \(\sin 35^\circ \lt \sin 50^\circ\) mà không cần bấm máy.

Khi so sánh, chỉ áp dụng quy tắc này nếu các góc đang xét đều là góc nhọn. Ví dụ, không dùng quy tắc này cho cặp góc sau, vì góc thứ hai không còn thuộc phạm vi bài học.

\[40^\circ \lt 100^\circ,\qquad 100^\circ \notin (0^\circ;90^\circ)\]Xem thêm: Định lý sin trong tam giác là gì? Khái niệm và phương pháp áp dụng trong bài toán thực tế

Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

Ba góc \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) xuất hiện rất nhiều trong đề thi nên cần ghi nhớ bảng giá trị sau.

Riêng với góc \(45^\circ\), có thể hiểu nhanh bằng tam giác vuông cân: hai cạnh góc vuông bằng nhau, chẳng hạn đều bằng \(1\), thì cạnh huyền bằng \(\sqrt{2}\). Khi đó cạnh đối và cạnh kề của mỗi góc nhọn bằng nhau, nên \(\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Để nhớ thứ tự, nhiều thế hệ học sinh dùng câu vè dân gian "Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn", giúp gợi lại tử và mẫu của từng tỉ số khi viết theo cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền.

Với những góc không phải góc đặc biệt, có thể dùng máy tính cầm tay; nhưng riêng ba góc trên thì nên thuộc để xử lí nhanh các câu hỏi trắc nghiệm.

Các dạng bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn thường gặp

Phần này tổng hợp bốn dạng thường gặp. Mỗi dạng có dấu hiệu nhận biết, cách làm và một ví dụ giải chi tiết theo từng bước. Sơ đồ dưới đây giúp các bạn nhanh chóng nhận ra nên đi theo dạng nào dựa trên dữ kiện của đề, đồng thời hỗ trợ việc phân loại bài tập khi ôn luyện.

Dạng tính tỉ số khi biết độ dài các cạnh

Dấu hiệu nhận biết là đề cho tam giác vuông với độ dài các cạnh, yêu cầu tính sin, cos, tan, cot của một góc nhọn. Cách làm là xác định đúng cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền theo góc cần tính, rồi thay vào định nghĩa.

Ví dụ. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=6\), \(AC=8\). Tính các tỉ số lượng giác của góc \(B\).

Bước 1. Tính cạnh huyền bằng Định lí Pythagore.

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\]

Bước 2. Xét góc \(B\): cạnh đối là \(AC=8\), cạnh kề là \(AB=6\), cạnh huyền là \(BC=10\).

Bước 3. Thay vào định nghĩa.

\[\sin B=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}, \qquad \cos B=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\]

\[\tan B=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}, \qquad \cot B=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\]

Kết luận: góc \(B\) có \(\sin B=\dfrac{4}{5}\), \(\cos B=\dfrac{3}{5}\), \(\tan B=\dfrac{4}{3}\), \(\cot B=\dfrac{3}{4}\).

Dạng tính độ dài cạnh khi biết một tỉ số và một cạnh

Dấu hiệu nhận biết là đề cho một tỉ số lượng giác cùng độ dài một cạnh, yêu cầu tìm cạnh còn lại. Cách làm là chọn tỉ số liên hệ giữa cạnh đã biết và cạnh cần tìm, lập phương trình rồi giải.

Ví dụ. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=12\) và \(\sin C=\dfrac{3}{5}\). Tính \(BC\) và \(AC\).

Bước 1. Với góc \(C\), cạnh đối là \(AB\), cạnh huyền là \(BC\), nên \(\sin C=\dfrac{AB}{BC}\).

\[\dfrac{12}{BC}=\dfrac{3}{5} \;\Rightarrow\; BC=\dfrac{12\cdot 5}{3}=20\]

Bước 2. Dùng Định lí Pythagore để tìm \(AC\).

\[AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16\]

Kết luận: \(BC=20\) và \(AC=16\). Mẹo nhỏ cho dạng này là luôn vẽ hình nháp và đánh dấu cạnh đã biết, cạnh cần tìm để chọn đúng tỉ số liên hệ, tránh lập sai phương trình ngay từ bước đầu.

Dạng dùng quan hệ hai góc phụ nhau để rút gọn, so sánh

Dấu hiệu nhận biết là biểu thức chứa các góc có tổng bằng \(90^\circ\). Cách làm là đổi một tỉ số sang góc phụ của nó để xuất hiện cặp giống nhau, rồi áp dụng hệ thức cơ bản.

Ví dụ. Tính giá trị biểu thức \(A=\sin^2 25^\circ+\sin^2 65^\circ\).

Bước 1. Nhận thấy \(65^\circ=90^\circ-25^\circ\) nên \(\sin 65^\circ=\cos 25^\circ\).

Bước 2. Thay vào biểu thức.

\[A=\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ=1\]

Kết luận: \(A=1\), không cần dùng máy tính.

Cũng theo hướng này, dạng so sánh được giải rất gọn. Chẳng hạn, để so sánh \(\sin 38^\circ\) và \(\cos 38^\circ\), ta đổi \(\cos 38^\circ=\sin 52^\circ\).

Vì \(38^\circ \lt 52^\circ\) và hàm sin tăng trên khoảng góc nhọn nên \(\sin 38^\circ \lt \sin 52^\circ\). Do đó \(\sin 38^\circ \lt \cos 38^\circ\). Mẹo chung là đưa hai đại lượng về cùng một loại tỉ số rồi mới dùng quy tắc tăng giảm để so sánh.

Dạng chứng minh đẳng thức không phụ thuộc góc

Dấu hiệu nhận biết là đề yêu cầu chứng minh một biểu thức luôn nhận giá trị cố định với mọi góc nhọn \(\alpha\). Cách làm là biến đổi biểu thức về các hệ thức cơ bản cho tới khi triệt tiêu hết \(\alpha\).

Ví dụ. Chứng minh \(P=\sin^4\alpha+\cos^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\) không phụ thuộc vào góc nhọn \(\alpha\).

Bước 1. Nhận ra biểu thức là một hằng đẳng thức dạng bình phương của tổng.

\[P=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2\]

Bước 2. Áp dụng hệ thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[P=1^2=1\]

Kết luận: \(P=1\) với mọi góc nhọn \(\alpha\), nên biểu thức không phụ thuộc vào \(\alpha\).

Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn tự luyện có đáp án

Các bạn có thể tự luyện 7 bài dưới đây rồi đối chiếu lời giải ngay sau mỗi bài. Các bài đi từ mức nhận biết đến vận dụng thực tế.

Bài 1. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=3\), \(AC=4\). Tính \(\sin B\) và \(\cos B\).

Lời giải: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Với góc \(B\), cạnh đối là \(AC=4\), cạnh kề là \(AB=3\).

Đáp án: \(\sin B=\dfrac{4}{5}\), \(\cos B=\dfrac{3}{5}\).

Bài 2. Cho góc nhọn \(\alpha\) với \(\sin\alpha=0{,}6\). Tính \(\cos\alpha\).

Lời giải: Vì \(\alpha\) là góc nhọn nên \(\cos\alpha\gt0\). Ta có \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-0{,}36=0{,}64\).

Đáp án: \(\cos\alpha=0{,}8\).

Bài 3. Tính giá trị của \(\cos^2 20^\circ+\cos^2 70^\circ\).

Lời giải: \(\cos70^\circ=\sin20^\circ\), nên biểu thức bằng \(\cos^2 20^\circ+\sin^2 20^\circ=1\).

Đáp án: \(1\).

Bài 4. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), góc \(B=60^\circ\) và \(AB=5\). Tính \(AC\).

Lời giải: Với góc \(B\), \(AB\) là cạnh kề và \(AC\) là cạnh đối. Do đó \(\tan60^\circ=\dfrac{AC}{AB}\), suy ra \(AC=5\sqrt3\approx8{,}66\).

Đáp án: \(AC=5\sqrt3\approx8{,}66\).

Bài 5. So sánh \(\sin 40^\circ\) và \(\cos 40^\circ\).

Lời giải: \(\cos40^\circ=\sin50^\circ\). Vì \(40^\circ\lt50^\circ\) và sin tăng trên khoảng góc nhọn, nên \(\sin40^\circ\lt\sin50^\circ\).

Đáp án: \(\sin40^\circ\lt\cos40^\circ\).

Bài 6. Một chiếc thang dài \(4\,\text{m}\) dựa vào tường, tạo với mặt đất một góc \(60^\circ\). Hỏi thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu mét?

Lời giải: Chiếc thang là cạnh huyền, độ cao là cạnh đối với góc \(60^\circ\). Độ cao bằng \(4\sin60^\circ=4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\).

Đáp án: \(2\sqrt3\approx3{,}46\,\text{m}\).

Bài 7. Một con dốc dài \(50\,\text{m}\) nghiêng \(6^\circ\) so với phương ngang. Dùng máy tính cầm tay, hỏi người đi hết dốc lên cao thêm khoảng bao nhiêu mét?

Lời giải: Độ cao tăng thêm là cạnh đối với góc \(6^\circ\), còn chiều dài dốc là cạnh huyền. Bấm máy tính để tính \(h=50\sin6^\circ\approx5{,}23\).

Đáp án: khoảng \(5{,}23\,\text{m}\).

Đáp án tóm tắt:

Xem thêm: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Lý thuyết và bài tập Toán 9

Những lỗi thường gặp khi học tỉ số lượng giác của góc nhọn

Học sinh thường mất điểm không phải vì đề khó mà vì những lỗi nhỏ lặp đi lặp lại. Dưới đây là bốn lỗi phổ biến nhất cần lưu ý:

• Nhầm cạnh đối với cạnh kề: cùng một cạnh nhưng khi đổi góc xét thì vai trò đổi theo, như hai hình minh họa ở trên cho thấy cạnh \(AB\) vừa là cạnh kề của góc này lại là cạnh đối của góc kia. Cần luôn gắn chữ "đối" và "kề" với đúng góc đang tính trước khi viết tỉ số.

• Xác định sai cạnh huyền: cạnh huyền luôn đối diện góc vuông và là cạnh dài nhất. Nếu lấy nhầm cạnh huyền thì toàn bộ tỉ số sẽ sai theo, dù phép tính sau đó hoàn toàn đúng.

• Quên điều kiện góc nhọn: quy tắc tăng giảm khi so sánh và các bất đẳng thức \(0 \lt \sin\alpha \lt 1\) chỉ đúng khi \(\alpha\) là góc nhọn, đừng vội áp dụng cho góc bất kì.

• Không kiểm tra lại kết quả: nên rèn thói quen thử lại bằng hệ thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) ngay sau khi tính sin và cos. Đây là cách nhanh nhất để phát hiện một con số bị tính sai.

Ví dụ 1. Trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), giả sử \(AB=3\), \(AC=4\), \(BC=5\). Với góc \(B\), cạnh huyền là \(BC\), cạnh đối là \(AC\), cạnh kề là \(AB\); với góc \(C\), cạnh đối và cạnh kề đổi vai trò cho nhau. Vì vậy không được viết nhầm \(\sin B=\dfrac{AB}{BC}\) hoặc lấy \(AB\) làm cạnh huyền.

Ví dụ 2. Cặp góc \(40^\circ\) và \(100^\circ\) không dùng được quy tắc tăng giảm ở bài này vì \(100^\circ\) không phải góc nhọn. Còn nếu một bài cho \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\) mà sau khi tính lại ghi \(\cos\alpha=1\), kết quả đó cần được kiểm tra ngay vì \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+1^2\ne1\).

Tổng kết

Qua bài viết, người học đã có một hệ thống kiến thức đầy đủ về chủ đề này. Cần ghi nhớ định nghĩa bốn tỉ số sin, cos, tan, cot theo cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền; bảng giá trị của ba góc đặc biệt \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\); cùng các hệ thức như \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) và quan hệ hai góc phụ nhau.

Cuối cùng, nên luyện đều đặn bốn dạng bài kèm thói quen kiểm tra lại kết quả. Khi đã vững phần tỉ số lượng giác của góc nhọn, người học có thể học tiếp hệ thức lượng trong tam giác vuông và các ứng dụng đo đạc thực tế trong chuyên mục Toán 9 trên ZIM để mở rộng kiến thức.