Bài tập lũy thừa (Exponents) trong SAT Math kèm đáp án và giải thích

Bài viết này cung cấp tổng quan về bài tập dạng bài lũy thừa trong SAT Math, giúp thí sinh nắm vững các quy tắc cơ bản và phương pháp giải. Sau đó, một số bài tập minh họa kèm đáp án chi tiết được đưa ra, giúp thí sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng lý thuyết vào thực tế. Với các ví dụ này, thí sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với những câu hỏi lũy thừa (exponents) trong kỳ thi SAT Math, từ đó nâng cao số điểm của mình.

Tổng quan dạng bài lũy thừa trong SAT Math

Lũy thừa (exponents) trong SAT Math là một khái niệm quan trọng liên quan đến số mũ, thường xuất hiện trong các bài toán kiểm tra khả năng hiểu và vận dụng các quy tắc số học cơ bản. 

Lũy thừa được viết dưới dạng

\(a^{n}\)

trong đó:

• a là cơ số (base)

• n là số mũ (exponent).

Điều này có nghĩa là nhân cơ số a với chính nó n lần. [1]

Ví dụ: Khi nhìn thấy một biểu thức lũy thừa như 2³ với 2 là cơ số và 3 là số mũ, thí sinh có thể hiểu đơn giản đây là cách viết gọn của phép nhân cơ số 2 với chính nó 3 lần (2 × 2 × 2 = 8).

Trong SAT Math, lũy thừa không chỉ đơn thuần là các phép tính cơ bản mà còn được tích hợp vào nhiều dạng bài phức tạp hơn. Thí sinh có thể gặp các biểu thức lũy thừa trong phương trình mũ, trong các bài toán về tăng trưởng (như lãi kép, tăng trưởng dân số), hay trong các bài toán về thể tích và diện tích. Các dạng này này không chỉ kiểm tra khả năng tính toán mà còn đánh giá sự hiểu biết của thí sinh về ý nghĩa và ứng dụng của lũy thừa trong đời sống hàng ngày. Việc nắm vững khái niệm lũy thừa cũng sẽ tạo nền tảng vững chắc cho việc học các chủ đề nâng cao hơn trong toán học như logarit và giải tích.

Các quy tắc cần nhớ cho dạng bài lũy thừa trong SAT Math

Lũy thừa với số mũ bằng 0 (với a khác 0):

\[a^0=1\]

Lũy thừa với cơ số bằng 0:

\[0^{n}=0\]

Nhân lũy thừa cùng cơ số:

\[a^{m}.a^{n}=a^{m+n}\]

Chia lũy thừa cùng cơ số:

\[\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\]

Lũy thừa của một tích:

\[\left(a.b\right)^{m}=a^{m}.b^{m}\]

Lũy thừa của một thương (b khác 0):

\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}\]

Lũy thừa của lũy thừa:

\[\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m.n}\]

Số mũ âm:

\[a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}\]

Số mũ phân số:

\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\]

Tìm hiểu thêm: Phương pháp giải các dạng bài trong SAT Math (P1)

Một số công thức dạng bài tập ứng dụng liên quan đến lũy thừa

Công thức tính sự tăng trưởng hoặc suy giảm theo cấp số nhân (Exponential Growth and Decay)

Công thức tính sự tăng trưởng: \(y=a.\left(1+r\right)^{t}\)

Công thức tính sự suy giảm: \(y=a.\left(1-r\right)^{t}\)

Trong đó:

• y là số lượng sau t năm

• a là số lượng ban đầu

• r là tỷ lệ tăng trưởng (0 < t < 1)

• t là thời gian, đơn vị là năm.

Ví dụ: A population grows at a rate of 2% per year. If the initial population is 1,000 people, what will the population be after 5 years? (Một dân số tăng trưởng với tốc độ 2% mỗi năm. Nếu dân số ban đầu là 1.000 người thì sau 5 năm, dân số là bao nhiêu?)

\(y=a.\left(1+r\right)^{t}\)

⇔ \(y=1,000\cdot\left(1+0.02\right)^5\)

⇔ \(y=1,000\cdot1.10408\)

⇔ y = 1,104.08

After 5 years, the population will be approximately 1,104 people. (Vậy sau 5 năm, dân số sẽ lên đến xấp xỉ 1,104 người.)

Công thức tính lãi suất kép (Compound interest)

\(A=P.\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}\)

Trong đó:

• A là số tiền cuối cùng, đơn vị là đô la (hoặc đơn vị tiền tệ khác).

• P là vốn ban đầu, đơn vị là đô la.

• r là lãi suất hàng năm (không có đơn vị), được biểu diễn dưới dạng thập phân.

• n là số lần lãi kép trong một năm (không có đơn vị).

• t là thời gian, đơn vị là năm.

Ví dụ: If you invest $2,000 at an annual interest rate of 5%, compounded annually for 3 years, how much will you have after 3 years? (Nếu bạn đầu tư 2.000 đô la với lãi suất 5% mỗi năm và được tính lãi kép hàng năm trong 3 năm, thì số tiền sau 3 năm là bao nhiêu?)

\(A=P.\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}\)

⇔ \(A=2,000\cdot\left(1+\dfrac{0.05}{1}\right)^{1\cdot3}\)

⇔ \(A=2,000\cdot1.157625\)

⇔ A = 2,315.25

After 3 years, the investment will grow to approximately $2,315.25. (Vậy sau 3 năm, số tiền đầu tư sẽ xấp xỉ 2,315.25 đô la.)

Bài tập về lũy thừa (exponents) trong SAT Math

Bài 1: Which of the following is equivalent to \(4^{\frac34}\)

A. \(\sqrt[3]{8}\)
B. \(\sqrt[4]{8}\)
C. \(\sqrt2\)
D. \(\sqrt8\)

Bài 2: Solve for x in the equation:

\[3^{2x+1}=27\]

A. \(\frac12\)
B. 1
C. 2
D. \(\frac32\)

Bài 3: Simplify the expression:

\[\dfrac{5x^8}{15x^5}\]

A. \(x^3\)
B. \(\frac53x^3\)
C. \(\frac13x^3\)
D. \(\frac35x^3\)

Bài 4: Which of the following is equivalent to this expression?

\[\left(\dfrac{x^3y^2}{x^2y^4}\right)^3\]

A. \(\frac{x^9}{y^6}\)
B. \(\frac{x^3}{y^6}\)
C. \(x^3y^6\)
D. \(\frac{x^3}{y^2}\)

Bài 5: If \(\dfrac{x^{m^2}}{x^{n^2}}=x^{36}\) and x > 1, and m + n = 12, what is m - n?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Bài 6: Which of the following is equivalent to this expression?

\[\left(x^4y^5z^2\right)\left(x^3y^2z^4\right)\]

A. \(x^7y^7z^6\)
B. \(x^7y^6z^8\)
C. \(x^6y^7z^6\)
D. \(x^6y^6z^7\)

Bài 7: In 2010, there were 500 birds on an island. The population grows by 6% each year. At this rate, how many birds will there be on the island by 2025?

Bài 8: The value of a laptop in 2018 was $1,200. It depreciates 10% each year. How much will the laptop be worth in 2026?

Bài 9: John invests $5,000 in a savings account with an annual interest rate of 5%, compounded once a year. How much money will he have in the account after 10 years?

Bài 10: John invests $15,000 in an annuity paying 8% annual interest compounded quarterly, while Sarah invests $15,000 in an annuity paying 8% annual interest compounded annually. How much more money will John have compared to Sarah after 15 years?

A. $1,200.50
B. $1,500.75
C. $1,632.90
D. $1,750.60

Đọc thêm: Advanced Math trong SAT Math - Cách làm bài, bài tập ví dụ và luyện tập

Đáp án

Bài 1:

• Rewrite 4 as a power of 2: 4 = \(2^2\)

• So the equation becomes:

  
  \(4^{\frac34}=\left(2^2\right)^{\frac34}\)

  ⇔ \(2^{\frac64}=2^{\frac32}\)

  ⇔ \(\sqrt{2^3}\) = \(\sqrt8\)

⇒ D

Bài 2:

• Rewrite 27 as a power of 3: 27 = \(3^3\)

• So the equation becomes: \(3^{2x+1}=3^3\)

• Since the bases are the same, set the exponents equal to each other: 2x + 1 = 3

• Solve for x:

2x = 2

x = 1

⇒ B

Bài 3:

• Divide the coefficients: \(\frac{5}{15}=\frac13\)

• Divide the x: \(\frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3\)

• Combine the results: \(\frac{5x^8}{15x^5}=\frac13x^3\)

⇒ C

Bài 4:

• Simplify the inner fraction:

  \(\frac{x^3y^2}{x^2y^4}=x^{3-2}y^{2-4}=x^1y^{-2}=\frac{x}{y^2}\)

• Apply the exponent 3: \(\left(\frac{x}{y^2}\right)^3=\frac{x^3}{y^6}\)

⇒ B

Bài 5:

• Simplify the left side: \(\dfrac{x^{m^2}}{x^{n^2}}=x^{m^2-n^2}\)

• So the equation becomes: \(x^{m^2-n^2}=x^{36}\)

• Since the bases are the same, equate the exponents: \(m^2-n^2=36\)

• This is a difference of squares, so factor it: (m + n)(m - n) = 36

• Substitute m + n = 12:

  12(m - n) = 36

  ⇔ m - n = 3

⇒ A

Bài 6:

• Rearrange to combine like terms:

  \(\left(x^4y^5z^2\right)\left(x^3y^2z^4\right)=x^4x^3y^5y^2z^2z^4\)

• Simply add the exponents together: \(x^4x^3y^5y^2z^2z^4=x^{4+3}y^{5+2}z^{2+4}=x^7y^7z^6\)

⇒ A

Bài 7:

\(y=a.\left(1+r\right)^{t}\)

⇔ \(y=500\cdot\left(1+0.06\right)^{15}\)

⇔ \(y\thickapprox500\cdot2.39656\)

⇔ y ≈ 1,198.28

So, by 2025, there will be approximately 1,198 birds on the island.

Bài 8:

\(y=a\cdot\left(1-r\right)^{t}\)

⇔ \(y=1,200\cdot\left(1-0.1\right)^8\)

⇔ \(y\thickapprox1,200\cdot0.430467\)

⇔ y ≈ 516.56

So, by 2026, the laptop will be worth approximately $516.56.

Bài 9:

\(A=P.\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}\)

⇔ \(A=5,000\cdot\left(1+\dfrac{0.05}{1}\right)^{1\cdot10}\)

⇔ \(A\thickapprox5,000\cdot1.6289\)

⇔ A ≈ 8,144.53

So, after 10 years, John will have approximately $8,144.53 in his account.

Bài 10:

\(A=P.\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}\)

For John (compounded quarterly):

• P = 15,000

• r = 0.08

• n = 4 (quarterly compounding)

• t = 15

⇒ \(A\left(John\right)=15,000.\left(1+\dfrac{0.08}{4}\right)^{4\cdot15}\)

⇔ \(A\left(John\right)=15,000.\left(1.02\right)^{60}\)

⇔ \(A\left(John\right)\thickapprox15,000\cdot3.28103\thickapprox49,215.45\)

For Sarah (compounded annually):

• P = 15,000

• r = 0.08

• n = 1 (annual compounding)

• t = 15

⇒ \(A\left(Sarah\right)=15,000.\left(1+\dfrac{0.08}{1}\right)^{1\cdot15}\)

⇔ \(A\left(Sarah\right)=15,000\cdot\left(1.08\right)^{15}\)

⇔ \(A\left(Sarah\right)\thickapprox15,000\cdot3.17217\thickapprox47,582.55\)

The difference:

Difference = A(John​) − A(Sarah​) = 49,215.45 − 47,582.55 = 1,632.90

⇒ C

Tìm hiểu thêm: Cách làm dạng bài Linear and Exponential Growth trong SAT Math

Tổng kết

Bài viết đã trình bày về bài tập dạng bài lũy thừa trong SAT Math. Phần lý thuyết được tổng hợp đầy đủ từ các khái niệm cơ bản về lũy thừa (exponents) và các công thức. Đặc biệt, thông qua việc phân tích chi tiết các bài tập mẫu kèm lời giải, thí sinh có thể nắm vững phương pháp giải và các kỹ thuật áp dụng cho từng dạng bài cụ thể. ZIM hy vọng bài viết này có thể giúp thí sinh nâng cao khả năng làm bài thi SAT Math.

Ngoài ra, để giúp thí sinh có cái nhìn tổng quan về các dạng toán trong kỳ thi SAT, đồng thời đưa ra hướng tư duy nhằm giải quyết các dạng bài một cách hiệu quả, đội ngũ chuyên môn tại ZIM đã biên soạn tựa sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies. Với mỗi dạng toán, cuốn sách sẽ cung cấp kiến thức cơ bản, các ví dụ và cách giải mẫu, cuối cùng là bài tập luyện tập kèm đáp án có giải thích chi tiết. Đọc thử tại đây.