Bất đẳng thức là gì? Tính chất, cách chứng minh và bài tập lớp 9

Trong chương trình Toán 9 Kết nối tri thức, bất đẳng thức được học ở Bài 5, Chương II với trọng tâm là khái niệm, tính chất và các quy tắc biến đổi cơ bản.

Bài viết giúp học sinh hiểu mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân, phân biệt các bất đẳng thức cùng chiều, ngược chiều, đồng thời rèn luyện phương pháp chứng minh qua những dạng bài tập thường gặp. Qua đó, học sinh có thể củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi vào lớp 10.

Bất đẳng thức là gì?

Ta gọi hệ thức dạng \(a>b\) (hay \(a<b\), \(a\geq b\), \(a\leq b\)) là bất đẳng thức và gọi \(a\) là vế trái, \(b\) là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ: Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau:

a) Tuần tới, nhiệt độ \(t\) (\(^{\circ}\)C) tại Tokyo là trên \(-5^\circ C\).

b) Nhiệt độ \(t\) (\(^{\circ}\)C) bảo quản của một loại sữa là dưới \(4^{\circ} C\).

c) Để được điều khiển xe máy điện thì số tuổi \(x\) của một người phải ít nhất là \(16\) tuổi.

Giải

a) \(t>-5\);

b) \(t<4\);

c) \(x\geq 16\).

Để phân biệt bất đẳng thức với đẳng thức và phương trình ta có bảng sau:

Thứ tự trên tập số thực

Trên tập số thực, với hai số \(a\) và \(b\) có ba trường hợp sau:

• Số \(a\) bằng số \(b\), kí hiệu \(a=b\) ;

• Số a lớn hơn số \(b\), kí hiệu \(a>b\) ;

• Số \(a\) nhỏ hơn số \(b\), kí hiệu \(a<b\).

Khi biểu diễn số thực trên trục số, điểm biểu đến số bé hơn nằm trước điểm biểu diễn số lớn hơn. Chẳng hạn, \(-2{,}5<-1<1{,}5\).

• Số \(a\) lớn hơn hoặc bằng số \(b\), tức là \(a>b\) hoặc \(a=b\), kí hiệu là \(a\geq b\).

• Số \(a\) nhỏ hơn hoặc bằng số \(b\), tức là \(a<b\) hoặc \(a=b\), kí hiệu là \(a\leq b\).

Các tính chất quan trọng của bất đẳng thức

Tính chất bắc cầu

Cho ba số \(a\), \(b\), \(c\). Nếu \(a>b\) và \(b>c\) thì \(a>c\).

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu \(<\), \(\geq\), \(\leq\).

Ví dụ: Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{2\,024}{2\,023}>\dfrac{2021}{2022}\)

b) \(\dfrac{2\,024}{1000}>1{,}9\)

c) \(-\dfrac{2022}{2\,023}>-1{,}1\)

Giải

a) Ta có \[\frac{2024}{2023}=1+\frac{1}{2023}>1 \quad \text{và} \quad \frac{2021}{2022}=1-\frac{1}{2022}<1\] nên \(\dfrac{2\,024}{2\,023}>\dfrac{2021}{2022}\).

b) Ta có \(\dfrac{2\,024}{1000}=2+\dfrac{24}{1000}>2\) và \(1{,}9=2-0{,}1<2\) nên \(\dfrac{2\,024}{1000}>1{,}9\).

c) Ta có \(\dfrac{2022}{2\,024}=1-\dfrac{2}{2\,024}<1\) và \(1{,}1=1+0{,}1>1\) nên \(\dfrac{2022}{2\,024}<1{,}1\).

Từ đây suy ra \(-\dfrac{2022}{2\,023}>-1{,}1\).

Tính chất liên hệ thứ tự và phép cộng

• Hai bất đẳng thức \(a>b\) và \(m>n\) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

• Hai bất đẳng thức \(a>b\) và \(m<n\) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Một cách tổng quát, ta có:

Cho ba số \(a\), \(b\), \(c\). Nếu \(a>b\) thì \(a+c>b+c\).

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu \(<\), \(\geq\), \(\leq\).

Ví dụ: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

a) \(2\,023+(-19)\) và \(2\,024+(-19)\);

b) \(-3+23^{50}\) và \(-2+23^{50}\).

Giải

a) Vì \(2\,023<2\,024\) nên

\[2\,023+(-19)<2\,024+(-19)\,\,\ \leftarrow\text{cộng vào hai vế với cùng một số }-19.\]

Vậy \(2\,023+(-19)<2\,024+(-19)\).

b) Ta có \(-3<-2\) nên

\[-3+23^{50}<-2+23^{50}\,\,\ \leftarrow\text{Cộng hai vế của bất đẳng thức với } 23^{50}.\]

Vậy \(-3+23^{50}<-2+23^{50}\).

Tính chất liên hệ thứ tự và phép nhân

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Một cách tổng quát, ta có:

Cho ba số \(a\), \(b\), \(c\) và \(a>b\) :

• Nếu \(c>0\) thì \(a\cdot c > b\cdot c\) ;

• Nếu \(c<0\) thì \(a\cdot c < b\cdot c\).

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu \(<\), \(\geq\), \(\leq\).

Ví dụ: Thay \(\)\(?\) trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (\(<\), \(>\)) để được khẳng định đúng.

a) \(3\cdot(-7)\) ? \(3\cdot(-5)\).

b) \(-3\cdot(-7)\) ? \(-3\cdot(-5)\).

Giải

a) Vì \(-7<-5\) và \(3>0\) nên \(3\cdot(-7)<3\cdot(-5)\). \(\leftarrow\) nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số dương.

b) Vì \(-7<-5\) và \(-3<0\) nên \((-3)\cdot(-7)>(-3)\cdot(-5)\). \(\leftarrow\) nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số âm.

Các dạng bài tập bất đẳng thức

Diễn tả khẳng định thực tế bằng bất đẳng thức

Ví dụ 1: Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:

a) \(x\) nhỏ hơn \(5\).

b) \(a\) không lớn hơn \(b\).

c) \(m\) không nhỏ hơn \(n\).

Giải

a) \(x< 5\).

b) \(a\le b\).

c) \(m \ge n\).

Ví dụ 2: Hãy chỉ ra một bất đẳng thức diễn tả số \(a\) lớn hơn \(3\). Vế trái, vế phải của bất đẳng thức đó là gì?

Giải

Để diễn tả số \(a\) lớn hơn \(3\), ta có bất đẳng thức \(a>3\). Khi đó \(a\) là vế trái, \(3\) là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ 3: Gọi \(a\) là số tuổi của bạn Na, \(b\) là số tuổi của bạn Toàn, biết rằng bạn Toàn lớn tuổi hơn bạn Na. Hãy dùng bất đẳng thức để biểu diễn mối quan hệ về tuổi của hai bạn đó ở hiện tại và sau ba năm nữa.

Giải

Bất đẳng thức biểu diễn số tuổi của bạn Toàn và bạn Na là

\[b>a.\]Cộng \(3\) vào hai vế của bất đẳng thức \(b>a\), ta được bất đẳng thức biểu diễn số tuổi sau ba năm của bạn Toàn và bạn Na\[b+3>a+3.\]So sánh hai số

Ví dụ 1: Cho số \(a\) bất kì, hãy so sánh:

a) \(a\) và \(a-4\);

b) \(a-7\) và \(a+5\).

Giải

a) Ta có \(0>-4\). Cộng thêm \(a\) vào hai vế ta được \(a>a-4\).

b) Ta có \(-7<5\). Cộng thêm \(a\) vào hai vế ta được \(a-7<a+5\).

Ví dụ 2: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

a) \(1962\cdot 12\) và \(1963\cdot 12\).

b) \(47\cdot (-19)\) và \(50\cdot (-19)\).

c) \((-163)\cdot (-75)^{15}\) và \((-162) \cdot(-75)^{15}\).

d) \(m\) và \(n\), biết \(-10 m \leq-10 n\).

Giải

a) Ta có \(1962<1963\). Nhân hai vế của bất đẳng thức với \(12\) , ta được:\[ 1962\cdot 12<1963\cdot 12 . \]b) Ta có \(47<50\). Nhân hai vế của bất đẳng thức với \(-19\) , ta được:\[ 47\cdot (-19)>50 \cdot (-19) . \]c) Ta có \(-163< -162\). Nhân hai vế của bất đẳng thức với \((-75)^{15}\) , ta được: \[ (-163)\cdot (-75)^{15} > (-162) \cdot(-75)^{15} . \]

d) Nhân hai vế của bất đẳng thức \(-10 m \leq-10 n\) với \(\left (-\dfrac{1}{10}\right )\), ta được

\[{\begin{eqnarray*} \left(-\dfrac{1}{10}\right)\cdot(-10 m) &\geq& \left(-\dfrac{1}{10}\right)\cdot(-10 n) \\ m&\ge& n. \end{eqnarray*} }\]

Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

a) \(\sqrt{11}-\sqrt{3}>\sqrt{10}-\sqrt{3}\);

b) \(2023+\left(-2^{29}\right)>2022+\left(-2^{29}\right)\);

c) \(\dfrac{2024}{2023}>\dfrac{2025}{2024}\).

Giải

a) Ta có \(\sqrt{11}>\sqrt{10}\). Cộng hai vế của bất đẳng thức với \(-\sqrt{3}\), ta được: \[\sqrt{11}-\sqrt{3}>\sqrt{10}-\sqrt{3}.\]Vậy \(\sqrt{11}-\sqrt{3}>\sqrt{10}-\sqrt{3}.\)

b) Ta có \(2023>2022\). Cộng hai vế của bất đẳng thức với \(-2^{29}\), ta được:

\[ 2023+\left(-2^{29}\right)>2022+\left(-2^{29}\right) . \]

Vậy \[2023+\left(-2^{29}\right)>2022+\left(-2^{29}\right)\]

c) Ta có \(\dfrac{1}{2023}>\dfrac{1}{2024}\). Cộng hai vế của bất đẳng thức với \(1\), ta được: \[\dfrac{1}{2023}+1>\dfrac{1}{2024}+1 \text{ hay } \dfrac{2024}{2023}>\dfrac{2025}{2024}.\]

Vậy \(\dfrac{2024}{2023}>\dfrac{2025}{2024}\).

Ví dụ 2: Cho hai số \(m\) và \(n\) thoả mãn \(m>n\). Chứng tỏ \(m+5>n+4\).

Giải

Cộng \(4\) vào hai vế của bất đẳng thức \(m>n\), ta được:

\(\begin{align}m+4>n+4.\end{align}\) (1)

Cộng \(m\) vào hai vế của bất đẳng thức \(5>4\), ta được:

\(\begin{align}m+5>m+4.\end{align}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(m+5>n+4\) (tính chất bắc cầu).

Ví dụ 3: Cho \(a<b\). Chứng minh

a) \(-3a+19>-3b+19\);

b) \(-2a-8>-2b-8\);

c) \(2a+1<2b+1\).

Giải

a) Do \(a<b\) nên \(-3a>-3b\), suy ra \[-3a+19>-3b+19\].

b) Do \(a<b\) nên \(-2a>-2b\), suy ra \[-2a-8>-2b-8\].

c) Do \(a<b\) nên \(2a<2b\), suy ra \[2a+1<2b+1\].

Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=x^2-4x+7.\)

Giải

Ta biến đổi:

\( A=x^2-4 x+4+3=(x-2)^2+3 . \)

Vì \( (x-2)^2 \geq 0 \) nên \( A=(x-2)^2+3 \geq 3 . \)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 3 .

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(B=5-(x-1)^2\).

Giải

Vì \( (x-1)^2 \geq 0 \) nên \( -(x-1)^2 \leq 0 . \)

Suy ra \( B=5-(x-1)^2 \leq 5 . \)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(B\) là 5.

Bài toán thực tế

Ví dụ: Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong \(1\) ngày (từ \(14\)h\(00\) ngày hôm trước đến \(12\)h\(00\) ngày hôm sau). Cho biết số tiền tài trợ dự kiến là \(30\) triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là \(17\) triệu đồng \(1\) ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là \(60\,000\) đồng và mỗi suất ăn sáng là \(30\,000\) đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?

Giải

Gọi số bạn tham gia là \(x\) (\(x\in \mathbb{N^*}\)).

Theo đề bài ta có \[17\,000\,000+ (60\,000+30\,000)x\leq 30\,000\,000\] hay \[90\,000x\leq 13\,000\,000\].

Suy ra \(x\leq \dfrac{1300}{9}=144{,}(4)\).

Vậy có thể tổ chức nhiều nhất cho \(144\) bạn tham gia.

Bài tập rèn luyện

Đề bài

Bài 1: Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bạn phải ít nhất \(18\) tuổi mới được phép lái ô tô;

b) Xe buýt chở được tối đa \(45\) người;

c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là

\(20\,000\) đồng.

Bài 2: Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:

a) \(m\) lớn hơn \(8\);

b) \(n\) nhỏ hơn \(21\);

c) \(x\) nhỏ hơn hoặc bằng \(4\);

d) \(y\) lớn hơn hoặc bằng \(0\).

Bài 3: Hãy cho biết các bất đẳng thức được tạo thành khi:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức \(m>5\) với \(-4\);

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức \(x^2 \leq y+1\) với \(9\);

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức \(x>1\) với \(3\), rồi tiếp tục cộng với \(2\);

Bài 4: Cho \(a<b\), hãy so sánh:

a) \(5a+7\) và \(5b+7\);

b) \(-3a-9\) và \(-3b-9\).

Bài 5: So sánh hai số \(a\) và \(b\), nếu:

a) \(a+1\,954<b+1\,954\);

b) \(-2a>-2b\).

Bài 6: Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh:

a) \(2\cdot(-7)+2023<2\cdot(-1)+2023\);

b) \((-3)\cdot(-8)+1\,975>(-3) \cdot(-7)+1\,975\).

Bài 7: Chứng minh

a) \(\sqrt{29}-\sqrt{6}>\sqrt{28}-\sqrt{6}\)

b) \(26{,}2 < 2a + 3{,}2 < 26{,}4\quad \text{với}\quad 11{,}5 < a < 11{,}6\).

Bài 8: Chứng minh

a) \(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}<a^2+\dfrac{4}{5}\) với \(a\neq 0\);

b) \(2m+4>2n+3\) với \(m>n\).

Bài 9: Một ca nô đi xuôi dòng trong \(2\) giờ \(30\) phút. Biết rằng tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không quá \(40\) km/h và tốc độ của dòng nước là \(6\) km/h. Chứng minh quãng đường ca nô đi được trong thời gian trên không vượt quá \(115\) km/h.

Bài 10: Chỉ số cơ thể, thường được biết đến với tên viết tắt BMI (tiếng anh là Body Mass Index) cho phép đánh giá thể trạng của một người là gầy, bình thường hay béo. Chỉ số cơ thể của người được tính theo công thức sau \(BMI=\dfrac{m}{h^2}\), trong đó \(m\) là khối lượng lượng cơ thể tính theo kilôgam, \(h\) là chiều cao tính theo mét. Căn cứ vào bảng đánh giá thể trạng ở người lớn theo BMI đối với khu vực châu Á - Thái Bình Dương, một người đàn ông có \(BMI\geq 30\) sẽ bị béo phì độ II (trung bình) hoặc độ III (nặng), người đó cần phải có biện pháp tập thể dục, thể thao, thay đổi chế độ dinh dưỡng để có được cơ thể khỏe mạnh (Nguồn: Toán 7---Tập Hai, NXB Giáo dục Việt Nam, năm \(2017\)). Bác Dũng có chiều cao \(1{,}65\) và cân nặng ít nhất là \(82\) kg. Hỏi bác Dũng có bị béo phì độ II hoặc độ III không?

Đáp án và lời giải

Bài 1:

a) Với \(t\) là số tuổi, ta có bất đẳng thức: \(t\geq 18\).

b) Với \(x\) là số người xe buýt chở được, ta có bất đẳng thức: \(x\leq 45\).

c) Với \(y\) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức: \(y\geq 20\,000\).

Bài 2:

a) \(m>8\).

b) \(n<21\).

c) \(x\leq 4\).

d) \(y \geq 0\).

Bài 3:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức \(m>5\) với \(-4\) ta được

\[{\begin{eqnarray*} m+(-4)&>& 5+(-4)\\ m-4&>& 1. \end{eqnarray*} }\]b) Cộng hai vế của bất đẳng thức \(x^2 \leq y+1\) với \(9\) ta được

\[{\begin{eqnarray*} x^2+9 &\leq& y+1+9\\ x^2+9 &\leq& y+10. \end{eqnarray*} }\]c) Nhân hai vế của bất đẳng thức \(x>1\) với \(3\) ta được\[{\begin{eqnarray*} x\cdot3 &>&1\cdot3\\ 3x &>&3. \end{eqnarray*} }\]Cộng hai vế của bất đẳng thức \(3x >3\) với \(2\) ta được\[{\begin{eqnarray*} 3x +2&>&3+2\\ 3x +2&>&5. \end{eqnarray*} }\]Bài 4:

a) Vì \(a<b\) và \(5>0\) nên \(5a<5b\).

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên với \(7\) ta được: \(5a+7<5b+7.\)

b) Vì \(a<b\) và \(-3<0\) nên \(-3a>-3b\).

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên với \(-9\) ta được: \(-3a-9>-3b-9.\)

Bài 5:

a) Ta có \(a+1\,954<b+1\,954\). (1)

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức (1) với \(-1\,954\) ta được\[a+1\,954-1\,954<b+1\,954-1954.\]Hay \(a<b\).

b) Ta có \(-2a>-2b\). (2)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (2) với \(-\dfrac{1}{2}\) ta được\[-2a\cdot\dfrac{-1}{2}<-2b\cdot\dfrac{-1}{2}\] Hay \(a<b\).

Bài 6:

a) Vì \(-7<-1\) và \(2>0\) nên \(2\cdot(-7)<2\cdot (-1)\).

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên với \(2\,023\) ta được

\(2\cdot(-7)+2\,023<2 \cdot(-1)+2\,023.\)

b) Vì \(-8<-7\) và \(-3<0\) nên \((-3)\cdot(-8)>(-3)\cdot (-7)\).

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên với \(2\,023\) ta được

\((-3)\cdot(-8)+2\,023>2 \cdot(-7)+2\,023.\)

Bài 7:

a) Ta có

\(\sqrt{29}>\sqrt{28}\) (vì \(29>28\))

Cộng hai vế cho \(-\sqrt{6}\) ta được

\(\sqrt{29}-\sqrt{6}>\sqrt{28}-\sqrt{6}\).

Vậy \(\sqrt{29}-\sqrt{6}>\sqrt{28}-\sqrt{6}\).

b) Ta có \(11{,}5<a<11{,}6\)

Nhân \(2\) vào hai vế ta được

\(23<2a<23,2\)

Cộng \(3{,2}\) vào hai vế ta được

\(26{,}2<2a+3{,}2<26{,}4\).

Bài 8:

a) Ta có \[\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4} = 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{20}\].

Mà \(\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{20}\) nên \(\dfrac{5}{20}<\dfrac{16}{20}\).

Do đó \(\dfrac{1}{4}<\dfrac{4}{5}< a^2+\dfrac{4}{5}\) với \(a\neq 0\).

Vậy \(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}<a^2+\dfrac{4}{5}\) với \(a\neq 0\).

b) \(2m+4>2n+3\) với \(m>n\).

Ta có \(m>n\)

Nhân \(2\) vào hai vế. Ta được \(2m>2n\)

Cộng \(4\) vào hai vế. Ta được \(2m+4>2n+3\).

Bài 9:

Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là \(x\) (km/h) (\(x>6\)). Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là \(x+6\) (km/h).

Ta có \(x \leq 40\) nên \(x+6 \leq 40+6\), tức là \(x+6 \leq 46\).

Gọi \(s\) (km) là quãng đường ca nô đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút = \(2{,}5\) giờ.

Ta có \(s=2{,}5 \cdot (x+6)\) (km). Do \(x+6\leq 46\) nên \(2{,}5 \cdot (x+6) \leq 2{,}5 \cdot 46 = 115\) hay \(s \leq 115\).

Vậy quãng đường ca nô đi đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút không vượt quá \(115\) km.

Bài 10:

Gọi \(m\) (kg) là khối lượng cơ thể của bác Dũng, \(h\) (m) là chiều cao của bác Dũng.

Theo giả thiết, ta có \(m\geq 82\); \(h=1{,}65\). Do đó chỉ số BMI của bác Dũng là \[ BMI=\dfrac{m}{(1{,}65)^2}=\dfrac{m}{2{,}7225}\]

Do \(m\geq82\) nên \(\dfrac{m}{2{,}7225}\geq \dfrac{82}{2{,}7225}\).

Vì \(\dfrac{82}{2{,}7225} \approx 30{,}11938\) và \(30{,}11938>30\) nên \(\dfrac{m}{2{,}7225}>30\).

Như vậy bác Dũng có thể đã bị béo phì độ II hoặc độ III.

Những lưu ý khi học và làm bài tập bất đẳng thức:

• Khi cộng hoặc trừ cùng một số vào hai vế, chiều bất đẳng thức không đổi.

• Khi nhân hoặc chia hai vế với số âm, phải đổi chiều bất đẳng thức.

• Chú ý điều kiện xác định của biểu thức trước khi biến đổi.

• Học thuộc các bất đẳng thức cơ bản và các hằng đẳng thức thường dùng.

• Rèn luyện nhiều dạng bài để nhận biết phương pháp giải phù hợp.

Qua bài học, học sinh đã được tìm hiểu khái niệm bất đẳng thức, các tính chất cơ bản cũng như những quy tắc biến đổi quan trọng khi giải toán. Đây là một chuyên đề nền tảng trong chương trình Toán lớp 9, giúp rèn luyện tư duy logic, khả năng suy luận và lập luận toán học chặt chẽ. Bên cạnh đó, bất đẳng thức còn xuất hiện thường xuyên trong các bài toán đại số và là nội dung quan trọng trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

Để củng cố kiến thức và tiếp tục ôn tập các chuyên đề Toán 9 khác một cách hệ thống, học sinh có thể tham khảo thêm các bài giảng Toán tại ZIM Academy.