Đa giác đều | Tính chất, công thức và bài tập

da giac deu tinh chat cong thuc va bai tap

Key takeaways

Đa giác đều: Tất cả các cạnh bằng nhau VÀ tất cả các góc bằng nhau.
Tổng các góc trong: $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$.
Số đo 1 góc trong: $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} = 180^\circ - \beta$ (với góc ngoài $\beta = \frac{360^\circ}{n}$).
Số cạnh ( $n$ ): Giải phương trình từ góc trong hoặc tính $n = \frac{360^\circ}{\beta}$.
Chu vi & Diện tích: $P = n \cdot a$ và $S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$ (với $r$ là trung đoạn).

Đa giác đều là hình đa giác có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Trong chương trình Toán lớp 8, học sinh cần phân biệt tổng số đo các góc trong của một đa giác với số đo mỗi góc của đa giác đều.

Bài viết giải thích đa giác là gì, đa giác đều là gì, cách nhận biết các hình đa giác đều như tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều; đồng thời hướng dẫn công thức tính số cạnh, số đo góc và giải bài tập minh họa.

Đa giác đều là gì? Đặc điểm và cách nhận biết

Một đa giác đều là đa giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. Đây là hai điều kiện cần thỏa mãn đồng thời để nhận biết hình đa giác đều. [1]

Tất cả các cạnh bằng nhau.
Tất cả các góc bằng nhau.

Nếu chỉ thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì chưa đủ để kết luận hình đang xét là đa giác đều. Ví dụ:

Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nhưng các góc chưa chắc bằng nhau → không phải tứ giác đều nếu không phải hình vuông
Hình chữ nhật: Có 4 góc bằng nhau (đều bằng $90^\circ$), nhưng các cạnh kề không bằng nhau → Không phải là tứ giác đều.
Hình vuông: Vừa có 4 cạnh bằng nhau, vừa có 4 góc bằng nhau → Là tứ giác đều.

Đa giác đều là gì? — Đa giác đều là một đa giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau

Một đa giác đều có các đỉnh nằm trên cùng một đường tròn. Tâm của đường tròn ngoại tiếp cũng là tâm đa giác đều; khi quay hình quanh tâm một góc bằng 360° chia cho số cạnh, hình trùng với chính nó.

Đa giác là gì? Đa giác lồi là gì?

Đa giác $A_1A_2\dots A_n$ là hình phẳng giới hạn bởi một đường gấp khúc khép kín không tự cắt; hai cạnh kề nhau không cùng nằm trên một đường thẳng.

Các điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ được gọi là các đỉnh của đa giác.
Các đoạn thẳng $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_1$ được gọi là các cạnh của đa giác.
Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác gọi là đường chéo.

Đa giác lồi Trong phạm vi các công thức và bài tập dưới đây, học sinh chủ yếu xét đa giác lồi. [1]

Đường gấp khúc khép kín là gì?

Cho dãy các điểm $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ ($n \ge 3$). Hình gồm các đoạn thẳng $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n, A_nA_1$ được gọi là đường gấp khúc khép kín.

Phân loại và ví dụ các đa giác đều thường gặp

Tam giác đều (n = 3): Có 3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng $60^\circ$.

Hình vuông (n = 4): Là tứ giác đều có 4 cạnh bằng nhau, 4 góc bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng $90^\circ$.

Ngũ giác đều (n = 5): Có 5 cạnh bằng nhau, 5 góc bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng $108^\circ$.

Lục giác đều (n = 6): Có 6 cạnh bằng nhau, 6 góc bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng $120^\circ$.

Bát giác đều (n = 8): Có 8 cạnh bằng nhau, 8 góc bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng $135^\circ$.

Phân loại và ví dụ các đa giác đều thường gặp

Hình có 5 cạnh là hình gì?

Hình có 5 cạnh được gọi là ngũ giác. Nếu đó là đa giác lồi có năm cạnh bằng nhau và năm góc bằng nhau, hình được gọi là ngũ giác đều; mỗi góc trong của ngũ giác đều bằng 108°.

Công thức tính tổng số đo góc trong của đa giác

Công thức tổng quát

Tổng số đo các góc trong của một đa giác n cạnh ($n \in \mathbb{N}, n \ge 3$) được tính bằng:

\[S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ\]

Trong đó:

$S_n$: Tổng số đo các góc trong của đa giác.
n: Số cạnh (cũng là số đỉnh) của đa giác, với n là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 3.

Chứng minh công thức (Phương pháp chia tam giác)

Có thể giải thích công thức bằng hai cách chia đa giác lồi thành các tam giác:

Cách 1: Nối từ một đỉnh cố định

Bước 1: Xét một đa giác lồi n cạnh $A_1A_2\dots A_n$.

Bước 2: Từ đỉnh $A_1$, kẻ các đường chéo nối đến các đỉnh còn lại. Do $A_1$ kề với $A_2$ và $A_n$, đồng thời không thể nối đường chéo với chính nó, nên số đường chéo xuất phát từ $A_1$ là n - 3 đường chéo.

Bước 3: Các đường chéo này chia đa giác n cạnh thành đúng n - 2 tam giác không chồng chéo lên nhau.

Bước 4: Tổng các góc của đa giác $A_1A_2\dots A_n$ đúng bằng tổng tất cả các góc trong của n - 2 tam giác này.

Bước 5: Mỗi tam giác có tổng số đo các góc bằng $180^\circ$. Do đó, tổng các góc của đa giác là:

\[S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ\]

Cách 2: Chọn điểm O nằm bên trong đa giác

Bước 1: Lấy điểm O bất kỳ nằm bên trong đa giác n cạnh.

Bước 2: Nối O với n đỉnh của đa giác, ta thu được n tam giác có chung đỉnh O.

Bước 3: Tổng các góc của n tam giác này là $n \cdot 180^\circ$.

Bước 4: Tổng các góc tại đỉnh O tạo thành một góc đầy bằng $360^\circ$.

Bước 5: Lấy tổng số đo các góc của n tam giác trừ đi góc đầy tại O, ta được tổng số đo góc trong của đa giác:

\[S_n = n \cdot 180^\circ - 360^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ\]

Công thức tính tổng số đo góc trong của đa giác

Ví dụ minh họa áp dụng

Ví dụ 1: Tính tổng số đo các góc trong của một thập giác (đa giác có 10 cạnh).

Lời giải

Áp dụng công thức với n = 10:

\[S_{10} = (10 - 2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ\]

Ví dụ 2: Tính tổng số đo góc trong của một đa giác có 15 cạnh.

Lời giải

Áp dụng công thức với n = 15:

\[S_{15} = (15 - 2) \cdot 180^\circ = 13 \cdot 180^\circ = 2340^\circ\]

Công thức tính số đo mỗi góc của đa giác đều

Công thức tính góc trong của đa giác đều

Vì đa giác đều có tất cả các góc bằng nhau, số đo mỗi góc trong α của đa giác đều n cạnh bằng tổng số đo các góc trong chia cho n:

\[\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}\]

Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều (n = 5).

Lời giải

Áp dụng công thức:

\[\begin{aligned}\alpha&=\frac{(5-2)\cdot180^\circ}{5}\\&=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ\end{aligned}\]

Ví dụ 2: Tính số đo mỗi góc của lục giác đều (n = 6) và bát giác đều (n = 8).

Lời giải:

Với lục giác đều (n = 6):
\[\alpha_6 = \frac{(6 - 2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ\]
Với bát giác đều (n = 8):
\[\alpha_8 = \frac{(8 - 2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ\]

Bảng so sánh giữa hai khái niệm

Đặc điểm	Đa giác (không nhất thiết đều)	Đa giác đều
Độ dài các cạnh	Có thể khác nhau	Bắt buộc tất cả bằng nhau
Số đo các góc	Có thể khác nhau	Bắt buộc tất cả bằng nhau
Tổng số đo góc trong	$(n - 2) \cdot 180^\circ$	$(n - 2) \cdot 180^\circ$
Tính số đo từng góc	Không thể chia đều cho n	Lấy tổng góc chia cho n: $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$

Cách tính số cạnh của đa giác khi biết số đo góc

Bài toán tìm số cạnh của đa giác dựa vào tổng số đo các góc trong, hoặc tìm số cạnh của đa giác đều khi biết số đo một góc trong hay góc ngoài.

Xác định số cạnh của đa giác khi biết số đo góc

Góc ngoài của đa giác và tính chất quan trọng

Góc ngoài của đa giác tại một đỉnh là góc kề bù với góc trong tại đỉnh đó.

Mối liên hệ kề bù: \[\text{Góc trong} + \text{Góc ngoài} = 180^\circ\]

Định lý tổng góc ngoài: Tổng số đo các góc ngoài của một đa giác lồi (mỗi đỉnh chỉ lấy một góc ngoài) luôn luôn bằng $360^\circ$, không phụ thuộc vào số cạnh n.

Chứng minh tổng góc ngoài bằng $360^\circ$:

Bước 1: Tại mỗi đỉnh của đa giác n cạnh, tổng của góc trong $\alpha_i$ và góc ngoài $\beta_i$ là $180^\circ$.

Bước 2: Tổng n cặp góc trong và góc ngoài là $n \cdot 180^\circ$.

Bước 3: Tổng các góc ngoài là:

\[\begin{aligned}\sum\beta_i&=n\cdot180^\circ-\sum\alpha_i\\&=n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ\\&=360^\circ\end{aligned}\]

Đối với đa giác đều n cạnh, các góc ngoài đều bằng nhau, số đo mỗi góc ngoài $\beta$ là:

\[\beta = \frac{360^\circ}{n} \implies n = \frac{360^\circ}{\beta}\]

Điều kiện: Số cạnh n phải là số nguyên và n ≥ 3. Với đa giác đều, nếu biết góc trong α thì góc ngoài β = 180° − α.

Chiến lược giải nhanh: Việc chuyển bài toán tìm số cạnh n qua công thức góc ngoài $\beta = 180^\circ - \alpha$ sẽ giúp rút ngắn thời gian tính toán hơn rất nhiều so với cách giải trực tiếp phương trình góc trong.

Các ví dụ giải chi tiết

Bài toán 1: Biết tổng số đo các góc trong

Tìm số cạnh của một đa giác có tổng số đo các góc trong bằng $1800^\circ$.

Lời giải:

Theo công thức tổng góc trong:

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1800^\circ$

$n - 2 = \frac{1800^\circ}{180^\circ} = 10$

$n = 10 + 2 = 12$

Vậy đa giác có 12 cạnh.

Bài toán 2: Biết số đo một góc trong của đa giác đều

Một đa giác đều có số đo mỗi góc trong bằng $144^\circ$. Tìm số cạnh của hình đó.

Lời giải

Cách 1 (Sử dụng trực tiếp công thức góc trong):

$(n - 2) \cdot 180 = 144n$

$180n - 360 = 144n$

$36n = 360 \implies n = 10$

Cách 2 (Sử dụng công thức góc ngoài):

Số đo một góc ngoài của đa giác đều là:

$\beta = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

Số cạnh của đa giác đều là:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$

Vậy đa giác đều có 10 cạnh (thập giác đều).

Công thức tính chu vi và diện tích đa giác đều

Chu vi đa giác đều

Chu vi P của đa giác đều n cạnh, độ dài mỗi cạnh là a:

$P = n \cdot a$

Diện tích đa giác đều

Mọi đa giác đều luôn nội tiếp được trong một đường tròn và ngoại tiếp được một đường tròn cùng tâm O. Học sinh có thể ôn lại tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác khi xét trường hợp tam giác đều.

Nếu nối tâm O tới n đỉnh của đa giác đều, ta chia đa giác thành n tam giác cân bằng nhau.

Gọi a là độ dài một cạnh của đa giác đều.
Gọi r là khoảng cách từ tâm O đến cạnh (còn gọi là trung đoạn hoặc bán kính đường tròn nội tiếp).

Diện tích của một tam giác nhỏ là $S_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$.

Do đó, diện tích toàn phần S của đa giác đều n cạnh là:

\[\begin{aligned}S&=n\cdot\frac12ar\\&=\frac12(n\cdot a)r=\frac12Pr\end{aligned}\]

Trong đó:

S: Diện tích đa giác đều.
P: Chu vi đa giác đều ($P = n \cdot a$).
r: Trung đoạn (khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh).

Công thức tính chu vi và diện tích đa giác đều

Ví dụ tính toán chi tiết

Ví dụ: Cho một lục giác đều ABCDEF cạnh $a = 4\text{ cm}$.

a) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R và trung đoạn r.

b) Tính chu vi và diện tích của lục giác đều đó.

Lời giải

a) Lục giác đều được chia thành 6 tam giác đều cạnh $a = 4\text{ cm}$ có chung đỉnh tại tâm O.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = OA = a = 4\text{ cm}$.
Trung đoạn r chính là chiều cao của tam giác đều cạnh a:
\[r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{ cm}\]

b) Tính chu vi và diện tích:

Chu vi lục giác đều:
\[P = 6 \cdot a = 6 \cdot 4 = 24\text{ cm}\]
Diện tích lục giác đều:
\[S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\text{ cm}^2\]

Bài tập về đa giác và đa giác đều có lời giải

Dạng 1: Bài tập tính góc và số cạnh đa giác

Bài 1: Tổng số đo các góc trong của một đa giác bằng $1260^\circ$.

a) Tìm số cạnh của đa giác đó.

b) Tính số đường chéo của đa giác này.

Lời giải

a) Áp dụng công thức tổng góc trong:

\[(n - 2) \cdot 180^\circ = 1260^\circ \implies n - 2 = 7 \implies n = 9\]

Vậy đa giác có 9 cạnh (cửu giác).

b) Công thức tính số đường chéo của đa giác n cạnh là $D = \frac{n(n - 3)}{2}$.

Thay n = 9 vào:

$D=\frac{9(9-3)}{2}=27$

Bài 2: Một đa giác đều có tỉ số giữa số đo một góc trong và số đo một góc ngoài bằng 5. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Lời giải

Gọi góc trong của đa giác đều là $\alpha$ và góc ngoài là $\beta$.

Theo đề bài, ta có: $\alpha = 5\beta$.

Mà $\alpha + \beta = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

\[5\beta+\beta=180^\circ\Rightarrow\beta=30^\circ\]

Số cạnh của đa giác đều là:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$

Vậy đa giác đều đó có 12 cạnh.

Bài 3: Cho một đa giác có tổng số đo các góc trong gấp 3 lần tổng số đo các góc ngoài. Đa giác đó là hình gì?

Lời giải

Tổng số đo các góc ngoài của đa giác lồi luôn bằng $360^\circ$.

Tổng số đo các góc trong là $(n - 2) \cdot 180^\circ$.

Theo giả thiết:

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 360^\circ$

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1080^\circ$

$n - 2 = 6 \implies n = 8$

Vậy đa giác đó là bát giác (n = 8).

Dạng 2: Bài tập chứng minh và tính toán hình học

Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.

a) Chứng minh rằng các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA là những tam giác đều.

b) Chứng minh các điểm A, O, D thẳng hàng.

c) Cho độ dài $AB = 6\text{ cm}$. Tính diện tích tam giác ACD.

Lời giải

a) Do ABCDEF là lục giác đều nên các cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Số đo mỗi góc trong của lục giác đều là $\alpha = \frac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Tâm O cách đều các đỉnh nên OA = OB = OC = OD = OE = OF.

Xét $\Delta OAB$ có OA = OB nên là tam giác cân tại O.

Góc ở tâm $\widehat{AOB} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$ nên $\Delta OAB$ là tam giác đều.

Chứng minh tương tự, tất cả 6 tam giác trên đều là các tam giác đều bằng nhau.

b) Do các tam giác bằng nhau và là tam giác đều nên $\widehat{AOB} = 60^\circ, \widehat{BOC} = 60^\circ, \widehat{COD} = 60^\circ$.

Ta có: \[\begin{aligned}\widehat{AOD}&=\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}\\&=60^\circ+60^\circ+60^\circ=180^\circ\end{aligned}\]

Do đó, ba điểm A, O, D thẳng hàng và AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp lục giác đều. Với AB = 6 cm theo giả thiết ở ý c), ta có AD = 2OA = 12 cm.

c) Xét $\Delta ACD$:

Vì AD là đường kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF nên $\widehat{ACD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $\Delta ACD$ vuông tại C.

Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn được trình bày thêm trong bài góc nội tiếp.

Trong tam giác vuông ACD, cạnh huyền $AD = 12\text{ cm}$, cạnh góc vuông $CD = 6\text{ cm}$.

Áp dụng định lý Pythagoras cho $\Delta ACD$:

\[\begin{aligned}AC&=\sqrt{AD^2-CD^2}\\&=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3\text{ cm}\end{aligned}\]

Diện tích tam giác vuông ACD là:

\[S_{\triangle ACD}=\frac12\cdot6\sqrt3\cdot6=18\sqrt3\text{ cm}^2\]

Dạng 3: Bài tập vận dụng và mở rộng

Bài 5: Người ta muốn làm một viên gạch lát nền hình ngũ giác đều cạnh $a = 20\text{ cm}$. Tính diện tích của viên gạch đó (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

Số đo mỗi góc trong của ngũ giác đều là $\alpha = 108^\circ$.

Nối tâm O với các đỉnh, ta được 5 tam giác cân bằng nhau có góc ở đỉnh O là $\widehat{AOB} = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

Kẻ đường cao OH (H thuộc AB) của $\Delta OAB$.

Do $\Delta OAB$ cân tại O nên H là trung điểm của \[AB \implies AH = \frac{a}{2} = 10\text{ cm}\]

Đồng thời OH là đường phân giác \[\implies \widehat{AOH} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ\]

Trong tam giác vuông OAH:

\[\tan 36^\circ=\frac{10}{OH}\quad\Rightarrow\quad OH=\frac{10}{\tan36^\circ}\approx13{,}7638\text{ cm}\]

Diện tích ngũ giác đều là:

\[\begin{aligned}S&=5\cdot\frac12\cdot20\cdot\frac{10}{\tan36^\circ}\\&=\frac{500}{\tan36^\circ}\approx688{,}19\text{ cm}^2\end{aligned}\]

Bảng công thức đa giác đều cần nhớ

Đại lượng / Khái niệm	Công thức	Chú thích
Tổng số đo góc trong	$S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$	n là số cạnh ($n \ge 3$)
Số đo 1 góc trong (Đa giác đều)	$\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$	Áp dụng cho đa giác đều
Số đo 1 góc ngoài (Đa giác đều)	$\beta = \frac{360^\circ}{n}$	$\beta + \alpha = 180^\circ$
Tổng số đo góc ngoài	$S_{\text{ngoài}} = 360^\circ$	Áp dụng cho mọi đa giác lồi
Số đường chéo	$D = \frac{n(n - 3)}{2}$	Tính từ n đỉnh
Chu vi đa giác đều	$P = n \cdot a$	a là độ dài một cạnh
Diện tích đa giác đều	$S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$	r là trung đoạn

Để học tốt phần đa giác đều trong chương trình Toán lớp 9, học sinh chỉ cần ghi nhớ các điểm then chốt:

Đa giác đều: Cần thỏa mãn đồng thời tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Tổng các góc trong: $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$.
Mỗi góc đa giác đều: $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ hoặc tính qua góc ngoài $\beta = 180^\circ - \alpha = \frac{360^\circ}{n}$.
Chu vi & Diện tích: $P = n \cdot a$ và $S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$.

Học sinh có thể tham khảo thêm các bài học tại chuyên đề Toán 9 tại ZIM Academy.

Nguồn tham khảo

Hà Huy Khoái (Tổng Chủ biên), Cung Thế Anh, Nguyễn Huy Đoan (đồng Chủ biên), Nguyễn Cao Cường, Trần Mạnh Cường, Doãn Minh Cường, Trần Phương Dung, Sĩ Đức Quang, Lưu Bá Thắng, Đặng Hùng Thắng. “Toán 9, tập hai (Kết nối tri thức với cuộc sống) – Bài 30: Đa giác đều, trang 84–86.” Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, https://taphuan.nxbgd.vn/tap-huan/chi-tiet-sach/toan-9-tap-hai-940079258.940079258. Accessed 20 October 2026.