Đạo hàm e mũ u | Công thức, cách tính và bài tập có lời giải

Đạo hàm e mũ u là dạng đạo hàm của hàm số mũ có cơ số e, trong đó u = u(x) là một hàm số của x. Công thức \((e^u)' = u'e^u\) được xác định bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp; trường hợp riêng đạo hàm \(e^x\) có công thức \((e^x)' = e^x\).

Bài viết trình bày công thức đạo hàm \(e^u\), cách tính đạo hàm của e mũ u, trường hợp \(e^x\) và các dạng đạo hàm hàm số mũ liên quan, kèm ví dụ và bài tập áp dụng.

Đạo hàm e mũ u là gì?

Đạo hàm e mũ u là đạo hàm của hàm số có dạng \(y=e^{u(x)}\), trong đó \(u=u(x)\) là một hàm số có đạo hàm. Đây là trường hợp đạo hàm của hàm hợp, vì vậy khi tính cần xác định đạo hàm \(u'\) của biểu thức ở số mũ.

Trường hợp \(u=x\) chính là đạo hàm \(e^x\). Từ trường hợp cơ bản này, công thức được mở rộng cho các hàm mũ có số mũ là một hàm số của \(x\).

Công thức đạo hàm e mũ u theo quy tắc hàm hợp

Với \(u=u(x)\) có đạo hàm, đạo hàm của e mũ u được xác định bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp [1]:

\[\left(e^u\right)'=u'e^u\]

Cách tính đạo hàm e mũ u

Khi tính đạo hàm e^u, học sinh cần xác định hàm \(u=u(x)\), tính \(u'\), sau đó nhân \(u'\) với \(e^u\). Đây là điểm cần lưu ý để không bỏ sót đạo hàm của hàm bên trong.

Ví dụ 1 - Trường hợp \(u(x)\) là một hàm đa thức bậc cao: Cho hàm số \(y = e^{2x^3 - 4x + 1}\). Tính đạo hàm của hàm số trên tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Bước đầu tiên, xác định biểu thức đóng vai trò hàm thành phần u:

\[u = 2x^3 - 4x + 1\]

Tiến hành tính đạo hàm của hàm số u theo biến x:

\[u^{\prime}=\left(2x^3-4x+1\right)^{\prime}=6x^2-4\]

Áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm hàm hợp \(\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u\), thu được kết quả cuối cùng của đạo hàm là:

\[y' = \left(6x^2 - 4\right) \cdot e^{2x^3 - 4x + 1}\]

Ví dụ 2 - Trường hợp \(u(x)\) là một hàm số lượng giác: Cho hàm số \(y = e^{\sin 3x + \cos x}\). Tính đạo hàm của hàm số trên tập xác định.

Hướng dẫn giải:

Xác định biểu thức bên trong hàm mũ là hàm hợp lượng giác \(u = \sin 3x + \cos x\). Tính đạo hàm của hàm số u theo các quy tắc đạo hàm lượng giác cơ bản:

\[u' = (\sin 3x + \cos x)' = 3\cos 3x - \sin x\]

Lắp ráp vào công thức tổng quát của đạo hàm hàm mũ cơ số e với hàm hợp u:

So sánh đạo hàm \(e^x\) và \(e^u\)

Đạo hàm của \(e^x\): Công thức và ví dụ

Hàm số mũ cơ số tự nhiên \(y=e^x\) có đạo hàm tại mọi \(x\in\mathbb{R}\). Đây là trường hợp cơ bản để mở rộng sang đạo hàm e mũ u khi số mũ là một hàm \(u=u(x)\) [1].

\[\left(e^x\right)'=e^x\]

Như vậy, đạo hàm e^x bằng chính \(e^x\). Công thức này là một trường hợp cơ bản của đạo hàm mũ và được sử dụng khi tính đạo hàm hàm số mũ, hệ số góc tiếp tuyến và các biểu thức kết hợp với quy tắc tổng, hiệu, tích hoặc thương.

Đạo hàm của e là bao nhiêu?

Cần phân biệt đạo hàm của e với đạo hàm của \(e^x\). Vì \(e\) là một hằng số nên \((e)'=0\); trong khi \((e^x)'=e^x\).

Ví dụ minh họa cơ bản: Xét hàm số \(f(x) = 3e^x - 5x + 2\). Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x_0 = 0\).

Hướng dẫn giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm chính là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm đó.

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu và hằng số nhân với hàm số, biểu thức đạo hàm tổng quát của hàm số trên tập xác định được thiết lập như sau:

\[f'(x) = \left(3e^x - 5x + 2\right)' = 3\left(e^x\right)' - 5(x)' + (2)' = 3e^x - 5 \cdot 1 + 0 = 3e^x - 5\]

Thay giá trị điểm \(x_0 = 0\) vào biểu thức đạo hàm vừa tìm được, giá trị cần tính là:

\[f^{\prime}(0)=3e^0-5=3\cdot1-5=3-5=-2\]

Kết quả cho thấy tại điểm hoành độ bằng 0, hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số đạt giá trị âm là -2.

Phân biệt đạo hàm \(e^u\), \(e^x\) với đạo hàm \(a^u\), \(a^x\)

Với hàm số mũ cơ số \(a\), điều kiện \(a>0\) và \(a\ne1\), công thức đạo hàm tổng quát là [1]:

\[\left(a^x\right)'=a^x\ln a\]

Với \(u=u(x)\), công thức mở rộng là:

\[\left(a^u\right)'=u'a^u\ln a\]

Khi \(a=e\), do \(\ln e=1\), công thức trở thành:

\[\left(e^x\right)'=e^x\ln e=e^x\]

Do đó, khác biệt giữa đạo hàm của \(a^x\) và \(e^x\) nằm ở hệ số \(\ln a\); với cơ số \(e\), hệ số này bằng 1.

Tham khảo thêm: Đạo hàm logarit | Công thức đạo hàm log, ln và bảng tổng hợp.

Ví dụ minh họa và bài tập vận dụng đạo hàm e mũ u (\(e^{u}\))

Cách tính đạo hàm e mũ u qua ví dụ

Ví dụ 1 - Kết hợp quy tắc tích: Tính đạo hàm của hàm số \(y = x^3 \cdot e^{2x}\).

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Nhận dạng cấu trúc hàm số là tích của hai biểu thức đại số và hàm mũ. Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tích hai hàm số \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) với \(u=x^3\) và \(v = e^{2x}\):

\[y' = \left(x^3\right)' \cdot e^{2x} + x^3 \cdot \left(e^{2x}\right)'\]

Bước 2: Thực hiện tính toán các đạo hàm thành phần:

• Đạo hàm phần đa thức: \(\left(x^3\right)' = 3x^2\)

• Đạo hàm phần hàm mũ hợp:\(\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}\) (áp dụng công thức hàm hợp với thành phần \(u = 2x\))

Bước 3: Thay các biểu thức đạo hàm thành phần vừa tìm được vào công thức quy tắc tích:

\[y' = 3x^2 \cdot e^{2x} + x^3 \cdot 2e^{2x} = 3x^2e^{2x} + 2x^3e^{2x}\]

Bước 4: Tiến hành đặt thừa số chung \(x^2 e^{2x}\) để rút gọn biểu thức:

\[y' = x^2 e^{2x} (3 + 2x)\]

Ví dụ 2 - Kết hợp quy tắc thương: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{e^{3x}}{2x - 1}\) trên tập xác định \(x \neq \frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của thương hai hàm số \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) với tử số \(u = e^{3x}\) và mẫu số \(v = 2x - 1\):

\[y' = \frac{\left(e^{3x}\right)'(2x - 1) - e^{3x}(2x - 1)'}{(2x - 1)^2}\]

Bước 2: Thực hiện tính toán đạo hàm các thành phần riêng lẻ:

• \(\left(e^{3x}\right)' = 3e^{3x}\) (theo quy tắc hàm hợp với \(u = 3x\))

• \((2x - 1)' = 2\)

Bước 3: Thay thế vào biểu thức phân số ban đầu:

\[y' = \frac{3e^{3x}(2x - 1) - e^{3x} \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{e^{3x}\left[3(2x - 1) - 2\right]}{(2x - 1)^2}\]

Bước 4: Khai triển và rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc vuông ở tử số:

\[y' = \frac{e^{3x}(6x - 3 - 2)}{(2x - 1)^2} = \frac{(6x - 5)e^{3x}}{(2x - 1)^2}\]

Bài tập vận dụng

Bài 1 (cơ bản):

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = e^{5x - 7}\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = e^{x^4 - 3x^2 + 2}\)

c) Tính đạo hàm của hàm số \(y = e^{\tan x}\) với \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\).

Phân tích: Đây là dạng bài tập cơ bản, học sinh chỉ cần nắm chắc công thức \(\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u\) để tính đạo hàm.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức \(\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u\) thu được: \[\left(e^{5x-7}\right)^{\prime}=\left(5x-7\right)^{\prime}\cdot e^{5x-7}\]\[\left(e^{5x-7}\right)^{\prime}=5e^{5x-7}\] Vậy \(y' = 5e^{5x - 7}\).

b) Áp dụng công thức \(\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u\) thu được: \[\left(e^{x^4-3x^2+2}\right)^{\prime}=\left(x^4-3x^2+2\right)^{\prime}\cdot e^{x^4-3x^2+2}\]\[[\left(e^{x^4-3x^2+2}\right)^{\prime}=\left(4x^3-6x\right)e^{x^4-3x^2+2}\] Vậy \(y' = (4x^3 - 6x)e^{x^4 - 3x^2 + 2}\).

c) Áp dụng công thức \(\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u\) thu được: \[\left(e^{\tan x}\right)^{\prime}=\left(\tan x\right)^{\prime}\cdot e^{\tan x}\]\[[\left(e^{\tan x}\right)^{\prime}=\frac{1}{\cos^2x}\cdot e^{\tan x}\] Vậy \(y' = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot e^{\tan x}\) với \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\).

Bài 2 (vận dụng):

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = (3x - 2)e^{2x}\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{e^x}{x^2 + 1}\).

Phân tích: Đây là dạng bài tập vận dụng, bên cạnh việc áp dụng công thức \(\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u\) thì học sinh cần vận dụng quy tắc tích và quy tắc thương trong việc tính đạo hàm.

Lời giải:

a) Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tích hai hàm số \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) với \(u=3x-2\) và \(v = e^{2x}\):\[\left(\left(3x-2)e^{2x}\right)\right)^{\prime}=\left(3x-2\right)^{\prime}e^{2x}+\left(3x-2\right)\left(e^{2x}\right)^{\prime}\]\[\left(\left(3x-2)e^{2x}\right)\right)^{\prime}=3e^{2x}+\left(3x-2\right)\cdot\left(2x\right)^{\prime}\cdot e^{2x}\]\[\left(\left(3x-2)e^{2x}\right)\right)^{\prime}=3e^{2x}+\left(3x-2\right)\cdot2\cdot e^{2x}\]\[\left(\left(3x-2)e^{2x}\right)\right)^{\prime}=3e^{2x}+\left(6x-4\right)e^{2x}\]\[\left(\left(3x-2)e^{2x}\right)\right)^{\prime}=\left(6x-1\right)e^{2x}\]

Vậy \(y' = (6x - 1)e^{2x}\)

b) Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của thương hai hàm số \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) với tử số \(u=e^{x}\) và mẫu số \(v=x^2+1\):\[\left(\frac{e^{x}}{x^2+1}\right)^{\prime}=\frac{\left(e^{x}\right)^{\prime}\left(x^2+1\right)-e^{x}\left(x^2+1\right)^{\prime}}{\left(x^2+1\right)^2}\]\[\left(\frac{e^{x}}{x^2+1}\right)^{\prime}=\frac{e^{x}\left(x^2+1\right)-e^{x}\cdot2x}{\left(x^2+1\right)^2}\]\[\left(\frac{e^{x}}{x^2+1}\right)^{\prime}=\frac{e^{x}\left(x^2-2x+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\]\[\left(\frac{e^{x}}{x^2+1}\right)^{\prime}=\frac{e^{x}\left(x-1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}\]

Vậy \(y' = \frac{(x - 1)^2 e^x}{(x^2 + 1)^2}\).

Bài 3 (nâng cao):

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y=x^{x}\) với \(x>0\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{1}{x^{x}}\) với \(x>0\).

c) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt[x]{x}\) với \(x>0\).

Phân tích: Ở dạng bài này, biến x xuất hiện ở cả cơ số và số mũ. Có thể biến đổi từ dạng \(x^{f\left(x\right)}\) sang dạng \(e^{u\left(x\right)}\).

Cách thực hiện: Theo định nghĩa về hàm lôgarit, \(x=e^{\ln\left(x\right)}\). Thay \(x=e^{\ln\left(x\right)}\) vào các phần thì sẽ đưa được về dạng \(e^{u}\) có thể đạo hàm được.

Lời giải:

a) Biến đổi \(x^{x}=\left(e^{\ln x}\right)^{x}=e^{x\ln x}\). Bài toán trở về tìm đạo hàm của \(e^{u}\) với \(u=x\ln x\).

Tính đạo hàm của u trước bằng quy tắc đạo hàm tích: \[\left(x\ln x\right)^{\prime}=x^{\prime}\cdot\ln x+\left(\ln x\right)^{\prime}\cdot x\]\[\left(x\ln x\right)^{\prime}=1\cdot\ln x+\frac{1}{x}\cdot x\]\[\left(x\ln x\right)^{\prime}=\ln x+1\]

Do đó theo công thức \(\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u\) thì:\[[\left(e^{x\ln x}\right)^{\prime}=\left(\ln x+1\right)e^{x\ln x}=\left(\ln x+1\right)x^{x}\]

Đáp số: \(y^{\prime}=\left(\ln x+1\right)x^{x}\left(x>0\right)\).

b) Biến đổi \(\frac{1}{x^{x}}=x^{-x}=e^{-x\ln\left(x\right)}\). Bài toán trở về tìm đạo hàm của \(e^{u}\) với \(u=-x\ln x\).

Từ phần a) đã có kết quả \(\left(x\ln x\right)^{\prime}=\ln x+1\) nên \(\left(-x\ln x\right)^{\prime}=-\left(\ln x+1\right)\).

Do đó:\[\left(e^{-x\ln\left(x\right)}\right)^{\prime}=\left(-x\ln x\right)^{\prime}e^{-x\ln\left(x\right)}\]\[\left(e^{-x\ln\left(x\right)}\right)^{\prime}=-\left(\ln x+1\right)^{}e^{-x\ln\left(x\right)}\]\[\left(e^{-x\ln\left(x\right)}\right)^{\prime}=-\left(\ln x+1\right)x^{-x}\]

Đáp số: \(y^{\prime}=-\left(\ln x+1\right)x^{-x}\left(x>0\right)\).

c) Biến đổi \(\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\ln x}{x}}\). Bài toán trở thành về tìm đạo hàm của \(e^{u}\) với \(u=\frac{\ln x}{x}\).

Tính đạo hàm của u trước bằng quy tắc đạo hàm thương: \[\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}=\frac{\left(\ln x\right)^{\prime}\cdot x-\left(x\right)^{\prime}\cdot\ln x}{x^2}\]\[\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-1\cdot\ln x}{x^2}\]\[\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-1\cdot\ln x}{x^2}\]\[\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}=\frac{1-\ln x}{x^2}\]

Do đó theo công thức \(\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u\) thì: \[\left(e^{\frac{\ln x}{x}}\right)^{\prime}=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}e^{\frac{\ln x}{x}}\]\[[\left(e^{\frac{\ln x}{x}}\right)^{\prime}=\frac{1-\ln x}{x^2}e^{\frac{\ln x}{x}}\]\[\left(e^{\frac{\ln x}{x}}\right)^{\prime}=\frac{1-\ln x}{x^2}x^{\frac{1}{x}}\]

Đáp số: \(y^{\prime}=\left(1-\ln x\right)x^{\frac{1}{x}-2}\).

Đạo hàm e mũ u được xác định theo công thức \((e^u)'=u'e^u\), trong đó \(u=u(x)\). Trường hợp riêng, đạo hàm \(e^x\) là \((e^x)'=e^x\).

Khi tính đạo hàm của e mũ u, học sinh cần xác định đúng hàm \(u\), tính \(u'\) và áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp. Việc nắm rõ công thức này giúp xử lý các dạng đạo hàm hàm số mũ và bài tập liên quan trong chương trình Toán 11.