Định lý lớn Fermat - Lịch sử, ý nghĩa, ứng dụng và giá trị học thuật

Định lý Fermat lớn là một trong những định lý nổi tiếng và có độ khó cao trong lịch sử toán học. Đối với những người có nền tảng toán học vững chắc, có niềm đam mê sâu sắc đối với toán học - học sinh chuyên Toán, sinh viên chuyên ngành Toán học hoặc giáo viên bộ môn Toán, thì đây là một định lý rất thú vị. Bài viết sau cung cấp cho người đọc phát biểu định lý lớn Fermat, lịch sử và quá trình chứng minh định lý, cũng như giúp người đọc có thể hiểu rõ hơn về ý nghĩa tư duy logic, tính ứng dụng và giá trị học thuật của định lý này.

Định lý lớn Fermat là gì?

Định lý lớn Fermat hay trong Tiếng Anh được gọi là The last Fermat theorem hoặc Fermat's Last Theorem, được phát biểu như sau: không có ba số nguyên dương x, y, và z nào thỏa mãn phương trình \(x^{n}+y^{n}=z^{n}\) với n là một số nguyên lớn hơn 2.

Nói cách khác, nếu n > 2, thì không thể tìm được ba số nguyên dương khác 0 nào mà khi thay vào phương trình trên lại cho ra một đẳng thức đúng. Chẳng hạn, không tồn tại bộ ba số nguyên dương x, y, z nào thỏa mãn phương trình \(x^3+y^3=z^3\) hay \(x^4+y^4=z^4\).

Giải thích phát biểu

• Số nguyên dương: x, y, z phải là các số nguyên dương lớn hơn 0.

• n là số nguyên lớn hơn 2: n = 3, 4, 5, 6, ...

• Phương trình \(x^{n}+y^{n}=z^{n}\) chỉ có nghiệm nguyên khi n = 1 hoặc n = 2

  • Với n = 1, có vô số bộ ba số nguyên dương khác 0 có thể thoả mãn được phương trình trên: Ví dụ: 4 + 5 = 9

  • Trong trường hợp khi n = 2, có thể dẫn đến định lý Pythagore trong tam giác vuông (bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông): \(x^2+y^2=z^2\). Trong trường hợp này, có vô số bộ ba số nguyên dương khác 0 có thể thỏa mãn phương trình. Ví dụ, có các bộ nghiệm như sau: (3, 4, 5): \(3^2+4^2=5^2\) hoặc (5, 12, 13): \(5^2+12^2=13^2\). Những bộ nghiệm này có vai trò quan trọng trong hình học, là nền tảng cho việc tính toán trong tam giác vuông.

  • Nhưng nếu n > 2, thì không tồn tại bộ ba số nguyên dương khác 0 (x, y, z) nào thỏa mãn phương trình này.

Lịch sử và ý nghĩa của định lý Fermat lớn

Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Beaumont-de-Lomagne, Pháp. Ông là một luật sư và là một quan chức chính phủ người Pháp, nổi tiếng nhờ công trình nghiên cứu về Lý thuyết số, cụ thể là Định lý Fermat lớn. Ông cũng có vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng cho phép tính vi phân.

Ông theo học tại Đại học Toulouse trước khi chuyển đến Bordeaux vào nửa sau những năm 1620. Từ Bordeaux, Fermat đến Orléans, nơi ông học Luật tại một trường đại học. Ông nhận bằng Luật dân sự và trở thành một nhà Cố vấn tại Quốc hội Toulouse. Do đó, đến năm 1631, Fermat đã là một luật sư và quan chức chính phủ tại Toulouse, và vì chức vụ lúc bấy giờ, ông đổi tên từ Pierre Fermat thành Pierre de Fermat.

Bối cảnh lịch sử phát biểu định lý

Trong khoảng thời gian từ năm 1643 đến năm 1654 là thời gian Fermat mất liên lạc với các đồng nghiệp khoa học ở Paris. Điều này xảy ra do một vài lý do.

Thứ nhất, áp lực công việc đã khiến ông không thể dành nhiều thời gian cho toán học. Thứ hai, cuộc nội chiến Fronde ở Pháp diễn ra và từ năm 1648, gây ra hậu quả nặng nề cho Toulouse. Cuối cùng là trận dịch hạch năm 1651, đã gây ra những hậu quả nghiêm trọng cho cuộc sống của Fermat ở Toulouse và thậm chí là gây nguy hiểm đến tính mạng của ông. Tuy nhiên, chính trong thời gian này, Fermat đã nghiên cứu Lý thuyết số. Trong đó, Fermat đặc biệt nổi tiếng với Định lý Fermat lớn - The last Fermat theorem. [1]

Những nỗ lực chứng minh định lý Fermat lớn kéo dài suốt 350 năm

Định lý cuối cùng của Fermat, được Fermat nêu ra năm 1637, đã được chứng minh cho một số mũ nhỏ trong hai thế kỷ tiếp theo. Đến giữa thế kỷ 19, Kummer chứng minh được định lý cho các số nguyên tố “thông thường”, còn các số nguyên tố “bất thường” phải phân tích riêng. Khoảng năm 1955, Shimura và Taniyama đề xuất giả thuyết nối kết đường cong Elliptic với dạng mô-đun, dù chưa liên quan rõ ràng đến Fermat. Năm 1986, Ken Ribet chứng minh rằng nếu giả thuyết này đúng cho một số trường hợp đặc biệt thì Định lý cuối cùng của Fermat cũng đúng. Dù giả thuyết Taniyama-Shimura bị xem là quá khó, Andrew Wiles quyết định chứng minh nó để gián tiếp chứng minh Định lý của Fermat. Sau 7 năm làm việc, ông công bố bản chứng minh năm 1993, sửa lỗi năm 1994 cùng Richard Taylor, và hoàn tất năm 1995.

Đọc thêm: Tiếng Anh chuyên ngành toán học - Từ vựng, mẫu câu và hội thoại

Quá trình chứng minh Định lý Fermat lớn của Andrew Wiles

Andrew Wiles (Andrew John Wiles), sinh ngày 11 tháng 4 năm 1953, là một nhà toán học người Anh và là một Giáo sư Nghiên cứu của Royal Society tại Đại học Oxford, chuyên về Lý thuyết số. Ông được biết đến nhiều nhất về việc chứng minh Định lý Fermat lớn, được trao giải Abel vào năm 2016 và huy chương Copley vào năm 2017.

Hành trình chứng minh của Andrew Wiles từ năm 1986 đến 1995

Trong những năm đầu sự nghiệp học thuật, Andrew Wiles không thực sự cố gắng giải Định lý cuối cùng của Fermat – và cũng không ai khác làm điều đó, vì bài toán này nhìn chung bị xem là quá khó và được cho là có thể không thể giải được. Một bước ngoặt xảy ra vào năm 1986, khi người ta chứng minh được rằng bài toán này của Fermat có thể được biểu diễn dưới dạng toán đường cong Elliptic và dạng mô đun. Đây là một sự trùng hợp vì bấy giờ, Andrew Wiles cũng đang nghiên cứu về hai lĩnh vực này. Do đó, ông quyết định quay trở lại với bài toán đã từng khiến ông say mê thuở ấu thơ.

Andrew Wiles đã đưa ra một lựa chọn khác thường là tự mình nghiên cứu định lý của Fermat, thay vì hợp tác với các đồng nghiệp. Sau bảy năm nghiên cứu bí mật, Wiles nghĩ rằng ông đã có thể chứng minh được bài toán. Ông quyết định công bố bài chứng minh của mình trong một bài giảng tại hội thảo ở Cambridge, nước Anh với tiêu đề bài thuyết minh của ông, “Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations”. Tuy nhiên, cuối năm đó, một giám khảo đã kiểm tra lại một cách chi tiết và phát hiện ra lỗi trong bài chứng minh của Andrew Wiles. Đây là một sự thất vọng lớn đối với Andrew Wiles. Sau đó, Andrew Wiles bắt tay vào nghiên cứu và cố gắng khắc phục vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ của một trong những học trò cũ của ông, Richard Taylor. Sau một năm làm việc và nghiên cứu, Wiles đã tìm ra cách khắc phục lỗi. “Tôi đã tìm ra khám phá đáng kinh ngạc này”, Wiles vừa khóc vừa nói trong một bộ phim tài liệu của BBC. “Đó là khoảnh khắc quan trọng nhất trong cả sự nghiệp của tôi.” Việc công bố bài chứng minh của một định lý nổi tiếng không chỉ hiếm, mà việc quay lại sửa một lỗi như thế này càng hiếm hơn, bởi việc này không những cần rất nhiều công sức mà thậm chí còn gây kiệt quệ về tinh thần sau lần thử đầu tiên. Sau đó, không tìm thấy bất kỳ lỗ hổng nào trong lần sửa lại, bài chứng minh đã được xuất bản trên Annals of Mathematics vào năm 1995, với tiêu đề “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem”. [2]

Các kỹ thuật toán học phức tạp được sử dụng

Các số nguyên tố

Vào khoảng 1637-1839, người ta cho rằng định lý chỉ được chứng minh với các số nguyên tố 3, 5 và 7. Tuy nhiên, Sophie Germain đã có cách tiếp cận khác, có thể chứng minh toàn bộ bậc của số nguyên tố. Vào giữa thế kỷ 19, Ernst Kummer đã mở rộng nghiên cứu và chứng minh được định lý thoả tất cả các số nguyên tố thông thường, để lại các số nguyên tố bất thường được phân tích riêng lẻ. Dựa trên công trình của Kummer, các nhà toán học khác mở rộng và cho rằng có thể chứng minh cho tất cả các số nguyên tố lên đến bốn triệu.

Đường cong Elliptic và Số học Mô-đun

Vào khoảng năm 1955, nhà toán học người Nhật Goro Shimura và Yutaka Taniyama phỏng đoán rằng có thể có sự liên kết giữa đường cong Elliptic và dạng toán Mô đun, được biết đến vào thời điểm đó là giả thuyết Taniyama-Shimura, và sau cùng là Số học Mô-đun. Tuy nhiên, giả thuyết này lúc bấy giờ không có kết nối rõ ràng với Định lý Fermat lớn.

Ứng dụng và tầm quan trọng của Định lý lớn Fermat

Andrew Wiles - nhà toán học đã chứng minh được Định lý lớn Fermat, nói rằng, định lý đã khơi nguồn cho hai giai đoạn tiến bộ vượt bậc của toán học trong quá khứ: Thứ nhất là vào thế kỷ 19, khi những nỗ lực chứng minh Định lý Fermat lớn diễn ra mạnh mẽ, đặt nền tảng cho các công trình nghiên cứu toán học của Andrew Wiles sau này. Thứ hai là vào những năm 1980, giai đoạn sau cùng của một bài chứng minh hoàn chỉnh.

Định lý lớn Fermat và những nỗ lực chứng minh định lý này cũng đã cung cấp một bằng chứng có giá trị lịch sử về sự khác biệt giữa các lý thuyết toán học: phân tích số nguyên tố, phép tối giản và nhân tử hoá duy nhất. Các công trình chứng minh này vừa có giá trị lịch sử vừa thúc đẩy các ý tưởng toán học quan trọng trong lĩnh vực của Lý thuyết Số. [3] Việc chứng minh định lý đã giúp củng cố mối liên hệ sâu sắc giữa các ngành toán học tưởng chừng rời rạc, mở ra hướng đi mới cho nghiên cứu toán học đương đại. Về ứng dụng thực tế, mặc dù định lý không trực tiếp được dùng trong kỹ thuật hay công nghệ như một số định lý khác, nhưng những khái niệm và công cụ toán học phát sinh trong quá trình chứng minh lại có tác động lớn.

Định lý cũng có giá trị đặc biệt trong giáo dục và triết lý toán học. Nó là minh chứng rõ ràng cho sự kiên trì, tính tò mò và khả năng tư duy trừu tượng sâu sắc của con người. Việc một bài toán đơn giản về mặt phát biểu nhưng phức tạp tột cùng về mặt giải quyết đã thôi thúc bao thế hệ toán học cống hiến, thể hiện sức mạnh của sự hợp tác, sáng tạo và tích lũy tri thức. Ngoài ra, định lý cũng là nguồn cảm hứng lớn trong văn hóa đại chúng, xuất hiện trong sách, phim ảnh và các cuộc thi toán học.

Mặc dù Định lý lớn Fermat không phải là một công cụ ứng dụng trực tiếp trong đời sống hàng ngày, nhưng nó đóng vai trò then chốt trong sự phát triển của toán học hiện đại. Chính hành trình khám phá và giải mã định lý này đã góp phần mở rộng giới hạn hiểu biết của con người và khẳng định tầm quan trọng của toán học thuần túy đối với tiến bộ khoa học – công nghệ.

Đọc thêm:

• Từ vựng chủ đề Mathematics - 11 từ/cụm từ áp dụng vào IELTS Speaking

• Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề

Tổng kết

Định lý lớn Fermat là một trong những định lý toán học nổi tiếng và có ý nghĩa, vai trò quan trọng đối với lĩnh vực toán học nói riêng và cả những lĩnh vực có liên quan khác nói chung. Bài viết cũng đã cung cấp cho người đọc khái quát về Định lý lớn Fermat, quá trình chứng minh và ứng dụng của định lý này. Qua đó, giúp người đọc - có thêm kiến thức về Định lý Fermat và tiếp lửa cho niềm đam mê toán học của học sinh, sinh viên. Nếu người đọc có nhu cầu tham khảo thêm các bài giảng học thuật, có thể truy cập trang Blog của ZIM Academy.