Định lý sin | Khái niệm và phương pháp áp dụng trong bài toán thực tế

Định lý sin là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học tam giác, giúp giải quyết các bài toán liên quan đến cạnh và góc của tam giác. Công thức này không chỉ xuất hiện thường xuyên trong các đề thi THPT mà còn có thể ứng dụng vào thực tế, chẳng hạn đo khoảng cách giữa các vật thể, tính chiều cao hoặc xác định góc nghiêng. Vì vậy, việc nắm vững định lý này giúp học sinh giải quyết các bài toán cũng như các tình huống thực tế một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Khái niệm và phát biểu định lý sin

Trong một tam giác vuông, sin của một góc nhọn được định nghĩa là tỉ số giữa cạnh đối diện với góc đó và cạnh huyền. Ví dụ, trong tam giác ABC vuông tại C, sinA = BC/AB. Tuy nhiên, công thức này không thể áp dụng cho những dạng tam giác khác. Thay vào đó, học sinh có thể liên hệ cạnh và góc của tam giác bất kỳ thông qua định lý sin.

Định lý sin [1]: Trong một tam giác, tỉ lệ giữa độ dài mỗi cạnh với sin của góc đối diện đều bằng nhau và cùng bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Công thức: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c,

Trong đó, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường tròn đi qua cả ba đỉnh A, B và C của tam giác).

Hệ quả:

Độ dài các cạnh tam giác

Sin các góc trong tam giác

Phương pháp áp dụng định lý sin trong các dạng bài toán

Giải tam giác khi biết góc và cạnh đối diện

Học sinh có thể ứng dụng định lý để giải tam giác khi biết ít nhất một cạnh và hai góc hoặc hai góc và 1 cạnh.

Cụ thể: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c

Trường hợp 1: Khi biết số đo cạnh a, b và góc ∠A, học sinh có thể tính các giá trị c, ∠B và ∠C như sau

Từ định lý sin: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)

Suy ra:

• \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}\) → ∠B

• ∠C = 180° — ∠A — ∠B

• \(c=\frac{b\sin C}{\sin A}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, AC = \(\sqrt3\) cm, góc ∠B = 60°. Hãy tính số đo các cạnh và góc còn lại của tam giác.

\(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\)

→ \(\sin C=\frac{AB\sin B}{AC}=\frac{2\cdot\sin\left(60\right)}{\sqrt3}=1\)

→ ∠C = 90°

→ ∠A = 180° — ∠B — ∠C = 180° — 60° — 90° = 30°

→ \(BC=\frac{AC\sin A}{\sin B}=\frac{\sqrt3\sin\left(30\right)}{\sin\left(60\right)}=1\) cm

Trường hợp 2: Khi biết số đo cạnh a và góc ∠A, ∠B, học sinh có thể tính các giá trị ∠C, b và c như sau

• ∠C = 180° — ∠A — ∠B

Từ định lý sin: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)

Suy ra:

• \(b=\frac{a\sin B}{\sin A}\)

• \(c=\frac{a\sin C}{\sin A}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc ∠A = 45°, ∠B = 30°, BC = 5 cm. Hãy tính số đo các cạnh và góc còn lại của tam giác.

• ∠C = 180° — ∠A — ∠B = 180° — 45° — 30° = 105°.

\(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\)

→ \(AC=\frac{BC\sin B}{\sin A}=\frac{5\sin\left(30\right)}{\sin\left(45\right)}=\frac{5\sqrt2}{2}\) = 3,54 cm

→ \(AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{5\sin\left(105\right)}{\sin\left(45\right)}=\frac{5+5\sqrt3}{2}\) = 6,83 cm

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng định lý sin

Học sinh tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thông qua định lý sin nếu biết độ dài một cạnh và góc đối diện cạnh đó.

Cụ thể: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c và bán kính đường tròn ngoại tiếp R

Từ định lý sin: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)

Suy ra: \(R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AB = 5 cm, góc ∠C = 30°. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

\(R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{5}{2\sin\left(30\right)}=5\operatorname{cm}\)

Kết hợp định lý sin và công thức diện tích tam giác

Một trong những công thức diện tích tam giác phổ biến là dựa vào đường cao.

Cụ thể, trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c có \(h_{a},h_{b},h_{c}\) lần lượt là đường cao ứng với các cạnh a, b, c, diện tích tam giác là

\(S=\frac12ah_{a}=\frac12bh_{b}=\frac12ch_{c}\)

Theo công thức sin trong góc vuông, mỗi đường cao có thể được biểu diễn như sau:

\[h_{a}=b\sin C=c\sin B;h_{b}=a\sin C=c\sin A;h_{c}=a\sin B=b\sin A\]

Kết hợp cả hai, học sinh có thể tính diện tích tam giác theo công thức:

Ngoài ra, học sinh có thể sử dụng một số công thức tính diện tích tam giác khác kết hợp với định lý để giải các bài toán phức tạp như:

Trong đó:

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

• p là nửa chu vi tam giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC có cạnh AB = 7 cm, AC = 10 cm, góc ∠A = 45°. Hãy tính diện tích tam giác.

\[S=\frac12AB\cdot AC\cdot\sin A=\frac12\cdot7\cdot10\cdot\sin\left(45\right)=\frac{35\sqrt2}{2}=24.75\operatorname{cm}^2\]

Phân tích khi nào nên chọn định lý sin thay vì cosin

Định lý sin và định lý cosin là hai định lý quan trọng giúp giải tam giác. Tuy nhiên, mỗi định lý sẽ phù hợp để giải những bài toán có dữ kiện đề khác nhau. Người học cần xác định đúng trường hợp để áp dụng định lý nhanh chóng và chính xác.

• Định lý sin được áp dụng trong trường hợp biết một cặp cạnh-góc đối diện cùng với một yếu tố khác (cạnh hoặc các góc còn lại). Khi đó, học sinh giải tam giác như hướng dẫn ở phần trên.

• Đối với định lý cosin (\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)), học sinh áp dụng khi biết ba cạnh hoặc biết hai cạnh và góc xen giữa.

Trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1: tam giác tù

Hàm sin có cùng giá trị cho hai góc bù nhau, tức là: \(\sin A=\sin\left(180^{o}-A\right)\)

Điều này có nghĩa là, khi tính được giá trị sin của một góc, có thể tồn tại hai nghiệm khác nhau:

• Một góc nhọn (∠A < 90°)

• Một góc tù (∠A > 90°)

Lúc này, học sinh cần kiểm tra các dữ kiện khác của đề để lựa chọn nghiệm phù hợp hoặc kết luận cả 2 trường hợp nếu không có thông tin nào khác.

Trường hợp 2: |sin| > 1

Giá trị của hàm sin chỉ nằm trong khoảng [−1;1]. Vì vậy, trong trường hợp học sinh tính được giá trị sin > 1 hay sin < −1, cần kiểm tra lại các phép tính để tìm ra lỗi sai hoặc kết luận không có tam giác thoả mãn điều kiện này.

Sai lầm thường gặp và cách khắc phục

Nhầm góc đối diện

Nhiều học sinh nhầm lẫn giữa góc và cạnh không đối diện nhau do không vẽ hình hoặc không chú ý ký hiệu trong tam giác, chẳng hạn dùng a/sinB thay vì a/sinA. Để khắc phục lỗi này, học sinh cần vẽ hình minh họa rõ ràng, đánh dấu từng góc và cạnh đối diện. Bên cạnh đó, học sinh có thể ký hiệu các cạnh đối diện với góc A, B, C lần lượt là a, b, c.

Áp dụng công thức khi không đủ dữ kiện

Nhiều học sinh không phân tích kỹ đề trước khi làm nên chọn sử dụng định lý sin mặc dù chưa có đủ dữ kiện cần có, dẫn đến không thể tính được giá trị cần tìm và phải tìm phương án giải khác. Điều này gây mất thời gian và giảm hiệu quả làm bài. Vì vậy, học sinh cần đọc kỹ đề trước khi làm và có thể đánh dấu hoặc tóm tắt các dữ kiện đã cho và thông tin cần tìm để xác định công thức phù hợp nhất.

Bỏ qua trường hợp tam giác tù

Như đã đề cập, một kết quả sin có thể đúng cho 2 góc bù nhau. Tuy nhiên, do phần lớn các bài tập về tam giác là dạng tam giác nhọn nên học sinh dễ mắc lỗi bỏ qua trường hợp tam giác tù, dẫn đến kết luận thiếu kết quả hoặc không thoả yêu cầu đề. Người học cần kiểm tra kỹ số nghiệm, sau đó đọc lại đề bài để tìm thông tin loại trừ trường hợp không thoả hoặc kết luận cả 2 đáp án nếu không có thông tin nào khác.

Quên hệ số 2 trong “2R”

Định lý có công thức \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\), tuy nhiên nhiều học sinh thường quên viết hệ số “2” khi trình bày, dẫn đến tính sai các phép toán liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp. Người học có thể thay đổi cách diễn đạt “2 lần bán kính” thành “đường kính” khi phát biểu công thức để dễ ghi nhớ hơn. Ngoài ra, sau khi thực hiện các phép tính, học sinh có thể đối chiếu lại với hình vẽ hoặc với các dữ kiện khác các của tam giác để xem kết quả có hợp lý không.

Không kiểm tra tính hợp lý của kết quả

Một số học sinh không đối chiếu lại kết quả, dẫn đến các giá trị góc hoặc cạnh vô lý, chẳng hạn tổng ba góc của tam giác không bằng 180°. Để tránh sai sót này, sau mỗi bước giải, học sinh nên so sánh kết quả với dữ kiện ban đầu. Bên cạnh đó, học sinh cần ghi nhớ một số quy tắc cơ bản của tam giác như tổng ba góc bằng 180° hay tổng hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh còn lại (a + b > c).

Ứng dụng định lý sin trong bài toán thực tế và đề thi

Bài toán đo khoảng cách

Một số bài toán thực tế yêu cầu học sinh tính khoảng cách giữa hai cột mốc nào đó, biết rằng 2 điểm này cùng với điểm mốc khác tạo thành hình tam giác với các dữ kiện có sẵn phù hợp với định lý sin.

Khi đó, người học cần hình dung 3 điểm đó là một tam giác ABC với các cạnh và góc, từ đó xác định khoảng cách giữa 2 điểm cần tìm là cạnh nào và áp dụng công thức.

Ví dụ: Đo khoảng cách giữa hai đầu cây cầu. Biết rằng người quan sát đứng cách hai đầu cầu lần lượt 650 m và 700 m, tạo với một đầu cầu góc 65°.

Giải: Ký hiệu các điểm tạo thành một tam giác như hình vẽ. Khoảng cách cần tìm là đoạn BC.

Theo định lý sin: \(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\)

→ \(\sin B=\frac{ÁC\sin C}{AB}=\frac{700\sin\left(65\right)}{650}=0.976\)
→ ∠B = 77° hoặc ∠B = 103°. Theo hình trong đề bài, đây là góc nhọn nên nhận kết quả ∠B = 77°.
→ ∠A = 180° — 65° — 77° = 38°.
→ \(BC=\frac{AC\sin A}{\sin B}=\frac{700\sin\left(38\right)}{\sin\left(77\right)}=442,3\)

Vậy khoảng cách giữa hai đầu cầu là khoảng 442,3 m.

Bài toán tính chiều cao vật thể

Trong thực tế, có nhiều công trình hoặc vật thể có chiều cao khó đo được bằng cách phương pháp thông thường. Khi đó, người ta quan sát những vật này từ vị trí trên mặt đất. Học sinh biết được số đo các góc nâng cũng như khoảng cách trên mặt đất, từ đó tính toán được chiều cao của vật.

Ví dụ: Tính chiều cao một ngọn núi. Biết khi đứng trên mặt đất tại 2 điểm cách nhau 1,2 km, người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 30° và 40°.

Giải: Ký hiệu các điểm tạo thành hai tam giác như hình vẽ. Độ cao cần tìm là đoạn AB.

• ∠ADC = 180° — 40° = 140° (góc bù với ∠ADB)

• ∠CAD = 180° — 30° — 140° = 10° (tam giác ACD)

Theo định lý sin trong tam giác ACD: \(\frac{AC}{\sin D}=\frac{CD}{\sin A}\)

→ \(AC=\frac{CD\sin D}{\sin A}=\frac{1,2\cdot\sin\left(140\right)}{\sin\left(10\right)}=4,44\)

Xét tam giác vuông ABC: \(\sin C=\frac{AB}{AC}\)

→ \(AB=AC\sin C=4,44\cdot\sin\left(30\right)=2,22\)

Vậy ngọn núi này cao khoảng 2,22 km.

Bài toán vật lý

Trong vật lý, học sinh có thể gặp dạng bài tính hợp lực, trong đó hợp lực cùng với hai lực thành phần tạo thành hình tam giác. Học sinh có thể tính được độ lớn của hợp lực khi biết độ lớn mỗi lực thành phần và số đo góc tạo bởi hợp lực với một trong hai lực thành phần bằng định lý sin.

Ví dụ: Một vật chịu tác động của hai lực F1 và F2 như hình vẽ, hợp lực F tạo một góc 30° với lực F1. Tính độ lớn hợp lực F.

Giải: Ký hiệu các điểm tạo thành hai tam giác như hình vẽ. Độ lớn lực cần tìm là đoạn BC.

Theo định lý sin: \(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\)

→ \(\sin C=\frac{AB\sin B}{AC}=\frac{20\sin\left(30\right)}{50}=\frac15\)

→ ∠C = 11,5° hoặc ∠C = 168,5°. Theo hình trong đề bài, đây là góc nhọn nên nhận kết quả ∠C = 11,5°.

→ ∠A = 180° — 30° — 11,5° = 138,5°.

→ \(BC=\frac{AC\sin A}{\sin B}=\frac{50\sin\left(138,5\right)}{\sin\left(30\right)}=66,3\)

Vậy hợp lực có độ lớn là 66,3 N.

Bài tập vận dụng có lời giải

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12 cm, AC = 9 cm, ∠A = 40°.

a) Tính số đo góc ∠B và ∠C.

b) Tính độ dài cạnh AB.

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ A.

d) Tính diện tích tam giác ABC.

e) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, BC = 15 cm và ∠A = 60°.

a) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tính diện tích tam giác IBC.

b) Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Tính diện tích tam giác JBC.

Bài tập 3: Tại tháp quan sát trên biển, người ta quan sát thấy có một chiếc thuyền nhỏ gặp nạn và gần đó có 2 con tàu khác với số liệu được ghi nhận như hình. Không xét đến các yếu tố khác như hướng gió và điều kiện của tàu, có thể điều phối tàu nào đến hỗ trợ thuyền gặp nạn nhanh hơn?

Lời giải

Bài tập 1

a) Theo định lý sin: \(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\) = 2R

→ \(\sin B=\frac{AC.\sin A}{BC}=\frac{9\sin\left(40\right)}{12}=0,482\)

→ ∠B = 29° hoặc ∠B = 151°.

Nếu ∠B = 151°, ∠C = 180° — 40° — 151° = —11° (vô lý)

→ ∠B = 29°.

→ ∠C = 180° — 40° — 29° = 111°

b) \(AB=\frac{AC\sin C}{\sin B}=\frac{9\sin\left(111\right)}{\sin\left(29\right)}=17,33\operatorname{\mathrm{cm}}\)

c) \(AH=AC\sin C=9\sin\left(111\right)=8,4\operatorname{cm}\)

d) \[S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A=\frac12\cdot17,33\cdot8,4\cdot\sin\left(40\right)=46,8\operatorname{\mathrm{cm}}^2\]

e)

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: \(R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{12}{2\sin\left(40\right)}=9,3\operatorname{\mathrm{cm}}\)

• Bán kính đường tròn nội tiếp: \(r=\frac{S}{p}=\frac{46,8}{9+12+17,33}=1,2\operatorname{cm}\)

Bài tập 2

a) IB = IC = R (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Theo định lý sin: \(IB=IC=R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{15}{2\sin\left(60\right)}=5\sqrt3cm\) = 8,66 cm

Chu vi tam giác IBC: p = IB + IC + BC = \(5\sqrt3+5\sqrt3+15=32,32\operatorname{cm}\)

Diện tích tam giác ABC: \[S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{32,32\cdot\left(32,32-15\right)\cdot\left(32,32-8,66)\cdot\left(32,32-8,66\right)\right.}=162,75\operatorname{cm}^2\]

b) Xét tam giác ABC

Theo định lý sin: \(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\)

→ \(\sin C=\frac{AB\sin A}{BC}=\frac{10\sin\left(60\right)}{15}=\frac{\sqrt3}{3}\)

→ ∠C = 35,3° hoặc ∠C = 144,7°.

Nếu ∠C = 144,7°, ∠B = 180° — 60° — 144,7° = —24,7° (vô lý)

→ ∠C = 35,3°.

→ ∠B = 180° — 60° — 35,3° = 84,7°.

J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên JB và JC là đường phân giác của góc ∠B và ∠C.

→ ∠JBC = ∠B/2 = 42,35°; ∠JCB = ∠C/2 = 17,65°.

→ ∠BJC = 180° — 42,35° — 17,65° = 120°.

Xét tam giác JBC, theo định lý sin: \(\frac{JB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin J}\)

→ \(JB=\frac{BC\sin C}{\sin J}=\frac{15\cdot\sin\left(17,65\right)}{\sin\left(120\right)}=5,25\operatorname{cm}\)

→ Diện tích tam giác JBC: \[S=\frac12\cdot BC\cdot JB\cdot\sin B=\frac12\cdot15\cdot5,25\cdot\sin\left(42,35\right)=26,53\operatorname{\mathrm{cm}}^2\]

Bài tập 3

Khoảng cách cần tìm là đoạn CA và CD.

• Xét tam giác ABC: ∠C = 180° — 120° — 30° = 30°.

→ Tam giác ABC là tam giác cân → CA = BA = 1500 m.

• Xét tam giác BCD: ∠C = 180° — 134° — 30° = 16°.

Theo định lý sin: \(\frac{CD}{\sin B}=\frac{BC}{\sin D}\)

→ Cần xác định BC

→ Xét trong tam giác ABC: \(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}\) → \(BC=\frac{AC\sin A}{\sin B}=\frac{1500\sin\left(120\right)}{\sin\left(30\right)}=2598m\)

→ \(CD=\frac{BC\sin B}{\sin D}=\frac{2598\sin\left(30\right)}{\sin\left(134\right)}=1806m\)

Vậy khoảng cách từ tàu 1 đến thuyền gặp nạn (1500 m) ngắn hơn từ tàu 2 (1806 m), do đó nên điều tàu 1 đi.

Bài tập tự luyện thêm

Bài tập 1: Tính diện tích tam giác ABC có cạnh b = 12 cm, c = 30 cm, ∠A = 45°.

Bài tập 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm.

Bài tập 3: Tính diện tích một cánh buồm, biết chiều dài một cạnh là 3,6 m và hai góc kề có số đo 52° và 95°.

Bài tập 4: Một người quan sát khinh khí cầu trên sườn đồi nghiêng 30° so với phương ngang. Người đó xác định góc nâng của khinh khí cầu là 55°, sau đó lùi lại 50 m thì góc nâng là 40°. Hãy xác định khoảng cách từ vị trí đứng ban đầu đến khinh khí cầu.

Bài tập 5: Hai chiếc tàu cách nhau 500 m và thẳng hàng với chân tháp hải đăng trên biển. Từ vị trí mỗi tàu nhìn thấy ngọn hải đăng với góc nâng 30° và 50°. Hãy tính chiều cao tháp hải đăng.

Bài tập 6: Một vật chịu tác động của 2 lực F1 = 15 N và F2 = 35 N. Biết rằng góc giữa hợp lực và lực F1 là 20°. Hãy tính độ lớn hợp lực.

Bài tập 7: Một vật chịu tác động của 2 lực F1 và F2. Biết rằng hợp lực có độ lớn 152 N và tạo với F1, F2 các góc lần lượt là 30° và 42°. Hãy tính độ lớn của mỗi lực thành phần.

Kết luận

Định lý sin là công cụ quan trọng giúp giải tam giác thông qua mối quan hệ giữa các cạnh và góc. Học sinh có thể áp dụng định lý này trong nhiều tình huống như khi biết góc và cạnh đối diện, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, kết hợp với công thức diện tích, hoặc giải các bài toán thực tế như đo khoảng cách và chiều cao vật thể. Việc luyện tập thường xuyên từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp học sinh nắm vững công thức và vận dụng thành thạo trong học tập cũng như thực tế. Học viên muốn tìm hiểu thêm có thể tham khảo chuyên mục toán của ZIM để có bài viết chuyên sâu và bài tập có lời giải chi tiết.