Đồ thị hàm số y = ax + b | Cách vẽ và các dạng bài tập có lời giải

Trong chương trình Toán 8, đồ thị hàm số là nội dung quan trọng gắn với hàm số bậc nhất \(y = ax + b\).

Bài viết hệ thống khái niệm đồ thị của hàm số \(y = ax + b\), tính chất của đường thẳng, cách xác định giao điểm với các trục tọa độ, cách vẽ đồ thị hàm số lớp 8 và các dạng bài tập vẽ đồ thị hàm số thường gặp.

Đồ thị hàm số là gì?

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ. [1]

Mối liên hệ giữa mỗi điểm trên đồ thị với một cặp giá trị của hàm số [1]

Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi điểm M xác định duy nhất một cặp số (\(x_0\), \(y_0\)) và mỗi cặp số (\(x_0\), \(y_0\)) xác định duy nhất một điểm M.

Cặp số (\(x_0\), \(y_0\)) gọi là toạ độ của điểm M và kí hiệu là M(\(x_0\), \(y_0\)), trong đó \(x_0\) là hoành độ và \(y_0\) là tung độ của điểm M.

Ví dụ minh họa: Đồ thị của một hàm số cho bởi bảng giá trị:

Giả sử chúng ta có một hàm số được cho bằng bảng giá trị như sau:

Để vẽ đồ thị của hàm số này, ta thực hiện các bước:

• Bước 1: Viết ra các cặp giá trị (x; y) tương ứng từ bảng: A(-2; -4), B(-1; -2), C(0; 0), D(1; 2), E(2; 4).

• Bước 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ trục hoành Ox nằm ngang và trục tung Oy thẳng đứng cắt nhau tại gốc tọa độ O(0;0).

• Bước 3: Xác định vị trí của từng điểm A, B, C, D, E dựa trên tọa độ của chúng.

• Bước 4: Tập hợp 5 điểm A, B, C, D, E vừa biểu diễn chính là đồ thị của hàm số cho bởi bảng giá trị trên.

Đồ thị hàm số y = ax + b

Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước và a \(\ne\)0.[1]

Đồ thị hàm số y = ax + b (a \(\ne\)0) là một đường thẳng.

(Đồ thị hàm số y = ax + b (a \(\ne\)0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b).

Đường thẳng y = ax + b cắt trục tung Oy tại điểm (0; b), trong đó b được gọi là tung độ gốc.

Trường hợp đặc biệt: Đường thẳng y = ax + b đi qua gốc tọa độ khi nào?

Khi b = 0 thì y = ax. Đường thẳng y = ax + b đi qua gốc tọa độ khi b=0. Khi đó, hàm số có dạng y=ax và đồ thị đi qua O (0; 0).

Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Dựa vào giá trị của hệ số b, chúng ta chia cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a \(\ne\)0) thành hai trường hợp cụ thể:

Trường hợp khi b \(\ne\)0:

Khi b \(\ne\)0, đường thẳng y = ax + b không đi qua gốc tọa độ O. Để vẽ đường thẳng này chính xác, ta tìm giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ Ox và Oy.

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Tìm giao điểm với trục tung Oy: Cho x = 0 thì y = b. Ta được điểm P(0; b) nằm trên trục Oy.

• Bước 2: Tìm giao điểm với trục hoành Ox: Cho y = 0 thì ax + b = 0 khi đó x = \(-\frac{b}{a}\). Ta được điểm Q(\(-\frac{b}{a}\); 0) nằm trên trục Ox.

• Bước 3: Biểu diễn hai điểm P(0; b) và Q(\(-\frac{b}{a}\); 0) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Bước 4: Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q. Đường thẳng đó chính là đồ thị của hàm số y = ax + b như hình dưới đây.

Trường hợp khi b = 0

Khi b = 0, hàm số có dạng y = ax. Đồ thị sẽ đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Gốc tọa độ O(0; 0) là điểm thứ nhất.

• Bước 2: Chọn một giá trị x = 1 (hoặc một giá trị x bất kỳ khác 0 sao cho tính y dễ dàng nhất), ta tính được y = a.1 = a. Ta thu được điểm thứ hai là A(1; a).

• Bước 3: Biểu diễn điểm A(1; a) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Bước 4: Dùng thước thẳng kẻ đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a). Ta được đồ thị hàm số y = ax như hình dưới đây:

  

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - 4.

• Nhận xét: Đây là hàm số bậc nhất với a = 2, b = -4 \(\ne\)0.

• Lập bảng giá trị:

• Lời giải:

  • Cho x = 0 \(\Rightarrow\)y = -4, ta được điểm A(0; -4) thuộc trục tung Oy.

  • Cho y = 0 \(\Rightarrow\)2x - 4 = 0 ⇒ x = 2, ta được điểm B(2; 0) thuộc trục hoành Ox.

  • Vẽ mặt phẳng tọa độ Oxy, đánh dấu điểm A(0; -4) và điểm B(2; 0).

  • Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm A và B, ta thu được đồ thị của hàm số y = 2x - 4.

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = -3x.

• Nhận xét: Đây là hàm số bậc nhất có b = 0.

• Lập bảng giá trị:

• Lời giải:

  • Với x = 0 ⇒ y = 0, đồ thị đi qua gốc tọa độ O (0; 0).

  • Cho \(x=1 \Rightarrow y=-3\), ta được điểm M (1; -3).

  • Biểu diễn điểm M (1; -3) trên mặt phẳng tọa độ.

  • Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm O (0; 0) và M (1; -3), ta được đồ thị của hàm số y = -3x.

Cách xác định một điểm thuộc đồ thị hàm số

Điểm \(M(x_0;y_0)\) thuộc đồ thị của hàm số y = ax + b khi và chỉ khi tọa độ của điểm M thỏa mãn phương trình của hàm số. Khi đó: \[M(x_0;y_0)\in(d)\iff y_0=ax_0+b\]

Trong đó (d) là đồ thị của hàm số y = ax + b.

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là gì?

Trong mặt phẳng Oxy, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a \(\ne\)0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là một điểm nào đó thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương. [1]

Ta gọi đại lượng a trong công thức \(y = ax + b\) là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a \(\ne\)0).

Ý nghĩa: Hệ số a quyết định độ dốc (độ nghiêng) của đường thẳng so với trục hoành Ox.

Dấu của hệ số góc a ảnh hưởng trực tiếp đến hình dạng và hướng của đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ:

Khi a > 0

• Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn (nhỏ hơn \(90^\circ\)).

• Đường thẳng có xu hướng đi lên từ trái sang phải.

• Hàm số y = ax + b đồng biến trên ℝ.

Khi a < 0

• Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù (lớn hơn \(90^\circ\) và nhỏ hơn \(180^\circ\)).

• Đường thẳng có xu hướng đi xuống từ trái sang phải.

• Hàm số y = ax + b nghịch biến trên ℝ.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng dựa vào hệ số góc

Cho hai đường thẳng (\(d_1\)): y = \(a_1\)x + \(b_1\) và (\(d_2\)): y = \(a_2\)x + \(b_2\) (với \(a_1\) \(\ne\)0 và \(a_2\) \(\ne\)0). Ta có thể xác định vị trí tương đối giữa chúng dựa vào các hệ số:

Hai đường thẳng song song

\(d_1\parallel d_2\iff a_1=a_2,\ b_1\ne b_2\).

Hai đường thẳng có cùng độ dốc nhưng cắt trục tung tại hai điểm khác nhau.

Hai đường thẳng trùng nhau

\(d_1\equiv d_2\iff a_1=a_2,\ b_1=b_2\).

Hai đường thẳng cắt nhau

(\(d_1\)) cắt (\(d_2\)) \(\iff\)\(a_1\)\(\ne\)\(a_2\).

Hai đường thẳng vuông góc

\(d_1\perp d_2\iff a_1a_2=-1\).

Ứng dụng đồ thị hàm số bậc nhất trong bài toán thực tế

Trong cuộc sống thường ngày, rất nhiều mối liên hệ giữa các đại lượng được biểu diễn dưới dạng hàm số bậc nhất y = ax + b. Ví dụ như cước phí xe taxi, tiền điện sinh hoạt, chi phí sản xuất, hay bài toán chuyển động đều.

Cách lập hàm số bậc nhất từ một tình huống thực tế

Để lập được hàm số từ một bài toán thực tế, học sinh cần tuân thủ các bước:

Bước 1: Xác định hai đại lượng x và y: Gọi x là đại lượng thay đổi (độc lập), y là đại lượng phụ thuộc vào x. Cần ghi rõ đơn vị đo và điều kiện (nếu có) cho cả x và y.

Bước 2: Tìm giá trị ban đầu/ hệ số cố định (b): Đây là giá trị không thay đổi dù x bằng bao nhiêu (Ví dụ: Chi phí mở cửa taxi, lượng nước ban đầu có sẵn,...).

Bước 3: Tìm hệ số biến đổi (a): Đây là giá trị tăng hoặc giảm đi ứng với mỗi đơn vị của x (Ví dụ: Vận tốc chuyển động, giá tiền trên 1 km,...).

Bước 4: Thiết lập công thức: Thay thế các giá trị a và b vào công thức tổng quát y = ax + b.

Cách sử dụng đồ thị để đọc giá trị của hàm số tại một điểm cho trước

Khi đã có đồ thị của hàm số biểu diễn tình huống thực tế:

• Tìm y khi biết x = \(x_0\): Từ điểm \(x_0\) trên trục hoành Ox, dựng đường thẳng vuông góc với Ox cắt đồ thị tại điểm M. Từ M, dóng vuông góc sang trục tung Oy cắt tại \(y_0\). Giá trị \(y_0\) chính là kết quả cần tìm.

  

• Tìm x khi biết y = \(y_0\): Từ điểm \(y_0\) trên trục tung Oy, dựng đường thẳng vuông góc với Oy cắt đồ thị tại điểm N. Từ N, dóng vuông góc xuống trục hoành Ox cắt tại \(x_0\).

  

Ví dụ bài toán thực tế có lời giải minh họa

Đề bài: Một hãng xe công nghệ có giá cước mở cửa là 10.000 đồng cho 1 km đầu tiên. Từ km thứ 2 trở đi, giá cước là 12.000 đồng/km.

a) Hãy viết công thức tính tổng số tiền y (nghìn đồng) mà hành khách phải trả theo quãng đường x (km) di chuyển (với x > 1).

b) Nếu hành khách đi quãng đường 15 km thì phải trả bao nhiêu tiền?

c) Nếu hành khách đã trả 190 nghìn đồng thì quãng đường di chuyển là bao nhiêu km?

Lời giải

a) Lập công thức hàm số:

• Chi phí cho km đầu tiên là 10 (nghìn đồng).

• Quãng đường còn lại sau km đầu tiên là x - 1 (km).

• Chi phí cho quãng đường còn lại là 12(x - 1) (nghìn đồng).

• Tổng số tiền y khách phải trả là:
  y = 10 + 12(x - 1) = 10 + 12x - 12 = 12x - 2 (nghìn đồng).
  Vậy tổng số tiền là y = 12x - 2  ( x > 1).

b) Tính số tiền khi đi x = 15 km:

• Thay x = 15 vào công thức y = 12x - 2, ta có:
  y = 12.15 - 2 = 180 - 2 = 178 (nghìn đồng).

• Vậy hành khách phải trả 178.000  đồng.

c) Tính quãng đường khi biết số tiền trả y = 190 nghìn đồng:

• Thay y = 190 vào công thức y = 12x - 2, ta có:
  190 = 12x - 2 ⇒ 12x = 192 ⇒ x = 16 (km).

• Vậy quãng đường hành khách đã di chuyển là 16 km.

Các dạng bài tập về đồ thị hàm số y = ax + b

Dạng 1: Xác định hệ số a, b khi biết đồ thị đi qua một điểm cho trước

Bài tập 1: Cho hàm số bậc nhất y = (a - 1)x + b. Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; 3) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2.

Lời giải:

• Vì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nên a - 1 \(\ne\)0 \(\Rightarrow\)a \(\ne\)1.

• Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2, nghĩa là đồ thị đi qua điểm N(0; -2).
  Thay x = 0, y = -2 vào công thức y = (a - 1)x + b, ta có:
  \(-2=(a-1)\cdot0+b \Rightarrow b=-2\).

• Hàm số trở thành y = (a - 1)x - 2.

• Đồ thị đi qua điểm M(1; 3), thay x = 1, y = 3 vào công thức trên, ta được:
  \[3=(a-1)\cdot1-2 \Rightarrow a-1=5 \Rightarrow a=6\] (thỏa mãn  a \(\ne\)1).

• Vậy a = 6 và b = -2. 

Dạng 2: Vẽ đồ thị và tìm giao điểm với các trục tọa độ

Bài tập 2: Cho hai hàm số y = x + 2 (\(d_1\)) và y = -2x + 5 (\(d_2\)).

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng (\(d_1\)) và (\(d_2\)) bằng phương pháp đại số.

c) Tính diện tích tam giác tạo bởi hai đường thẳng (\(d_1\)), (\(d_2\)) và trục hoành Ox.

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị:

• Đường thẳng (\(d_1\)): y = x + 2:

  • Cho x = 0 \(\Rightarrow\)y = 2, ta có điểm B(0; 2).

  • Cho y = 0 \(\Rightarrow\)x = -2, ta có điểm C(-2; 0).

  • Vẽ đường thẳng đi qua B và C ta được (\(d_1\)).

    

• Đường thẳng (\(d_2\)): y = -2x + 5:

  • Cho x = 0 \(\Rightarrow\)y = 5, ta có điểm D(0; 5).

  • Cho y = 0 \(\Rightarrow\)x = 2.5, ta có điểm E(2,5; 0).

  • Vẽ đường thẳng đi qua D và E ta được (\(d_2\)).

    

b) Tìm tọa độ giao điểm A:

• Hoành độ giao điểm A là nghiệm của phương trình:
  x + 2 = -2x + 5 \(\Rightarrow\)3x = 3 \(\Rightarrow\)x = 1.

• Thay x = 1 vào công thức (\(d_1\)), ta được:
  y = 1 + 2 = 3.

• Vậy tọa độ giao điểm A là A(1; 3).

c) Tính diện tích tam giác ACE (tam giác tạo bởi (\(d_1\)), (\(d_2\)) và Ox):

• Giao điểm của (\(d_1\)) với Ox là C(-2; 0) \(\Rightarrow\)OC = 2.

• Giao điểm của (\(d_2\)) với Ox là E(2.5; 0) \(\Rightarrow\)OE = 2.5.

• Độ dài cạnh đáy CE = OC + OE = 2 + 2.5 = 4.5 (đơn vị độ dài).

• Chiều cao AH  hạ từ A(1; 3) xuống trục Ox chính bằng tung độ của điểm A \(\Rightarrow\)AH = 3.

• Diện tích tam giác ACE  là:
  \[S_{\triangle ACE} =\frac{1}{2}\cdot CE\cdot AH =\frac{1}{2}\cdot4{,}5\cdot3 =6{,}75\](đơn vị diện tích).

Dạng 3: Dạng bài toán thực tế liên quan đến hàm số bậc nhất

Bài tập 3: Một bể bơi hiện đang chứa 15\(m^3\)  nước. Người ta mở một vòi nước cho chảy vào bể, mỗi giờ vòi chảy được 5\(m^3\) nước.

a) Viết công thức tính lượng nước V (\(m^3\)) có trong bể sau t giờ xả nước.

b) Hỏi sau bao lâu thì bể chứa đầy nước, biết dung tích tối đa của bể là 40\(m^3\)?

c) Vẽ đồ thị biểu diễn lượng nước V trong bể theo thời gian t.

Lời giải:

a) Lượng nước chảy vào bể sau t giờ là 5t (\(m^3\)).

• Ban đầu bể đã có sẵn 15\(m^3\) nước suy ra b = 15.

• Mỗi giờ chảy vào 5\(m^3\) nước suy ra a = 5.

• Công thức tính tổng lượng nước V trong bể theo t là: V = 5t + 15 (\(0 \le t \le 5\)).

b) Bể đầy nước khi V = 40\(m^3\). Thay vào công thức:

40 = 5t + 15 \(\Rightarrow\)5t = 25 \(\Rightarrow\)t = 5 (giờ).

Vậy sau 5 giờ chảy thì bể bơi sẽ đầy nước.

c) Vẽ đồ thị của hàm số V = 5t + 15 trên mặt phẳng tọa độ OtV  (trục hoành là t, trục tung là V):

• Với t = 0 \(\Rightarrow\)V = 15, điểm P(0; 15).

• Với t = 5 \(\Rightarrow\)V = 40, điểm Q(5; 40).

• Đoạn thẳng nối P(0; 15) và Q(5; 40) chính là đồ thị biểu diễn lượng nước trong bể từ lúc bắt đầu xả đến khi đầy bể.

  

Nắm vững khái niệm đồ thị hàm số và kỹ năng vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b là một trong những yêu cầu cần đạt của chương trình Toán 8. Đồ thị không chỉ giúp giải quyết các bài toán tìm tọa độ, giao điểm, mà còn giải quyết các tình huống thực tế sinh động. Học sinh có thể luyện tập thường xuyên các dạng bài và tham khảo thêm chuyên đề Toán học lớp 8 tại ZIM Academy để hệ thống kiến thức và củng cố kỹ năng giải toán.