Exponential graphs - Tổng quan và chiến lược làm bài đồ thị hàm mũ

Đây là một dạng toán nằm trong SAT Advanced Math, và cũng là một dạng toán thường gặp đối với học sinh Việt Nam. Bài viết sẽ giới thiệu về dạng đồ thị hàm mũ cũng như chiến lược giải các bài toán hay gặp trong SAT Exponential Graphs.

Tổng quan về dạng bài Exponential Graphs

Đồ thị hàm số mũ (Exponential Graphs) là sự biểu diễn trực quan về mối quan hệ giữa hai biến khác nhau theo đường cong tiệm cận trên mặt phẳng Oxy. Phương trình hàm mũ cơ bản là:

\[f(x) = a(1+r)^x + b\]Trong đó:

• a là cơ số không đổi

• x là lũy thừa của cấp số tăng trưởng

• b là giao điểm của đồ thị với trục Oy

• r là cấp số tăng trưởng. Nếu r > 0, đồ thị hàm số là đường cong tăng trưởng. Nếu r < 0, đồ thị hàm số là đường cong phân rã.

Đồ thị của hàm mũ luôn là một đường cong, biểu thị các giá trị tăng hoặc giảm theo cấp số nhân, các giá trị tăng rất nhanh và có thể tiến tới vô cùng. Đồ thị này thường được ứng dụng trong các bài báo cáo tài chính, quy mô tăng trưởng dân số.

Thí sinh tham khảo thêm:

• Advanced Math trong SAT Math - Cách làm bài, bài tập ví dụ và luyện tập

• SAT Math Question: Khái niệm đại số, giải phương trình & hàm số

Chiến lược làm các dạng bài Exponential Graphs trong SAT Math

Bài viết sẽ đưa ra một số dạng bài thường gặp của đồ thị hàm mũ trong SAT Math và đưa ra một số chiến lược để giúp thí sinh làm bài một cách hiệu quả.

Xác định phương trình hàm mũ

Bài toán xác định phương trình hàm mũ trong Exponential Graphs thường được chia làm hai dạng:

• Xác định phương trình dựa trên bài toán có lời: Dựa trên các dữ kiện đề bài cho, viết phương trình hàm mũ phù hợp

• Xác định phương trình hàm mũ khi cho trước các thông số của phương trình: Đề bài cho trước tọa độ điểm, hoặc giá trị ban đầu của hàm số tăng trưởng, thay số để tìm ra phương trình cho trước

• Xác định phương trình hàm mũ dựa trên đồ thị đề bài cho: Dựa vào các điểm trên đồ thị và thay số vào công thức cho trước

Đối với dạng bài này, chúng ta sẽ đi lần lượt từ cơ số a, xác định hệ số ban đầu của phương trình, sau đó tìm cấp số nhân (1+r) và giao điểm b của phương trình với trục tung Oy.

Ví dụ 1: 

A model estimates that at the end of each year from 2015 to 2020, the number of squirrels in a population was 150% more than the number of squirrels in the population at the end of the previous year. The model estimates that at the end of 2016, there were 180 squirrels in the population. Which equation represents this model, where n is the estimated number of squirrels in the population t years after the end of 2015 and t ≤ 5?

“Một mô hình ước tính rằng vào cuối mỗi năm từ 2015 đến 2020, số lượng sóc trong một quần thể nhiều hơn 150% so với số lượng sóc trong quần thể vào cuối năm trước đó. Mô hình ước tính rằng vào cuối năm 2016, có 180 con sóc trong quần thể. Phương trình nào đại diện cho mô hình này, trong đó n là số lượng sóc ước tính trong quần thể t năm sau khi kết thúc năm 2015 và t ≤ 5?”

Based on the formula:

\[y= a.(1+r)^x\]r is the growth rate of 150% equivalent to r = 150% = 150/100= 1,5. Therefore, we have the function:

\[y= a .( 1+1,5)^x = a. 2,5^x\]In 2016, there were 180 squirrels. x is the number of years after 2015, therefore, x=t=1, y=180. We have: 180= a. 2,51 ⇔ a=72

The function of the model is

\[n= 72. (2,5)^t\]Dịch nghĩa:

Dựa trên công thức: y= a.(1+r)^x

r là tỷ lệ tăng trưởng 150% tương đương với r=150%=150/100​=1,5

Do đó, chúng ta có hàm số:

y= a .( 1+1,5)^x = a. 2,5^x

Năm 2016, có 180 con sóc. x là số năm sau 2015, do đó, x=t=1,y=180

Chúng ta có: 180= a.2,5 => a=72

Hàm số của mô hình là : n= 72. (2,5)^t

Ví dụ 2: Two variables, x and y, are related such that for each increase of 1 in the value of x, the value of y increases by a factor of 4. When x = 0, y = 200. Which equation represents this relationship? 

Cho hai biến x, y. Khi x tăng 1 đơn vị thì y tăng theo cấp số nhân của 4. Tại x=0 thì y=200. Phương trình nào biểu hiện mối tương quan này?

Based on the formula:

\[f(t) = a.(1+r)^t\]The value of y increases by a factor of 4, the relation between x and y is represented by the following equation:

f(t)= a. 4^x

When x=0, y=200 ⇔ y = a. 4^0 = a. 1 = 200 ⇒ a = 200

With a=200, the equation is f(t) = 200. 4^x

Dịch nghĩa:

Dựa trên công thức: f(t)=a. (1+r)^t

Vì y tăng theo cấp số nhân của 4 nên f(t)= a.4^x

Khi x=0, y=200 ⇔ y = a. 4^0= a.1=200 ⇒ a=200

Thay a=200, ta có phương trình là f(t) = 200. 4^x

Ví dụ 3: Which exponential function represents the graph?

We have the formula: y= a(1+r)^t

The graph goes through point (0,1) which means when x = 0, y=1. Place the number in the formula, we have:

y= a.(1+r)^0=1⇔ a.1=1 ⇒a=1

Similarly, the graph goes through point (2,9), we have:

y = a. (1+r)^t= 1. (1+r)^2 = 9 ⇔ (1+r)^2 = 3^2 ⇒ (1+r)=3

When a = 1, (1+r) = 3, the equation is : y= 3^x

Dịch nghĩa:

Chúng ta có công thức: y=a(1+r)^t

Đồ thị đi qua điểm (0,1), tức là tại đó x=0, y=1. Thay số vào công thức, ta có:

y= a.(1+r)^0=1⇔ a.1=1 ⇒a=1

Tương tự, khi đồ thị đi qua điểm (2,9), ta có:

y = a. (1+r)^t= 1. (1+r)^2 = 9 ⇔ (1+r)^2 = 3^2 ⇒ (1+r)=3

Khi a=1, (1+r)=3, ta thu được phương trình: y=3^x

Xác định các đại lượng hoặc đồ thị của phương trình hàm mũ

• Giao điểm của phương trình với trục Oy: Đối với dạng này, để tìm giao điểm của đồ thị với trục Oy, ta thay giá trị x=0 vào phương trình hàm mũ cho trước để tìm ra giao điểm

• Cấp số tăng trưởng hoặc phân rã của đồ thị: Với dạng toán này, đề bài yêu cầu thí sinh tìm được cơ số (1+r) trong biểu thức. Nếu r>0, đây là hàm tăng trưởng. Nếu r<0, đây là hàm phân rã.

Ví dụ 1: 

f(x) = 1.84^(x/4)

The function f is defined by the given equation. The equation can be rewritten as f(x) = (1+ p/100)x, where p is a constant. Find p.

Phương trình f(x) được cho như trên. Biểu thức có thể viết lại thành f(x) = (1+ p/100)x, trong đó p là hằng số không đổi. Tìm p

Answer

f(x) = 1.84^(x/4)

⇔ f(x) = (1.84^1/4)^x= 1,16^x 

⇔f(x) = (1+ p/100)x=1,16^x

⇔ 1+ p/100 = 1,16

⇔ p/100 = 0,16

⇔ p = 16

Ví dụ 2: f(x) = 2 .(3^x) - 5. Find the intercept of the exponential function.

Tìm giao điểm của phương trình với trục tọa độ Oxy

Answer

When x = 0, y = f(x) = 2 .3^0 - 5= -3

The y-intercept is (0; -3)

Tính giá trị của phương trình hàm mũ

Với dạng bài này, thí sinh cần tìm giá trị của biến x hoặc y khi biết giá trị của biến còn lại bằng cách thay số và dựa vào phương trình đã cho.

Ví dụ: The function f(t) = 60,000. (2)^t/410 gives the number of bacteria in a population t minutes after an initial observation. How much time, in minutes, does it take for the number of bacteria in the population to double?

Look at the given function, we have:

• The function described the population of bacteria after t minutes

• When t = 0, f(0)= 60,000. (2)^0/410 = 60,000. The number of bacteria at the beginning of the observation is 60,000

• After t minutes, the amount of bacteria doubled. The number of bacteria is 60,000.2=120,000

When the number of bacteria doubled, we have

120,000 = 60,000. (2)^t/410

Divided both sides by 60,000

⇔ 2 = (2)^t/410 ⇔ 2^1 = (2)^ t/410 ⇔ t/410 = 1 ⇔ t = 410(mins)

Dịch nghĩa:

Nhìn vào phương trình đã cho, ta nhận thấy rằng:

• Biểu thức đã cho miêu tả số lượng vi khuẩn tăng sau thời gian t phút

• Khi t=0, f(0)= 60,000. (2)^0/410 = 60,000. Vậy lượng vi khuẩn khi bắt đầu quan sát là 60,000

• Sau t phút, lượng vi khuẩn gấp đôi. Lượng vi khuẩn tại thời điểm đó là: 60,000.2=120,000

Khi lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi, ta có

120,000 = 60,000. (2)^t/410

Chia cả hai vế cho 60,000

2 = (2)^t/410 ⇔ 2^1 = (2)^ t/410 ⇔ t/410 = 1 ⇔ t = 410 (phút)

Biến đổi phương trình hàm mũ

Đây là một dạng bài khá quen thuộc trong Digital SAT. Đối với dạng bài này, các thí sinh cần xác định rõ đơn vị thời gian ban đầu và đơn vị thời gian cần quy đổi, để biến đổi phương trình về đơn vị thời gian mới một cách phù hợp.

Ví dụ 1: p(t)= 90,000. (1,06)^ t . The given function p models the population of Lowell t years after a census. Which function best models the population of Lowell m months after the census?

Look at the given function:

• The function describe the population of Lowell t years. The function is related to t

•  We have to change from t years to m months.

• Use the relation: 1 year = 12 months

We are asked to write the equations in m months.

We have : 1 year = 12 months ⇔ m/12 = t

The new equation now demonstrates the population of lowell m months after census. We have:

p(m)= 90,000. (1,06)^m/12

Dịch nghĩa:

Phân tích biểu thức đã cho:

• Biểu thức diễn tả dân số của Lowell t years sau khi đã làm một bảng thống kê số liệu, Biểu thức phụ thuộc vào t

• Chúng ta cần đổi biến từ biến t ( tính bằng năm) sang biến m ( tính bằng tháng)

• Sử dụng tương quan giữa năm và tháng: 1 năm có 12 tháng

Ta có: 1 năm = 12 tháng ⇔ m/12 = t

Vậy phương trình hàm mũ diễn tả dân số của Lowell m tháng sau khi đã làm bảng thống kê là:

p(m)= 90,000. (1,06)^m/12

Một số lưu ý khi làm dạng Exponential Graphs

Đối với dạng toán này, thí sinh cần lưu ý vấn đề cụ thể sau:

Phân biệt giữa đồ thị hàm mũ và đồ thị hàm số bậc hai

• Đồ thị hàm số bậc hai (Quadratic functions) là một đường cong parabol có đỉnh và hai bên đối xứng nhau qua đỉnh. Phương trình của đồ thị hàm số bậc hai được viết dưới dạng ax^2 + bx + c = 0.

• Đồ thị hàm mũ ( Exponential Graphs) là một đường cong có tiệm cận, và luôn nằm trên trục hoành, đồ thị hàm mũ không có đỉnh, và tiến tới vô cùng khi giá trị của x hoặc y tiến tới một giá trị bất kì.

Bài tập ứng dụng

Ex1: For the function q, the value of q(x) decreases by 45% for every increase in the value of x by 1. If q(0) = 14 , which equation defines q? 

Ex2: The function f is defined by f(x) = 270. (0,1)^x. What is the value of f(0)? 

Ex3: f(x) = 5470. (0,64)x/12 . The function f gives the value, in dollars, of a certain piece of equipment after x months of use. If the value of the equipment decreases each year by p% of its value the preceding year, what is the value of p ? 

Ex4 :A model estimates that at the end of each year from 2010 to 2015, the number of rabbits in a population was 120% more than the number of rabbits in the population at the end of the previous year. The model estimates that at the end of 2011, there were 220 rabbits in the population. Which equation represents this model, where ( R ) is the estimated number of rabbits in the population ( t ) years after the end of 2010 and t ≤ 5?

Ex5:

The function P(t) = 50,000. (1.04)^t models the population of a city ( t ) years after a census. Which function best models the population of the city ( m ) months after the census?

Ex6:

f(x) = 8000. (0,65)^t

The given function f models the number of coupons a company sent to their customers at the end of each year, where t represents the number of years since the end of 1998, and 0≤ t ≤ 5. Find the y-intercept.

Ex7: Find the exponential function of the given graph:

Đáp án

Ex1: q(x)= 14.(0,55)^t

Ex2: f(x) = 270

Ex3: p = 36%

Ex4: R(t) = 100 . (2,2)^t

Ex5: P(m) = 50,000. (1,04)^m/12

Ex6: The y - intercept is 8000.

Ex7: y = 5. (2^x)

Tổng kết

Bài viết đã tổng hợp lại một số dạng bài của Exponential Graphs cũng như đưa ra chiến lược làm bài để thí sinh có thể áp dụng trong quá trình làm Digital SAT. Nếu các thí sinh gặp vấn đề trong quá trình học, thí sinh có thể tham khảo ZIM Helper để được đội ngũ chuyên môn của ZIM hỗ trợ.