Giá trị lượng giác | Công thức, cách tính và bài tập Toán 10

Giá trị lượng giác là kiến thức nền tảng Toán 10 giúp xác định sin, cos, tan và cot của một góc. Bài viết hệ thống công thức tính giá trị lượng giác, cách xác định giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°, bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các dạng bài tập thường gặp, giúp học sinh tra cứu nhanh và vận dụng chính xác.

Giá trị lượng giác là gì?

Trước khi học giá trị lượng giác trong chương trình Toán 10, học sinh cần nhắc lại kiến thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn đã được học ở lớp 9. Trong một tam giác vuông, với góc nhọn \(\alpha\), bốn tỉ số lượng giác được định nghĩa như sau:

• \(sinα\) bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.

• \(cosα\) bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.

• \(tanα\) bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề.

• \(cotα\) bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

Các tỉ số này giúp mô tả mối quan hệ giữa góc và các cạnh của tam giác vuông, đồng thời là công cụ quan trọng để giải nhiều bài toán hình học.

Lên lớp 10, khái niệm này được mở rộng thành giá trị lượng giác của một góc bất kỳ (không chỉ giới hạn ở góc nhọn). Giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) bao gồm bốn đại lượng: sin α, cos α, tan α và cotα. Đây là những khái niệm nền tảng của chương Lượng giác, được sử dụng xuyên suốt trong các nội dung về công thức lượng giác, phương trình lượng giác và nhiều ứng dụng trong toán học cũng như thực tiễn.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), nửa đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R=1\) nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 180^{\circ}\)), ta xác định được một điểm \(M\) duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM} =\alpha\). Gọi \(\left(x_{0};y_{0}\right)\) là tọa độ điểm \(M\), ta có:

• Tung độ \(y_{0}\) của điểm \(M\) là sin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\sin \alpha = y_{0}\);

• Hoành độ \(x_{0}\) của điểm \(M\) là côsin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cos \alpha = x_{0}\);

• Tỉ số \(\dfrac{y_{0}}{x_{0}}\) (\(x_{0}\neq 0\)) là tang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\tan \alpha= \dfrac{y_{0}}{x_{0}}\);

• Tỉ số \(\dfrac{x_{0}}{y_{0}}\) (\(y_{0}\neq 0\)) là côtang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cot \alpha= \dfrac{x_{0}}{y_{0}}\).

Các số \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\tan \alpha\), \(\cot \alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\).

Bảng giá trị lượng giác đặc biệt

Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt. Trong bảng, kí hiệu "\(\mid \mid\)" để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

Lưu ý:

• Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương.

• Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin \alpha >0\), \(\cos \alpha <0\), \(\tan \alpha <0\), \(\cot \alpha <0\).

• \(\tan \alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 90^{\circ}\).

• \(\cot \alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 0^{\circ}\) và \(\alpha \neq 180^{\circ}\).

Các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác

Từ định nghĩa dựa trên nửa đường tròn đơn vị và áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông, ta chứng minh được 6 hệ thức lượng giác cơ bản sau đây. Đây là công cụ cốt lõi để biến đổi, rút gọn biểu thức và giải các bài toán tính toán.

• \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

• \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \quad (\text{với } \alpha \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ)\)

• \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (\text{với } \alpha \neq 90^\circ)\)

• \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (\text{với } \alpha \neq 0^\circ, 180^\circ)\)

• \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad (\text{với } \alpha \neq 90^\circ)\)

• \(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\text{với } \alpha \neq 0^\circ, 180^\circ)\)

Ví dụ: Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) và \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Tính \(\cos \alpha\) và \(\tan \alpha\).

Giải

Áp dụng hệ thức \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta có:

\(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\).

Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) (\(\alpha\) là góc tù) nên \(\cos \alpha < 0\). Do đó:

\(\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}\)

Từ đó, ta tính được \(\tan \alpha\):

\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\).

Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

Hệ thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc phụ nhau

Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng \(90^\circ\). Nếu ta có một góc \(\alpha\) thì góc phụ với nó là \(90^\circ - \alpha\).

Với mọi góc \(\alpha\) thỏa mãn \(0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 90^{\circ}\), ta luôn có:

• \(\sin \left( 90^{\circ} -\alpha\right) =\cos \alpha\)

• \(\cos \left( 90^{\circ} -\alpha\right) =\sin \alpha\)

• \(\tan \left( 90^{\circ} -\alpha\right) =\cot \alpha\)

• \(\cot \left( 90^{\circ} -\alpha\right) =\tan \alpha\)

Ví dụ: Cho \(x\) là góc nhọn. Rút gọn biểu thức sau: \(A=\sin (90^\circ-x)+ 2\cos x - 5 \cos(90^\circ - x)\).

Giải

\(A=\sin (90^\circ-x)+ 2\cos x - 5 \cos(90^\circ - x)= \cos x + 2 \cos x - 5\sin x = 3\cos x - 5\sin x\)

Hệ thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc bù nhau

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng \(180^\circ\). Nếu ta có một góc \(\alpha\) thì góc bù với nó là \(180^\circ - \alpha\).

Với mọi góc \(\alpha\) thỏa mãn \(0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 180^{\circ}\), ta luôn có:

• \(\sin \left( 180^{\circ} -\alpha\right) =\sin \alpha\)

• \(\cos \left( 180^{\circ} -\alpha\right) =-\cos \alpha\)

• \(\tan \left( 180^{\circ} -\alpha\right) =-\tan \alpha\) với \(\alpha \neq 90^{\circ}\)

• \(\cot \left( 180^{\circ} -\alpha\right) =-\cot \alpha\) với \(0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}\)

  Mẹo nhớ: "Sin bù" nghĩa là hai góc bù nhau thì giá trị \(\sin\) của chúng bằng nhau, còn các giá trị lượng giác khác (\(\cos, \tan, \cot\)) của góc này sẽ bằng đối (thêm dấu trừ) của góc kia.

  Ví dụ: Tính giá trị lượng giác của góc \(135^\circ\) mà không dùng bảng số lớn hay bấm máy trực tiếp. Ta thấy góc \(135^\circ\) bù với góc \(45^\circ\) (\(135^\circ = 180^\circ - 45^\circ\)). Áp dụng công thức góc bù:

• \(\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

• \(\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

• \(\tan 135^\circ = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1\)

Cách tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay

Đối với các góc không đặc biệt (ví dụ: \(50^\circ, 125^\circ12'\)), chúng ta cần sử dụng máy tính cầm tay (Casio fx-580VN X, fx-880BTG hoặc các dòng Vinacal tương đương) để tìm kết quả chính xác hoặc làm tròn.

Chẳng hạn, với một loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta bấm phím SHIFT MODE (SETUP) rồi bấm phím 3 để chọn đơn vị đo góc là "độ". Sau đó tính giá trị lượng giác của góc hoặc tính góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó.

• Tính giá trị lượng giác của một số góc:

• Tìm góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó:

Chú ý:

• Khi tìm \(x\) biết \(\sin x\), máy tính chỉ đưa ra giá trị \(x \leq 90^{\circ}\).

• Muốn tìm \(x\) khi biết \(\cos x, \tan x\), ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím sin tương ứng bởi phím cos, tan.

Bài tập rèn luyện

Xác định giá trị lượng giác tại các góc đặc biệt; tính giá trị biểu thức lượng giác đơn giản

Bài 1. Giá trị của biểu thức \(P=\left(\cos^{2} 30^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} \right)^{2022} \) bằng bao nhiêu?

Giải

Ta có \(\cos 30^{\circ}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^{\circ}= \dfrac{1}{2}\).

Suy ra \(\cos^{2} 30^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ}= \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left( \dfrac{1}{2}\right)^{2}=1 \).

Vậy \(P=1^{2022}=1\).

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức \(Q= \cos 30^{\circ} \sin 60^{\circ}-\sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ} \).

Giải

Ta có \[Q= \cos 30^{\circ} \sin 60^{\circ}-\sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\].

Bài 3. Biết rằng \(\sin 15^{\circ}= \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\), tính giá trị \(\sin 165^{\circ}\).

Giải

Ta có \(\sin 165^{\circ}=\sin\left( 180^{\circ}-165^{\circ}\right)= \sin 15^{\circ}\).

Vậy \(\sin 165^{\circ}= \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).

Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại, rút gọn biểu thức

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác còn lại biết:

a) \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).

b) \(\tan \alpha = \sqrt{3}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).

Giải

a) \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).

\(\sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{6}\)

\(\Rightarrow \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\(\Rightarrow \tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow \cot \alpha = \sqrt{3}\)

b) \(\tan \alpha = \sqrt{3}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ\).

\(\tan \alpha = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{3}\)

\(\Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \)

\(\Rightarrow \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow \cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức \(H= \dfrac{2\sin \alpha -\cos\alpha}{3\sin \alpha +\cos \alpha} \) biết \(\tan \alpha = 2\).

Giải

Vì \(\tan \alpha\) xác định nên \(\cos \alpha \neq 0\). Ta có:

\[H= \dfrac{2\sin \alpha -\cos\alpha}{3\sin \alpha +\cos \alpha} =\dfrac{ \dfrac{2\sin \alpha -\cos\alpha }{\cos \alpha } } { \dfrac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha}} = \dfrac{2\tan \alpha -1 }{3 \tan \alpha +1}= \dfrac{2\cdot 2 -1 }{3 \cdot 2+1}= \dfrac{3}{7} \].

Bài 3. Cho \(\displaystyle \cos \alpha = \frac{3}{4}\) với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\). Tính \(\displaystyle A= \frac{\tan \alpha + 3\cot \alpha }{\tan \alpha + \cot \alpha}\).

Giải

\[\displaystyle A= \frac{\tan \alpha + 3\cot \alpha }{\tan \alpha + \cot \alpha} = \frac{\tan \alpha + 3\frac{1}{\tan \alpha} }{\tan \alpha + \frac{1}{\tan \alpha}}= \frac{\tan^2 \alpha +3}{\tan^2 \alpha +1 }= \frac{\frac{1}{\cos^2 \alpha}+2}{ \frac{1}{\cos^2 \alpha} }=1+2\cos^2 \alpha = \frac{17}{8}\]

Bài 4. Cho \(x\) là góc nhọn. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A=\sin (90^\circ-x)+ 2\cos x - 5 \cos(90^\circ - x)\).

b) \(B= \sin (90^\circ-x) - \cos (90^\circ-x) + \cot (180^\circ-x) + \tan (90^\circ-x)\).

Giải

a) \[A=\sin (90^\circ-x)+ 2\cos x - 5 \cos(90^\circ - x)= \cos x + 2 \cos x - 5\sin x = 3\cos x - 5\sin x\]

b) \[B= \sin (90^\circ-x) - \cos (90^\circ-x) + \cot (180^\circ-x) + \tan (90^\circ-x)= \cos x -\sin x -\cot x + \cot x =\cos x -\sin x\]

Chứng minh đẳng thức lượng giác; rút gọn biểu thức lượng giác phức hợp

Bài 1. Cho \(x\) là góc nhọn. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \[C= \dfrac{2.\cos (180^\circ-x)+5\sin (90^\circ-x)}{\sin x - 4 \cos (90^\circ-x)}\].

b) \[D= \dfrac{\cos (90^\circ-x)-\cot (90^\circ+x)}{\cot (90^\circ-x)}-\sin (180^\circ-x).\cot (180^\circ-x)\].

Giải

a) \[C= \dfrac{2.\cos (180^\circ-x)+5\sin (90^\circ-x)}{\sin x - 4 \cos (90^\circ-x)} = \dfrac{-2 \cos x + 5\cos x }{\sin x - 4 \sin x }= -\cot x\]

b) \[D= \dfrac{\cos (90^\circ-x)-\cot (90^\circ+x)}{\cot (90^\circ-x)}-\sin (180^\circ-x).\cot (180^\circ-x)= \dfrac{\sin x + \tan x }{\tan x }- \cos x = \dfrac{\sin x}{\tan x}+1-\cos x=1\]

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\sin^4 x + \cos^4 x = 1- 2\sin^2 x \cos^2 x\)

b) \(\displaystyle \dfrac{1+ \cot x}{1-\cot x}= \dfrac{\tan x + 1}{\tan x -1}\)

c) \(\displaystyle \dfrac{\cos x + \sin x}{\cos^3 x}= \tan^3 x + \tan^2 x + \tan x + 1\)

Giải

a) \(\sin ^4 x+\cos ^4 x \)

\[ \begin{aligned} &=\sin ^4 x+\cos ^4 x+2 \sin ^2 x \cos ^2 x-2 \sin ^2 x \cos ^2 x\\ & =\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)^2-2 \sin ^2 x \cos ^2 x \\ & =1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x \end{aligned} \]

b) \[\displaystyle \dfrac{1+\cot x}{1-\cot x}=\dfrac{1+\dfrac{1}{\tan x}}{1-\dfrac{1}{\tan x}}=\dfrac{\dfrac{\tan x+1}{\tan x}}{\dfrac{\tan x-1}{\tan x}}=\dfrac{\tan x+1}{\tan x-1}\]

c) \[ \displaystyle \dfrac{\cos x+\sin x}{\cos ^3 x}=\dfrac{1}{\cos ^2 x}+\dfrac{\sin x}{\cos ^3 x}=\tan ^2 x+1+\tan x\left(\tan ^2 x+1\right) =\tan ^3 x+\tan ^2 x+\tan x+1\]

Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(B= \cos0^\circ+ \cos20^\circ + \cos40^\circ + \cdots + \cos160^\circ + \cos180^\circ \).

b) \(C= \tan 5^\circ \tan 10^\circ \tan 15^\circ \cdots \tan 80^\circ \tan 85^\circ\)

Giải

a) \[B= \cos0^\circ+ \cos20^\circ + \cos40^\circ + \cdots + \cos160^\circ + \cos180^\circ\]

\[=(\cos 0^\circ +\cos 180^\circ) + (\cos 20^\circ +\cos 160^\circ)+ \cdots + (\cos 80^\circ +\cos 100^\circ)\]

\[= (\cos 0^\circ -\cos 0^\circ) + (\cos 20^\circ -\cos 20^\circ)+ \cdots + (\cos 80^\circ -\cos 80^\circ)=0 \]

b) \(C= \tan 5^\circ \tan 10^\circ \tan 15^\circ \cdots \tan 80^\circ \tan 85^\circ\)

\[= (\tan 5^\circ\tan 85^\circ)(\tan 15^\circ\tan 75^\circ)\cdots (\tan 45^\circ\tan 45^\circ)\]

\[= (\tan 5^\circ\cot 5^\circ)(\tan 15^\circ\cot 15^\circ)\cdots (\tan 45^\circ\cot 45^\circ)=1\]

Bài tập tự luyện (Không kèm lời giải)

Bài 1: Rút gọn biểu thức không phụ thuộc vào góc \(\alpha\): \(M = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2\).

Bài 2: Cho biết \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}\). Tính tích giá trị \(N = \sin \alpha \cdot \cos \alpha\) và biểu thức \(N_2 = \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha\).

Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau: \(S = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \dots + \sin^2 170^\circ + \sin^2 180^\circ\).

Bài 4: Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\sin(A + B) = \sin C$ và $\cos(A + B) = -\cos C\).

Việc làm chủ kiến thức về giá trị lượng giác lớp 10 đòi hỏi học sinh không chỉ dừng lại ở việc học thuộc lòng các định nghĩa trên nửa đường tròn đơn vị hay các hệ thức cơ bản, mà quan trọng hơn phải biết cách vận dụng linh hoạt chúng vào từng dạng bài tập cụ thể. Hiểu rõ bản chất hình học của hệ trục tọa độ và tính chất đối xứng của hai góc bù nhau giúp tư duy toán học trở nên trực quan và sâu sắc hơn. Những kỹ năng biến đổi này chính là bệ phóng không thể thiếu giúp các bạn học tốt các phần hệ thức lượng trong tam giác tiếp theo, cũng như sẵn sàng đối mặt với các giá trị lượng giác ở lớp 11. Để tiếp tục củng cố kiến thức, luyện tập thêm nhiều dạng bài nâng cao và cập nhật các phương pháp giải toán trắc nghiệm siêu tốc theo form đề thi mới, học sinh có thể tham khảo chuyên mục bài giảng Toán chi tiết tại ZIM Academy.