Hệ thức lượng trong tam giác | Lý thuyết và bài tập Lớp 10

Hệ thức lượng trong tam giác là hệ thống công thức liên hệ giữa cạnh, góc và các yếu tố của một tam giác. Trong Toán 10, nội dung này bao gồm định lý sin, định lý cos, công thức diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và phương pháp giải tam giác.

Bài viết hệ thống các công thức hệ thức lượng trong tam giác, hướng dẫn cách xác định cạnh, góc và vận dụng vào những dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Hệ thức lượng trong tam giác là gì?

Hệ thức lượng trong tam giác là các mối liên hệ toán học giữa cạnh, góc, đường cao, trung tuyến, diện tích và bán kính các đường tròn liên quan đến tam giác.

Với tam giác \(ABC\), quy ước:

\[a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB\]

\[p=\dfrac{a+b+c}{2},\qquad S=S_{ABC}\]

\[R:\text{ bán kính đường tròn ngoại tiếp},\qquad r:\text{ bán kính đường tròn nội tiếp}\]

Cạnh \(a,b,c\) lần lượt đối diện với góc \(A,B,C\). Ở lớp 9, với tam giác vuông tại \(A\), hệ thức thường xoay quanh \(a^2=b^2+c^2\) và các hệ thức đường cao. Ở lớp 10, với tam giác bất kỳ, ta dùng \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) và \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\). Vì vậy, ghép đúng cạnh với góc đối diện là điều kiện quan trọng khi dùng định lý Sin hoặc biến đổi định lý Côsin.

Nói cách khác, kiến thức lớp 9 thường gắn với điều kiện một góc bằng \(90^\circ\), còn kiến thức lớp 10 xử lý cả các góc nhọn, vuông và tù từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\).

Kiến thức này cũng tạo nền tảng cho lượng giác ở lớp 11. Người học có thể ôn lại các hệ thức của tam giác vuông trước khi chuyển sang trường hợp tổng quát.

Định lý Côsin trong tam giác

Định lý Côsin liên hệ một cạnh với hai cạnh còn lại và cosin của góc xen giữa.

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\]

\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\]

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\]

Khi biết ba cạnh, chuyển vế để tính góc:

\[\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\]

\[\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\]

\[\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\]

Nếu \(A=90^\circ\), ta có \(\cos A=0\), nên công thức đầu trở thành \(a^2=b^2+c^2\). Vì vậy, định lý Pytago là trường hợp riêng của định lý Côsin. Xem thêm định lý Pytago để củng cố phần nền.

Công thức đường trung tuyến

Gọi \(m_a,m_b,m_c\) là độ dài các đường trung tuyến ứng với cạnh \(a,b,c\). Khi đó:

\[m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\]

\[m_b^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\]

\[m_c^2=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}\]

Ví dụ dùng định lý Côsin

Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có \(b=7\), \(c=5\), \(A=60^\circ\). Tính cạnh \(a\).

Bước 1: Hai cạnh đã biết kẹp góc \(A\), nên dùng định lý Côsin.

Bước 2: Thay số:

\[a^2=7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cos60^\circ=39\]

Bước 3: Vì độ dài dương:

\[a=\sqrt{39}\approx6{,}24\]

Kết luận: \(a\approx6{,}24\) đơn vị. Kết quả hợp lý vì \(2\lt a\lt12\), đúng bất đẳng thức tam giác.

Định lý Sin trong tam giác

Định lý Sin cho biết các tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện bằng nhau. Trong chương trình lớp 10, hệ thức còn gắn với bán kính ngoại tiếp:

\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\]

Định lý Sin phù hợp nhất khi đã có một cặp cạnh - góc đối diện, chẳng hạn \(a,A\), rồi cần tìm cạnh ứng với góc khác.

Ví dụ dùng định lý Sin

Đề bài: Cho \(A=45^\circ\), \(B=60^\circ\), \(a=6\). Tính \(b\).

Bước 1: Nhận ra cặp đối diện \(a,A\) và cạnh \(b\) đối diện góc \(B\).

Bước 2: Lập tỉ số đúng thứ tự:

\[\dfrac{b}{\sin60^\circ}=\dfrac{6}{\sin45^\circ}\]

Bước 3: Tính:

\[b=\dfrac{6\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=3\sqrt6\approx7{,}35\]

Kết luận: \(b\approx7{,}35\) đơn vị. Góc \(B\) lớn hơn góc \(A\), nên cạnh \(b\) lớn hơn cạnh \(a\), phù hợp với hình học.

Công thức diện tích và các yếu tố liên quan

Diện tích có thể được tính theo dữ kiện đang có. Không cần cố dùng một công thức duy nhất cho mọi bài.

Theo cạnh đáy và đường cao tương ứng:

\[S=\dfrac12ah_a=\dfrac12bh_b=\dfrac12ch_c\]

Theo hai cạnh và góc xen giữa:

\[S=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12ca\sin B=\dfrac12ab\sin C\]

Theo ba cạnh, dùng công thức Hê-rông:

\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Liên hệ với bán kính ngoại tiếp và nội tiếp:

\[S=\dfrac{abc}{4R},\qquad S=pr\]

Bảng tra cứu hệ thức lượng trong tam giác

Giải tam giác bằng hệ thức lượng trong tam giác

Giải tam giác là tìm các cạnh và góc chưa biết từ dữ kiện đã cho. Trước khi tính, cần kiểm tra đề có ít nhất một độ dài và dữ kiện đủ xác định tam giác.

Trường hợp 1: Biết một cạnh và hai góc

Quy trình: tính góc còn lại bằng tổng \(180^\circ\), sau đó dùng định lý Sin để tính các cạnh chưa biết.

Ví dụ: \(A=40^\circ\), \(B=65^\circ\), \(a=10\).

Bước 1:

\[C=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ\]

Bước 2:

\[b=\dfrac{10\sin65^\circ}{\sin40^\circ}\approx14{,}10\]

Bước 3:

\[c=\dfrac{10\sin75^\circ}{\sin40^\circ}\approx15{,}03\]

Kết luận: \(B\lt C\) nên \(b\lt c\); kết quả tính phù hợp.

Trường hợp 2: Biết hai cạnh và góc xen giữa

Quy trình: dùng định lý Côsin tính cạnh thứ ba, tính một góc còn lại rồi dùng tổng ba góc để tìm góc cuối.

Ví dụ: \(b=8\), \(c=6\), \(A=60^\circ\).

Bước 1:

\[a^2=8^2+6^2-2\cdot8\cdot6\cos60^\circ=52\]

\[a=2\sqrt{13}\approx7{,}21\]

Bước 2:

\[\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\]

\[B\approx73{,}90^\circ\]

Bước 3:

\[C=180^\circ-60^\circ-73{,}90^\circ\approx46{,}10^\circ\]

Kết luận: \(b\) là cạnh lớn nhất nên \(B\) là góc lớn nhất, phù hợp.

Trường hợp 3: Biết ba cạnh

Quy trình: kiểm tra bất đẳng thức tam giác, dùng hệ quả Côsin tính hai góc, rồi lấy \(180^\circ\) trừ tổng hai góc.

Ví dụ: \(a=5\), \(b=7\), \(c=8\).

Bước 1: Ba tổng đôi đều lớn hơn cạnh còn lại, nên tam giác tồn tại.

Bước 2:

\[\cos A=\dfrac{7^2+8^2-5^2}{2\cdot7\cdot8}=\dfrac{11}{14}\]

\[A\approx38{,}21^\circ\]

Bước 3:

\[\cos B=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot5\cdot8}=\dfrac12\]

\[B=60^\circ,\qquad C\approx81{,}79^\circ\]

Kết luận: \(c\) lớn nhất nên \(C\) lớn nhất, đúng quan hệ cạnh - góc.

Lưu ý nâng cao: dữ kiện hai cạnh và một góc không xen giữa có thể tạo nhiều khả năng. Trường hợp này nằm ngoài ba quy trình chính của bài và cần được xét riêng.

Khi dùng máy tính, chọn DEG, giữ nhiều chữ số trong bước trung gian và chỉ làm tròn ở kết quả cuối.

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác có lời giải

Dạng 1: Tính cạnh và góc bằng định lý Côsin

Dấu hiệu: đề cho hai cạnh và góc xen giữa, hoặc cho ba cạnh.

Ví dụ mẫu: Cho \(b=9\), \(c=6\), \(A=120^\circ\). Giải tam giác.

Bước 1: Góc \(A\) xen giữa \(b,c\), nên:

\[a^2=9^2+6^2-2\cdot9\cdot6\cos120^\circ=171\]

\[a=3\sqrt{19}\approx13{,}08\]

Bước 2:

\[\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\]

\[B\approx36{,}59^\circ\]

Bước 3:

\[C=180^\circ-120^\circ-36{,}59^\circ\approx23{,}41^\circ\]

Đáp án: \(a\approx13{,}08\), \(B\approx36{,}59^\circ\), \(C\approx23{,}41^\circ\).

Bài tự luyện: Tam giác có \(a=7\), \(b=8\), \(c=9\). Tính góc lớn nhất.

Lời giải gọn: Góc lớn nhất là \(C\). Ta có \(\cos C=\dfrac{7^2+8^2-9^2}{2\cdot7\cdot8}=\dfrac27\).

Đáp án: \(C\approx73{,}40^\circ\).

Dạng 2: Tính cạnh và góc bằng định lý Sin

Dấu hiệu: đề có hai góc và một cạnh, từ đó xuất hiện một cặp cạnh - góc đối diện.

Ví dụ mẫu: Cho \(A=35^\circ\), \(B=70^\circ\), \(a=8\). Giải tam giác.

Bước 1:

\[C=180^\circ-35^\circ-70^\circ=75^\circ\]

Bước 2:

\[b=\dfrac{8\sin70^\circ}{\sin35^\circ}\approx13{,}11\]

Bước 3:

\[c=\dfrac{8\sin75^\circ}{\sin35^\circ}\approx13{,}47\]

Đáp án: \(C=75^\circ\), \(b\approx13{,}11\), \(c\approx13{,}47\).

Bài tự luyện: Cho \(A=45^\circ\), \(C=60^\circ\), \(c=10\). Tính \(a\).

Lời giải gọn:

\[a=\dfrac{10\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=\dfrac{10\sqrt6}{3}\]

Đáp án: \(a=\dfrac{10\sqrt6}{3}\approx8{,}16\).

Dạng 3: Tính diện tích, bán kính, đường cao và trung tuyến

Dấu hiệu: đề cho ba cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa, sau đó yêu cầu đại lượng liên quan đến diện tích.

Ví dụ mẫu: Cho \(a=6\), \(b=c=5\). Tính \(S,r,R,h_a,m_a\).

Bước 1:

\[p=\dfrac{6+5+5}{2}=8\]

\[S=\sqrt{8(8-6)(8-5)(8-5)}=12\]

Bước 2:

\[r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{12}{8}=1{,}5\]

\[R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{6\cdot5\cdot5}{48}=\dfrac{25}{8}\]

Bước 3:

\[h_a=\dfrac{2S}{a}=4\]

\[m_a=\dfrac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=4\]

Đáp án: \(S=12\), \(r=1{,}5\), \(R=3{,}125\), \(h_a=m_a=4\).

Bài tự luyện: Cho \(b=10\), \(c=12\), \(A=30^\circ\). Tính \(S\) và \(R\).

Lời giải gọn: \(S=\dfrac12\cdot10\cdot12\sin30^\circ=30\). Định lý Côsin cho \(a=\sqrt{244-120\sqrt3}\), nên \(R=\dfrac{abc}{4S}=a\).

Đáp án: \(S=30\), \(R=\sqrt{244-120\sqrt3}\approx6{,}01\).

Dạng 4: Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác

Đề bài: Hai điểm quan sát \(A,B\) cùng nằm trên một bờ sông và cách nhau \(120\) m. Một cây \(C\) ở bờ đối diện được nhìn dưới các góc \(CAB=48^\circ\), \(CBA=67^\circ\). Tính \(AC\).

Bước 1: Mô hình hóa ba điểm thành tam giác \(ABC\). Độ dài \(AB=120\) m đối diện góc \(C\).

Bước 2:

\[C=180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ\]

Bước 3: Dùng định lý Sin:

\[\dfrac{AC}{\sin67^\circ}=\dfrac{120}{\sin65^\circ}\]

\[AC=\dfrac{120\sin67^\circ}{\sin65^\circ}\approx121{,}88\text{ m}\]

Bước 4: Kiểm tra \(67^\circ\gt65^\circ\), nên cạnh \(AC\) phải lớn hơn \(AB\). Kết quả \(121{,}88\gt120\) phù hợp.

Đáp án: Khoảng cách từ \(A\) đến cây xấp xỉ \(121{,}88\) m.

Sai lầm thường gặp khi học hệ thức lượng trong tam giác

• Ghép sai cạnh và góc đối diện trong định lý Sin. Hãy viết ba cặp \((a,A),(b,B),(c,C)\) trước khi lập tỉ lệ.

• Quên rằng cosin của góc tù là số âm. Trong định lý Côsin, trừ một số âm sẽ làm cạnh đối diện góc tù dài hơn.

• Không kiểm tra bất đẳng thức tam giác khi biết ba cạnh. Nếu tổng hai cạnh không lớn hơn cạnh còn lại, tam giác không tồn tại.

• Đặt máy tính ở RAD thay vì DEG hoặc làm tròn sớm. Cả hai lỗi đều có thể làm sai góc và kéo theo sai các bước sau.

• Chọn công thức theo đại lượng cần tìm nhưng bỏ qua dữ kiện. Hãy chọn công thức chứa nhiều dữ kiện đã biết nhất và ít ẩn nhất.

Tổng kết

Hệ thức lượng trong tam giác giúp chuyển dữ kiện cạnh và góc thành một quy trình tính toán rõ ràng. Côsin phù hợp với trường hợp cạnh - góc - cạnh hoặc cạnh - cạnh - cạnh; Sin hiệu quả khi có cặp cạnh - góc đối diện; các công thức diện tích hỗ trợ tìm \(R,r,h\) và trung tuyến.

Để làm bài chắc chắn, học sinh cần vẽ hình, ghi đúng cặp đối diện, kiểm tra điều kiện tồn tại và chỉ làm tròn ở cuối. Có thể tham khảo thêm các bài giảng Toán trên ZIM để củng cố nền tảng.

Khi luyện tập đều từ bài tính trực tiếp đến bài đo đạc, người học sẽ sử dụng hệ thức lượng trong tam giác chủ động hơn trong kiểm tra học kỳ và các chuyên đề lượng giác tiếp theo.