Phương pháp giải phương trình bậc hai trong bài thi SAT

Trong bài thi toán của kỳ thi SAT, người học cần giải một số câu hỏi liên quan đến phương trình bậc hai. Mặc dù đây là một kiến thức quen thuộc với học sinh Việt Nam nhưng một số người học vẫn gặp vài khó khăn nhất định trong quá trình làm bài. Vì vậy, qua bài viết dưới đây, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách phân tích các yếu tố trong phương trình một cách hiệu quả, từ đó có thể giải phương trình nhanh chóng và thành thạo hơn.

Tổng quan về phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là phương trình chứa biến có bậc cao nhất là 2 (\(x^2\)) với dạng tổng quát như sau

Trong đó,

• x là biến số

• a, b, c là các hằng số với a \(\ne\)0.

Ví dụ:

\(2x^2-5x+3=0\)

\(-x^2+5x-6=0\)

\(x^2-2x+1=0\)

Một số khó khăn thường gặp về phương trình bậc hai

Không nhận diện được phương trình bậc hai

Mặc dù phương trình bậc hai có dạng tổng quát là \(ax^2+bx+c=0\) nhưng nó có thể được viết dưới nhiều dạng khác. Điều này có thể khiến người học bối rối nếu chưa hiểu rõ bản chất của phương trình.

Một số phương trình khuyết một số thành phần bao gồm:

• Khuyết biến x bậc 1: \(ax^2+c=0\)

• Khuyết biến x bậc 1 và hệ số c: \(ax^2=0\)

Những trường hợp này xuất hiện khi hệ số b và c lần lượt bằng 0.

Lưu ý: Hệ số a luôn khác 0 và biến x bậc 2 là thành phần luôn xuất hiện trong phương trình bậc hai.

Ngoài ra, theo sách Acing the new SAT Math [1], phương trình bậc hai có các dạng sau:

• \(\left(x+m\right)^2=0\leftrightarrow x^2+2mx+m^2=0\)

• \(\left(x+h\right)\left(x+k\right)=0\leftrightarrow x^2+\left(h+k\right)x+hk=0\)

Những dạng này đều có thể được biến đổi lại thành dạng phương trình tổng quát.

Như vậy, yếu tố giúp xác định một phương trình bậc hai là sự hiện diện của biến x với bậc cao nhất là 2 (\(x^2\)).

Không biết áp dụng phương pháp giải phương trình bậc hai

Mọi phương trình bậc hai đều có thể được giải bằng cách áp dụng công thức. Ngoài ra, trong một số trường hợp, người học có thể lựa chọn một số cách giải khác đơn giản và nhanh chóng hơn. Tuy nhiên, khó khăn trong việc nhận diện phương trình dẫn đến việc không lựa chọn được phương pháp giải phù hợp nhất. Bên cạnh đó, khi áp dụng công thức, người học có thể nhầm lẫn trong việc xác định các thành phần trong phương trình để thế vào công thức. Trong phần tiếp theo, tác giả sẽ hướng dẫn người học 3 phương pháp giải phương trình hiệu quả và lưu ý một số lỗi thường gặp.

Phương pháp giải theo căn bậc 2

Đối tượng áp dụng:

Cách giải phương trình dạng 1:

\(ax^2+c=0\)

• Bước 1: Chuyển vế hệ số c: \(ax^2=-c\)

• Bước 2: Chia 2 vế cho a: \(x^2=-\frac{c}{a}\)

• Bước 3: Lấy căn bậc 2 của \(-\frac{c}{a}\): \(x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\)

Lưu ý:

• Nếu \(-\frac{c}{a}<0\), phương trình vô nghiệm.

• Nếu \(-\frac{c}{a}=0\), phương trình có 1 nghiệm bằng 0.

• Nếu \(-\frac{c}{a}>0\), phương trình có 2 nghiệm \(\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\).

Ví dụ: Solve this quadratic equation by taking square roots:

\(3x^2-2=0\)

Solution:

\(3x^2-2=0\)

\(\leftrightarrow3x^2=2\)

\(\leftrightarrow x^2=\frac23\)

\(\leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac23}\)

Conclusion: The quadratic equation \(3x^2-2=0\) has two solutions as \(\sqrt{\frac23}\) and \(-\sqrt{\frac23}\).

(Kết luận: Phương trình \(3x^2-2=0\) có hai nghiệm \(\sqrt{\frac23}\) và \(-\sqrt{\frac23}\).)

Cách giải phương trình dạng 2:

\(\left(mx+n\right)^2+p=0\)

• Bước 1: Chuyển vế hệ số p: \(\left(mx+n\right)^2=-p\)

• Bước 2: Lấy căn bậc hai của hai vế: \(mx+n=\pm\sqrt{-p}\)

• Bước 3: Trừ hai vế cho n và chia cho m: \(x=\frac{\pm\sqrt{-p}-n}{m}\)

Lưu ý:

• Nếu \(-p<0\), phương trình vô nghiệm.

• Nếu \(-p=0\), phương trình có 1 nghiệm bằng \(-\frac{n}{m}\).

• Nếu \(-p>0\), phương trình có 2 nghiệm \(x=\frac{\pm\sqrt{-p}-n}{m}\) .

Ví dụ: Solve this quadratic equation by taking square roots:

\(\left(5x+3\right)^2-3=0\)

Solution:

\(\left(5x+3\right)^2-3=0\)

\(\leftrightarrow\left(5x+3\right)^2=3\)

\(\leftrightarrow5x+3=\pm\sqrt3\)

\(\leftrightarrow5x=\pm\sqrt3-3\)

\(\leftrightarrow x=\frac{\pm\sqrt3-3}{5}\)

Conclusion: The quadratic equation \(\left(5x+3\right)^2-3=0\) has two solutions as \(\frac{\sqrt3-3}{5}\) and \(\frac{-\sqrt3-3}{5}\).

(Kết luận: Phương trình \(\left(5x+3\right)^2-3=0\) có hai nghiệm \(\frac{\sqrt3-3}{5}\) và \(\frac{-\sqrt3-3}{5}\).)

Trong một số trường hợp, phương trình bậc hai được viết dưới dạng tổng quát nhưng cũng có thể được đưa về dạng \(\left(mx+n\right)^2+p=0\) dựa trên tam thức bậc hai: \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)

Cụ thể, các bước biến đổi như sau:

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0\),

• Bước 1: Chia hai vế cho hệ số a: \(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\)

• Bước 2: Bổ sung hệ số \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) để hoàn thiện tam thức bậc hai và trừ hệ số \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) để không làm thay đổi giá trị phương trình: \(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\left(\frac{b}{2a}\right)^2=0\)

• Bước 3: Nhóm biểu thức \(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) thành \(\left(x+\frac{b}{a}\right)^2\): \(\left(x+\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}-\left(\frac{b}{2a}\right)^2=0\)

Trong phương trình này, \(\left(x+\frac{b}{a}\right)^2\) tương ứng với \(\left(mx+n\right)^2\) và \(\frac{c}{a}-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) tương ứng với p. Vì vậy, người học có thể dễ dàng giải phương trình này theo dạng 2 của phương pháp giải theo căn bậc 2.

Ví dụ: Solve this quadratic equation by taking square roots:

\(2x^2-6x-8=0\)

Solution:

\(2x^2-6x-20=0\)

\(\leftrightarrow x^2-3x-10=0\)

\(\leftrightarrow x^2-2\cdot\frac32x+\left(\frac32\right)^2-10-\left(\frac32\right)^2=0\)

\(\leftrightarrow\left(x-\frac32\right)^2-\frac{49}{4}=0\)

\(\leftrightarrow\left(x-\frac32\right)^2=\frac{49}{4}\)

\(\leftrightarrow x-\frac32=\pm\sqrt{\frac{49}{4}}\)

\(\leftrightarrow x-\frac32=\pm\frac72\)

\(\leftrightarrow x=\pm\frac72+\frac32\)

\(\leftrightarrow x=5\) hoặc \(x=-2\)

Conclusion: The quadratic equation \(2x^2-6x-8=0\) has two solutions as 5 and 3.

(Kết luận: Phương trình \(2x^2-6x-8=0\) có hai nghiệm 5 và 3.)

Phương pháp giải theo quy tắc tích của hai biểu thức bằng 0

Đối tượng áp dụng:

Cách giải:

Phương pháp này dựa trên quy tắc nếu tích của hai biểu thức bằng 0 thì mỗi biểu thức đều có thể bằng 0.

\(a\left(x+h\right)\left(x+k\right)=0\)

\(\leftrightarrow\left(x+h\right)=0\) hoặc \(\left(x+k\right)=0\)

\(\leftrightarrow x=-h\) hoặc \(x=-k\)

Ví dụ: Solve this equation based on zero product property.

\(5\left(x-3\right)\left(x+8\right)=0\)

Solution:

\(5\left(x-3\right)\left(x+8\right)=0\)

\(\leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+8\right)=0\)

\(\leftrightarrow\left(x-3\right)=0\) hoặc \(\left(x+8\right)=0\)

\(\leftrightarrow x=3\) hoặc \(x=-8\)

Conclusion: The equation \(5\left(x-3\right)\left(x+8\right)=0\) has two solution as 3 and —8.

(Kết luận: Phương trình \(5\left(x-3\right)\left(x+8\right)=0\) có hai nghiệm 3 và —8.)

Trong một số trường hợp, phương trình tổng quát \(ax^2+bx+c=0\) có thể được biến đổi thành \(a\left(x+h\right)\left(x+k\right)=0\) nếu người học xác định được hai số h và k sao cho tích h+k=b và tổng hk=c.

Ví dụ: \(x^2-5x+6=0\leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\) với h và k lần lượt là —2 và —3 thoả (—2) + (—3) = —5 và (—2).(—3) = 6

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là 2 và 3.

Ngoài ra, một số phương trình có dạng \(a^2-b^2=0\) có thể được chuyển thành dạng tích hai biểu thức bằng 0 là \(\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)\).

Ví dụ: \(\left(x^2-4\right)=0\leftrightarrow\left(x^2-2^2\right)=0\leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\).

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là 2 và —2.

Phương pháp giải theo công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với mọi phương trình bậc hai, người học đều có thể áp dụng công thức sau để xác định các nghiệm của phương trình:

Khi áp dụng công thức này, người học cần lưu ý xác định đúng các hệ số a, b, c, tránh nhầm lẫn dấu ± của các hệ số.

Phương trình bậc hai có công thức tổng quát là \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\). Trong đó, các hệ số a, b, c đều có thể mang giá trị dương hoặc âm.

Chẳng hạn, đối với phương trình \(2x^2-3x-5=0\), người học có thể nhầm lẫn hệ số b và c là 3 và 5. Tuy nhiên, hệ số b và c có giá trị chính xác là —3 và —5. Khi đó, người học áp dụng công thức giải phương trình như sau:

\(x=\frac{-\left(-3\right)\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot2\cdot\left(-5\right)}}{2\cdot2}=\frac{3\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{3\pm7}{4}\)

\(\leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=\frac52\)

Lưu ý: Công thức trên chứa biểu thức \(\sqrt{b^2-4ac}\) được gọi là biệt số của phương trình. Trong trường hợp giá trị của \(b^2-4ac<0\), người học không thể tính \(\sqrt{b^2-4ac}\) , do đó phương trình không có nghiệm.

Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm. Một số câu hỏi chỉ yêu cầu người học xác định số nghiệm của phương trình mà không cần chỉ rõ giá trị của các nghiệm đó. Khi đó, người học có thể tính biệt số (discriminant) \(b^2-4ac\) để suy ra số nghiệm.

Cụ thể, các giá trị của biệt số tương ứng với số nghiệm như sau:

• Nếu

  \(b^2-4ac<0\) thì phương trình không có nghiệm.

• Nếu \(b^2-4ac=0\) thì phương trình có một nghiệm.

• Nếu \(b^2-4ac>0\) thì phương trình có hai nghiệm.

Ví dụ: Find the number of real solution(s) for this quadratic solution.

\(\frac23x^2+5x-3=0\)

Solution:

The discriminant of \(\frac23x^2+5x-3=0\) is \(b^2-4ac=5^2-4\cdot\frac23\cdot\left(-3\right)=25+8=33>0\). Therefore, this quadratic equation has two real solutions.

(Biệt số của phương trình \(\frac23x^2+5x-3=0\) là \(b^2-4ac=5^2-4\cdot\frac23\cdot\left(-3\right)=25+8=33>0\). Vì vậy, phương trình này có 2 nghiệm thật.)

Xác định tổng và tích các nghiệm

Nếu một phương trình bậc hai có 2 nghiệm là r1 và r2, tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là r1+r2 và r1.r2. Tuy nhiên, việc giải cả phương trình để xác định những giá trị này có thể gây mất thời gian cho người học. Thay vào đó, người học có thể tính tổng và tích các nghiệm dựa trên biểu thức sau:

• Tổng các nghiệm: r1 + r2 = —b/a

• Tích các nghiệm: r1.r2 = c/a

Lưu ý: Người học cần xác định số nghiệm của phương trình trước khi tính tổng và tích để tránh trường hợp phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Find the sum and product of all values x that satisfy this equation.

\(-x^2+2x+4=0\)

Solution:

The discriminant of \(-x^2+2x+4=0\) is \(2^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(4\right)=20>0\), indicating that the equation has two solutions. Therefore, the sum and product of two x values that satisfy the equation are:

• Sum: x1 + x2 = —b/a = (—2)/(—1) = 2

• Product: x1.x2 = c/a = 4/(—1) = —4

(Biệt số của phương trình \(-x^2+2x+4=0\) là \(2^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(4\right)=20>0\) cho thấy phương trình có hai nghiệm. Vì vậy, tổng và tích của hai giá trị x thoả phương trình này là:

• Tổng: x1 + x2 = —b/a = (—2)/(—1) = 2

• Tích: x1.x2 = c/a = 4/(—1) = —4)

Tham khảo thêm:

• Chiến lược làm dạng bài Solving systems of linear equations

• Hệ phương trình trong bài toán thực tế SAT | Cách giải và bài tập

• Phương pháp giải các dạng bài trong SAT Math (P1)

Bài tập

Exercise 1: Solve this quadratic equation by taking square roots.
(Giải phương trình sau bằng cách tính căn bậc 2.)

\(5x^2-13=0\)

Exercise 2: Solve this quadratic equation based on zero product property.
(Giải phương trình sau dựa trên quy tắc tích của hai số bằng 0.)

\(27x^2-3=0\)

Exercise 3: Solve this quadratic equation with quadratic formula.
(Giải phương trình sau bằng công thức tính nghiệm của phương trình.)

\(-x^2+5x+6=0\)

Exercise 4: Find the number of real solution(s) for this quadratic solution.
(Xác định số nghiệm thật của phương trình.)

\(\frac54x^2-2x+5=0\)

Exercise 5: Find the product of all values x that satisfy this quadratic equation.
(Xác định tổng và tích của các giá trị x thoả phương trình sau.)

\(7x^2-2x-5=0\)

Exercise 6: What values of x satisfy this equation?
(Xác định các giá trị của x thoả phương trình sau.)

\(\frac23\left(x-\frac34\right)\left(x+\frac53\right)=0\)

Exercise 7: What are the solutions to this equation?
(Xác định các giá trị nghiệm của phương trình sau.)

\(x^2-7x+12=0\)

Exercise 8: Which of the following is equivalent to this equation?
(Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình trên.)

\(12x^2-4=0\)

A. \(4\left(3x^2+1\right)=0\)

B. \(12\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)

C. \(4\left(\sqrt3x-1\right)\left(\sqrt3x+1\right)=0\)

D. \(4\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)=0\)

Exercise 9: If r and s are two solutions of this equation, which of the following is the value of r + s?
(Nếu r và s là hai nghiệm của phương trình sau, giá trị r + s bằng bao nhiêu?)

\(4x^2+5x-4=0\)

A. 5/4
B. –5/4
C. 1
D. –1

Exercise 10: In this quadratic equation, k and r are constants. What are the solutions for x?
(Biết rằng k và r là các hằng số trong phương trình sau, hãy xác định các nghiệm của x.)

\(x^2-2rx+\frac{k}{2}=0\)

A. 0

B. \(\frac{2r\pm\sqrt{4r^2-2k}}{2}\)

C. \(2r\pm\sqrt{4r^2-2k}\)

D. \(\frac{-2r\pm\sqrt{4r^2-2k}}{2}\)

Đáp án

Exercise 1: \(x^2=\frac{13}{5}\leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{13}{5}}\)

Exercise 2: \(27x^2-3=0\leftrightarrow3\left(9x^2-1\right)=0\leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)=0\leftrightarrow x=\pm\frac13\)

Exercise 3: -\(x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot6}}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{-2}=\frac{-5\pm7}{-2}\leftrightarrow x=-1;x=6\)

Exercise 4: \(b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot\frac54\cdot5=4-25=-21<0\). Therefore, the equation has no real solution.

Exercise 5: \(b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot\left(-5\right)=4+140=144>0\). Therefore, the equation has two solutions.

• Sum of solutions = —b/a = 2/7

• Product of solution = c/a = —5/7

Exercise 6: x = 3/4; x = —5/3

Exercise 7: \(x^2-7x+12=0\leftrightarrow\left(x-3\right)\cdot\left(x-4\right)=0\leftrightarrow x=3;x=4.\) Therefore, x = 4 and x = 3 are the two solutions of the equation.

Exercise 8: \(12x^2-4=0\leftrightarrow4\left(3x^2-1\right)=0\leftrightarrow4\left(\sqrt3x-1\right)\left(\sqrt3x+1\right)=0\). Therefore, C is the correct answer.

Exercise 9: \(b^2-4ac=5^2-4\cdot4\cdot\left(-4\right)=89>0\). Therefore, the equation has two solutions. Therefore, r + s = sum of solutions = —b/a = —5/4. B is the correct answer.

Exercise 10: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-\left(-2r\right)\pm\sqrt{\left(-2r\right)^2-4\cdot1\cdot\frac{k}{2}}}{2\cdot1}=\frac{2r\pm\sqrt{4r^2-2k}}{2}\). Therefore, B is the correct answer.

Tổng kết

Qua bài viết trên, tác giả đã chia sẻ những phương pháp giải phương trình bậc hai nhanh chóng và hiệu quả. Người học cần thường xuyên luyện tập để thành thạo những cách giải này và áp dụng chính xác trong bài thi. Trong quá trình học tập, người học có thể tham gia đặt câu hỏi trên diễn đàn ZIM Helper để được hỗ trợ giải đáp từ đội ngũ giáo viên chuyên môn tại ZIM.