Hàm số mũ và hàm số logarit | Tính chất, đồ thị và đạo hàm

Trong chương trình Toán 11, hàm số mũ và hàm số logarit là nội dung trọng tâm liên quan đến các quá trình tăng trưởng và suy giảm. Việc nắm rõ hàm số mũ là gì, hàm logarit là gì, điều kiện và tập xác định, tính chất hàm số mũ, tính chất hàm logarit cùng đồ thị hàm số mũ và logarit giúp học sinh nhận diện và giải các dạng bài liên quan.

Bài viết hệ thống kiến thức Bài 20, Chương VI, Toán 11 bộ Kết nối tri thức, gồm định nghĩa, tính chất, đồ thị, đạo hàm và các dạng bài tập thường gặp.

Tổng quan về hàm số mũ và hàm số logarit

Điều kiện chung mang tính tiên quyết cho cơ số \(a\) của cả hai hàm số này là cơ số phải dương và khác 1 (\(a > 0\) và \(a \neq 1\)).

• Hàm số mũ có dạng biểu diễn tổng quát là \(y = a^x\).

• Hàm số lôgarit có dạng biểu diễn tổng quát là \(y = \log_a x\).

Phép lũy thừa và phép lấy lôgarit là hai phép toán ngược nhau trong các điều kiện xác định tương ứng.

Cụ thể, nếu \(a^x = b\) thì suy ra được \(x = \log_a b\).

Trong tài liệu toán học, có thể gặp các cách gọi như: hàm lôgarit, hàm logarit, hay ngắn gọn là hàm log.

• Ký hiệu \(\log x\) (hoặc \(\lg x\)) được quy ước dùng riêng cho lôgarit thập phân, tức là lôgarit cơ số 10.

• Ký hiệu \(\ln x\) được quy ước dùng cho lôgarit tự nhiên, với cơ số là hằng số Euler \(e \approx 2,718\).

• Cần phân biệt rõ hình thức của hàm số mũ \(y = a^x\) so với hàm số lũy thừa\(y = x^\alpha\).

• Đối với hàm số mũ, biến số \(x\) luôn nằm ở phần số mũ, còn cơ số \(a\) là một hằng số cố định.

• Ngược lại, ở hàm số lũy thừa, biến số \(x\) nằm ở dưới cơ số.

Hàm số mũ là gì? Điều kiện, tập xác định và tính chất

Cho số thực dương \(a\) khác 1. Hàm số \(y = a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\). [1]

Đặc điểm nhận dạng cơ bản là biến số \(x\) luôn nằm ở vị trí số mũ.

Ví dụ: \(y = 2^x\) và \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\) là các hàm số mũ cơ bản.

Tập xác định của hàm số mũ là tập hợp các số thực, ký hiệu \(D = \mathbb{R}\).

Biến số \(x\) có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào, dù âm, dương hay bằng 0.

Tập giá trị của hàm số mũ là khoảng \(T = (0; +\infty)\).

Hàm số \(y = a^x\) luôn nhận giá trị dương với mọi biến \(x\).

Do đó, đồ thị hàm số mũ không bao giờ cắt trục hoành và phương trình \(a^x = 0\) luôn vô nghiệm.

Hàm số mũ là một hàm liên tục trên toàn bộ tập xác định \(\mathbb{R}\).

Tính đơn điệu của hàm số phụ thuộc vào giá trị của cơ số \(a\):

• Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\). Khi biến \(x\) tăng thì giá trị \(y\) cũng tăng theo.

• Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(0 < a < 1\). Khi biến \(x\) tăng thì giá trị \(y\) lại giảm xuống.

Đồ thị hàm số mũ luôn đi qua hai điểm tọa độ đặc biệt là \((0; 1)\) và \((1; a)\).

Điều này được giải thích dễ dàng bằng tính chất cơ bản của lũy thừa: \(a^0 = 1\) và \(a^1 = a\).

Trục hoành (đường thẳng có phương trình \(y = 0\)) đóng vai trò là đường tiệm cận ngang của đồ thị.

Đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị: khi \(a > 1\), đồ thị tiến gần trục hoành khi \(x \to -\infty\); khi \(0 < a < 1\), đồ thị tiến gần trục hoành khi \(x \to +\infty\).

Cần làm rõ sự khác biệt giữa hai khái niệm thường gây nhầm lẫn:

Khi nói "điều kiện của hàm số mũ", nội dung đề cập đến điều kiện của cơ số \(a > 0\)và \(a \neq 1\).

Với tập xác định của \(a^x\)", biến \(x\) có thể nhận mọi giá trị thực.

Khi mở rộng sang phần đạo hàm, trường hợp cơ số e có thể được hệ thống thêm qua chuyên đề đạo hàm e mũ u.

Hàm số logarit là gì? Điều kiện, tập xác định và tính chất

Cho số thực \(a > 0\) và \(a \neq 1\). Hàm số \(y = \log_a x\) được định nghĩa là hàm số lôgarit cơ số \(a\). [1]

Điều kiện bắt buộc của hàm logarit là biểu thức nằm bên trong dấu lôgarit phải là một số dương (\(x > 0\)).

Tính chất này xuất phát từ mối quan hệ\(a^y = x\). Vì \(a^y\) luôn dương nên \(x\) bắt buộc phải dương.

Tập xác định của hàm số lôgarit là khoảng \(D = (0; +\infty)\).

Tập giá trị của hàm số lôgarit là toàn bộ tập số thực \(T = \mathbb{R}\). Giá trị hàm số có thể âm, dương hoặc bằng 0.

Hàm số lôgarit là hàm liên tục trên khoảng xác định \((0; +\infty)\).

Tính đơn điệu của hàm số lôgarit cũng được phân chia thành hai trường hợp tương tự hàm mũ:

• Đồng biến trên \((0; +\infty)\) khi cơ số \(a > 1\).

• Nghịch biến trên \((0; +\infty)\) khi cơ số \(0 < a < 1\).

Đồ thị hàm số lôgarit luôn đi qua hai điểm đặc biệt có tọa độ là \((1; 0)\) và \((a; 1)\).

Lý do rất đơn giản: \(\log_a 1 = 0\) và \(\log_a a = 1\).

Trục tung (đường thẳng có phương trình \(x = 0\)) đóng vai trò là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Khi \(x\) tiến dần về giá trị 0, đồ thị sẽ kéo dài vô tận và bám sát dọc theo trục tung.

Cần hướng dẫn học sinh phân biệt hàm số lôgarit cơ bản \(y = \log_a x\) với các biểu thức chứa lôgarit.

Ví dụ, biểu thức \(y = \log_2 (x^2 - 1)\) không phải là hàm cơ bản, đây là một hàm hợp.

Tập xác định của hàm hợp này sẽ phụ thuộc vào điều kiện \(x^2 - 1 > 0\).

Đồ thị hàm số mũ và đồ thị hàm số logarit

Cách vẽ đồ thị hàm số mũ

1. Thao tác đầu tiên là xác định cơ số\(a\) đang rơi vào trường hợp\(a > 1\) (đồng biến) hay \(0 < a < 1\) (nghịch biến).

2. Lập bảng gồm một số giá trị tiêu biểu của biến \(x\) và giá trị tương ứng \(y = a^x\).

   Nên ưu tiên chọn các giá trị nguyên nhỏ, thông thường là \(x \in \{-1; 0; 1\}\).

3. Đánh dấu các điểm đặc biệt này lên mặt phẳng tọa độ Descartes.

   Các điểm quan trọng nhất cần chốt là \((0; 1)\), \((1; a)\) và điểm \(\left(-1; \frac{1}{a}\right)\).

4. Sử dụng bút vẽ một đường cong liên tục, trơn tru đi qua các điểm tọa độ đã xác định.

   Đường cong nằm phía trên trục hoành vì giá trị của hàm số mũ luôn dương.

   Một trong hai nhánh của đường cong phải tiến rất sát vào trục hoành để thể hiện tiệm cận ngang.

Minh họa bằng hai trường hợp đồ thị đối lập:

• Đồ thị \(y = 2^x\) có xu hướng đi lên từ trái sang phải, cắt trục tung tại \((0; 1)\) và đi qua \((1; 2)\).

• Đồ thị \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) có xu hướng đi xuống từ trái sang phải, cắt trục tung tại \((0; 1)\)và đi qua \(\left(1; \frac{1}{2}\right)\).

Cách vẽ đồ thị hàm số logarit

1. Thao tác đầu tiên là ghi nhớ điều kiện \(x > 0\) và kiểm tra tính đơn điệu của hàm số dựa trên cơ số \(a\).

2. Lập bảng giá trị tọa độ. Có thể chọn các giá trị \(x\) là lũy thừa của \(a\).

   Điều này giúp giá trị \(y\) thu được là những số nguyên dễ vẽ.

   Các giá trị \(x\)phù hợp thường là \(\left\{\frac{1}{a}; 1; a\right\}\).

3. Đánh dấu ba điểm tọa độ đặc biệt lên hệ trục: \((1;0)\), \((a;1)\) và điểm có tung độ âm \(\left(\frac{1}{a}; -1\right)\).

4. Vẽ một đường cong liên tục kết nối các điểm tọa độ này lại với nhau.

   Đường cong nằm ở phía bên phải trục tung do tập xác định là \(x>0\).

   Một nhánh của đồ thị sẽ lao xuống hoặc đi lên vô tận, bám sát trục tung để thể hiện tiệm cận đứng.

Minh họa bằng hai trường hợp:

• Đồ thị \(y = \log_2 x\) đi lên từ dưới, đi qua \((1; 0)\) và \((2; 1)\).

• Đồ thị \(y = \log_{1/2} x\) đi xuống từ trên, đi qua \((1; 0)\) và \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\).

Mối quan hệ giữa hai đồ thị cùng cơ số

Trong toán học, hàm số mũ \(y = a^x\) và hàm số lôgarit \(y = \log_a x\) được chứng minh là hai hàm số ngược của nhau.

Chính vì tính chất hàm số ngược, đồ thị của chúng có tính đối xứng hoàn hảo.

Trục đối xứng của hai đồ thị này là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất (đường thẳng \(y = x\)).

Tính đối xứng này thể hiện rất rõ ràng qua sự hoán đổi của các cặp điểm tọa độ đặc biệt.

Điểm \((0; 1)\) trên đồ thị hàm mũ đối xứng trực tiếp với điểm \((1; 0)\) trên đồ thị hàm lôgarit.

Tương tự, điểm \((1; a)\) đối xứng với điểm \((a; 1)\).

Sự thay đổi chiều biến thiên của hai hàm số này luôn song hành cùng nhau.

Khi cơ số \(a > 1\), cả hai đồ thị cùng thể hiện sự đồng biến (hướng đi lên).

Khi cơ số \(0 < a < 1\), cả hai đồ thị cùng thể hiện sự nghịch biến (hướng đi xuống).

So sánh hàm số mũ và hàm số logarit

Điểm khác nhau rõ nét nhất là sự hoán đổi giữa tập xác định và tập giá trị của hai hàm số.

Về giao điểm: hàm mũ luôn cắt trục tung và không cắt trục hoành. Ngược lại, hàm logarit cắt trục hoành và không cắt trục tung.

Người học có thể nhận dạng nhanh hai đồ thị thông qua vị trí không gian của chúng so với hệ trục.

Đồ thị hàm số mũ nằm phía trên trục hoành và cắt trục tung tại điểm \((0;1)\).

Đồ thị hàm số logarit nằm bên phải trục tung và cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\).

Các lỗi sai thường gặp khi xử lý lý thuyết:

• Cho rằng tập xác định của hàm số mũ là \(x > 0\). Thực tế, tập xác định của nó là mọi số thực \(\mathbb{R}\).

• Quên đặt điều kiện biểu thức bên trong dấu lôgarit phải lớn hơn 0 trước khi bắt tay vào giải bài.

• Nhầm chiều biến thiên khi giải toán với cơ số \(0 < a < 1\). Dẫn đến việc quên đổi chiều bất đẳng thức.

• Nhầm lẫn hàm số mũ \(y = 2^x\) với hàm số lũy thừa\(y = x^2\) do không chú ý vị trí của biến \(x\).

• Nhầm lẫn trục tiệm cận ngang của hàm mũ thành tiệm cận đứng, và sai tương tự với hàm logarit.

Các công thức đạo hàm logarit và đạo hàm hàm số mũ là nội dung liên quan khi học tiếp phần đạo hàm; trong phạm vi Bài 20, trọng tâm là định nghĩa, tập xác định, tính chất và đồ thị của hai hàm số.

Các dạng bài tập hàm số mũ và hàm số logarit

Dạng 1 – Nhận biết hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài toán 1: Xác định hàm số nào là hàm số mũ, hàm số nào là hàm lôgarit và xét tính đơn điệu của hàm số \(y = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x\) và \(y = \log_{0,5} x\).

Phân tích đề bài

• Dạng bài: Nhận biết biểu thức hàm số cơ bản và đánh giá tính đơn điệu.

• Dữ kiện đề cho: Hàm số \(y = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x\) và \(y = \log_{0,5} x\).

• Thông tin cần tìm: Phân loại dạng hàm số (mũ hay lôgarit) và xác định tính đồng biến, nghịch biến.

Các bước giải

• Bước 1: Phân tích hàm số \(y = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x\)

  • Điểm kiến thức 1: Hàm số mũ có dạng \(y = a^x\) với biến \(x\) nằm ở số mũ.

  • Hướng ứng dụng: Cơ số \(a = \frac{\pi}{3} \approx 1,047 > 1\). Vì biến \(x\) ở số mũ, đây là hàm số mũ. Do \(a > 1\), hàm số đồng biến trên toàn trục số \(\mathbb{R}\).

• Bước 2: Phân tích hàm số \(y = \log_{0,5} x\)

  • Điểm kiến thức 2: Hàm số lôgarit có dạng \(y = \log_a x\).

  • Hướng ứng dụng: Hàm số có ký hiệu lôgarit với cơ số \(a = 0,5\). Đây rõ ràng là hàm số lôgarit. Vì \(0 < 0,5 < 1\), hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; +\infty)\).

Tổng kết đáp án

• Chốt lại đáp án: \(y = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x\) là hàm số mũ đồng biến. \(y = \log_{0,5} x\) là hàm số lôgarit nghịch biến.

• Các điểm dễ nhầm lẫn: Đánh giá sai giá trị của \(\frac{\pi}{3}\) so với 1.

  • Khắc phục: Luôn bấm máy tính để quy đổi các cơ số chứa \(\pi, e\) hoặc căn thức ra số thập phân trước khi kết luận.

Dạng 2 – Tìm tập xác định

Bài toán 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau: \(y = \log_3 (x^2 - 4x + 3)\) và \(y = e^{\sqrt{x-2}}\).

Phân tích đề bài

• Dạng bài: Tìm điều kiện xác định cho hàm số hợp chứa logarit và hàm số mũ.

• Dữ kiện đề cho: Hàm hợp \(y = \log_3 u(x)\) và \(y = e^{v(x)}\).

• Thông tin cần tìm: Tìm các tập hợp giá trị của \(x\) để hàm số tồn tại (có nghĩa).

Các bước giải

• Bước 1: Phân tích hàm \(y = \log_3 (x^2 - 4x + 3)\)

  • Điểm kiến thức 1: Hàm số \(y = \log_a u(x)\) chỉ xác định khi biểu thức \(u(x) > 0\).

  • Hướng ứng dụng: Thiết lập bất phương trình điều kiện: \(x^2 - 4x + 3 > 0\).

• Bước 2: Giải bất phương trình bậc hai

  • Điểm kiến thức 2: Xét dấu tam thức bậc hai bằng quy tắc "trong trái, ngoài cùng".

  • Hướng ứng dụng: Phương trình \(x^2 - 4x + 3 = 0\) có 2 nghiệm \(x=1\) và \(x=3\). Lấy phần dương, thu được \(x < 1\) hoặc \(x > 3\). Tập xác định \(D_1 = (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\).

• Bước 3: Phân tích hàm \(y = e^{\sqrt{x-2}}\)

  • Điểm kiến thức 3: Hàm mũ \(a^{v(x)}\) xác định phụ thuộc vào điều kiện xác định của số mũ \(v(x)\). Biểu thức trong căn bậc chẵn phải \(\geq 0\).

  • Hướng ứng dụng: Hàm số có nghĩa khi \(x - 2 \geq 0\), tương đương \(x \geq 2\). Tập xác định \(D_2 = [2; +\infty)\).

Tổng kết đáp án

• Chốt lại đáp án: \(D_1 = (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\) và \(D_2 = [2; +\infty)\).

• Các điểm dễ nhầm lẫn: Học sinh thường đặt nhầm điều kiện \(x^2 - 4x + 3 \geq 0\) cho bài toán logarit.

  • Khắc phục: Luôn nhớ kỹ, biểu thức dưới dấu căn có thể bằng 0, nhưng biểu thức bên trong logarit thì phải lớn hơn 0.

Dạng 3 – Xét tính đồng biến, nghịch biến

Bài toán 3: So sánh cơ số \(a, b\) với 1, biết rằng đồ thị hàm số \(y=a^x\) có hướng đi lên và đồ thị hàm số \(y=\log_b x\) có hướng đi xuống khi nhìn từ trái qua phải.

Phân tích đề bài

• Dạng bài: Đánh giá cơ số thông qua hình dáng biến thiên của đồ thị.

• Dữ kiện đề cho: \(y=a^x\) đi lên (tăng dần), \(y=\log_b x\) đi xuống (giảm dần).

• Thông tin cần tìm: Xác định vị trí của \(a\) và \(b\) so với mốc số 1.

Các bước giải

• Bước 1: Xử lý dữ kiện hàm số mũ \(y=a^x\)

  • Điểm kiến thức 1: Đồ thị có hướng đi lên từ trái sang phải chứng tỏ hàm số đó đang đồng biến.

  • Hướng ứng dụng: Hàm số mũ chỉ đồng biến khi cơ số lớn hơn 1. Do đó, suy ra \(a > 1\).

• Bước 2: Xử lý dữ kiện hàm lôgarit \(y=\log_b x\)

  • Điểm kiến thức 2: Đồ thị có hướng đi xuống từ trái sang phải chứng tỏ hàm số đó đang nghịch biến.

  • Hướng ứng dụng: Hàm số lôgarit nghịch biến khi cơ số nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Do đó, suy ra \(0 < b < 1\).

Tổng kết đáp án

• Chốt lại đáp án: Có \(a > 1\) và \(0 < b < 1\).

• Các điểm dễ nhầm lẫn: Học sinh thường quên điều kiện dương của cơ số và kết luận sai là \(b < 1\).

  • Khắc phục: Khi tìm ra cơ số nhỏ hơn 1, phải lập tức chặn ngay điều kiện lớn hơn 0 ở vế còn lại.

Dạng 4 – Vẽ và nhận dạng đồ thị

Bài toán 4: Tìm giá trị cơ số \(a\) biết rằng đồ thị của hàm số \(y = \log_a x\) đi qua điểm \(M(8; 3)\).

Phân tích đề bài

• Dạng bài: Điểm thuộc đồ thị và bài toán tìm tham số.

• Dữ kiện đề cho: Dạng hàm số \(y = \log_a x\) và tọa độ điểm \(M(x=8; y=3)\).

• Thông tin cần tìm: Xác định giá trị hằng số \(a\).

Các bước giải

• Bước 1: Thiết lập phương trình theo \(a\)

  • Điểm kiến thức 1: Khi một điểm nằm trên đồ thị, tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình hàm số.

  • Hướng ứng dụng: Thay hoành độ \(x=8\) và tung độ \(y=3\) vào phương trình hàm số, thu được: \(3 = \log_a 8\).

• Bước 2: Sử dụng định nghĩa logarit

  • Điểm kiến thức 2: Mối quan hệ cơ bản: \(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\).

  • Hướng ứng dụng: Từ \(3=\log_a8\), áp dụng định nghĩa lôgarit để được \(a^3=8\). Giải \(a^3=2^3\), suy ra \(a=2\). Giá trị này thỏa mãn điều kiện \(a>0,\ a\ne1\).

  • Giải phương trình \(a^3 = 2^3\), suy ra \(a = 2\). Giá trị này nhận vì thỏa mãn điều kiện \(a > 0, a \neq 1\).

Tổng kết đáp án

• Chốt lại đáp án: Cơ số cần tìm là\(a = 2\). Hàm số hoàn chỉnh là \(y = \log_2 x\).

• Các điểm dễ nhầm lẫn: Lắp sai vị trí \(x\) và \(y\), hoặc viết sai thành \(3^a = 8\).

  • Khắc phục: Sử dụng trực tiếp hệ thức tương đương \(\log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b\) và kiểm tra điều kiện của cơ số.

Dạng 5 – So sánh các giá trị mũ và lôgarit

Bài toán 5: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh \(\log_3 4\) với\(\log_3 5\), và so sánh \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\)với \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}\).

Phân tích đề bài

• Dạng bài: So sánh hai giá trị toán học dựa vào tính đơn điệu của hàm số.

• Dữ kiện đề cho: Hai cặp số biểu diễn dưới dạng logarit và lũy thừa cùng cơ số.

• Thông tin cần tìm: Đặt dấu bất đẳng thức \((<, >)\) chính xác vào giữa hai giá trị.

Các bước giải

• Bước 1: So sánh cặp lôgarit

  • Điểm kiến thức 1: Vận dụng tính đồng biến của hàm số \(y = \log_a x\)\(a > 1\) khi .

  • Hướng ứng dụng: Xét hàm số \(y = \log_3 x\) có cơ số \(a = 3 > 1\), nên hàm số đồng biến. Vì \(4 < 5\), giữ nguyên chiều bất đẳng thức và suy ra\(\log_3 4 < \log_3 5\).

• Bước 2: So sánh cặp lũy thừa mũ

  • Điểm kiến thức 2: Vận dụng tính nghịch biến của hàm số \(y = a^x\) khi \(0 < a < 1\).

  • Hướng ứng dụng: Xét hàm số \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) có cơ số \(a = \frac{1}{2} < 1\), nên hàm số nghịch biến. Dù \(\sqrt{2} < \sqrt{3}\), cần đảo chiều so sánh, suy ra

    \[\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}\]

Tổng kết đáp án

• Chốt lại đáp án: Có kết quả \(\log_3 4 < \log_3 5\) và

  \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}\).

• Các điểm dễ nhầm lẫn: Quên không đảo chiều bất đẳng thức ở câu thứ hai do thói quen suy nghĩ thuận chiều.

  • Khắc phục: Xác định cơ số trước khi so sánh. Nếu \(0<a<1\), hàm số nghịch biến nên chiều so sánh giữa các giá trị hàm số đảo so với chiều so sánh của đối số hoặc số mũ.

Dạng 6 – Bài toán thực tế sử dụng hàm số mũ

Bài toán 6: Thống kê dân số của một tỉnh vào năm 2020 là 2 triệu người. Tỷ lệ tăng dân số tự nhiên hàng năm duy trì ở mức 1,2%. Nếu tiếp tục giữ nguyên tỷ lệ này, dân số của tỉnh vào năm 2026 sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Phân tích đề bài

• Dạng bài: Giải quyết bài toán thực tế dựa trên mô hình tăng trưởng hàm số mũ.

• Dữ kiện đề cho: Dân số ban đầu \(P_0 = 2\) triệu. Tỷ lệ tăng trưởng \(r = 1,2\%\). Chênh lệch thời gian là \(n = 2026 - 2020 = 6\) năm.

• Thông tin cần tìm: Dự đoán dân số \(P_6\) vào thời điểm năm 2026.

Các bước giải

• Bước 1: Thiết lập mô hình toán học tương ứng

  • Điểm kiến thức 1: Sử dụng công thức tăng trưởng dạng mũ \(P_n = P_0 \cdot (1+r)^n\).

  • Hướng ứng dụng: Lắp các thông số thực tế vào, hàm số biểu diễn là \(P_n = 2 \cdot (1 + 0,012)^n\).

• Bước 2: Tính toán giá trị dự báo

  • Điểm kiến thức 2: Tính giá trị cụ thể của hàm số tại biến số\(n=6\).

  • Hướng ứng dụng: Thay số liệu vào phương trình:

    \(P_6 = 2 \cdot (1,012)^6\)

    \(P_6 \approx 2 \cdot 1,074 \approx 2,15\) (triệu người).

Tổng kết đáp án

• Chốt lại đáp án: Dự đoán dân số tỉnh đó vào năm 2026 là khoảng 2,15 triệu người.

• Các điểm dễ nhầm lẫn: Học sinh hay quy đổi sai tỷ lệ 1,2% thành số thập phân 0,12 (thay vì 0,012 đúng chuẩn).

  • Khắc phục: Chuyển đúng \(1,2\%=0,012\) trước khi thay vào công thức tăng trưởng.

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \log_5 (4 - x^2)\).

• Gợi ý: Đặt điều kiện \(4-x^2>0\), giải bất phương trình để thu được \(D=(-2;2)\).

Bài 2: Xét hàm số \(y = (\sqrt{3} - 1)^x\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

B. Hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

• Gợi ý: Có \(\sqrt{3}-1\approx0,732\), nên \(0<\sqrt{3}-1<1\). Vì vậy, hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và chọn đáp án B.

Bài 3: Không thực hiện phép bấm máy tính, hãy so sánh hai giá trị \(3^{\sqrt{5}}\) và \(3^2\).

• Gợi ý: Vì cơ số \(3>1\), hàm số \(y=3^x\) đồng biến. Mặt khác, \(\sqrt{5}>2\), nên \(3^{\sqrt{5}}>3^2\).

Qua bài viết, học sinh đã hệ thống được kiến thức về hàm số mũ và hàm số logarit, gồm điều kiện của cơ số \(a>0,\ a\ne1\), tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và đặc điểm đồ thị. Với cùng cơ số, hai hàm số là các hàm ngược nhau nên đồ thị đối xứng qua đường thẳng \(y=x\); hàm số mũ có tiệm cận ngang \(y=0\), còn hàm số logarit có tiệm cận đứng \(x=0\). Khi giải bài tập về hàm logarit, học sinh cần xác định điều kiện để biểu thức dưới dấu logarit dương trước khi thực hiện các phép biến đổi. Việc nắm vững tính chất, đồ thị và đạo hàm của hàm số mũ và logarit giúp học sinh vận dụng chính xác vào các dạng bài và mô hình tăng trưởng, suy giảm trong chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy.