Hình vành khuyên | Khái niệm, công thức và bài tập Toán 9 dễ hiểu

Khi quan sát đĩa CD, vòng nhẫn hay vành bánh xe, người học dễ bắt gặp một phần hình học nằm giữa hai đường tròn đồng tâm. Phần đó được gọi là hình vành khuyên.

Trong bài viết này, người học sẽ tìm hiểu hình vành khuyên là gì, công thức tính diện tích hình vành khuyên, cách áp dụng vào bài tập và một số dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 9.

Hình vành khuyên là gì?

Hình vành khuyên là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm \(\left(O;R\right)\) và \(\left(O;r\right)\), trong đó \(R\gt r\). Nói đơn giản, đó là phần có dạng một dải tròn, giống phần mặt đĩa CD bao quanh tâm hoặc phần vành của bánh xe.

Trong dạng hình này, cần phân biệt ba yếu tố chính:

• \(O\) là tâm chung của hai đường tròn.

• \(R\) là bán kính của đường tròn lớn.

• \(r\) là bán kính của đường tròn nhỏ.

Có thể phân biệt nhanh như sau: hình tròn là toàn bộ phần bên trong một đường tròn, còn hình vành khuyên chỉ là phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm. Hình quạt tròn lại giống một “miếng quạt” được giới hạn bởi hai bán kính và một cung tròn, nên không có lỗ tròn ở giữa như hình vành khuyên.

Công thức tính diện tích hình vành khuyên

Diện tích phần vành được tính bằng công thức:

\[S=\pi(R^2-r^2)\]

Trong đó, \(S\) là diện tích cần tìm, \(R\) là bán kính đường tròn lớn, \(r\) là bán kính đường tròn nhỏ và \(\pi\) thường lấy bằng \(3{,}14\) hoặc lấy theo máy tính.

Có thể chứng minh công thức bằng cách xem hình vành khuyên là phần còn lại sau khi bỏ hình tròn nhỏ ra khỏi hình tròn lớn. Gọi \(S_{\text{lớn}}\) là diện tích hình tròn bán kính \(R\) và \(S_{\text{nhỏ}}\) là diện tích hình tròn bán kính \(r\), ta có:

\[S_{\text{lớn}}=\pi R^2,\quad S_{\text{nhỏ}}=\pi r^2\]

Vì phần cần tìm bằng hiệu hai diện tích trên nên:

\[S=S_{\text{lớn}}-S_{\text{nhỏ}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)\]

Điều kiện áp dụng công thức là hai đường tròn phải đồng tâm và \(R\gt r\gt0\). Nếu đề bài cho đường kính thay vì bán kính, người học cần chia đường kính cho \(2\) trước khi thay vào công thức.

Cách tính diện tích hình vành khuyên từng bước

Để tránh nhầm lẫn, người học có thể làm theo quy trình sau.

Bước 1: Xác định bán kính lớn \(R\) và bán kính nhỏ \(r\). Nếu hai số đo chưa cùng đơn vị, cần đổi về cùng một đơn vị.

Bước 2: Thay số vào công thức:

\[S=\pi(R^2-r^2)\]

Bước 3: Tính toán, làm tròn theo yêu cầu và ghi đúng đơn vị diện tích như \(\text{cm}^2\), \(\text{dm}^2\) hoặc \(\text{m}^2\).

Ví dụ: Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn \(\left(O;6\text{ cm}\right)\) và \(\left(O;10\text{ cm}\right)\).

Lời giải:

Bước 1: Bán kính lớn là \(R=10\) cm, bán kính nhỏ là \(r=6\) cm.

Bước 2: Thay vào công thức:

\[S=\pi(10^2-6^2)\]

Bước 3: Tính:

\[S=\pi(100-36)=64\pi\approx 200{,}96\text{ cm}^2\]

Kết luận: Diện tích cần tìm xấp xỉ \(200{,}96\text{ cm}^2\).

Bài tập hình vành khuyên có lời giải

Bài 1. Tính diện tích khi biết hai bán kính

Đề bài: Một phần vành có bán kính đường tròn lớn là \(7\) cm và bán kính đường tròn nhỏ là \(3\) cm. Tính diện tích.

Đề bài đã cho trực tiếp bán kính lớn và bán kính nhỏ, nên chỉ cần thay hai giá trị này vào công thức diện tích hình vành khuyên. Ta lấy diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ theo công thức \(S=\pi(R^2-r^2)\), đồng thời nhớ bình phương từng bán kính trước khi thực hiện phép trừ.

Lời giải: Ta có \(R=7\) cm và \(r=3\) cm. Áp dụng công thức:

\[S=\pi(7^2-3^2)=\pi(49-9)=40\pi\]

Nếu lấy \(\pi\approx 3{,}14\), ta được \(S\approx 125{,}6\text{ cm}^2\).

Đáp án: \(40\pi\text{ cm}^2\), xấp xỉ \(125{,}6\text{ cm}^2\).

Bài 2. Tìm bán kính nhỏ khi biết diện tích

Đề bài: Một phần vành có diện tích \(75\pi\text{ cm}^2\), bán kính đường tròn lớn là \(10\) cm. Tìm bán kính đường tròn nhỏ.

Đã biết diện tích hình vành khuyên và bán kính lớn, ta dùng công thức diện tích để tìm \(r^2\), rồi lấy căn bậc hai dương vì bán kính luôn lớn hơn \(0\). Đây là cách biến đổi công thức thường dùng khi cần tìm bán kính chưa biết.

Lời giải:

\[75\pi=\pi(10^2-r^2)\]

Chia hai vế cho \(\pi\), ta có \(75=100-r^2\). Suy ra \(r^2=25\). Vì \(r\gt0\), nên \(r=5\) cm.

Đáp án: Bán kính đường tròn nhỏ là \(5\) cm.

Bài 3. Bài toán thực tế với mặt đĩa CD

Đề bài: Một mặt đĩa CD có dạng vành, bán kính ngoài là \(6\) cm và bán kính lỗ tròn bên trong là \(1{,}5\) cm. Tính diện tích phần mặt đĩa, làm tròn đến hàng phần trăm.

Phần mặt đĩa cần tính nằm giữa đường tròn ngoài và lỗ tròn bên trong, nên \(R=6\) cm và \(r=1{,}5\) cm. Hai bán kính đã cùng đơn vị, vì vậy có thể áp dụng công thức diện tích hình vành khuyên ngay rồi làm tròn kết quả.

Lời giải: Ta có \(R=6\) cm và \(r=1{,}5\) cm. Khi đó:

\[S=\pi(6^2-1{,}5^2)=\pi(36-2{,}25)=33{,}75\pi\]

Lấy \(\pi\approx 3{,}14\), ta được \(S\approx105{,}98\text{ cm}^2\).

Đáp án: Diện tích phần mặt đĩa CD xấp xỉ \(105{,}98\text{ cm}^2\).

Các dạng bài tập hình vành khuyên thường gặp

Dạng 1: Tính diện tích khi biết đường kính. Dấu hiệu của dạng này là đề bài cho đường kính ngoài và đường kính trong. Cách làm là đổi sang bán kính trước: \(R=\dfrac{D}{2}\), \(r=\dfrac{d}{2}\), rồi mới dùng công thức diện tích.

Ví dụ dạng 1: Một vòng kim loại có đường kính ngoài \(18\) cm và đường kính lỗ trong \(10\) cm. Tính diện tích phần kim loại.

Đề bài cho hai đường kính nên cần đổi sang bán kính trước: đường kính ngoài tương ứng với \(R\), còn đường kính lỗ trong tương ứng với \(r\). Vì bán kính bằng một nửa đường kính, ta đổi số đo rồi áp dụng công thức diện tích.

Lời giải:

Bước 1: Đổi đường kính sang bán kính:

\[R=18:2=9\text{ cm},\quad r=10:2=5\text{ cm}\]

Bước 2: Thay vào công thức:

\[S=\pi(9^2-5^2)=\pi(81-25)=56\pi\]

Bước 3: Nếu lấy \(\pi\approx3{,}14\), ta có \(S\approx175{,}84\text{ cm}^2\).

Đáp án: \(56\pi\text{ cm}^2\), xấp xỉ \(175{,}84\text{ cm}^2\).

Dạng 2: Tính một phần của vành. Nếu phần được tô là một nửa, lấy \(\dfrac{1}{2}\pi(R^2-r^2)\). Nếu phần được tô là một phần tư, lấy \(\dfrac{1}{4}\pi(R^2-r^2)\). Với góc ở tâm \(n^\circ\), diện tích phần đó là:

\[S=\frac{n}{360}\pi(R^2-r^2)\]

Ví dụ dạng 2: Một mảnh vải có dạng một phần tư của vành tròn, với bán kính ngoài \(8\) dm và bán kính trong \(4\) dm. Tính diện tích mảnh vải.

Mảnh vải chỉ chiếm một phần tư hình vành khuyên, nên trước hết tính diện tích toàn bộ rồi lấy một phần tư kết quả. Nhìn chung, diện tích phần vành bằng diện tích toàn bộ nhân với tỉ lệ phần được lấy; nếu góc ở tâm là \(n^\circ\) thì tỉ lệ đó là \(\dfrac{n}{360}\).

Lời giải:

Bước 1: Diện tích toàn bộ phần vành là:

\[\pi(8^2-4^2)=\pi(64-16)=48\pi\]

Bước 2: Vì mảnh vải là một phần tư nên:

\[S=\frac{1}{4}\cdot48\pi=12\pi\]

Bước 3: Lấy \(\pi\approx3{,}14\), ta được \(S\approx37{,}68\text{ dm}^2\).

Đáp án: \(12\pi\text{ dm}^2\), xấp xỉ \(37{,}68\text{ dm}^2\).

Dạng 3: Kết hợp phần vành với hình quạt tròn. Dạng này thường yêu cầu nhận diện phần cần tính trước, sau đó tách hình thành các phần quen thuộc. Người học nên gạch chân dữ kiện về bán kính, góc ở tâm và đơn vị đo trước khi tính.

Ví dụ dạng 3: Một chi tiết trang trí có dạng phần vành ứng với góc ở tâm \(120^\circ\), bán kính ngoài \(9\) cm và bán kính trong \(4\) cm. Tính diện tích chi tiết đó.

Chi tiết chỉ là phần hình vành khuyên ứng với góc \(120^\circ\), nên diện tích cần tìm chiếm tỉ lệ \(\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}\) so với toàn bộ hình vành khuyên. Vì diện tích phần vành tỉ lệ với góc ở tâm, ta tính diện tích toàn bộ trước rồi nhân với tỉ lệ này.

Lời giải:

Bước 1: Nhận diện đây là một phần của vành, không phải toàn bộ vành. Tỉ lệ phần được lấy là:

\[\frac{120}{360}=\frac{1}{3}\]

Bước 2: Tính diện tích toàn bộ phần vành:

\[\pi(9^2-4^2)=\pi(81-16)=65\pi\]

Bước 3: Nhân với tỉ lệ góc:

\[S=\frac{1}{3}\cdot65\pi=\frac{65\pi}{3}\]

Lấy \(\pi\approx3{,}14\), ta được \(S\approx68{,}03\text{ cm}^2\).

Đáp án: \(\dfrac{65\pi}{3}\text{ cm}^2\), xấp xỉ \(68{,}03\text{ cm}^2\).

Các lỗi sai phổ biến gồm nhầm đường kính với bán kính, quên điều kiện hai đường tròn đồng tâm, thay nhầm \(R\) và \(r\), hoặc quên bình phương bán kính. Một cách kiểm tra nhanh là kết quả diện tích phải dương; nếu tính ra số âm, chắc chắn đã đặt sai thứ tự \(R\) và \(r\).

Bài tập tự luyện về hình vành khuyên

Bài 1: Tính diện tích phần vành có bán kính ngoài \(12\) cm và bán kính trong \(5\) cm.

Bài 2: Một vòng trang trí có đường kính ngoài \(28\) cm và đường kính trong \(12\) cm. Tính diện tích phần vật liệu.

Bài 3: Tính diện tích một nửa phần vành có bán kính ngoài \(11\) dm và bán kính trong \(5\) dm.

Bài 4: Một phần vành có diện tích \(84\pi\text{ cm}^2\) và bán kính ngoài \(10\) cm. Tìm bán kính trong.

Bài 5: Một bồn hoa tròn có lối đi dạng vành quanh hồ nước, bán kính ngoài \(4\) m và bán kính hồ nước \(1{,}5\) m. Tính diện tích lối đi theo \(\text{m}^2\).

Đáp án:

Ứng dụng thực tiễn của hình vành khuyên

Dạng vành tròn xuất hiện nhiều trong đời sống và kỹ thuật. Trong cơ khí, dạng hình này có thể gặp ở vòng bi, bánh xe, vòng đệm hoặc mặt cắt của ống dẫn. Trong đời sống, người học có thể thấy nó ở mặt đồng hồ, đĩa CD, vòng nhẫn, tấm lót ly hoặc các sản phẩm thủ công dạng vòng.

Việc học dạng hình này không chỉ để nhớ công thức. Quan trọng hơn, chủ đề này giúp người học luyện cách phân tích hình: nhìn một hình phức tạp thành các phần quen thuộc.

Tổng kết

Hình vành khuyên là phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm, có diện tích được tính bằng công thức \(S=\pi(R^2-r^2)\). Khi giải bài, người học nên xác định đúng \(R\), \(r\), đổi đơn vị nếu cần, thay vào công thức rồi kiểm tra kết quả. Chủ động luyện thêm các dạng bài về đường kính, phần hình được tô và bài toán thực tế sẽ giúp học sinh nắm chắc chủ đề này trong chương trình Toán 9.

Để tiếp tục củng cố kiến thức hình học và mở rộng sang các chủ đề trọng tâm khác trong chương trình, người học có thể tham khảo hệ thống bài giảng Toán 9 của ZIM Academy. Nội dung được trình bày theo từng chuyên đề, kết hợp lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp học sinh ôn tập có hệ thống và thuận tiện hơn trong quá trình tự học.