Cách làm dạng bài Linear and Quadratic Systems trong SAT® Math

Bài viết này giới thiệu về dạng bài Linear and Quadratic Systems trong SAT Math. Học sinh sẽ học cách nhận diện và giải các hệ phương trình bao gồm một phương trình tuyến tính và một phương trình bậc hai, cùng với hướng dẫn chi tiết từng bước giải bài và các bài tập ứng dụng thực tế. Mục tiêu của bài viết là giúp học sinh nâng cao kỹ năng giải toán, chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi SAT và đạt điểm cao trong phần toán cơ bản và nâng cao.

Tổng quan về dạng bài Linear and Quadratic systems trong SAT Math

Trong phần Advanced Math của SAT Math, dạng bài Linear Systems và Quadratic Systems đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá khả năng phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh.

Linear Systems liên quan đến các hệ phương trình tuyến tính, thường yêu cầu học sinh giải các hệ phương trình có hai hoặc nhiều biến số. Ví dụ, hệ phương trình đơn giản như: \[2x+3y=6\]\[x-y=2\]Để giải hệ phương trình này, học sinh cần tìm giá trị của 𝑥 và 𝑦 sao cho cả hai phương trình đều đúng. Phương pháp giải có thể bao gồm sử dụng phép thế, phương pháp cộng hoặc sử dụng ma trận.

Quadratic Systems, ngược lại, yêu cầu học sinh giải các phương trình bậc hai, như:

\[x^2-4x+4=0\]Phương trình này có thể được giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm bậc hai hoặc phương pháp hoàn thành bình phương. Ví dụ, phương trình trên có nghiệm là: x = 2

Trong kỳ thi SAT, học sinh có thể gặp phải các câu hỏi yêu cầu giải một phương trình tuyến tính hoặc bậc hai, hoặc kết hợp cả hai loại phương trình trong một bài toán duy nhất. Ví dụ:

\[y=2x+1\]\[y=x^2-4\]Học sinh cần xác định và giải các nghiệm chung của cả hai phương trình để tìm ra đáp án chính xác. Việc hiểu rõ cách giải và áp dụng các phương pháp giải phương trình sẽ giúp học sinh tăng khả năng đạt điểm cao trong phần này của bài thi SAT.

Chiến lược làm bài dạng Linear và Quadratic Systems trong SAT Math

Trong phần SAT Math, các dạng bài tập liên quan đến Linear Systems và Quadratic Systems có thể xuất hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, từ giải phương trình, tìm nghiệm cho đến xác định phương trình hoặc nghiệm từ đồ thị. Để thành công trong các dạng bài này, học sinh cần nắm vững chiến lược giải quyết từng dạng cụ thể.

1. Giải phương trình tuyến tính (Linear Equations)

Phương trình tuyến tính là dạng phương trình bậc nhất, thường có dạng tổng quát:

\[𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐\]Để giải các bài tập liên quan đến phương trình tuyến tính, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:

a) Phương pháp thế: Được sử dụng khi hệ phương trình có hai phương trình. Học sinh sẽ giải một phương trình để tìm một biến số, sau đó thế vào phương trình còn lại để tìm giá trị của biến số kia.

Ví dụ:

\[2x+3y=12\]\[y=x+2\]Bước 1: Giải phương trình thứ hai để tìm 𝑦:

\[y=x+2\]Bước 2: Thế y=x+2 vào phương trình đầu tiên:

\[2x+3(x+2)=12\]Giải phương trình này để tìm x:

\[2x+3x+6=12\implies5x=6\implies x=\frac65\]Bước 3: Thế x=6/5 vào y=x+2 để tìm y:

\[y=\frac65+2=\frac{16}{5}\]b) Phương pháp cộng: Học sinh cộng hoặc trừ các phương trình với nhau để loại bỏ một biến số.

Ví dụ:

\[3x+2y=18\]\[2x-2y=2\]Cộng hai phương trình để loại bỏ y:

\[(3x+2y)+(2x−2y)=18+2⟹5x=20⟹x=4\]Thế x=4 vào một trong các phương trình để tìm y:

\[3(4)+2y=18⟹12+2y=18⟹2y=6⟹y=3\]

2. Giải phương trình bậc hai (Quadratic Equations)

Phương trình bậc hai có dạng tổng quát: \[ax^2+bx+c=0\]Để giải các bài toán này, có thể sử dụng các phương pháp sau:

a) Phương pháp phân tích thành nhân tử: Áp dụng khi phương trình có thể được phân tích thành tích của hai nhị thức.

Ví dụ: \[x^2-5x+6=0\]Phân tích thành nhân tử: \[(x−2)(x−3)=0\]Vậy nghiệm của phương trình là x=2 hoặc x=3.

b) Sử dụng công thức nghiệm: Khi không thể phân tích thành nhân tử dễ dàng, học sinh có thể sử dụng công thức nghiệm: \[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]Ví dụ:\[2x^2-4x-6=0\]Áp dụng công thức nghiệm với a=2, b=−4, c=−6:

\[x=-\frac{-(-4)\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\left(2\right)\left(-6\right)}}{2\left(2\right)}=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{64}}{4}=\frac{4\pm8}{4}\]Vậy nghiệm của phương trình là x=3 hoặc x=−1.

3. Giải hệ phương trình tuyến tính và bậc hai (Linear and Quadratic Systems)

Khi giải hệ phương trình gồm một phương trình tuyến tính và một phương trình bậc hai, học sinh cần tìm các nghiệm chung của cả hai phương trình. Điều này có thể thực hiện bằng cách sử dụng phương pháp thế hoặc cộng trừ.

a) Phương pháp thế:

Ví dụ:\[y=2x+1\]\[y=x^2-4x+3\]Bước 1: Thế y=2x+1 vào phương trình bậc hai:

\[2x+1=x^2-4x+3\]Bước 2: Giải phương trình bậc hai còn lại:

\[x^2-6x+2=0\]Áp dụng công thức nghiệm:\[x=\frac{6\pm\sqrt{36-8}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{28}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt7}{2}=3\pm\sqrt7\]Bước 3: Thế nghiệm x vào phương trình tuyến tính để tìm y.

b) Giải bài toán đồ thị:

Trong bài toán đồ thị, học sinh có thể được cung cấp một đồ thị với đường thẳng và parabol, yêu cầu xác định phương trình của chúng hoặc tìm nghiệm từ đồ thị.

Ví dụ: Cho đồ thị của:\[y=x^2-4x+3\]và: \[y=2x+1\]

Xác định điểm giao nhau của hai đường (y = x² - 4x + 3 và y = 2x + 1)

Bước 1: Xác định các điểm giao nhau của đồ thị.

Bước 2: Từ đó, tìm nghiệm tương ứng của hệ phương trình bằng cách xác định các giá trị x và y tại điểm giao nhau. Nếu bài toán yêu cầu tìm phương trình, học sinh cần sử dụng các điểm đã biết để xác định các tham số trong phương trình.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

Một số lưu ý khi làm bài dạng Linear and Quadratic Systems

• Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ yêu cầu của bài toán, phân biệt giữa phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai.

• Lựa chọn phương pháp giải phù hợp: Với hệ phương trình, ưu tiên phương pháp thế hoặc cộng trừ; với phương trình đơn, chọn phân tích nhân tử hoặc công thức nghiệm tuỳ theo tình huống.

• Kiểm tra nghiệm: Khi tìm được nghiệm, hãy thay ngược lại vào các phương trình ban đầu để kiểm tra tính chính xác.

• Lưu ý về đồ thị: Khi bài toán yêu cầu tìm nghiệm từ đồ thị, hãy chú ý đến số điểm giao nhau giữa đường thẳng và parabol, vì đây là số nghiệm của hệ phương trình.

• Cẩn thận với dấu và phép tính: Các lỗi tính toán thường gặp như sai dấu hay phép cộng trừ đơn giản có thể dẫn đến kết quả sai, vì vậy cần cẩn thận trong từng bước giải.

Bài tập ứng dụng

Bài 1: Solve the following linear equation:\[3x−7=2x+5\]Find the value of x.

Bài 2: Solve the following quadratic equation by factoring:

\[x^2-5x+6=0\]Find the solutions of the equation.

Bài 3: Given this system of linear equations:

\[2x+3y=12\]\[x-y=3\]Solve the system of linear equations by substitution method.

Bài 4: Given the graph of the linear equation: \(y=−x+2\) and the graph of the quadratic equation: \(𝑦=𝑥^2-4\). Determine the number of solutions of this system of equations by determining the number of intersection points between the two graphs.

Bài 5: Given the quadratic equation: \(y=2x^2-3x-2\) has one solution: \(x=-\frac12\). Find the equation of the find the equation of the line 𝑦=𝑚𝑥+𝑐 that is a tangent to the given quadratic equation.

Lời giải chi tiết

Bài 1: Giải phương trình tuyến tính sau: \[3x−7=2x+5\]Chuyển tất cả các hạng tử chứa x về một phía của phương trình. Ta trừ 2x từ cả hai vế của phương trình:\[3x−2x−7=5\]Điều này đơn giản hóa phương trình thành:\[x−7=5\]Kết luận: Giá trị của x là 12.

Bài 2: Giải phương trình bậc hai sau bằng cách phân tích nhân tử:\[x^2-5x+6=0\]Bước 1: Tìm hai số có tích bằng hằng số (hệ số tự do) và tổng bằng hệ số của 𝑥.

Phương trình có dạng tổng quát là: \[ax^2+bx+c=0\]Trong trường hợp này:

• Hệ số của x² là 1 (tức a=1).

• Hệ số của x là −5 (tức b=−5).

• Hằng số tự do là 6 (tức c=6).

Ta cần tìm hai số mà tổng là −5 và tích là 6. Các số đó là −2 và −3.

Bước 2: Phân tích phương trình thành các nhân tử.

Phương trình có thể viết lại dưới dạng:\[x^2-2x-3x+6=0\]Nhóm các hạng tử lại để tạo thành nhân tử chung:\[x(x−2)−3(x−2)=0\]Nhân tử chung x−2 xuất hiện ở cả hai vế, do đó phương trình có thể viết thành:\[(x−2)(x−3)=0\]Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình.

Để phương trình bằng 0, ít nhất một trong hai nhân tử phải bằng 0:

x−2=0 hoặc x−3=0

Kết luận: Các nghiệm của phương trình là x = 2 và x = 3.

Bài 3: Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp thế:

\[2x+3y=12\]\[x-y=3\]Bước 1: Giải phương trình thứ hai để biểu diễn x theo y.

Từ phương trình x−y=3, ta có:\[x=y+3\]Bước 2: Thế biểu thức của x từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất.

Thay x=y+3 vào phương trình 2x+3y=12:\[2(y+3)+3y=12\]Phân phối hằng số 2 trong ngoặc:\[2y+6+3y=12\]Bước 3: Giải phương trình vừa có để tìm y.

\[5y+6=12\implies5y=6\implies y=\frac65\]Bước 4: Thay giá trị y vừa tìm được vào phương trình thứ hai để tìm x.

Sử dụng phương trình x = y+3:\[x=\frac65+3\]Quy đồng mẫu số:

\[x=\frac65+\frac{15}{5}=\frac{21}{5}\]Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là x= 21/5 và y= 6/5.

Bài 4: Cho đồ thị của phương trình tuyến tính \(y=−x+2\) và đồ thị của phương trình bậc hai \(y=x^2-4\). Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình này bằng cách xác định số điểm giao giữa hai đồ thị.

Bước 1: Viết lại hệ phương trình.

Ta có hệ phương trình:

y= -x + 2 (linear equation)

y= x² - 4 (quadratic equation)

Bước 2: Xác định số điểm giao giữa hai đồ thị.

Để tìm số điểm giao giữa hai đồ thị, ta đặt hai phương trình bằng nhau:\[-x+2=x^2-4\]Chuyển hết các hạng tử về một vế:\[x^2+x-6=0\]Bước 3: Giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm.

Phương trình x²+x-6=0 là một phương trình bậc hai tiêu chuẩn. Ta sử dụng công thức nghiệm để giải:\[x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]Với a=1, b=1, và c=−6, ta có:\[x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\left(1\right)\left(-6\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}\]Vậy, ta có hai nghiệm:\[x_1=\frac{-1+5}{2}=2\]\[x_2=\frac{-1-5}{2}=-3\]Bước 4: Tìm giá trị tương ứng của y.

Thay các giá trị x vừa tìm được vào phương trình tuyến tính y=−x+2 để tìm y:

Với x=2:\[y=−2+2=0\]Nghiệm thứ nhất là (2,0).

Với x=−3:\[y=3+2=5\]Nghiệm thứ hai là (−3,5).

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm (2,0) và (−3,5), tương ứng với hai điểm giao giữa đồ thị của phương trình tuyến tính và đồ thị của phương trình bậc hai.

Bài 5: Cho phương trình bậc hai \(y=2x^2-3x-2\) có một nghiệm là: \(x=-\frac12\). Tìm phương trình của đường thẳng 𝑦=𝑚𝑥+𝑐 tiếp tuyến với phương trình bậc hai đã cho.

Bước 1: Phân tích yêu cầu bài toán.

Bài toán yêu cầu tìm một phương trình đường thẳng y=mx+c sao cho nó chỉ có đúng một nghiệm chung với phương trình bậc hai y=2x²-3x-2. Điều này có nghĩa là đường thẳng phải tiếp xúc với parabol tại đúng một điểm.

Bước 2: Xét điều kiện tiếp xúc.

Để đường thẳng và parabol tiếp xúc, phương trình hoành độ giao điểm của chúng phải có đúng một nghiệm, tức là phương trình sau phải có nghiệm kép:\[2x^2-3x-2=mx+c\]Chuyển hết các hạng tử về một vế:\[2x^2-(m+3)x-(c+2)=0\]Bước 3: Sử dụng điều kiện có nghiệm kép.

Phương trình bậc hai có nghiệm kép khi và chỉ khi biệt thức bằng 0. Biệt thức Δ của phương trình 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0 được tính bởi:\[\Delta=b^2-4ac\]Ở đây, a=2, b=−(m+3), và c=−(c+2). Thay vào công thức, ta có:\[\Delta=[-(m+3)]^2-4(2)(-(c+2))=(m+3)^2+8(c+2)\]Bước 4: Đặt Δ=0

Ta đặt Δ=0 để tìm 𝑚 và 𝑐:\[(m+3)^2+8(c+2)=0\]Giải phương trình này, ta có:\[(m+3)^2=-8(c+2)\]Vì vế trái là một số dương hoặc bằng 0, c+2 phải là một số không dương, nghĩa là c ≤−2.

Bước 5: Lựa chọn giá trị cụ thể cho m và c.

Chúng ta có thể chọn một giá trị m và c thỏa mãn phương trình trên. Giả sử chọn c=−2, ta có:\[(m+3)^2=0\]Điều này suy ra m+3=0 hay m=−3.

Vậy phương trình của đường thẳng là:\[y=−3x−2\]Bước 6: Xác nhận điều kiện tiếp xúc.

Cuối cùng, để xác nhận đường thẳng y=−3x−2 thực sự tiếp xúc với parabol y=2x² −3x−2, ta thay vào phương trình hoành độ giao điểm:\[2x^2-3x-2=-3x-2\]Chuyển hết về một vế:\[2x^2=0\]Phương trình này có nghiệm kép là x=0.

Vì vậy, đường thẳng y=−3x−2 tiếp xúc với parabol tại đúng một điểm, thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đồ thị phía dưới minh họa điểm tiếp xúc của 2 phương trình:

Đọc tiếp: Cách làm dạng bài Quadratic and exponential word problems

Tổng kết

Bài viết vừa rồi đã giới thiệu chi tiết dạng bài Linear and Quadratic Systems trong kỳ thi SAT Math. Qua phần lý thuyết và các bài tập ở trên, hy vọng học sinh đã nắm rõ cách làm bài và có thể đạt kết quả tốt trong kỳ thi sắp tới. Nếu có thắc mắc hoặc câu hỏi cần giải đáp, học sinh có thể truy cập diễn đàn ZIM Helper để nhận được sự hỗ trợ từ đội ngũ giảng viên của ZIM Academy.

Để đạt kết quả cao trong kỳ thi SAT, việc nắm vững chiến lược và phương pháp giải các dạng toán là yếu tố then chốt. Tựa sách “Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies” cung cấp cho thí sinh cái nhìn tổng quan về các dạng toán trong kỳ thi, cùng hướng tư duy hiệu quả để giải quyết từng dạng bài. Mỗi chủ đề được trình bày với kiến thức cơ bản, ví dụ minh họa, cách giải mẫu và bài tập luyện tập kèm đáp án chi tiết. Đọc thử: tại đây.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.