Công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm | Cách tính và bài tập

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là một số đặc trưng đo xu thế trung tâm, giúp ước lượng giá trị xuất hiện phổ biến nhất trong mẫu số liệu.

Bài viết trình bày mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là gì, kí hiệu \(M_o\), công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, cách xác định nhóm chứa mốt có tần số lớn nhất và cách tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm qua các ví dụ, bài tập Toán 11 có lời giải chi tiết.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất. [1]

Tuy nhiên khi xét trong một mẫu số liệu ghép nhóm thì việc tìm ra một giá trị mốt chính xác tuyệt đối như đối với mẫu số liệu không ghép nhóm là điều hoàn toàn bất khả thi.

Từ đó, các nhà toán học đã đưa ra định nghĩa mang tính chất xấp xỉ: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là một giá trị xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc ban đầu, được xác định dựa trên nhóm có tần số lớn nhất (được gọi là nhóm chứa mốt).

Ký hiệu chung cho mốt: \(M_o\).

Ý nghĩa thống kê:

• Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm phản ánh đỉnh cao nhất của mật độ phân b dữ liệu. Nó đại diện cho vùng giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi chúng ta tiến hành lấy mẫu ngẫu nhiên từ quần thể.

• Các giá trị nằm xung quanh giá trị mốt \(M_o\) luôn sở hữu tần suất xuất hiện dày đặc và cô đọng hơn hẳn so với các vùng dữ liệu còn lại.

Lưu ý quan trọng [2]:

• Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau.

• Mốt của một mẫu số liệu ghép nhóm có thể không tồn tại hoặc có nhiều hơn một giá trị mốt tùy thuộc vào đặc điểm phân bố tần số của các nhóm.

Công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Mốt của một mẫu số liệu ghép nhóm được xác định thông qua công thức sau đây [2]:

\[M_o = a_j + \frac{m_j - m_{j-1}}{(m_j - m_{j-1}) + (m_j - m_{j+1})} \cdot h\]

Trong đó:

• \(a_{j}\): Đầu mút trái của nhóm chứa mốt. Nhóm chứa mốt được định nghĩa là nhóm có tần số lớn nhất trong bảng dữ liệu ghép nhóm, ký hiệu khoảng tổng quát là \([a_{j};a_{j+1})\).

• \(m_{j}\): Tần số của chính nhóm chứa mốt đó. Đây chính là giá trị tần số lớn nhất trong toàn bộ cột hoặc dòng tần số.

• \(m_{j-1}\): Tần số của nhóm nằm ngay kề trước (phía bên trái) của nhóm chứa mốt trên bảng thống kê.

• \(m_{j+1}\): Tần số của nhóm nằm ngay kề sau (phía bên phải) của nhóm chứa mốt trên bảng thống kê.

• \(h\): Độ dài của các nhóm dữ liệu trong bảng số liệu hiệu chỉnh, được tính toán bằng hiệu số giữa đầu mút phải và đầu mút trái của một nhóm bất kỳ: \(h=a_{j+1}-a_{j}\).

Hai trường hợp nhóm chứa mốt rơi vào vị trí biên cần quy ước

Trong các đề thi đánh giá năng lực hoặc thi học kỳ môn Toán 11, các giám khảo rất thích lồng ghép các bài toán bẫy mà nhóm chứa mốt rơi vào vị trí biên. Học sinh cần ghi nhớ hai quy ước nền tảng sau:

1. Nếu nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên của bảng số liệu (tức là không tồn tại nhóm kề trước), ta quy ước tần số của nhóm kề trước bằng số không: \(m_{j-1} = 0\).

2. Nếu nhóm chứa mốt là nhóm cuối cùng của bảng số liệu (tức là không tồn tại nhóm kề sau), ta quy ước tần số của nhóm kề sau bằng số không: \(m_{j+1} = 0\).

Cách tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Để giải quyết một bài toán tính mốt trong các bài kiểm tra hoặc bài thi thực tế một cách nhanh chóng, chính xác và không bao giờ bị nhầm lẫn, học sinh nên áp dụng quy trình thuật toán gồm 4 bước sau đây:

Bước 1: Xác định nhóm chứa mốt

Người học tiến hành đọc qua tần số của từng nhóm trong toàn bộ bảng số liệu ghép nhóm. Hãy so sánh các giá trị tần số với nhau để tìm ra tần số lớn nhất. Nhóm khoảng tương ứng chứa tần số lớn nhất này chính là nhóm chứa mốt, ký hiệu dưới dạng khoảng nửa mở \([a_{j};a_{j+1})\).

Bước 2: Thu thập và ghi nhận các thông số tần số

Sau khi đã định vị được nhóm chứa mốt ở bước 1, hãy ghi chính xác ba thông số tần số ra nháp: Tần số của nhóm chứa mốt (\(m_j\)), tần số của nhóm đứng ngay liền trước nó (\(m_{j-1}\)), và tần số của nhóm đứng ngay liền sau nó (\(m_{j+1}\)). Chú ý áp dụng quy ước bằng biên 0 nếu rơi vào lớp đầu hoặc lớp cuối.

Bước 3: Xác định đầu mút và tính độ dài nhóm

Ghi nhận giá trị đầu mút trái \(a_{j}\) của nhóm chứa mốt. Đồng thời, thực hiện phép trừ đơn giản giữa đầu mút phải và đầu mút trái để tìm ra độ dài nhóm: \(h=a_{j+1}-a_{j}\).

Bước 4: Thay số vào công thức và tính kết quả

Điền toàn bộ 5 thông số vừa tìm được ở Bước 2 và Bước 3 vào công thức tổng quát:

\[M_o = a_j + \frac{m_j - m_{j-1}}{(m_j - m_{j-1}) + (m_j - m_{j+1})} \cdot h\]
Thực hiện các phép tính đại số cẩn thận, làm tròn số thập phân theo đúng yêu cầu cụ thể của đề bài (thông thường yêu cầu làm tròn đến hàng phần trăm, tức là hai chữ số sau dấu phẩy) và đưa ra phát biểu ý nghĩa bài toán (nếu có).

Ví dụ minh họa:

Bài toán: Khảo sát thời gian đi từ nhà đến trường bằng xe buýt (đơn vị: phút) của 40 học sinh lớp 11B trong một tháng, người ta thu gọn dữ liệu thu được vào bảng tần số ghép nhóm cụ thể dưới đây:

Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Có kết luận gì từ giá trị tính được?

Lời giải chi tiết:

Chúng ta lần lượt áp dụng quy trình 4 bước:

Bước 1: Nhìn vào dòng số học sinh (tần số), các tần số lần lượt là \(4, 9, 16, 8, 3\). Ta thấy tần số lớn nhất là \(16\). Tần số này ứng với nhóm \([20; 25)\). Vậy nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm \([20; 25)\).

Bước 2: Từ vị trí nhóm chứa mốt, ta có \(j=3\) và thu thập được các thông số tần số liên quan:

• Tần số của nhóm chứa mốt: \(m_3=16\).

• Tần số của nhóm kề trước: \(m_2=9\).

• Tần số của nhóm kề sau: \(m_4=8\).

Bước 3: Xác định các thông số của nhóm chứa mốt \([20; 25)\):

• Đầu mút trái của nhóm: \(a_3=20\).

• Độ dài của nhóm dữ liệu: \(h = 25 - 20 = 5\).

Bước 4: Thay toàn bộ các giá trị số này vào công thức tính mốt tổng quát, ta thu được biểu thức:

\[M_o = 20 + \frac{16 - 9}{(16 - 9) + (16 - 8)} \cdot 5\].

\[M_o = 20 + \frac{7}{15} \cdot 5 = 20 + \frac{7}{3} = \frac{67}{3} \approx 22,33 (phút)\].

Ý nghĩa thực tiễn: Kết quả này cho biết rằng thời gian đi từ nhà đến trường bằng xe buýt phổ biến nhất, xuất hiện với mật độ cao nhất trong số các học sinh được khảo sát là khoảng \(22,33\) phút.

Các trường hợp đặc biệt khi xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong quá trình làm các bài thi trắc nghiệm tổng hợp hoặc tự luận phân hóa nâng cao, học sinh lớp 11 rất dễ gặp phải các bảng dữ liệu có cấu trúc dị biệt không tuân theo quy luật một đỉnh thông thường. Việc nắm rõ bản chất toán học của các trường hợp đặc biệt này sẽ giúp người học xử lý tình huống một cách thông minh và chính xác.

Trường hợp mẫu số liệu có nhiều nhóm cùng đạt tần số lớn nhất

Nếu trong bảng tần số ghép nhóm xuất hiện từ hai nhóm trở lên độc lập mà tại đó tần số của chúng bằng nhau và cùng đạt giá trị lớn nhất, thì mẫu số liệu đó được gọi là mẫu số liệu nhiều mốt.

Đối với trường hợp này, chúng ta không được phép bỏ qua nhóm nào, mà bắt buộc phải tiến hành áp dụng công thức tính mốt một cách riêng biệt và độc lập cho từng nhóm chứa mốt đó. Kết quả cuối cùng trả về sẽ bao gồm nhiều giá trị mốt khác nhau.

Điều này phản ánh thực tế dữ liệu có sự phân hóa rõ rệt thành nhiều xu hướng tập trung cục bộ (ví dụ: thị trường có hai phân khúc khách hàng có thị hiếu hoàn toàn khác nhau).

Trường hợp tất cả các nhóm có tần số bằng nhau hoàn toàn

Khi tất cả các nhóm dữ liệu được liệt kê trong bảng phân phối ghép nhóm đều sở hữu một giá trị tần số giống nhau. Trong điều kiện phân b đều này, hoàn toàn không có bất kỳ một khoảng giá trị nào thể hiện xu thế tập trung hay mật độ phần tử cao hơn phần còn lại của tổng thể mẫu. Do đó, người học cần kết luận một cách chắc chắn: mẫu số liệu ghép nhóm này không có mốt.

Trường hợp đặc biệt nằm ở biên

Trong trường hợp ta chỉ cần áp dụng quy ước đã nêu ở trên để xử lý bài toán:

• Nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên: \(m_{j-1}=0\).

• Nhóm chứa mốt là nhóm cuối cùng: \(m_{j+1}=0\).

Ví dụ minh họa: Một bảng thống kê điểm số đánh giá một sản phẩm công nghệ mới của 20 chuyên gia công nghệ:

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Lời giải chi tiết:

Tần số lớn nhất trong bảng số liệu trên là \(9\), nằm ở nhóm cuối cùng của bảng là nhóm \([90; 100]\). Như vậy, nhóm chứa mốt chính là nhóm \([90; 100]\). Ta có \(j=4\) và tiến hành áp dụng quy ước biên để thu thập thông số:

• Đầu mút trái của nhóm chứa mốt: \(a_4=90\).

• Độ dài của nhóm dữ liệu: \(h = 100 - 90 = 10\).

• Tần số của nhóm chứa mốt: \(m_4=9\).

• Tần số của nhóm kề trước: \(m_3=5\).

• Tần số của nhóm kề sau: Vì đây là nhóm cuối cùng của bảng ghép nhóm, không tồn tại nhóm đứng sau nó, nên ta áp dụng quy ước biên: \(m_5=0\).

Thay tất cả các giá trị số này vào công thức nội suy mốt, ta có kết quả tính toán:

\[M_o = 90 + \frac{9 - 5}{(9 - 5) + (9 - 0)} \cdot 10 = 90 + \frac{40}{13} = \frac{1210}{13} \approx 93,08\].

Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đặc biệt này xấp xỉ bằng \(93,08\) điểm, phản ánh xu hướng chuyên gia đánh giá sản phẩm ở mức rất cao.

Bài tập vận dụng tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Để giúp học sinh rèn luyện tư duy phản xạ toán học một cách thành thục, phần này cung cấp hệ thống 3 bài tập tự luận đa cấp độ có lời giải chi tiết, mô phỏng chính xác cấu trúc các câu hỏi phân hóa trong đề thi thực tế Toán 11.

Bài tập 1 (Mức độ cơ bản)

Đề bài: Một công ty nông nghiệp tiến hành cân khối lượng của 50 quả bưởi da xanh (đơn vị: gram) thu hoạch được tại một trang trại mẫu và tổng hợp lại vào bảng tần số ghép nhóm sau:

Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm bưởi da xanh nói trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phân tích đề bài:

• Dạng bài: Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm cơ bản (trường hợp bảng phân phối có một đỉnh đơn lẻ, không nằm ở biên).

• Dữ kiện đề cho:

  • Cỡ mẫu \(n = 50\).

  • Gồm 5 nhóm số liệu có cùng độ dài khoảng \(h = 850 - 800 = 50\).

  • Dãy tần số tương ứng của các nhóm: \(6, 10, 18, 12, 4\).

• Thông tin cần tìm: Nhóm có tần số lớn nhất và tính giá trị mốt \(M_o\) (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Kiến thức cần dùng:

• Xác định nhóm chứa mốt.

• Công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải chi tiết:

Tần số lớn nhất trong bảng số liệu là \(18\). Tần số này tương ứng với nhóm khoảng thứ ba là nhóm \([900; 950)\). Do đó nhóm chứa mốt là \([900; 950)\). Ta có \(j=3\) và thu thập các thông số cần thiết:

• Đầu mút trái của nhóm chứa mốt: \(a_3=900\).

• Độ dài của nhóm dữ liệu: \(h=950-900=50\).

• Tần số nhóm chứa mốt: \(m_3=18\).

• Tần số nhóm đứng liền trước: \(m_2=10\).

• Tần số nhóm đứng liền sau: \(m_4=12\).

Thay tất cả các giá trị số này vào công thức nội suy mốt, ta có kết quả tính toán:

\[M_o = 900 + \frac{18 - 10}{(18 - 10) + (18 - 12)} \cdot 50 = 900 + \frac{400}{14}=\frac{6500}{7} \approx 928,57\] (gram).

Kết luận: Mốt khối lượng quả bưởi da xanh thu hoạch được xấp xỉ bằng \(928,57\) gram.

Bài tập 2 (Mức độ trung bình)

Đề bài: Khảo sát thời gian hoàn thành một câu hỏi thi trắc nghiệm khó (đơn vị: giây) của 30 học sinh giỏi lớp 11, chuyên viên thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

Giải thích vì sao mẫu số liệu này có hai mốt và tính giá trị cụ thể của hai mốt đó.

Phân tích đề bài

• Dạng bài: Nhận diện và tính toán mốt cho mẫu số liệu ghép nhóm nhiều đỉnh (mẫu đa mốt / nhị mốt).

• Dữ kiện đề cho:

  • Cỡ mẫu \(n = 30\), độ dài mỗi nhóm \(h = 10\).

  • Dãy tần số: \(2, 10, 6, 10, 2\).

  • Giá trị tần số lớn nhất là \(10\) xuất hiện đồng thời ở hai nhóm riêng biệt là \([10; 20)\) và \([30; 40)\).

• Thông tin cần tìm:

  • Lập luận giải thích vì sao mẫu có 2 mốt.

  • Giá trị mốt thứ nhất \(M_{o1}\) và mốt thứ hai \(M_{o2}\).

Kiến thức cần dùng:

• Khái niệm mẫu đa mốt.

• Công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải chi tiết:

Quan sát dòng tần số học sinh: \(2, 10, 6, 10, 2\). Tần số lớn nhất trong bảng là giá trị \(10\). Giá trị này xuất hiện đồng thời ở hai nhóm riêng biệt là nhóm \([10; 20)\) và nhóm \([30; 40)\). Vì vậy, mẫu số liệu ghép nhóm này có hai mốt. Ta tiến hành tính toán từng giá trị mốt:

1. Tính giá trị mốt thứ nhất (\(M_{o1}\)) tại nhóm \([10; 20)\).

   Ta có \(j=2\), đầu mút trái \(a_{2} = 10\), độ dài nhóm \(h = 10\). Tần số nhóm mốt \(m_2 = 10\), kề trước \(m_{1} = 2\), kề sau \(m_{3} = 6\). Do đó:

\[M_{o1} = 10 + \frac{10 - 2}{(10 - 2) + (10 - 6)} \cdot 10 = 10 + \frac{80}{12} = \frac{50}{3} \approx 16,67\] (giây).

2. Tính giá trị mốt thứ hai (\(M_{o2}\)) tại nhóm \([30; 40)\):

   Ta có \(j=4\), đầu mút trái \(a_{4} = 30\), độ dài nhóm \(h = 10\). Tần số nhóm mốt \(m_4 = 10\), kề trước \(m_{3} = 6\), kề sau \(m_{5} = 2\). Do đó:

\[M_{o2} = 30 + \frac{10 - 6}{(10 - 6) + (10 - 2)} \cdot 10 = 30 + \frac{40}{12} = \frac{100}{3} \approx 33,33\] (giây).

Kết luận: Mẫu số liệu ghép nhóm này sở hữu hai giá trị mốt xấp xỉ lần lượt là \(16,67\) giây và \(33,33\) giây.

Bài tập 3 (Mức độ nâng cao)

Đề bài: Khảo sát doanh thu bán hàng mỗi ngày của một cửa hàng tạp hóa trong một tháng, người ta lập bảng dữ liệu ghép nhóm. Do sơ suất, tần số ẩn \(x\) của nhóm kề sau nhóm chứa mốt bị mất. Biết rằng nhóm chứa mốt là nhóm \([20; 25)\), và giá trị mốt tính toán trong báo cáo là \(M_o = 22\) triệu đồng. Hãy tìm giá trị tần số còn thiếu \(x\) dựa trên bảng sau:

Phân tích đề bài

• Dạng bài: Bài toán ngược về mốt ghép nhóm — thiết lập và giải phương trình đại số để khôi phục tần số ẩn \(x\).

• Dữ kiện đề cho:

  • Nhóm chứa mốt là \([20; 25)\) \(\Rightarrow a_3=20,h=25-20=5\).

  • Tần số nhóm chứa mốt: \(m_3=15\).

  • Tần số nhóm kề trước: \(m_{2} = 7\); tần số nhóm kề sau: \(m_{4} = x\).

  • Giá trị mốt đã cho: \(M_o = 22\).

• Thông tin cần tìm: Giá trị nguyên dương của tần số \(x\) thỏa mãn cấu trúc bảng số liệu (\(x < 15\)).

Kiến thức cần dùng

• Công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

• Kỹ năng đại số.

Lời giải chi tiết:

Đề bài cho biết nhóm chứa mốt là nhóm \([20; 25)\). Dựa trên lý thuyết, ta có \(j=3\) và trích xuất được toàn bộ các thông số liên quan để lập phương trình đại số:

• Đầu mút trái của nhóm chứa mốt: \(a_3 = 20\).

• Độ dài của nhóm doanh thu dữ liệu: \(h = 25 - 20 = 5\).

• Tần số của nhóm chứa mốt: \(m_3 = 15\).

• Tần số của nhóm đứng liền trước: \(m_{2} = 7\).

• Tần số của nhóm đứng liền sau: \(m_{4} = x\) (vì tần số lớn nhất là 15 nên \(x < 15\)).

Bây giờ, ta tiến hành thế toàn bộ các thông số này cùng giá trị mốt \(M_o = 22\) vào công thức tổng quát:

\[22 = 20 + \frac{15 - 7}{(15 - 7) + (15 - x)} \cdot 5\]

Thực hiện các bước biến đổi đại số để cô lập biến \(x\):

\[22 - 20 = \frac{8}{8 + 15 - x} \cdot 5 \Leftrightarrow 2 = \frac{40}{23 - x}\]

\[\Leftrightarrow2 \cdot (23 - x) = 40 \Leftrightarrow 46 - 2x = 40 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3\]

Nhận xét: Giá trị tìm được \(x = 3\) hoàn toàn thỏa mãn các điều kiện nguyên dương của tần số (\(3 \in \mathbb{N}^*\)) và thỏa mãn điều kiện \(3 < 15\) để nhóm \([20; 25)\) giữ vị trí tần số lớn nhất. Vậy tần số khuyết thiếu của nhóm cuối cùng là \(3\) ngày.

So sánh mốt với số trung bình và trung vị trong mẫu số liệu ghép nhóm

Trong nội dung thống kê lớp 11, số trung bình cộng (\(\overline{x}\)), trung vị (\(M_e\)) và mốt (\(M_o\)) là bộ ba đại lượng đặc trưng dùng để đo lường xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm. Mỗi một số đặc trưng sở hữu một bản chất toán học riêng biệt, mang lại những góc nhìn khác nhau về hình thái phân bố của tập dữ liệu.

Điểm giống nhau giữa các đại lượng

• Cả ba đại lượng này đều được thiết kế để tìm kiếm xu hướng tập trung hội tụ của mẫu số liệu, giúp tóm tắt toàn bộ tập dữ liệu phức tạp thành một giá trị đại diện duy nhất.

• Khi làm việc trên bảng tần số ghép nhóm, cả số trung bình, trung vị và mốt đều chỉ mang giá trị xấp xỉ gần đúng chứ không thể chính xác tuyệt đối so với việc tính trực tiếp từ mẫu dữ liệu gốc ban đầu.

Điểm khác nhau về bản chất

Dù cùng đại diện cho xu hướng hội tụ của dữ liệu, ba đại lượng này lại mang những điểm khác nhau hoàn toàn về bản chất toán học mà học sinh cần phân biệt rõ:

Số trung bình (\(\overline{x}\)):

• Bản chất: Cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng đại diện cho mẫu số liệu [2].

• Cơ chế hoạt động: Khi tính toán, đại lượng này cần thu thập thông tin từ tất cả các nhóm dữ liệu thông qua các giá trị đại diện.

• Nhược điểm: Vì phụ thuộc vào mọi giá trị, số trung bình rất dễ bị kéo lệch nếu mẫu dữ liệu xuất hiện các giá trị dị biệt quá lớn hoặc quá nhỏ (giá trị ngoại lệ).

Trung vị (\(M_e\)):

• Bản chất: Chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị [2].

• Cơ chế hoạt động: Trung vị chỉ quan tâm đến thứ tự đếm và tìm cách chia đôi mẫu số liệu thành hai phần bằng nhau tuyệt đối, đảm bảo mỗi phần chứa đúng 50% số lượng phần tử.

• Ưu điểm: Cơ chế định vị này giúp trung vị cực kỳ bền vững và không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ ở biên.

Mốt (\(M_o\)):

• Bản chất: Được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu [2].

• Cơ chế hoạt động: Mốt chỉ hướng vào nhóm có tần số xuất hiện lớn nhất để tìm ra giá trị có khả năng xảy ra cao nhất.

• Đặc trưng: Khác với tính duy nhất của số trung bình và trung vị, một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều mốt hoặc không có mốt nào.

Khi nào nên ưu tiên sử dụng đại lượng mốt?

Trong thực tiễn đời sống và các bài toán phân tích kinh tế — xã hội, mốt được ưu tiên sử dụng hàng đầu khi mẫu dữ liệu có xu hướng phân bố nhiều đỉnh hoặc khi mục tiêu nghiên cứu là tìm kiếm thị hiếu, nhu cầu của số đông.

Hãy cân nhắc bài toán kinh doanh: một nhà quản lý chuỗi cửa hàng giày dép khi lên kế hoạch nhập khẩu giày dép từ xưởng sản xuất chắc chắn sẽ không bao giờ tính "size giày dép trung bình" của khách hàng. Thay vào đó, họ bắt buộc phải tìm mốt của mẫu số liệu tiêu dùng để biết chính xác kích cỡ nào (ví dụ size 39 hay size 40) đang được mua nhiều nhất để tập trung nguồn vốn nhập hàng.

Tương tự, khi phân tích thu nhập của người lao động trong một doanh nghiệp lớn, số trung bình cộng thường bị bóp méo và kéo lệch lên cao do mức lương khổng lồ của một vài giám đốc điều hành cấp cao. Trong trường hợp đó, việc công bố mức lương mốt (mức lương phổ biến nhất mà đa số công nhân nhận được) sẽ mang lại một thông tin trung thực, chính xác và sát thực tế đời sống hơn rất nhiều.

Ngoài ra, mốt có một ưu điểm lớn là ít bị tác động bởi các giá trị ngoại lệ cực đoan giống như trung vị, nhưng nó lại có một nhược điểm cố hữu là độ ổn định sẽ bị giảm sút nghiêm trọng khi chúng ta làm việc với các mẫu dữ liệu có kích thước (cỡ mẫu) quá nhỏ.

Tóm lại, bài viết đã hệ thống hóa toàn diện về mốt của mẫu số liệu ghép nhóm từ định nghĩa giá trị xấp xỉ, công thức tính toán đến quy trình bốn bước thực hiện. Chúng ta cũng đã xem xét các trường hợp đặc biệt như mẫu đa mốt, không có mốt hay mốt nằm ở nhóm khoảng biên dữ liệu. Trong bộ ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm, mốt giữ một vai trò độc lập và là công cụ hữu ích bổ sung hoàn hảo cho số trung bình cùng trung vị, giúp người học phân tích dữ liệu một cách toàn diện hơn trong chương trình Toán 11.

Việc làm chủ bản chất hình học của đại lượng này giúp học sinh tự tin đạt điểm tối đa trong các kỳ thi học kỳ. Để củng cố vững chắc kiến thức thống kê và tìm hiểu thêm các bài giảng liên quan, người học có thể tìm hiểu thêm tại chuyên mục Toán 11 của ZIM Academy.