Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm | Công thức, cách tính và bài tập

Trong chương trình Toán lớp 11, trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là một số đặc trưng đo xu thế trung tâm quan trọng trong thống kê. Bài viết hệ thống định nghĩa, công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, cách xác định nhóm chứa trung vị, tần số tích lũy và quy trình tính qua ví dụ, bài tập có đáp án cùng các lỗi sai thường gặp.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ trung vị của mẫu số liệu gốc, được dùng để chia mẫu số liệu thành hai phần có số lượng giá trị xấp xỉ bằng nhau. [2]

Trung vị trong mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị nằm ở vị trí chính giữa sau khi các giá trị của mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu. [1]

Trung vị kí hiệu là: \(M_{e}\).

Lý do chỉ có thể xác định giá trị xấp xỉ: Khi dữ liệu được ghép vào các khoảng, ta không thể khôi phục chính xác từng giá trị của mẫu số liệu gốc. Do đó, giá trị trung vị tính được từ công thức dành cho mẫu số liệu ghép nhóm chỉ mang tính ước lượng, nhưng có độ tin cậy rất cao trong thống kê.

Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm 

Để tính trung vị Me của mẫu số liệu ghép nhóm, ta áp dụng công thức tổng quát sau: \[M_{e}=a_{p}+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+\cdots+m_{p-1}\right)}{m_{p}}.\left(a_{p+1}-a_{p}\right)\]

Trong đó: 

• \(M_{e}\): Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm cần tính.

• \(a_{p}\): Đầu mút trái của nhóm chứa trung vị.

• \(a_{p+1}-a_{p}\): Độ dài nhóm chứa trung vị.

• n: Cỡ mẫu, bằng tổng tần số của tất cả các nhóm.

• \(m_{p}\): Tần số của nhóm chứa trung vị.

• \(m_1+\cdots+m_{p-1}\): Tần số tích lũy của nhóm liền trước nhóm chứa trung vị.

Quy ước: Nếu nhóm chứa trung vị là nhóm thứ nhất thì \(m_1+\cdots+m_{p-1}=0\).

Lưu ý: Kết quả thu được từ công thức trên là giá trị xấp xỉ, không phải là trung vị chính xác của mẫu gốc trước khi ghép nhóm.

Các bước xác định và tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm 

Để giải quyết một bài toán tìm trung vị mẫu ghép nhóm ta thực hiện 4 bước sau:

Bước 1: Lập cột tần số tích lũy

Từ bảng tần số, thực hiện cộng dồn tần số từ nhóm đầu tiên đến nhóm cuối cùng để lập cột tần số tích lũy. Tần số tích lũy của một nhóm bằng tần số của chính nó cộng với tổng tần số các nhóm đứng trước.

Bước 2: Xác định nhóm chứa trung vị

Tính giá trị \(\frac{n}{2}\). Nhóm chứa trung vị sẽ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{2}\).

Bước 3: Xác định các đại lượng

Từ nhóm chứa trung vị đã tìm ở Bước 2, xác định giá trị của các đại lượng: \(a_{p}\), \(a_{p+1}-a_{p}\), \(m_{p}\), và \(m_1+\cdots+m_{p-1}\).

Bước 4: Thay số vào công thức và tính kết quả

Thế toàn bộ giá trị vào công thức \(M_{e}=a_{p}+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+\cdots+m_{p-1}\right)}{m_{p}}.\left(a_{p+1}-a_{p}\right)\) và tính kết quả.

Ví dụ minh họa: Khảo sát thời gian tự học trong một tuần của 40 học sinh lớp 11 thu được bảng tần số ghép nhóm sau: 

Hướng dẫn giải 

Bước 1: Lập cột tần số tích lũy.

Khi đó: Cỡ mẫu n = 40.

Bước 2: Xác định nhóm chứa trung vị:

Ta có \(\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20\).

Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy \(\ge\) 20 là nhóm [8; 12). Do đó nhóm chứa trung vị là [8; 12).

Bước 3: Xác định các thông số từ nhóm [8; 12).

Đầu mút trái \(a_{p}\) = 8.

Độ dài nhóm \(a_{p+1}-a_{p}\) = 12 - 8 = 4.

Tần số của nhóm chứa trung vị \(m_{p}\) = 14.

Tần số tích lũy của nhóm liền trước \(m_1+\cdots+m_{p-1}\) = 17.

Bước 4: Thay vào công thức:

\[M_{e}=a_{p}+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+\cdots+m_{p-1}\right)}{m_{p}}.\left(a_{p+1}-a_{p}\right)=8+\frac{20-17}{14}.4=\frac{62}{7}\]

So sánh trung vị và số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Khi phân tích xu thế trung tâm của một mẫu số liệu ghép nhóm, hai đại lượng thường xuyên bị nhầm lẫn là Trung vị \(M_{e}\) và Số trung bình \(\overline{X}\).

Điểm giống nhau

Cả hai đại lượng này đều là các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của tập dữ liệu, và đối với dạng dữ liệu ghép nhóm, chúng đều chỉ là các giá trị mang tính chất xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc. 

Điểm khác nhau

• Số trung bình \(\overline{X}\): Bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ (các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ bất thường nằm ở hai đầu danh sách).

• Trung vị \(M_{e}\): Ổn định, ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ, vì trung vị được xác định dựa trên vị trí chính giữa của mẫu số liệu.

Dùng trung vị thay cho số trung bình khi: Mẫu số liệu có giá trị ngoại lệ hoặc phân bố lệch, vì trung vị ít chịu ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ.

Mối quan hệ: Trung vị \(M_{e}\) chính là tứ phân vị thứ hai (\(Q_2\)) của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúng có cùng bản chất toán học và chung một kết quả tính toán.

Bài tập vận dụng tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm 

Bài tập 1 (Mức cơ bản)

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về điểm số kiểm tra của một lớp học đã có sẵn cột tần số tích lũy:

Xác định nhóm chứa trung vị và tính trung vị \(M_{e}\).

Phân tích đề bài:

Dạng bài: Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Dữ kiện đề cho:

• Mẫu số liệu ghép nhóm gồm 3 nhóm: [4; 6), [6; 8), [8; 10).

• Tần số tương ứng của từng nhóm lần lượt là: \(n_1\) = 8, \(n_2\) = 20, \(n_3\) = 12.

• Bảng số liệu đã cho sẵn cột tần số tích lũy. Cỡ mẫu n = 40.

Thông tin cần tìm: Nhóm chứa trung vị và giá trị của trung vị.

Kiến thức cần dùng:

Quy tắc xác định nhóm chứa trung vị.

Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 40.

Khi đó \(\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20\).

Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy \(\ge\) 20 là [6; 8).

Do đó nhóm chứa trung vị là [6; 8).

Áp dụng công thức: \[M_{e}=a_{p}+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+\cdots+m_{p-1}\right)}{m_{p}}.\left(a_{p+1}-a_{p}\right)=6+\frac{20-8}{20}.\left(8-6\right)=6+\frac{12}{20}.2=7,2\]

Bài tập 2 (Mức trung bình)

Khảo sát doanh thu bán hàng chi tiết trong 30 ngày của một cửa hàng điện máy (đơn vị: triệu đồng):

Hãy lập cột tần số tích lũy và tính trung vị \(M_{e}\).

Phân tích đề bài:

Dạng bài: Lập cột tần số tích lũy và tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Dữ kiện đề cho:

• Mẫu số liệu ghép nhóm gồm 4 nhóm doanh thu: [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50).

• Tần số tương ứng của các nhóm lần lượt là: \(n_1\) = 4, \(n_2\) = 10, \(n_3\) = 11, \(n_4\) = 5.

• Bảng số liệu chưa có cột tần số tích lũy.

Thông tin cần tìm:

• Cột tần số tích lũy.

• Giá trị trung vị.

Kiến thức cần dùng:

• Cách lập cột tần số tích lũy.

• Quy tắc xác định nhóm chứa trung vị.

• Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Hướng dẫn giải

Cột tần số tích lũy:

Cỡ mẫu: n = 30.

Khi đó \(\frac{n}{2}=\frac{30}{2}=15\).

Nhóm đầu tiên có có tần số tích lũy \(\ge\)15 là [30; 40).

Do đó nhóm chứa trung vị là [30; 40).

Áp dụng công thức: 

\[M_{e}=a_{p}+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+\cdots+m_{p-1}\right)}{m_{p}}.\left(a_{p+1}-a_{p}\right)=30+\frac{15-14}{11}.10=30+\frac{10}{11}\approx30,91\]

Bài tập 3 (Mức nâng cao)

Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ong cho kết quả sau:

Tìm trung vị của mẫu số liệu. Giải thích ý nghĩa của giá trị nhận được.

Phân tích đề bài:

Dạng bài: Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm và nêu ý nghĩa.

Dữ kiện đề cho:

• Mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của một số con ong gồm 5 nhóm: [0; 20), [20; 40), [40; 60), [60; 80), [80; 100).

• Tần số tương ứng của các nhóm lần lượt là: \(n_1\) = 5, \(n_2\) = 12, \(n_3\) = 23, \(n_4\) = 31, \(n_5\) =29.

Thông tin cần tìm:

• Giá trị trung vị.

• Ý nghĩa thực tiễn của giá trị trung vị vừa tính được.

Kiến thức cần dùng:

• Lập cột tần số tích lũy.

• Quy tắc xác định nhóm chứa trung vị.

• Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

• Cách giải thích ý nghĩa của trung vị.

Hướng dẫn giải

Bảng tần số tích lũy:

Cỡ mẫu: n = 100.

Khi đó \(\frac{n}{2}=\frac{100}{2}=50\).

Nhóm đầu tiên có có tần số tích lũy \(\ge\)50 là [60; 80).

Do đó nhóm chứa trung vị là [60; 80).

Áp dụng công thức: 

\[M_{e}=a_{p}+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+\cdots+m_{p-1}\right)}{m_{p}}.\left(a_{p+1}-a_{p}\right)=60+\frac{50-40}{31}.20=60+\frac{200}{31}\approx66,45\]

Ý nghĩa: Có khoảng 50% số con ong được khảo sát có tuổi thọ dưới hoặc bằng 66,45 ngày và có khoảng 50% số con ong còn lại có tuổi thọ từ 66,45 ngày trở lên.

Những lỗi thường gặp khi tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm 

Trong quá trình làm bài, học sinh rất dễ mắc phải các sai lầm sau:

Xác định sai nhóm chứa trung vị

Lấy nhóm có tần số lớn nhất thay vì phải dựa vào nhóm có tần số tích lũy đầu tiên đạt hoặc vượt ngưỡng \(\frac{n}{2}\).

Tính sai tần số tích lũy

Thực hiện cộng dồn nhầm thứ tự các hàng, cộng nhầm hoặc bỏ sót một nhóm dữ liệu ở giữa bảng dẫn đến các kết quả phía sau bị sai.

Nhầm lẫn giữa tần số tích lũy và tần số nhóm chứa trung vị

Nhiều học sinh dùng tần số tích lũy của chính nhóm chứa trung vị thay vì phải lấy tần số tích lũy của nhóm đứng liền trước nó.

Quên nhân với độ dài nhóm hoặc tính sai độ dài nhóm

Quên nhân với giá trị của độ dài nhóm ở cuối công thức, hoặc gặp các bảng số liệu có độ dài các nhóm không đều nhau mà vẫn áp dụng một giá trị độ dài nhóm duy nhất cho toàn bài.

Trung vị là một nội dung kiến thức quan trọng trong thống kê của Toán lớp 11. Việc nắm vững định nghĩa, công thức và quy trình 4 bước tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm giúp giải quyết nhiều bài toán thống kê. Bên cạnh đó còn giúp người học cải thiện kỹ năng logic, phân tích và lập luận, giúp học sinh áp dụng kiến thức vào các tình huống thực tế như kinh tế, giáo dục. 

Để tiếp tục ôn tập và nâng cao kiến thức về các số đặc trưng liên quan, học sinh có thể tham khảo các bài giảng Toán 11 tại ZIM Academy.