Tứ phân vị là gì? Cách tính tứ phân vị và khoảng tứ phân vị Toán 10

Tứ phân vị là phần kiến thức quan trọng trong chương trình giáo dục phổ thông mới, gồm ba giá trị Q1, Q2, Q3 chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau, giúp phân tích độ phân tán và phát hiện giá trị ngoại lệ mà số trung bình cộng không thể hiện được.

Nắm vững cách tính tứ phân vị và công thức tính khoảng tứ phân vị sẽ giúp học sinh lớp 10 tiếp cận thống kê mô tả một cách trực quan, bớt trừu tượng hơn.

Tứ phân vị là gì?

Tứ phân vị là bộ ba giá trị định vị chia một mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần thành bốn phần có số lượng phần tử xấp xỉ bằng nhau. Ba giá trị này được ký hiệu lần lượt là \(Q_1,Q_2,Q_3\).

Tứ phân vị thứ nhất (\(Q_1\)), còn gọi là tứ phân vị dưới. Giá trị này chia mẫu số liệu sao cho có 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó, và 75% số liệu lớn hơn hoặc bằng nó.

Tứ phân vị thứ hai (\(Q_2\)), chính là trung vị của toàn bộ mẫu số liệu. Giá trị này chia mẫu số liệu thành hai phần bằng nhau, mỗi phần chứa 50% số lượng quan sát.

Tứ phân vị thứ ba (\(Q_3\)), còn gọi là tứ phân vị trên. Giá trị này chia mẫu số liệu sao cho có 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó, và 25% số liệu lớn hơn hoặc bằng nó.

Trong thống kê mô tả, khi thu thập một tập hợp dữ liệu, người nghiên cứu cần tìm các chỉ số đại diện cho tập hợp đó. Số trung bình cộng thường bị ảnh hưởng lớn bởi các giá trị quá cao hoặc quá thấp. Trung vị là giá trị chia đôi tập dữ liệu, nhưng chưa đủ để mô tả sự phân tán sâu bên trong.

Phương pháp tìm tứ phân vị cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Đối với mẫu số liệu rời rạc có kích thước mẫu là n, quy trình xác định các giá trị \(Q_1,Q_2,Q_3\)  tuân theo các bước sau: 

Bước 1: Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần. Đây là bước bắt buộc và quan trọng nhất trong mọi bài toán thống kê vị trí.

Bước 2: Tìm trung vị của toàn bộ mẫu số liệu, giá trị này chính là \(Q_2\).

• Nếu n là số lẻ, \(Q_2\) là giá trị đứng ở vị trí chính giữa, tức là vị trí thứ \(\frac{n+1}{2}\).

• Nếu n là số chẵn, \(Q_2\) là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí giữa, tức là vị trí thứ \(\frac{n}{2}\) và vị trí thứ \(\frac{n}{2}+1\).

Bước 3: Tìm tứ phân vị dưới \(Q_1\) và tứ phân vị trên \(Q_3\).

• Nếu n là số lẻ, ta không tính giá trị \(Q_2\) vào các nửa số liệu. Nửa bên trái \(Q_2\) gồm các phần tử đứng trước \(Q_2\). Nửa bên phải \(Q_2\) gồm các phần tử đứng sau \(Q_2\). \(Q_1\) là trung vị của nửa bên trái. \(Q_3\) là trung vị của nửa bên phải.

• Nếu n là số chẵn, ta chia đều mẫu số liệu thành hai nửa bằng nhau. Nửa bên trái gồm \(\frac{n}{2}\) phần tử đầu tiên. Nửa bên phải gồm \(\frac{n}{2}\) phần tử còn lại. \(Q_1\) là trung vị của nửa bên trái. \(Q_3\) là trung vị của nửa bên phải.

Công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Khi dữ liệu có số lượng phần tử lớn hoặc phân bố liên tục, người ta thường nhóm dữ liệu vào các khoảng. Để tìm các giá trị tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, người học không thể đếm vị trí phần tử trực tiếp mà phải sử dụng công thức nội suy tuyến tính.

Để tính tứ phân vị thứ r (với r = 1, 2, 3), trước hết cần xác định nhóm chứa tứ phân vị đó. Nhóm chứa tứ phân vị thứ r  là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{r.n}{4}\). Giả sử đó là nhóm [\(a_{p};a_{p+1}\)).

Công thức nội suy tổng quát được xác định như sau:

\[Q_{r}=a_{p}+\frac{\frac{r.n}{4}-cf_{p-1}}{f_{p}}.h\]

Giải thích ý nghĩa trực quan của các đại lượng trong công thức giúp học sinh dễ nhớ hơn:

• n : Tổng số phần tử (tổng tần số) của toàn bộ mẫu số liệu.

• \(a_{p}\) : Đầu mút dưới (giá trị bắt đầu) của nhóm chứa tứ phân vị thứ r.

• h : Độ dài của nhóm chứa tứ phân vị, được tính bằng công thức \(h=a_{p+1}-a_{p}\).

• \(f_{p}\) : Tần số riêng biệt của nhóm chứa tứ phân vị thứ r.

• \(cf_{p-1}\) : Tần số tích lũy của tất cả các nhóm đứng trước nhóm chứa tứ phân vị. Đại lượng này đại diện cho số lượng phần tử đã tích lũy được trước khi bước vào nhóm hiện tại. Nếu nhóm chứa tứ phân vị là nhóm đầu tiên, ta quy ước \(cf_{p-1}=0\).

Khoảng tứ phân vị và cách phát hiện giá trị ngoại lệ

Khoảng tứ phân vị, ký hiệu là IQR (Interquartile Range), là đại lượng đo độ phân tán của 50% số liệu ở trung tâm của mẫu dữ liệu. Đây là công thức tính khoảng tứ phân vị:

\[IQR=Q_3-Q_1\]

Giá trị IQR càng lớn thể hiện dữ liệu phân tán càng rộng quanh trung vị. Ngược lại, IQR nhỏ thể hiện dữ liệu tập trung nhiều ở vùng trung tâm. Ưu điểm lớn nhất của IQR là tính bền vững, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường ở hai đầu.

Trong thực tế, mẫu số liệu có thể chứa các giá trị ngoại lệ, bao gồm những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ một cách bất thường do lỗi đo lường hoặc do biến động đặc biệt. Theo tiêu chuẩn của nhà toán học John Tukey, một giá trị x được coi là giá trị ngoại lệ nếu nằm ngoài khoảng sau:

\(x<Q_1-1,5\).IQR hoặc \(x>Q_3+1,5\).IQR

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Xác định tứ phân vị cho số liệu không ghép nhóm (Trường hợp n lẻ)

Đề bài:

Khảo sát số giờ tự học trong một tuần của 9 học sinh lớp 10, thu được dãy số liệu thô như sau: 8, 5, 12, 7, 6, 10, 9, 15, 11 (đơn vị: giờ). Hãy tìm các giá trị \(Q_{1,}Q_{2,}Q_3\) của mẫu số liệu này.

Phân tích đề bài:

• Đối tượng nghiên cứu là số giờ tự học với kích thước mẫu n = 9. Do số 9 là số lẻ, việc xác định vị trí trung vị sẽ rơi vào một phần tử cụ thể ở chính giữa.

• Người học cần tiến hành theo 3 bước: Sắp xếp dữ liệu, tìm trung vị tổng thể (\(Q_2\)), sau đó chia đôi dữ liệu để tìm trung vị các nửa (\(Q_1\) và \(Q_3\)).

Hướng dẫn làm bài:

Bước 1: Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự tăng dần để thiết lập trật tự vị trí:

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15.

Bước 2: Tìm tứ phân vị thứ hai \(Q_2\). Vì kích thước mẫu n = 9 là số lẻ, \(Q_2\) là giá trị đứng ở vị trí thứ:

\[\frac{n+1}{2}=\frac{9+1}{2}=5\]

Đếm từ trái sang phải trong dãy số đã sắp xếp, giá trị đứng ở vị trí thứ 5 là số 9. Do đó, ta có:

\(Q_2=9\) giờ

Bước 3: Tìm \(Q_1\) và \(Q_3\). Vì n lẻ, ta loại bỏ giá trị \(Q_2=9\) ra khỏi các nửa số liệu.

Nửa số liệu bên trái \(Q_2\) bao gồm 4 giá trị nhỏ hơn 9: 5, 6, 7, 8. Kích thước nửa mẫu này là \(n_{left}=4\) (số chẵn). Trung vị của nửa bên trái là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa (vị trí thứ 2 và thứ 3 của nửa trái):

\(Q_1=\frac{\left(6+7\right)}{2}=6,5\) giờ

Nửa số liệu bên phải \(Q_2\) bao gồm 4 giá trị lớn hơn 9: 10, 11, 12, 15. Kích thước nửa mẫu này là \(n_{right}=4\) (số chẵn). Trung vị của nửa bên phải là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa (vị trí thứ 2 và thứ 3 của nửa phải):

\(Q_3=\frac{\left(11+12\right)}{2}=11,5\) giờ 

Lưu ý khi làm bài: Học sinh tự học tại nhà thường nhầm lẫn khi tìm \(Q_1\) bằng cách lấy trung bình cộng của toàn bộ nửa trái mà không tuân theo quy tắc tìm trung vị thông thường. Luôn nhớ rằng \(Q_1\) và \(Q_3\) bản chất là các trung vị của các tập hợp con.

Ví dụ 2: Xác định tứ phân vị cho số liệu không ghép nhóm (Trường hợp n chẵn)

Đề bài:

Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm 10 học sinh được ghi nhận như sau: 7, 9, 6, 8, 5, 10, 8, 7, 6, 9. Hãy tính các giá trị và khoảng tứ phân vị của tập số liệu điểm số này.

Phân tích đề bài:

• Mẫu số liệu gồm n = 10 phần tử, đây là một số chẵn. Do đó, trung vị \(Q_2\) sẽ không nằm vào một vị trí cụ thể nào trong mẫu mà là trung bình cộng của hai phần tử ở giữa.

• Khi chia đôi mẫu số liệu, mỗi nửa sẽ nhận đúng 5 phần tử, không có phần tử nào bị loại bỏ.

Hướng dẫn làm bài:

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu điểm số theo thứ tự không giảm từ thấp đến cao:

5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10.

Bước 2: Tìm tứ phân vị thứ hai \(Q_2\). Vì kích thước mẫu n = 10 là số chẵn, \(Q_2\) là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí thứ:

\(\frac{n}{2}=5\) và   \(\frac{n}{2}+1=6\)

Trong dãy số đã sắp xếp, giá trị ở vị trí thứ 5 là 7, giá trị ở vị trí thứ 6 là 8. Do đó, ta có giá trị trung vị:

\(Q_2=\frac{7+8}{2}=7,5\) điểm

Bước 3: Tìm \(Q_1\) và \(Q_3\). Vì n = 10 là số chẵn, mẫu số liệu được chia đều thành hai nửa hoàn toàn bằng nhau, mỗi nửa có 5 phần tử.

Nửa số liệu bên trái gồm 5 giá trị đầu tiên: 5, 6, 6, 7, 7. Vì số phần tử là 5 (số lẻ), trung vị \(Q_1\) là giá trị ở chính giữa (vị trí thứ 3 của nửa trái):

\(Q_1=6\) điểm

Nửa số liệu bên phải gồm 5 giá trị còn lại: 8, 8, 9, 9, 10. Vì số phần tử là 5 (số lẻ), trung vị Q3 là giá trị ở chính giữa (vị trí thứ 3 của nửa phải, tương đương vị trí thứ 8 của toàn mẫu):

\(Q_3=9\)

Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị IQR theo công thức định nghĩa đại lượng đo độ phân tán:

IQR\(=Q_3-Q_1=9-6=3\) điểm

Lưu ý khi làm bài: Tránh đếm nhầm vị trí phần tử khi dãy số có nhiều giá trị trùng nhau (như hai điểm 6, hai điểm 7, hai điểm 8, hai điểm 9). Người học nên gạch chân hoặc đánh dấu các phần tử đã đếm để đảm bảo tính chính xác.

Ví dụ 3: Tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Đề bài:

Để đánh giá thời gian chạy cự ly 100 mét của học sinh khối 10, giáo viên thể dục lập bảng tần số ghép nhóm ghi lại thời gian (đơn vị: giây) của 40 học sinh như sau:

Hãy tính giá trị tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) và tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Phân tích đề bài:

• Đây là bài toán tính tứ phân vị cho dữ liệu liên tục đã chia nhóm với tổng tần số n = 40.

• Học sinh tự học cần lập thêm cột tần số tích lũy để xác định chính xác nhóm chứa tứ phân vị, sau đó áp dụng công thức nội suy cấu trúc tuyến tính.

Hướng dẫn làm bài:

Bước 1: Bổ sung cột tần số tích lũy (\(cf\)) vào bảng số liệu đề bài cho. Tần số tích lũy của một nhóm được tính bằng cách lấy tần số của nhóm đó cộng dồn với tần số của tất cả các nhóm đứng trước nó.

Bước 2: Tính tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\).

Giá trị vị trí lý thuyết để xác định nhóm chứa \(Q_1\) là:

\[\frac{1.n}{4}=\frac{40}{4}=10\]Nhìn vào cột tần số tích lũy (cf), nhóm [12; 13) mới tích lũy được 5 phần tử (chưa đủ 10). Nhóm tiếp theo [13; 14) có tần số tích lũy là 17. Vì 17 là giá trị đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 10, nên nhóm chứa Q1 là nhóm [13; 14).

Lấy các thông số từ nhóm [13; 14) để thay vào công thức:

• Đầu mút dưới của nhóm: \(a_{p}=13\).

• Độ dài của khoảng nhóm: h = 14 - 13 = 1.

• Tần số riêng của nhóm: \(f_{p}=12\).

• Tần số tích lũy của nhóm đứng trước: \(cf_{p-1}=5\) (đây chính là tần số tích lũy của nhóm [12; 13)).

Áp dụng công thức nội suy tuyến tính cho tứ phân vị thứ nhất, ta có:

\(Q_1=13+\frac{\left(10-5\right)}{12}.1=13+\frac{5}{12}\thickapprox13,42\) giây

Bước 3: Tính tứ phân vị thứ ba \(Q_3\).

Giá trị vị trí lý thuyết để xác định nhóm chứa \(Q_3\) là:

\(\frac{\left(3.n\right)}{4}=\frac{\left(3.40\right)}{4}=30\)

Nhìn vào cột tần số tích lũy (cf), nhóm [13; 14) mới tích lũy được 17 phần tử (chưa đủ 30). Nhóm kế tiếp [14; 15) có tần số tích lũy là 32. Vì 32 là giá trị đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 30, nên nhóm chứa Q3 là nhóm [14; 15).

Lấy các thông số từ nhóm [14; 15) để thay vào công thức:

• Đầu mút dưới của nhóm: \(a_{p}=14\).

• Độ dài của khoảng nhóm: h = 15 - 14 = 1.

• Tần số riêng của nhóm: \(f_{p}\) = 15.

• Tần số tích lũy của nhóm đứng trước: \(cf_{p-1}\) = 17 (tần số tích lũy của nhóm [13; 14)).

Áp dụng công thức nội suy tuyến tính cho tứ phân vị thứ ba, ta có:

\(Q_3=14+\frac{\left(30-17\right)}{15}.1=14+\frac{13}{15}\thickapprox14,87\) giây

Lưu ý khi làm bài: Sau khi tính ra kết quả, học sinh nên làm một bước tự kiểm tra nhanh. Giá trị \(Q_1\) = 13,42 phải nằm trong khoảng [13; 14) và \(Q_3\) = 14,87 phải nằm trong khoảng [14; 15). Nếu kết quả tính ra nằm ngoài khoảng nhóm đã xác định, người học cần kiểm tra lại vì đã áp dụng sai công thức hoặc tính toán nhầm lẫn trong các bước làm bài trước đó.

Bảng tổng kết

Dưới đây là bảng tổng hợp so sánh các đặc điểm đặc trưng và phương pháp xử lý giữa mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm giúp người học dễ dàng ôn tập.

Danh mục tự kiểm tra lỗi dành cho học sinh tự học 

Học sinh có thể sử dụng danh mục kiểm tra dưới đây để tự rà soát bài làm của mình tại nhà nhằm tránh các lỗi sai phổ biến:

• Đối với dữ liệu rời rạc, học sinh đã thực hiện sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần trước khi tìm trung vị chưa?

• Khi kích thước mẫu n lẻ, học sinh đã loại bỏ hoàn toàn phần tử trung vị \(Q_2\) ra ngoài trước khi chia đôi để tìm \(Q_1\) và \(Q_3\) chưa?

• Đối với dữ liệu ghép nhóm, học sinh đã lập riêng một cột tính tần số tích lũy (cf) chính xác bằng cách cộng dồn chưa?

• Khi xác định nhóm chứa tứ phân vị, học sinh đã so sánh giá trị vị trí lý thuyết với cột tần số tích lũy (cf) thay vì so sánh với cột tần số đơn lẻ (f) chưa?

• Học sinh đã kiểm tra xem giá trị tứ phân vị tính toán ra cuối cùng có nằm đúng trong khoảng mút [\(a_{p};a_{p+1}\)) của nhóm đã chọn hay không?

• Trong công thức tìm giá trị ngoại lệ, học sinh đã nhân đúng hệ số hằng số 1.5 với khoảng tứ phân vị IQR chưa?

Việc làm chủ kiến thức về tứ phân vị giúp học sinh phát triển khả năng tư duy trong quá trình học tập phân môn Thống kê, giúp người học đạt kết quả cao và ứng dụng công cụ này một cách hiệu quả. Điều này sẽ đặt nền móng vững chắc cho hành trình chinh phục khoa học dữ liệu của người học trong tương lai. Để trang bị thêm nhiều kiến thức Toán học bổ ích khác, mời bạn học tham khảo các bài viết chuyên sâu trong chuyên mục Toán học của ZIM Academy.