Phương trình tiếp tuyến của đường tròn | Cách viết và bài tập Toán 10

Trong chương trình Toán 10, phương trình tiếp tuyến của đường tròn là dạng toán trọng tâm thuộc chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, học sinh cần nắm được phương trình đường tròn, tâm, bán kính, tiếp điểm và tính chất tiếp tuyến luôn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Từ đó, có thể áp dụng cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn cho các dạng thường gặp như viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M, tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn, hoặc tiếp tuyến song song, vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Tiếp tuyến của đường tròn là gì?

Tiếp tuyến của đường tròn (C) là một đường thẳng chỉ có duy nhất một điểm chung với đường tròn đó. Điểm chung duy nhất này gọi là tiếp điểm. [1]

Tính chất cốt lõi — vuông góc với bán kính: Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kính R tại tiếp điểm M, thì d luôn vuông góc với bán kính IM tại chính điểm M. Đây là tính chất quan trọng nhất, vì nó cho phép ta xác định ngay vecto pháp tuyến của tiếp tuyến: vecto pháp tuyến của tiếp tuyến tại M chính là vecto MI hoặc vecto IM.

Ví dụ minh họa trực quan: Xét đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 5, và điểm M(4; 6) nằm trên đường tròn (có thể kiểm tra: \[IM=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{25}=5=R\]Tiếp tuyến của đường tròn tại M sẽ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với đoạn IM. Vì vecto IM = (3; 4) chính là vecto pháp tuyến của tiếp tuyến, nên phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: 3(x − 4) + 4(y − 6) = 0. Đây chính là ý tưởng cốt lõi sẽ được khai thác đầy đủ ở mục 3.

Điểm mấu chốt cần ghi nhớ: Toàn bộ tư duy xây dựng phương trình tiếp tuyến của đường tròn, dù ở bất kỳ dạng bài nào, đều xoay quanh việc khai thác một trong hai đặc điểm sau của tiếp tuyến:

(1) nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm (nếu biết tiếp điểm), hoặc

(2) khoảng cách từ tâm đến nó luôn bằng đúng bán kính R (nếu không biết tiếp điểm, chỉ biết một điểm mà tiếp tuyến đi qua).

Việc nhận ra nên dùng đặc điểm nào chính là bước tư duy quan trọng nhất trước khi đặt bút giải.

Cách xác định vị trí điểm trước khi viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Đối với bài toán cho trước một điểm, trước khi viết phương trình tiếp tuyến cần xác định vị trí tương đối giữa điểm đó và đường tròn, bằng cách so sánh khoảng cách từ điểm đó đến tâm I với bán kính R.

Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R, và điểm M cần xét. Tính khoảng cách IM, sau đó so sánh:

• Nếu IM = R: điểm M nằm trên đường tròn.

• Nếu IM < R: điểm M nằm trong đường tròn.

• Nếu IM > R: điểm M nằm ngoài đường tròn.

Vì sao bước kiểm tra này quyết định toàn bộ hướng giải:

• Nếu M nằm trên đường tròn: M chính là tiếp điểm, và chỉ có duy nhất một tiếp tuyến đi qua M — được xác định trực tiếp bằng vecto pháp tuyến IM (mục 3).

• Nếu M nằm ngoài đường tròn: từ M luôn kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt đến đường tròn, nhưng M không phải tiếp điểm nên không thể áp dụng trực tiếp cách ở mục 3. Lúc này phải dùng phương pháp gọi phương trình đường thẳng qua M với hệ số góc k, rồi áp dụng điều kiện khoảng cách bằng bán kính (mục 4).

• Nếu M nằm trong đường tròn: không tồn tại tiếp tuyến nào đi qua M, vì mọi đường thẳng qua một điểm trong đường tròn đều cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Việc bỏ qua bước kiểm tra vị trí điểm là một sai lầm phổ biến, khiến học sinh áp dụng nhầm công thức (ví dụ dùng công thức tiếp tuyến tại một điểm cho một điểm thực chất nằm ngoài đường tròn), dẫn đến kết quả sai hoàn toàn dù kỹ năng tính toán không có vấn đề.

Ví dụ minh họa: Cho đường tròn (C): (x − 1)² + (y − 2)² = 25 (tâm I(1; 2), bán kính R = 5). Xét vị trí của điểm A(4; 6) và điểm B(2; 3) so với đường tròn.

• Với A(4; 6): IA = √[(4−1)² + (6−2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5 = R → A nằm trên đường tròn.

• Với B(2; 3): IB = √[(2−1)² + (3−2)²] = √(1 + 1) = √2 ≈ 1,41 < 5 = R → B nằm trong đường tròn, do đó không có tiếp tuyến nào đi qua B.

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Đây là trường hợp đơn giản và trực tiếp nhất, vì tiếp điểm đã được xác định rõ ràng.

Tư duy xây dựng: Vì tiếp tuyến tại điểm M (thuộc đường tròn tâm I) luôn vuông góc với bán kính IM, nên vecto IM chính là vecto pháp tuyến của tiếp tuyến cần tìm. Có được vecto pháp tuyến và một điểm mà đường thẳng đi qua (chính là M), ta hoàn toàn viết được phương trình tổng quát của tiếp tuyến.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Xác định tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn và tọa độ tiếp điểm M(x₀; y₀).

Bước 2: Tính vecto IM = (x₀ − a; y₀ − b). Đây chính là vecto pháp tuyến n của tiếp tuyến cần lập.

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(x₀; y₀) và nhận n = (x₀ − a; y₀ − b) làm vecto pháp tuyến:

\[(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0\]Ví dụ minh họa hoàn chỉnh: Cho đường tròn (C): x² + y² − 2x + 4y − 20 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 2).

Lời giải:

Trước tiên, đưa phương trình đường tròn (C) về dạng chính tắc để xác định tâm và bán kính:

\[x² − 2x + y² + 4y − 20 = 0 ⇔ (x − 1)² + (y + 2)² = 25\]Vậy (C) có tâm I(1; −2), bán kính R = 5.

Kiểm tra M(4; 2) có thuộc (C) không: \[IM = √[(4−1)² + (2−(−2))²] = √(9 + 16) = √25 = 5 = R\]Vậy M thuộc đường tròn, đóng vai trò là tiếp điểm.

Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến chính là \(\overrightarrow{IM}=(4-1;2-(-2))=(3;4)\).

Phương trình tiếp tuyến tại M đi qua M(4; 2), nhận (3; 4) làm vecto pháp tuyến:

\[3(x-4)+4(y-2)=0\Leftrightarrow3x+4y-20=0\]Vậy tiếp tuyến cần tìm là 3x + 4y − 20 = 0.

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn

Trường hợp này phức tạp hơn vì điểm cho trước không phải tiếp điểm, nên không thể xác định trực tiếp vecto pháp tuyến như mục 3. Lúc này, tư duy chuyển sang khai thác đặc điểm thứ hai của tiếp tuyến: khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính R.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Kiểm tra điểm A(x₀; y₀) cho trước có nằm ngoài đường tròn hay không (theo cách ở mục 2). Nếu IA > R, tiếp tục các bước sau.

Bước 2: Gọi phương trình đường thẳng d đi qua A với hệ số góc k:

\[y-y_0=k(x-x_0)\Leftrightarrow kx-y+(y_0-kx_0)=0\]Đây là đường thẳng có vecto pháp tuyến n = (k; −1).

Bước 3: Áp dụng điều kiện để d là tiếp tuyến của (C): khoảng cách từ tâm I(a; b) đến d phải bằng bán kính R:

\[d(I,d)=\frac{|ka-b+y_0-kx_0|}{\sqrt{k^2+1}}=R\]Giải phương trình này để tìm k. Vì đây là phương trình chứa căn, sau khi bình phương hai vế, ta giải phương trình theo k để xác định các tiếp tuyến có hệ số góc hữu hạn. Sau đó cần kiểm tra riêng trường hợp đường thẳng đứng để tránh bỏ sót nghiệm (đúng theo tính chất từ một điểm ngoài đường tròn kẻ được hai tiếp tuyến).

Bước 4: Lưu ý quan trọng — trường hợp đường thẳng đứng (không có hệ số góc): Khi gọi phương trình đường thẳng theo dạng y − y₀ = k(x − x₀), ta đã ngầm loại trừ khả năng đường thẳng có dạng x = x₀ (đường thẳng đứng, song song với trục Oy), vì dạng này không thể biểu diễn dưới hệ số góc k. Do đó, trước khi kết luận, cần kiểm tra riêng xem đường thẳng x = x₀ có phải là một trong hai tiếp tuyến hay không, bằng cách tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng x = x₀ (chính là |x₀ − a|) và so sánh với R. Nếu bằng R, đây chính là một tiếp tuyến bị bỏ sót nếu chỉ xét theo hệ số góc k.

Ví dụ minh họa: Cho đường tròn (C): (x − 1)² + (y − 1)² = 4 (tâm I(1; 1), bán kính R = 2). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3; 3).

Lời giải:

Kiểm tra vị trí A so với (C): \[IA = √[(3−1)² + (3−1)²] = √(4+4) = √8 ≈ 2,83 > 2 = R\]Vậy A nằm ngoài đường tròn, tồn tại hai tiếp tuyến qua A.

Gọi phương trình tiếp tuyến d đi qua A(3; 3) với hệ số góc k:\[y − 3 = k(x − 3) ⇔ kx − y + 3 − 3k = 0\]

Áp dụng điều kiện khoảng cách từ tâm I(1; 1) đến d bằng R = 2:

\[\frac{|k(1)-1+3-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=2\Leftrightarrow\frac{|-2k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=2\]Bình phương hai vế: (−2k+2)² = 4(k² + 1) ⇔ 4k² − 8k + 4 = 4k² + 4 ⇔ −8k = 0 ⇔ k = 0.

Với k = 0, ta có một tiếp tuyến: y − 3 = 0 ⇔ y = 3.

Vì phương trình bậc hai theo k chỉ cho một nghiệm (do hệ số k² triệt tiêu), cần kiểm tra riêng trường hợp đường thẳng đứng x = 3 (đi qua A, song song trục Oy): khoảng cách từ I(1;1) đến đường thẳng x = 3 là |3 − 1| = 2 = R. Vậy x = 3 cũng là một tiếp tuyến.

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 3 và x = 3. (Đây là trường hợp minh họa rõ nét cho lưu ý ở Bước 4: nếu chỉ dừng lại ở nghiệm k = 0 mà không xét riêng đường thẳng đứng, lời giải sẽ bị sót mất một tiếp tuyến.)

Tham khảo thêm: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng | Toán 10.

Viết phương trình tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước

Ở dạng bài này, đề bài không cho biết tiếp điểm lẫn một điểm cụ thể mà tiếp tuyến đi qua, mà thay vào đó ràng buộc phương của tiếp tuyến thông qua quan hệ song song hoặc vuông góc với một đường thẳng Δ cho trước. Tư duy cốt lõi ở đây là: quan hệ song song hoặc vuông góc cho phép ta rút gọn số ẩn cần tìm trong vecto pháp tuyến của tiếp tuyến, chỉ còn lại một ẩn duy nhất (hằng số tự do trong phương trình), sau đó áp dụng điều kiện khoảng cách bằng bán kính để giải ra ẩn đó.

Trường hợp song song với đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0

Vì tiếp tuyến d song song với Δ, nên d có cùng vecto pháp tuyến với Δ (chỉ khác hằng số tự do), tức là d nhận n = (A; B) làm vecto pháp tuyến. Do đó, ta gọi phương trình tiếp tuyến d dưới dạng:

Ax+By+m=0 (m≠C, để đảm bảo d khác Δ).

Áp dụng điều kiện khoảng cách từ tâm I(a; b) đến d bằng bán kính R:

\[\frac{|Aa+Bb+m|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R\]Giải phương trình này (chứa dấu giá trị tuyệt đối) để tìm m, thường cho ra hai giá trị m tương ứng với hai tiếp tuyến song song với Δ nằm về hai phía của đường tròn.

Trường hợp vuông góc với đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0

Vì tiếp tuyến d vuông góc với Δ, nên vecto pháp tuyến của d phải vuông góc với vecto pháp tuyến của Δ, hay nói cách khác, vecto pháp tuyến của d chính là vecto chỉ phương của Δ. Vecto chỉ phương của Δ (có vecto pháp tuyến (A; B)) là (B; −A) hoặc (−B; A). Do đó ta gọi phương trình tiếp tuyến d dưới dạng:

\[Bx−Ay+m=0\]rồi tương tự áp dụng điều kiện khoảng cách từ tâm đến d bằng R để tìm m.

Ví dụ minh họa cho trường hợp song song: Cho đường tròn (C): \(x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0\) và đường thẳng Δ: \(3x − 4y + 5 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với Δ.

Lời giải:

Đưa (C) về dạng chính tắc: \((x − 2)² + (y + 1)² = 9\). Vậy (C) có tâm I(2; −1), bán kính R = 3.

Vì tiếp tuyến d song song với Δ: \(3x − 4y + 5 = 0\), nên d nhận cùng vecto pháp tuyến (3; −4), gọi phương trình d: \(3x − 4y + m = 0\)(với m ≠ 5).

Áp dụng điều kiện khoảng cách từ I(2; −1) đến d bằng R = 3:

\[\frac{|3(2)-4(-1)+m|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=3\Leftrightarrow\frac{|6+4+m|}{5}=3\Leftrightarrow|10+m|=15\]Giải ra: 10 + m = 15 hoặc 10 + m = −15, suy ra m = 5 hoặc m = −25.

Vì m = 5 trùng với hằng số của Δ (loại, vì khi đó d trùng Δ chứ không phải một tiếp tuyến khác), ta chỉ nhận m = −25.

Vậy tiếp tuyến cần tìm là: 3x − 4y − 25 = 0.

(Điểm cần lưu ý trong lời giải này: nghiệm m = 5 bị loại không phải vì tính toán sai, mà vì mặt hình học nó cho thấy Δ chính là một tiếp tuyến của (C) — điều này cần được lập luận rõ ràng thay vì bỏ qua.)

Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Bài tập 1 (Tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn): Cho đường tròn (C): x² + y² − 6x − 2y + 5 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 2).

Hướng dẫn giải:

Đưa về dạng chính tắc, ta có:

x² – 6x + 9 + y² – 2y + 1 = 5.

Suy ra 

(x−3)² + (y−1)² = 5.

Dẫn đến đường tròn tâm I(3; 1), R = √5. Kiểm tra IM = √[(1−3)²+(2−1)²] = √(4+1) = √5 = R, vậy M thuộc (C). Vecto pháp tuyến:

IM = (1−3; 2−1) = (−2; 1).

Phương trình tiếp tuyến:

−2(x−1) + 1(y−2) = 0 ⇔ −2x + y = 0 hay 2x − y = 0.

Bài tập 2 (Tiếp tuyến qua điểm ngoài đường tròn): Cho đường tròn (C): (x−2)² + (y−3)² = 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(2; 6).

Hướng dẫn giải: Tâm I(2; 3), R = 2. Kiểm tra IA = √[(2−2)²+(6−3)²] = 3 > 2 = R, vậy A nằm ngoài (C), có hai tiếp tuyến.

Chú ý A và I có cùng hoành độ (x = 2), nên đường thẳng đứng x = 2 đi qua cả A và I — đây là đường kính chứ không phải tiếp tuyến, cần loại trừ ngay khi xét trường hợp đặc biệt này.

Gọi d: y − 6 = k(x − 2) ⇔ kx − y + 6 − 2k = 0. Điều kiện khoảng cách từ I(2;3) đến d bằng 2: \[\frac{|k(2)-3+6-2k|}{\surd(k^2+1)}=2\Leftrightarrow\frac{|3|}{\surd(k^2+1)}=2\Leftrightarrow\surd(k^2+1)=3/2\Leftrightarrow k^2{}=9/4-1=5/4\Leftrightarrow k=\pm\surd5/2.\] Vậy có hai tiếp tuyến ứng với hai giá trị k này.\[d_1:y=\frac{\surd5}{2}x-\surd5+6;d_2:y=-\frac{\surd5}{2}x+\surd5+6\]Bài tập 3 (Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước): Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x − 4y − 4 = 0 và đường thẳng Δ: x + 2y − 3 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với Δ.

Hướng dẫn giải: Đưa về dạng chính tắc tương tự như bài 1:

(x+1)² + (y−2)² = 9,

ta có đường tròn tâm I(−1; 2), R = 3.

Gọi d: x + 2y + m = 0 (m ≠ −3). Điều kiện: \(\frac{|(-1)+2(2)+m|}{\surd(1+4)}=3\Leftrightarrow|3+m|=3\sqrt5\). Giải ra m = −3 + 3√5 hoặc m = −3 − 3√5. Cả hai giá trị đều khác −3 nên đều được nhận, cho ra hai tiếp tuyến song song với Δ nằm về hai phía đường tròn.

Bài tập 4 (Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước): Cho đường tròn (C): x² + y² − 2x + 6y + 6 = 0 và đường thẳng Δ: 2x − y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với Δ.

Hướng dẫn giải: Đưa về dạng chính tắc: (x−1)² + (y+3)² = 4, ta có đư tròn tâm I(1; −3), R = 2. Vì d vuông góc Δ (có vecto pháp tuyến (2; −1)), nên d nhận (1; 2) làm vecto pháp tuyến (vecto chỉ phương của Δ), gọi d: x + 2y + m = 0. Điều kiện: |1 + 2(−3) + m| / √5 = 2 ⇔ |m − 5| = 2√5. Ta được hai giá trị của m: 2√5 + 5 và - 2√5 + 5 ứng với hai tiếp tuyến \(d_1\): x + 2y +  2√5 + 5 = 0 và \(d_2\) : x + 2y - 2√5 + 5 = 0.

Qua bài viết, có thể thấy toàn bộ tư duy viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đều xoay quanh việc khai thác hai đặc điểm cốt lõi của tiếp tuyến: vuông góc với bán kính tại tiếp điểm (khi biết tiếp điểm) và có khoảng cách từ tâm đến nó bằng đúng bán kính (khi không biết tiếp điểm).

Trước khi bắt tay vào giải bất kỳ bài toán nào, bước kiểm tra vị trí của điểm đã cho so với đường tròn là bước bắt buộc, vì nó quyết định trực tiếp phương pháp và số lượng tiếp tuyến cần tìm. Với điểm thuộc đường tròn, phương trình được lập trực tiếp từ vecto pháp tuyến IM; với điểm ngoài đường tròn, cần gọi phương trình theo hệ số góc và áp dụng điều kiện khoảng cách, đồng thời không được bỏ sót trường hợp đường thẳng đứng; còn với yêu cầu song song hoặc vuông góc, quan hệ giữa các vecto pháp tuyến giúp rút gọn ẩn số trước khi giải. Xem thêm các bài giảng khác tại Bài viết chuyên mục Toán 10.