Standard Deviation là gì? Công thức, cách tính trong SAT® và bài tập

Trong bài thi SAT Math gồm nhiều dạng bài toán, và mỗi dạng bài có phương pháp làm bài riêng. Do đó, để tối ưu hoá hiệu quả làm bài, người học nên nhận diện và hiểu rõ được phương pháp giải mỗi dạng bài trong mỗi câu hỏi, cụ thể trong bài viết này là dạng câu hỏi ứng dụng Standard Deviation. Bài viết hướng dẫn người học cách nhận diện dạng toán chứa Standard Deviation, đề xuất chiến lược làm bài cũng như cung cấp các bài tập ứng dụng để củng cố kiến thức của người học.

Standard Deviation là gì?

Standard Deviation (độ lệch chuẩn), viết tắt là SD, đo lường mức độ phân tán của dữ liệu so với giá trị trung bình. Nếu các số liệu gần nhau, SD thấp. Nếu các số liệu rải rác xa hơn, SD cao.

Ví dụ:

• Tập A: {4, 4, 4, 4}, có giá trị trung bình là 4, thì SD = 0 (không có độ lệch so với trung bình 4)

• Tập B: {1, 4, 7, 10}, có giá trị trung bình là 5,5, thì SD lớn hơn (các số cách xa trung bình 5.5 hơn).

Chiến lược chung xử lý câu hỏi Standard Deviation trong SAT Math

Standard Deviation không cần thiết được tính toán bằng công thức

Đối với bài thi SAT Math, người học không cần thiết phải sử dụng công thức để tính SD cụ thể, mà có thể áp dụng các phương pháp trực quan như nhìn biểu đồ, so sách các cột / bảng số liệu. Tuy nhiên, người học cũng nên biết công thức cơ bản nếu gặp phần nâng cao (không bắt buộc trong SAT Math thông thường, nhưng hữu ích nếu cần suy luận):

• Công thức Population Standard Deviation:

• Công thức Sample Standard Deviation:

Dựa vào khoảng cách tới giá trị trung bình

• Nếu các phần tử gần giá trị trung bình hơn thì SD nhỏ hơn

• Nếu có giá trị ngoại lai thì SD tăng lên

So sánh trực quan các tập dữ liệu

SAT thường cho 2–3 tập dữ liệu để so sánh SD. Người học có thể tham khảo các chiến thuật sau:

• Tập dữ liệu có nhiều giá trị giống nhau thì SD nhỏ

• Tập có giá trị lệch nhiều so với trung bình thì SD lớn

Tham khảo các mẫu bài thi, ví dụ cụ thể trong các đầu sách luyện thi

Vận dụng tư duy tính toán, kỹ năng quan sát, vì – thường là câu tư duy, không máy tính.

Đọc thêm: Chiến thuật làm bài Center, Spread, and Shape of Distributions - SAT Math

Chiến lược xử lý các dạng bài Standard Deviation thường gặp

Dạng 1: So sánh độ lệch chuẩn giữa các tập dữ liệu

Mục tiêu: So sánh xem tập nào có độ lệch chuẩn lớn hơn, không cần tính cụ thể.

Chiến lược:

• Tính/ước lượng mean (trung bình).

• Nhìn độ phân tán: Dãy nào nhiều số xa mean hơn thì SD lớn hơn.

• Dãy nào có các số giống nhau hoặc gần nhau thì SD nhỏ hơn.

Ví dụ:

• Tập A: 3, 3, 3, 3

• Tập B: 1, 3, 5, 7

• Mean A = 3, có mọi số bằng mean. Vậy tập A có SD = 0

• Mean B = 4. Tập B có các số phân bố xa hơn mean. Vậy tập B có SD lớn hơn A

Chiến thuật:

• Nếu tất cả số bằng nhau thì SD = 0

• Càng đa dạng thi SD càng lớn

Dạng 2: Ảnh hưởng của phép biến đổi dữ liệu đến Standard Deviation

Mục tiêu: Hiểu được SD thay đổi thế nào nếu áp dụng các phép toán cộng/trừ/nhân/chia lên toàn bộ dữ liệu.

Chiến lược:

Ví dụ:

• Dãy ban đầu: 2, 4, 6. Vậy SD = x

• Dãy mới: 2+3, 4+3, 6+3. Vậy SD vẫn là x

• Dãy mới: 2×2, 4×2, 6×2. Vậy SD là 2x

Chiến thuật:

• Cộng / trừ chỉ dời dữ liệu thì không ảnh hưởng đến độ lệch.

• Nhân / chia co giãn dữ liệu thì ảnh hưởng đến độ lệch chuẩn.

Dạng 3: Câu hỏi từ bảng hoặc biểu đồ

Mục tiêu: Dựa vào biểu đồ / cột / dạng bảng để xác định tập nào có SD lớn nhất / nhỏ nhất.

Chiến lược:

• Nhìn sự phân bố:

  • Cột gần mean, tập trung thì SD nhỏ.

  • Cột phân bố rộng, trải đều thì SD lớn.

• Không cần tính toán, chỉ cần quan sát xu hướng.

Ví dụ:

Biểu đồ 1: Các giá trị phân bố trong khoảng 10–20
Biểu đồ 2: Các giá trị từ 1–50
Vậy, biểu đồ 2 có SD lớn hơn SD của biểu đồ 1.

Dạng 4: Thêm hoặc bớt dữ liệu - Ảnh hưởng đến Standard Deviation

Mục tiêu: Xác định SD thay đổi ra sao khi thêm / bớt một phần tử.

Chiến lược:

• Nếu phần tử bằng mean cũ thì SD giảm hoặc không đổi.

• Nếu phần tử rất khác mean thì SD tăng.

Ví dụ:

• Tập A: 2, 4, 6 (mean = 4)

• Thêm số 4 (gần mean). Vậy SD giảm

• Thêm số 20 (rất xa mean). Vậy SD tăng

Dạng 5: Tìm tập có Standard Deviation lớn nhất hoặc nhỏ nhất (so sánh nhanh)

Thường gặp trong câu hỏi chọn đáp án nhanh. Người học không cần tính mean, chỉ cần quan sát:

• Tập có các số giống nhau thì SD nhỏ nhất.

• Tập có các số cực đại/tiêu cực xen kẽ thì SD lớn hơn.

Ví dụ:

Chọn dãy có SD lớn nhất:
A. 5, 5, 5, 5
B. 4, 5, 6, 7
C. 0, 5, 10, 15
Đáp án: C (vì giá trị phân bố xa mean nhất)

Bài tập ứng dụng

Question 1: Comparing Standard Deviations

The test scores of two classes are shown below:

• Class A: 70, 75, 80, 85, 90

• Class B: 60, 70, 80, 90, 100

Which of the following statements is true?

A. The standard deviation of Class A is greater than that of Class B.
B. The standard deviations of both classes are equal.
C. The standard deviation of Class B is greater than that of Class A.
D. The standard deviation cannot be determined without the mean.

Answer: C. The standard deviation of Class B is greater than that of Class A.

Giải thích:

Standard deviation đo lường mức độ phân tán của các số so với giá trị trung bình.

Quan sát đề bài:

1. Lớp A: từ 70 đến 90 (đối xứng quanh 80, khoảng giá trị = 20)

2. Lớp B: từ 60 đến 100 (cũng đối xứng quanh 80, nhưng khoảng giá trị = 40)

Cả hai lớp đều có giá trị trung bình là 80, nhưng điểm số của Lớp B phân tán hơn, điều đó có nghĩa là độ lệch chuẩn cao hơn.

Question 2: Effects on Standard Deviation

A set of numbers has a standard deviation of 10. If 5 is added to every number in the set, what is the new standard deviation?

A. 0
B. 5
C. 10
D. 15

Answer: C. 10

Giải thích:

Việc cộng (hoặc trừ) cùng một giá trị vào mọi phần tử trong một tập dữ liệu sẽ thay đổi toàn bộ tập số, nhưng không làm thay đổi mức độ phân tán (độ trải rộng) của các giá trị.

Vì vậy, giá trị trung bình sẽ thay đổi, nhưng standard deviation vẫn giữ nguyên.

Do đó, standard deviation vẫn là 10.

Đọc thêm: Giải thích dữ liệu từ biểu đồ và bảng phức tạp trong SAT Math

Tổng kết

Qua bài viết, người học hiểu rõ hơn về khái niệm, công thức của Standard Deviation, nắm được các dạng bài có liên quan đến Standard Deviation trong bài thi SAT Math, cũng như xây dựng được chiến lược làm các dạng toán có Standard Deviation và luyện tập các dạng bài qua bài tập củng cố được đề xuất trong bài viết.

Ngoài ra, để nâng cao kỹ năng làm toán trong bài thi SAT nói riêng và kỹ năng làm bài thi SAT cả hai phần thi Math và Reading and Writing, người học có thể tham khảo các khóa học SAT tại ZIM Academy.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.