Sử dụng DESMOS để tìm biểu thức bậc hai tương đương

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm biểu thức bậc hai tương đương, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về biểu thức bậc hai

Biểu thức bậc hai có dạng tổng quát là:

Ax² + Bx + C

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A ≠ 0 còn x là biến số độc lập.

Biểu thức bậc hai cũng có thể được viết dưới các dạng khác. Ví dụ:

Xét biểu thức bậc hai:

Ax² + Bx + C

Một điểm quan trọng của biểu thức bậc hai là tọa độ là (h, k) được xác định như sau:

• h = -b/2a

• k có thể tìm được bằng cách thay giá trị h vào biểu thức ban đầu.

Với toạ độ đỉnh (h, k), người học có thể viết biểu thức bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

A(x-h)²+k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

Ngoài ra, biểu thức bậc hai cũng có thể được viết dưới dạng nhân tử (factorised form). Xét biểu thức bậc hai Ax² + Bx + C. Biểu thức này có thể được viết thành dạng nhân tử theo công thức:

Ax² + Bx + C = A(x + D)(x + E)

Người học có thể phân tích biểu thức bậc hai thành nhân tử theo các bước:

• Bước 1: Liệt kê các cặp số có tích bằng số hạng tự do C.

• Bước 2: Tìm một cặp số vừa có tổng bằng hệ số của x (tức là B/A), vừa có tích bằng C/A.

  Lưu ý: Nếu A bằng 1, thì cặp số vừa cần tổng bằng B và vừa có tích bằng C. Nếu A là số khác 1 thì cặp số sẽ có tổng là B/A và tích là C/A. 

• Bước 3: Viết hai ngoặc, mỗi ngoặc chứa biến x.

• Bước 4: Đặt mỗi số trong cặp tìm được vào một ngoặc. Người học không cần quan tâm đến thứ tự, nhưng cần phải để ý đến dấu của các số để tránh sai sót.

Người học cũng cần lưu ý là với các giá trị x = -D và x = -E thì biểu thức được cho sẽ bằng 0.

Mối liên hệ giữa biểu thức bậc hai và đồ thị

Tính chất của biểu thức bậc hai cũng có thể được hiểu rõ thông qua đồ thị.

Xét biểu thức bậc hai Ax² + Bx + C. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

• Đồ thị của biểu thức Ax² + Bx + C là một parabol.

• Hệ số A sẽ quyết định chiều mở của parabol.

• Nếu A > 0: parabol mở lên hình “chữ U” (parabol giảm rồi tăng).

• Nếu A < 0: parabol mở xuống hình “quả núi” (parabol tăng rồi giảm).

Điểm đỉnh của parabol là điểm quan trọng nhất, là giá trị nhỏ hoặc lớn nhất của biểu thức bậc hai (tuỳ vào A). Điểm đỉnh có hoành độ là x = -B/2A. Ngoài ra, thay mỗi giá trị x vào trong biểu thức sẽ tính ra được một giá trị biểu thức tương ứng, gọi là y. Các điểm với tọa độ (x, y) sẽ nằm trên đồ thị của biểu thức.

Ví dụ, với biểu thức bậc hai: x² - 4x + 3

Ta có: x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

Ta thay thử các giá trị x vào biểu thức

• Thay x = 1 -> Biểu thức = (1)² - 4(1) + 3 = 0 -> (1, 0) là một điểm thuộc đồ thị biểu thức x² - 4x + 3

• Thay x = 3 -> Biểu thức = (3)² - 4(3) + 3 = 0 -> (3, 0) là một điểm thuộc đồ thị biểu thức x² - 4x + 3

Vì vậy, parabol đi qua hai điểm (1, 0) và (3, 0).

Fig. 1. Expression x^2 - 4x + 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Hai biểu thức bậc hai tương đương

Hai biểu thức bậc hai tương đương là hai biểu thức tuy có dạng khác nhau nhưng luôn cho cùng một giá trị với mọi giá trị của x (khi thay cùng một x). Hai biểu thức này sẽ có cùng tập nghiệm và cùng đồ thị.

Như vậy, hai biểu thức bậc hai tương đương:

• Biến đổi đại số được thành nhau.

• Khi rút gọn hoặc khai triển thì là cùng một biểu thức.

• Khi biểu diễn dưới đồ thị thì sẽ trùng nhau.

Ví dụ: Ta xét hai biểu thức

(x + 3)(x + 2) và x² + 5x + 6

Nếu ta khai triển (x + 3)(x + 2), ta sẽ có được x² + 5x + 6 với mọi x.

Như vậy, (x + 3)(x + 2) và x² + 5x + 6 là hai biểu thức tương đương.

Fig. 2. Expressions (x + 3)(x + 2)  and x^2 + 5x + 6 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Tìm biểu thức bậc hai tương đương trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm biểu thức bậc hai tương đương là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm biểu thức bậc hai tương đương, xác định tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến biểu thức bậc hai tương đương, tìm hằng số để hai biểu thức tương đương hoặc trả lời các câu hỏi thực tế liên quan đến biểu thức bậc hai tương đương.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm biểu thức bậc hai tương đương

Để sử dụng DESMOS để tìm biểu thức bậc hai tương đương, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là biểu thức được cho sẵn và các lựa chọn.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong trường hợp này, người học trước hết viết biểu thức được cho sẵn trong đề bài vào DESMOS.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của biểu thức  tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, người học nhấp xuống các dòng dưới và lần lượt nhập các biểu thức được cho trong phần lựa chọn. 

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của các biểu thức tương ứng.

Lưu ý: Người học có thể bấm vào những hình tròn ở cạnh các biểu thức để đồ thị của chúng không hiện lên giao diện, tránh bị rối khi xét đồ thị. Sau đó, người học xem là biểu thức nào cho người học một đồ thị khớp với đồ thị của đề bài.

Bước 4: (tuỳ chọn) Người học có thể thế các giá trị x vào hai biểu thức để kiểm tra liệu chúng có tương đương không.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

Which expression is equivalent to 2x² - 7x  - 15?

A. (2x + 3)(x - 5)
B. (x - 5)(2x + 1)
C. (2x - 3)(x + 5)
D. (x + 3)(2x - 5)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Biểu thức được cho: 2x² - 7x  - 15

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: 2x² - 7x  - 15 để hiện đồ thị biểu thức trên mặt phẳng toạ độ

Lưu ý, với các số mũ, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 5. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Desmos sẽ hiển thị parabol 2x^2 - 7x  - 15 trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 6. Expression 2x^2 - 7x  - 15 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Người học lần lượt viết các lựa chọn được cho vào DESMOS. Sau khi viết, người học chỉ cần lần lượt xét từng biểu thức một để xét biểu thức tương đương bằng cách bấm vào những hình tròn cạnh từng biểu thức để lần lượt hiện/ẩn từng đồ thị trên giao diện. 

Trong trường hợp này, biểu thức (2x + 3)(x - 5) cho ta thấy một đồ thị khớp với đồ thị của 2x² - 7x  - 15.

Fig. 7. Expression 2x^2 - 7x  - 15 and others on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 4: Người học có thể thử một vài giá trị x vào hai biểu thức để kiểm tra.

• Thay x = 1

  • 2x² - 7x  - 15 = 2(1)² - 7(1) - 15 = -20

  • (2x + 3)(x - 5) = (2(1) + 3)(1 − 5) = -20

⇒ Hai biểu thức tương đương.

⇒ Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm biểu thức bậc hai tương đương [8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

Which of the following expressions is equivalent to 3x² - 12x + 12?

A. 3(x - 2)²

B. 3(x - 4)²

C. 3(x² - 4)

D. 3(x - 2)(x - 4)

Answer: A

Question 2: 

Which of the following expressions is equivalent to (x + 3)(x - 5) + 15?

A. x² - 2x - 15

B. x² - 2x

C. x² + 8x

D. x² - 2x + 15

Answer: B

Question 3:

Which of the following expressions is equivalent to 4x² - 9?

A. (2x - 9)(2x - 1)

B. (4x - 3)(x + 3)

C. (2x - 3)(2x + 3)

D.(2x - 3)²

Answer: C

Question 4:

The expression 2x² + 8x + 6 can be rewritten in the form a(x + b)² + c, where a, b, and c are constants. Which of the following is equivalent to 2x² + 8x + 6?

A. 2(x + 4)² - 2

B. 2(x + 4)² - 10

C. 2(x + 2)² + 6

D. 2(x + 2)² - 2

Answer: D

Question 5:

For what value of c is the expression 2(x + 4)² + c equivalent to 2x² + 16x + 10?

A. -11

B. 11

C. 22

D. -22

Answer: D

Question 6:

For what value of c are the expressions 2(x - 1)(x + 5) + c(x - 1) and 2x² + 8x - 10 equivalent for all values of x?

A. -2

B. 0

C. 2

D. 4

Answer: B

Question 7:

Which of the following expressions is equivalent to 3(x + 2)² - (2x + 1)² + 4x?

A. -(x - 6)² + 47

B. -(x + 6)² + 47

C. -3(x - 2)² + 11

D. -(x - 12)² + 11

Answer: A

Question 8:

Which of the following expressions is equivalent to 2(x + 3)² - (x - 2)(x + 6) + x²?

A. 2x² + 8x + 30

B. 2x² + 8x + 24

C. 2x² + 4x + 30

D. 2x² + 4x + 24

Answer: A

Question 9:

For what value of k are the expressions 2(x + 3)² - k(x + 1) and 2x² + 10x + 16 equivalent for all values of x?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Answer: C

Question 10:

For what value of c are the expressions 2(x - 3)² + c(x - 2) and 2x² - 8x + 10 equivalent for all values of x?

A. 4

B. -4

C. 6

D. -6

Answer: A

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm biểu thức bậc hai tương đương. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.