Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

Trong phần thi Math của bài thi Digital SAT, quadratic graphs thuộc dạng bài Advanced Math, đòi hỏi thí sinh có khả năng vận dụng kiến thức về đồ thị hàm số bậc 2. Bài viết này sẽ giới thiệu đến thí sinh những kiến thức cần thiết để trả lời các câu hỏi này, chia sẻ chiến lược làm bài hiệu quả cũng như đưa ra các ví dụ và bài tập giúp thí sinh nắm vững kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi.

Tổng quan về dạng bài Quadratic graphs

Quadratic functions (hàm số bậc hai) là hàm số có bậc cao nhất là 2 (\(x^2\)), có thể chứa một hoặc nhiều biến. Tuy nhiên, trong khuôn khổ bài thi SAT Math, phần lớn các câu hỏi xoay quanh dạng hàm số bậc hai một biến.

Hàm số bậc hai một biến có dạng tổng quát như sau:

Trong đó:

• x là biến số

• a, b, c là các hệ số với a ≠ 0

Ví dụ:

• y = f(x) = x² – 6x + 9

• y = g(x) = –2x² + 8x

• y = h(x) = 3x² – 5

Quadratic graphs (đồ thị hàm số bậc hai) là đồ thị có dạng đường cong parabol biểu diễn cho một hàm số bậc hai. Trục đối xứng của đồ thị song song với trục Oy và đỉnh của đồ thị luôn đi qua trục đối xứng này.

Ví dụ:

Những yếu tố quan trọng của đồ thị hàm số bậc hai bao gồm:

• Giao điểm với trục Oy (y-intercept): Đồ thị hàm số bậc 2 luôn có 1 giao điểm với trục Oy

• Giao điểm với trục Ox (x-intercept/zero/root): Đồ thị hàm số bậc 2 có thể có 0, 1 hoặc 2 giao điểm với trục Ox

• Đỉnh (vertex): Toạ độ y của đỉnh đồ thị là giá trị nhỏ nhất (khi đồ thị hướng lên) hoặc giá trị lớn nhất (khi đồ thị hướng xuống) của hàm số mà đồ thị biểu diễn

Trong bài thi Digital SAT Math, thí sinh có thể gặp các dạng bài Quadratic graphs sau:

• Xác định các đặc điểm của đồ thị

• Xác định hàm số của đồ thị

• Xác định sự thay đổi của đồ thị dựa vào hàm số

Cùng chủ đề: Exponential graphs - Tổng quan và chiến lược làm bài đồ thị hàm mũ

Chiến lược làm bài dạng bài Quadratic graphs trong SAT Math

Xác định hàm số của đồ thị

Đối với dạng bài này, đề bài đưa ra một đồ thị và 4 hàm số bất kỳ. Thí sinh cần xác định hàm số mà đồ thị đó biểu diễn.

Cách 1: Loại trừ phương án dựa trên hình dạng đồ thị

Khi quan sát đồ thị, thí sinh có thể nhanh chóng loại trừ các phương án dựa trên những đặc điểm sau:

• Nếu đồ thị có dạng parabol, thí sinh xác định đây là hàm số bậc 2 → Loại các hàm số có bậc cao nhất khác 2.

• Nếu đồ thị hướng lên, hàm số bậc hai có hệ số a > 0 → Loại các hàm số có a < 0.

• Nếu đồ thị hướng xuống, hàm số bậc hai có hệ số a < 0 → Loại các hàm số có a > 0.

Nếu phương pháp loại trừ chỉ giúp loại bỏ 1-2 phương án, thí sinh cần xác định các hệ số a, b, c của hàm số.

Ví dụ:

Choose a function that represents the graph.

Giải:

• The graph is parabolic, so this graph represents a quadratic function. Eliminate options C and D because their highest powers are 3 (x³) and 1 (x), respectively.

• The graph opens upwards, so “a” must be positive (a > 0). Eliminate option A because a = —2 < 0

  .

• The only remaining option is B. This function has the highest power as 2 and a > 0, which correctly represents the quadratic graph.

→ B is the correct answer.

Dịch nghĩa:

• Đồ thị có dạng parabol nên là đồ thị hàm số bậc hai. Loại phương án C, D vì các hàm số lần lượt có bậc cao nhất là 3 và 1.

• Đồ thị hướng lên nên hệ số a phải dương (a > 0). Loại phương án A vì a = —2 < 0

  .

• Phương án còn lại là B. Hàm số này có bậc cao nhất là 2 và có hệ số a > 0, thể hiện đúng hình dạng của đồ thị.

→ B là đáp án đúng.

Cách 2: Xác định các hệ số a, b, c của hàm số

Bước 1: Xác định hệ số c từ giao điểm với trục tung

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ x = 0 và y = c. Do đó, thí sinh cần tìm tung độ của giao điểm giữa đồ thị với trục tung để xác định hệ số c.

Bước 2: Xác định hệ số a và b dựa trên toạ độ điểm khác

Sau khi đã có giá trị của hệ số c, thí sinh cần tìm và xác định toạ độ của 2 điểm bất kỳ trên đồ thị để thế vào hàm số. Khi đó, thí sinh có hệ phương trình hai ẩn a, b như sau:

\(a\left(x_{1^{}}\right)^2+bx_1+c=y_1\)

\(a\left(x_2\right)^2+bx_2+c=y_2\)

Thí sinh sử dụng máy tính để giải hệ phương trình này và xác định hệ số a, b.

Ví dụ:

What is the quadratic function that represents this quadratic graph?

Giải:

From the quadratic graph, observe that the y-intercept occurs at (0;−4). Therefore, c = −4. The function is

y = f(x) = ax² + bx — 4.

Choose two points on the graph: (1; 0) and (2; 2).

Substituting into the function y = f(x) = ax² + bx — 4

• For the point (1; 0): 0 = a(1)² + b(1) — 4 ⇔ a + b = 4

• For the point (2; 2): 2 = a(2)² + b(2) — 4 ⇔ 4a + 2b = 6 ⇔ 2a + b = 3

Solve the system a + b = 4 and 2a + b = 3 → a = -1, b = 5.

Therefore, the function is y = —x² + 5x — 4

→ A is the correct answer.

Dịch nghĩa:

Quan sát đồ thị, có thể thấy đồ thị cắt trục tung tại (0; 4). Suy ra, c = -4. Khi đó, hàm số là y = f(x) = ax² + bx — 4.

Chọn 2 điểm trên đồ thị: (1; 0) và (2; 2).

Thế toạ độ mỗi điểm vào hàm số hiện có:

• Điểm (1; 0): 0 = a(1)² + b(1) — 4 ⇔ a + b = 4

• Điểm (2; 2): 2 = a(2)² + b(2) — 4 ⇔ 4a + 2b = 6 ⇔ 2a + b = 3

Giải hệ phương trình a + b = 4 và 2a + b = 3 → a = -1, b = 5.

Vì vậy, hàm số là y = —x² + 5x — 4

→ A là đáp án đúng.

Đọc thêm: Tổng hợp từ vựng SAT Math theo chủ đề [PDF]

Xác định các đặc điểm của đồ thị

Dạng 1: Xác định toạ độ đỉnh, giao điểm với trục tung, trục hoành

Nếu đề bài cung cấp đồ thị hàm số bậc hai, thí sinh quan sát đồ thị để xác định những điểm này. Thí sinh lưu ý rằng toạ độ của một điểm luôn được biểu diễn dưới dạng (x; y) với hoành độ trước và tung độ sau.

Nếu đề bài chỉ cung cấp hàm số bậc hai mà không có đồ thị, thí sinh xác định các điểm theo những bước sau:

• Toạ độ đỉnh

Bước 1: Xác định hoành độ đỉnh x = —b/2a

Bước 2: Thế giá trị x vào hàm số để xác định tung độ đỉnh

→ Toạ độ đỉnh: (—b/2a; f(—b/2a))

• Toạ độ giao điểm với trục tung

Bước 1: Đồ thị giao với trục tung tại x = 0

Bước 2: Thế giá trị x vào hàm số để xác định hoành độ giao điểm, khi đó y = c

→ Toạ độ giao điểm với trục tung: (0; c)

• Toạ độ giao điểm với trục hoành

Bước 1: Đồ thị giao với trục hoành tại y = 0

Bước 2: Thế giá trị y vào hàm số để xác định tung độ giao điểm, khi đó 0 = f(x) = ax² + bx + c

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0

Có 3 trường hợp sau:

1. Nếu phương trình có 2 nghiệm x1 và x2: đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (x1; 0) và (x2; 0).

2. Nếu phương trình có 1 nghiệm x1: đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành tại một điểm có toạ độ (x1; 0).

3. Nếu phương trình không có nghiệm: đồ thị hàm số không có giao điểm với trục hoành.

Ngoài ra, đề bài có thể yêu cầu thí sinh xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của đồ thị. Câu hỏi này đồng nghĩa với xác định toạ độ đỉnh của đồ thị.

Ví dụ:

Identify the y-intercept of the quadratic graph that represents this function: y = g(x) = —3x² — 5x/2 + 4.

A. (0; 0)
B. (4; 0)
C. (0; 4)
D. (0; -4)

Giải:

y-intercept is located at x=0 → y = g(0) = —3(0)² —5(0)/2 + 4 = 4

Therefore, the y-intercept is located at (0; 4).

→ C is the correct answer.

Dịch nghĩa:

Giao điểm của đồ thị với trục Oy có hoành độ x=0 → y = g(0) = —3(0)² —5(0)/2 + 4 = 4

Vì vậy, giao điểm của đồ thị với trục Oy có toạ độ (0; 4).

→ C là đáp án đúng.

Dạng 2: Xác định số giao điểm của đồ thị với trục hoành

Thí sinh có thể tìm nghiệm của ax² + bx + c = 0 như trên hoặc tính giá trị b² — 4ac.

• Nếu b² — 4ac

  > 0, đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm.

• Nếu b² — 4ac

  < 0, đồ thị tiếp xúc trục hoành tại 1 điểm.

• Nếu b² — 4ac

  = 0, đồ thị không có giao điểm với trục hoành.

Ví dụ:

Given the quadratic function y = h(x) = —x² — 3x/2. How many x-intercepts does its quadratic graph have?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Giải:

b² — 4ac = (—3/2)² — 4(—1)(0) = 9/4 > 0.

Therefore, the quadratic graph has two x-intercepts.

→ C is the correct answer.

Dịch nghĩa:

b² — 4ac = (—3/2)² — 4(—1)(0) = 9/4 > 0.

Vì vậy, đồ thị hàm số bậc hai của hàm số đã cho có 2 giao điểm với trục Ox.

→ C là đáp án đúng.

Xác định sự thay đổi của đồ thị dựa vào hàm số

Đề bài cung cấp 1 hàm số gốc và 1 hàm số biến đổi dựa trên hàm số gốc. Thí sinh cần xác định đồ thị của hàm số biến đổi thay đổi như thế nào so với hàm số ban đầu.

Đối với dạng bài này, thí sinh không cần vẽ cả 2 đồ thị. Thay vào đó, thí sinh có thể áp dụng các quy tắc sau để xác định sự thay đổi của một đồ thị hàm số bậc 2.

• Đồ thị của y = f(x - c) di chuyển sang phải c đơn vị so với đồ thị y = f(x).

• Đồ thị của y = f(x + c) di chuyển sang trái c đơn vị so với đồ thị y = f(x).

• Đồ thị của y = f(x) + c di chuyển lên trên c đơn vị so với đồ thị y = f(x).

• Đồ thị của y = f(x) - c di chuyển xuống dưới c đơn vị so với đồ thị y = f(x).

• Đồ thị của y = -f(x) đối xứng với đồ thị y = f(x) qua trục hoành.

• Đồ thị của y = f(-x) đối xứng với đồ thị y = f(x) qua trục tung.

• Đồ thị của y = c.f(x) kéo giãn theo chiều dọc gấp c lần đồ thị y = f(x).

Ví dụ:

Compared to the graph of y = f(x) = x² — x + 1, the graph of y = g(x) = (x — 2)² — (x — 2) + 4 is shifted _________. Complete the sentence.

A. 2 units to the right and 3 units upwards
B. 2 units to the left and 3 units upwards
C. 2 units to the right and 3 units downwards
D. 2 units to the left and 3 units downwards

Giải:

Compare f(x) and g(x): g(x) = f(x — 2) + 3

Therefore, the graph of g(x) is shifted 2 units to the right and 3 units upwards compared to that of f(x).

→ A is the correct answer.

Dịch nghĩa:

So sánh f(x) và g(x): g(x) = f(x — 2) + 3

Vì vậy, đồ thị g(x) dịch chuyển sang phải 2 đơn vị và lên trên 3 đơn vị so với đồ thị f(x).

→ A là đáp án đúng.

Đọc thêm: Chiến lược phân bổ thời gian làm bài thi SAT Digital hợp lý

Một số lưu ý

Hàm số bậc 2 có dạng tổng quát là \(y=f\left(x\right)=ax^2+bx+c\). Ngoài ra, hàm số này còn có thể được biểu diễn dưới dạng y = f(x) = a(x — h)² + k. Khi đó, (h; k) là toạ độ đỉnh của đồ thị.

Ngoài ra, nếu đồ thị hàm số bậc hai cắt trục hoành tại hai điểm hàm số của nó có thể được biểu diễn dưới dạng y = f(x) = a(x — m)(x — n). Khi đó, (m; 0) và (n; 0) lần lượt là toạ độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Trong quá trình làm bài, nếu nhận thấy hàm số bậc hai được thể hiện dưới những dạng đặc biệt này, thí sinh có thể dễ dàng xác định một số yếu tố của đồ thị mà không cần các bước tính toán khác.

Ví dụ:

Choose a quadratic function that represents the quadratic graph.

Giải:

The graph has two x-intercepts at (0; 2) and (0; 3). Therefore, its quadratic function can be written as y = f(x) = a(x-2)(x-3).

→ B is the correct answer.

Dịch nghĩa:

Đồ thị có hai giao điểm với trục Ox là (0; 2) và (0; 3). Vì vậy, hàm số bậc hai biểu diễn đồ thị có thể được viết dưới dạng y = f(x) = a(x-2)(x-3).

→ B là đáp án đúng.

Bài tập ứng dụng

Bài 1: Choose a quadratic function that represents each of the following quadratic graphs.

Bài 2: Identify the following features of the quadratic graphs.

(1) Vertex of y = f(x) = x² — 3x/2 + 5/16

A. (3/2; 5/16)
B. (—3/4; 1/4)
C. (3/4; —1/4)
D. (0; 5/16)

(2) Y-intercepts of y = g(x) = (x — 3)² + 5

A. (0; 14)
B. (14; 0)
C. (0; 5)
D. (5; 0)

(3) Zero(s) of y = h(x) = (x — 2)(x + 5)

A. (2; 0)
B. (-5; 0)
C. (3; 0)
D. A and B are correct

Bài 3: How does the graph of y = f(x) = x² + 3x — 7 change compared to the graph of y = g(x) = x² + 5x — 3?

A. Shifted 2 units upwards
B. Shifted 4 units to the left
C. Shifted 4 units downwards
D. Shifted 1 unit to the right

Đáp án:

Bài 1: (1) A; (2) A; (3) C; (4) D.

Bài 2: (1) C; (2) C; (3) D.

Bài 3: D.

Gợi ý giải:

y = f(x) = x² + 3x — 7

⇔ y = x² + 5x — 2x — 3 — 4

⇔ y = f(x) = (x² — 2x + 1) + (5x — 5) + 3

⇔ y = f(x) = (x — 1)² + 5(x — 1) + 3

⇔ y = f(x) = g(x — 1)

Therefore, the graph of f(x) is shifted 1 unit to the right of the graph of g(x).

Đọc tiếp: Quadratic and exponential word problems - Hướng dẫn làm bài và bài tập

Tổng kết

Bài viết trên đã giới thiệu đến thí sinh dạng bài quadratic graphs - đồ thị hàm số bậc hai trong phần thi SAT Math. Thí sinh cần thường xuyên luyện tập các dạng câu hỏi khác nhau để nắm vững kiến thức về quadratic graphs và thành thạo chiến lược làm bài, qua đó chuẩn bị sẵn sàng cho kỳ thi. Trong quá trình luyện tập, thí sinh có bất kỳ thắc mắc nào có thể tham gia đặt câu hỏi trên diễn đàn ZIM Helper để được hỗ trợ giải đáp bởi đội ngũ giáo viên của ZIM.

Ngoài ra, thí sinh có thể đọc thử tựa sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies, được biên soạn bởi đội ngũ chuyên môn tại ZIM, giúp thí sinh giải quyết các dạng toán hiệu quả trong bài thi SAT Math. Với mỗi dạng bài, cuốn sách sẽ cung cấp kiến thức cơ bản, các ví dụ và cách giải mẫu, cuối cùng là bài tập luyện tập kèm đáp án có giải thích chi tiết.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.