Quadratic and exponential word problems: Hướng dẫn làm bài và bài tập

SAT hay Scholastic Assessment Test là một kỳ thi chuẩn hóa được các trường đại học, cao đẳng sử dụng để đánh giá năng lực của học sinh trung học. Kỳ thi này tập trung vào các kỹ năng như đọc hiểu, viết luận, và toán học của học sinh. Trong đó, phần thi Toán (Math) chiếm một phần quan trọng và bao gồm hai phần chính: một phần không được sử dụng máy tính và có thể sử dụng máy tính. Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu về dạng bài quadratic and exponential word problems, đồng thời gợi ý một số chiến lược làm bài.

Tổng quan về dạng bài quadratic and exponential word problems

Trong phần Advanced Math của SAT, các câu hỏi liên quan đến phương trình bậc hai (quadratic equations) và hàm mũ (exponential functions) thường xuất hiện dưới dạng bài toán đố (word problems). Các dạng bài này yêu cầu thí sinh hiểu và áp dụng các kiến thức toán học vào các tình huống thực tế, đòi hỏi khả năng phân tích, giải quyết vấn đề, và diễn giải thông tin.

1. Quadratic Word Problems (Bài toán phương trình bậc hai)

Bài toán phương trình bậc hai thường liên quan đến các tình huống như chuyển động, diện tích, hay tối ưu hóa. Chúng thường có dạng phương trình [1]:

\[ax^2+bx+c=0\]Các dạng bài toán phổ biến:

• Chuyển động của vật thể: Bài toán liên quan đến chuyển động ném, rơi tự do hoặc quỹ đạo của một vật thể. Ví dụ: tính chiều cao tối đa mà một quả bóng đạt được hoặc thời gian để quả bóng chạm đất.

• Diện tích hình học: Bài toán liên quan đến diện tích của hình vuông, hình chữ nhật, tam giác, hoặc hình tròn. Ví dụ: tìm kích thước của một khu vườn hình vuông khi biết chu vi và diện tích.

• Tối ưu hóa (Optimization): Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một phạm vi nhất định. Ví dụ: tối ưu hóa lợi nhuận, diện tích hoặc chi phí.

2. Exponential Word Problems (Bài toán hàm mũ)

Bài toán hàm mũ thường yêu cầu thí sinh giải các tình huống như tăng trưởng dân số, tiền lãi kép, sự phân huỷ phóng xạ, hoặc tăng trưởng vi khuẩn. Công thức như sau:

\[y=a\cdot b^{\times}\]Trong đó:

• a là giá trị ban đầu (initial amount).

• b là hệ số tăng trưởng hoặc giảm sút (growth or decay factor).

• x là thời gian hoặc số chu kỳ (time or number of periods).

Các dạng bài toán phổ biến:

• Tăng trưởng hoặc giảm sút: Các bài toán mô tả sự thay đổi về số lượng theo thời gian. Ví dụ, tính toán dân số, số lượng vi khuẩn sau một khoảng thời gian nhất định với tốc độ tăng trưởng mũ.

• Lãi kép: Bài toán liên quan đến lãi suất ngân hàng, yêu cầu tính giá trị tương lai của một khoản tiền với lãi suất kép.

Phương pháp giải:

1. Xác định các tham số: Đọc kỹ đề bài để xác định giá trị ban đầu, hệ số tăng trưởng hoặc giảm sút, và khoảng thời gian.

2. Lập phương trình hàm mũ: Sử dụng công thức hàm mũ để thiết lập phương trình mô tả tình huống.

3. Giải phương trình: Tính toán giá trị cần tìm bằng cách thay thế các giá trị đã biết vào phương trình.

4. Kiểm tra và giải thích kết quả: Xem xét kết quả có hợp lý trong ngữ cảnh của bài toán hay không.

Xem thêm:

• Phương pháp giải phương trình bậc hai trong bài thi SAT

• Exponential graphs - Tổng quan và chiến lược làm bài đồ thị hàm mũ

Chiến lược làm bài quadratic and exponential word problems

1. Quadratic Word Problems

Phương pháp giải:

1. Xác định các biến và lập phương trình bậc hai: Đọc kỹ đề bài và xác định các thông tin quan trọng. Thí sinh nên đặt các biến đại diện cho các giá trị chưa biết, sau đó viết phương trình bậc hai.

2. Giải phương trình bậc hai: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử (factoring), công thức nghiệm (quadratic formula), hoặc phần bù bình phương (completing the square) để giải phương trình.

3. Kiểm tra kết quả: Đảm bảo rằng kết quả phù hợp với ngữ cảnh của bài toán và đáp ứng tất cả các điều kiện cho trước.

Ví dụ: A farmer wants to build a rectangular chicken coop. The length of the coop is 5 meters longer than its width. The area of the coop must be 300 square meters. What should the dimensions of the coop be?

(Một nông dân muốn xây dựng một chuồng gà hình chữ nhật. Chiều dài của chuồng gà dài hơn chiều rộng 5 mét. Diện tích của chuồng gà phải là 300 mét vuông. Hỏi kích thước của chuồng gà nên là bao nhiêu?)

1. Bài toán yêu cầu tìm kích thước (chiều dài và chiều rộng) của chuồng gà.

2. Gọi x là chiều rộng của chuồng gà tính bằng mét. Khi đó, chiều dài của chuồng gà là x + 5 mét.

3. Diện tích của hình chữ nhật được tính theo công thức: Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng. Vì vậy

\[\times\cdot\left(\times+5\right)=300\]4. Giải phương trình bậc 2:

\[\times^2+5\times-300=0\]Dùng công thức:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Vì: a=1, b=5, and c=−300 nên ta có:

\[\begin{align*} x &= \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300)}}{2 \cdot 1} \\ x &= \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{2} \\ x &= \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{2} \\ x &= \frac{-5 \pm 35}{2} \\ x &= \frac{30}{2} \quad \text{or} \quad x = \frac{-40}{2} \\ x &= 15 \quad \text{or} \quad x = -20 \end{align*}\]

Vì chiều rộng không thể là số âm, nên x=15.

Chiều rộng của chuồng gà là 15 mét, và chiều dài là 15 + 5 = 20 mét.

Xem thêm: Linear equation word problems SAT Math (bài toán về phương trình tuyến tính)

2. Exponential Word Problems

Phương pháp giải:

1. Xác định các tham số: Đọc kỹ đề bài để xác định giá trị ban đầu, hệ số tăng trưởng hoặc giảm sút, và khoảng thời gian.

2. Lập phương trình hàm mũ: Sử dụng công thức hàm mũ để thiết lập phương trình mô tả tình huống.

3. Giải phương trình: Tính toán giá trị cần tìm bằng cách thay thế các giá trị đã biết vào phương trình.

4. Kiểm tra kết quả: Xem xét kết quả có hợp lý trong ngữ cảnh của bài toán hay không.

Ví dụ: A scientist is studying a bacterial culture that doubles every 3 hours. The initial population of the bacteria is 200. How many bacteria will there be after 15 hours?

(Một nhà khoa học đang nghiên cứu một mẫu vi khuẩn có số lượng tăng gấp đôi sau mỗi 3 giờ. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 200. Hỏi sau 15 giờ, số lượng vi khuẩn sẽ là bao nhiêu?)

1. Bài toán yêu cầu tìm số lượng vi khuẩn sau 15 giờ.

2. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 200. Vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 3 giờ.

Gọi t là thời gian tính bằng giờ, và N(t) là số lượng vi khuẩn tại thời điểm t.

3. Vì vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 3 giờ, công thức tăng trưởng hàm mũ là:

\[ N(t) = N_0 \times \left( \mathbf{2} \right)^{\frac{t}{3}} \]

trong đó:

• No​= 200 (số lượng ban đầu),

• t = 15 giờ

4. Thay giá trị vào công thức

\[ \begin{aligned} N(15) &= 200 \times \left(2\right)^{\frac{15}{3}} \\ N(15) &= 200 \times \left(2\right)^5 \\ N(15) &= 200 \times 32 \\ N(15) &= 6400 \end{aligned} \]

5. Số lượng vi khuẩn sau 15 giờ sẽ là 6,400.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Problem Solving and Data Analysis trong SAT Math

Một số công thức cần nhớ

1. Quadratic Word Problems

• Diện tích hình chữ nhật:

A = Length × Width

• Diện tích hình tròn: \[A=\pi r^2\]

• Chu vi hình tròn:

\[C=2\pi r\]

• Công thức tốc độ:

Distance = Speed × Time

2. Exponential Word Problems [2]

• Công thức lãi kép:

\[N\left(t\right)=\mathbb{N}_0(1+r)^{t}\]Trong đó:

• N(t) là số tiền cuối cùng sau thời gian t.

• No​​ là số tiền ban đầu.

• r là lãi suất áp dụng cho từng thời hạn.

• t là thời gian

• Công thức tăng trưởng

\[\mathbb{N}(t)=\mathbb{N}_0r^{t}\]Trong đó:

• t là khoảng thời gian

• N(t) là số lượng cuối cùng sau thời gian t

• No là số lượng ban đầu

Các khái niệm cần chú ý

Bài tập

Bài tập 1:

A rectangular garden has a length that is 3 meters longer than its width. The area of the garden is 70 square meters. Find the length and width of the garden.

(Giả sử một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 3 mét. Diện tích khu vườn là 70 mét vuông. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.)

Bài tập 2:

A ball is thrown upward with an initial velocity of 20 meters per second from a height of 50 meters. The height h(t) of the ball after t seconds is given by the equation:

\[h\left(t\right)=-5t^2+20t+50\]Find the time when the ball reaches the maximum height.

(Một quả bóng được ném lên với vận tốc ban đầu là 20 mét/giây từ độ cao 50 mét. Chiều cao h(t) của quả bóng sau t giây được cho bởi phương trình trên. Tìm thời điểm quả bóng đạt độ cao tối đa.)

Bài tập 3:

A certain species of fish in a lake grows exponentially. The initial population is 150 fish, and the population doubles every 4 years. What will the population be after 12 years?

(Một loài cá trong hồ tăng trưởng theo hàm mũ. Ban đầu có 150 con cá và số lượng cá tăng gấp đôi sau mỗi 4 năm. Hỏi sau 12 năm, số lượng cá sẽ là bao nhiêu?)

Bài tập 4:

A radioactive substance decays exponentially. The initial amount is 500 grams, and its half-life is 10 years. How much of the substance will remain after 30 years?

(Một chất phóng xạ phân rã theo hàm mũ. Lượng ban đầu là 500 gram và chu kỳ bán rã là 10 năm. Hỏi sau 30 năm còn lại bao nhiêu chất phóng xạ?)

Đáp án và giải thích

Bài tập 1:

1. Gọi chiều rộng của khu vườn là x (m).
=> Chiều dài của khu vườn là x+ 3 (m).
Diện tích khu vườn: x(x+3)=70

2. Phương trình bậc 2 là: \[\times^2+3x-70=0\]3. Áp dụng công thức nghiệm:

\[\begin{align*} x &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{289}}{2} \\ x &= \frac{-3 \pm 17}{2} \end{align*}\]

4. Kết quả 2 nghiệm là x=7 hoặc x=-10 => chiều rộng của khu vườn là 7.

5. Chiều rộng là 7(m), chiều dài là 7+3=10 (m)

Bài tập 2:

1. Phương trình có dạng \[h\left(t\right)=-5t^2+20t+50\]Đây là một parabol mở xuống.

2. Thời gian để đạt độ cao tối đa là đỉnh của parabol, được tính bằng:

\[ t = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2(-5)} = 2 \text{ giây} \]

3. Thời gian khi quả bóng đạt độ cao tối đa là 2 giây.

Bài tập 3:

1. Sử dụng công thức tăng trưởng hàm mũ:

\[ N(t) = N_0 \times \left(2\right)^{\frac{t}{T}} \]

2. Thay giá trị vào công thức:

\[\begin{align*} N(12) &= 150 \times \left(2\right)^{\frac{12}{4}} \\ N(12) &= 150 \times \left(2\right)^3 \\ N(12) &= 150 \times 8 = 1200 \end{align*}\]

3. Số lượng cá sau 12 năm sẽ là 1200 con.

Bài tập 4:

1. Sử dụng công thức hàm mũ của chu kỳ bán rã:

\[ N(t) = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \]

2. Thay các giá trị vào công thức:

\[\begin{align*} N(30) &= 500 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{30}{10}} \\ N(30) &= 500 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 \\ N(30) &= 500 \times \frac{1}{8} = 62.5 \end{align*}\]

3. Sau 30 năm, còn lại 62.5 gram chất phóng xạ.

Đọc tiếp: Solving quadratic equations (SAT Math) | Hướng dẫn cách làm & Bài tập

Tổng kết

Trên đây là hướng dẫn về cách làm bài quadratic and exponential word problems trong bài thi SAT phần toán học. Để làm dạng tốt dạng bài này, thí sinh nên nắm vững các công thức, khái niệm thường gặp, đồng thời luyện tập thường xuyên nhiều bài tập khác nhau. Nếu còn bất kỳ thắc mắc nào, hãy liên hệ với diễn đàn ZIM Helper để được giải đáp thêm.