Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Tổng quan về dạng bài Factoring quadratic and polynomial expressions 

Dạng bài factorizing quadratic expressions hay polynomial expressions thuộc phần Advanced Math của bài thi Toán học SAT và có thể xuất hiện trong cả phần cho phép và không cho phép sử dụng máy tính. 

Các câu hỏi trắc nghiệm sẽ yêu cầu người học phân tích các biểu thức bậc hai và đa thức thành nhân tử. Mục tiêu là tìm giá trị của một biểu thức, giúp giải phương trình nhanh hơn hoặc làm cho biểu thức phức tạp trở nên dễ hiểu hơn. Các phương pháp phân tích thường gặp gồm tách hạng tử, tìm thừa số chung, hoặc sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ: \(x^2−9 = (x−3)(x+3)\)

Xem thêm:

• SAT Math formulas: Các công thức thường gặp trong SAT Math

• SAT Math Question: Khái niệm đại số, giải phương trình & hàm số

Chiến lược làm bài

Các bước giải dạng bài Factoring quadratic and polynomial expressions [1]:

Phân tích biểu thức bậc hai ở dạng: \(x^2+bx+c\) (a=1)

Bước 1: Tìm hệ số b và c trong biểu thức, trong đó b là hệ số của x và c là hằng số. 

Bước 2: Tìm hai số thỏa mãn được 2 điều kiện sau:

• Tổng của hai số bằng hệ số b.

• Tích của hai số bằng hằng số c.

Bước 3: Viết lại số hạng trung gian bx bằng tổng của hai số vừa tìm được.

Bước 4: Nhóm và phân tích các số hạng thành 2 cặp.

Bước 5: Tìm ước chung lớn nhất của mỗi cặp và đặt nhân tử chung.

Bước 6: Kiểm tra lại hai nhân tử: Nhân kết quả với nhau để đảm bảo chúng khai triển đúng với biểu thức bậc hai của đề bài ban đầu.

Ví dụ: Factor the quadratic expression \(2x^2+8x+6\)

Trước đó người học có thể đặt thừa số chung là 2 để dễ phân tích hơn. Sau đó phân tích biểu thức:\[x^2+4x+3\]

1. Hệ số b = 4, c = 3 

2. Số 1 và 3 thỏa mãn điều kiện 

• Tổng: 1 + 3 = b 

• Tích: 1 x 3 = c

3. Viết lại → \(x^2+x+3x+3 \)

4. Nhóm và phân tích các số hạng: \( (x^2+x)+(3x+3)\)

5. Đặt nhân tử chung: \(x(x+1)+3(x+1) → (x+1)(x+3)\)

6. Nhân hai nhân tử với nhau: \( x^2+3x+x+3 = x^2+4x+3\) (trùng với đề bài)

Vậy đáp án là: 2(x+1)(x+3)

Phân tích biểu thức bậc hai ở dạng \(ax^2+bx+c \)

Người học áp dụng phương pháp này khi không thể đặt nhân tử chung để rút gọn.

Bước 1: Tìm hệ số a, b và c trong biểu thức, trong đó.

• a là hệ số của \(x^2 \)

• b là hệ số của x

• c là hằng số

Bước 2: Tìm hai số thỏa mãn được 2 điều kiện sau:

• Tổng của hai số bằng hệ số b.

• Tích của hai số bằng tích của hệ số a và số c (a x c)

Bước 3,4,5,6: Làm tương tự các bước biểu thức bậc hai ở dạng \(x^2+bx+c\) (a=1)

Ví dụ: Factor the quadratic expression \(2x^2+9x-5\)

1. Hệ số a = 2, b = 9, c = -5

2. Tích của a và c = 2x(-5) = -10

Số 10 và -1 thỏa mãn điều kiện:

• Tổng: 10 + (-1) = 9 

• Tích: 10×(−1)=−10

3. Viết lại → \(2x^2+10x-x-5\)

4. Nhóm và phân tích các số hạng:  \((2x^2+10x)+(-x-5)\)

5. Đặt nhân tử chung: \(2x(x+5)-1(x+5) → (x+5)(2x-1)\)

6. Nhân hai nhân tử với nhau: \(2x^2-x+10x-5 → 2x^2+9x-5\) (trùng với đề bài)

Vậy đáp án là: \(2x^2-x+10x-5\)

Phân tích biểu thức bậc hai bằng hằng đẳng thức đáng nhớ

Bước 1: Xác định hằng đẳng thức đáng nhớ phù hợp với biểu thức.

Bước 2: Thay thế các giá trị đã cho vào hằng đẳng thức.

Bước 3: Thay thế các giá trị ở bước 3 vào biểu thức gốc.

Bước 4: Thực hiện phép tính:

Ví dụ: If x+y=6 and  x-y=2, what is the value of \((x^2-y^2)(x^2-2xy+y^2)\)?

1. Dựa vào đề bài, người học chọn hằng đẳng thức:

• Difference of squares: \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)

• Square of difference: \(x^2-2xy+y^2=\left(x-y\right)^2\)

2. Theo đề bài ta có: x+y=6 và  x-y=2

• \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)=6.2=12\)

• \(x^2-2xy+y^2=\left(x-y\right)^2=2^2=4\)

3. Thay thế các số vừa mới tìm được vào đề bài:

\(\left(x^2-y^2\right)(x^2-2xy+y^2)=12.4=48\)

4. Vậy đáp án là 48

Một số lưu ý 

• Kiểm tra thừa số chung: Trước khi phân tích một biểu thức bậc hai hoặc đa thức, người học nên kiểm tra xem có thể đặt thừa số chung không. Việc này giúp đơn giản hóa biểu thức, làm cho việc xử lý các bước tiếp theo dễ dàng hơn. Ví dụ, đối với biểu thức \(4x^2+8x+4\), người học có thể đặt thừa số chung là 4: \(4(x^2 + 2x + 1)\)

• Ghi nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ: Do trong phần thi SAT Math sẽ không cung cấp sẵn các hằng đẳng thức nên người học cần tự ghi nhớ để áp dụng vào bài thi của mình. Làm thường xuyên bài tập liên quan đến các hằng đẳng thức cũng giúp ghi nhớ lâu dài hơn.

• Cẩn thận dấu trừ: Cần kiểm tra cẩn thận dấu trừ vì chúng có thể làm thay đổi kết quả của các phép tính.

• Quy tắc phép trừ:

  • Một số dương cộng với một số âm, cho ra phép tính trừ. Ví dụ: 5+(−3)=5−3=2.

  • Một số dương trừ với một số âm, cho ra phép tính cộng. Ví dụ: 5−(−3)=5+3=8.

  • Nhân hoặc chia hai số cùng dấu (cùng nhau dương hoặc cùng âm), kết quả là dương. Ví dụ: (−3)×(−2)=6.

  • Nhân hoặc chia hai số khác dấu (một dương và một âm), kết quả là âm. Ví dụ: (−3)×2=−6.

  • Khi đưa dấu trừ ra khỏi dấu ngoặc đơn để bỏ ngoặc thì các dấu còn lại cũng cần đối. Ví dụ: (-2x+3y-6) = -2x-3y+6.

Bài tập ứng dụng

Câu 1: Which of the following is equivalent to \(-12x^2+24xy-30y^2\)?

A. \(-6(-2x^2+4xy-5y^2)\) 

B. \(-6(-2x^2-4xy+5y^2)\)

C. \(-6(2x^2+4xy-5y^2)\)

D. \(-6(2x^2-4xy+5y^2)\)

Câu 2: Factor the quadratic expression: \(3x^2+11x−4\)

A. (x-4) (3x+1)

B. (x+4) (3x−1)

C. (x-3) (4x+1)

D. (x+3) (4x-1)

Câu 3: If \(x^2+y^2=p\) and xy=q, which of the following is equivalent to 9p−6q?

A. \((3x−3y)^2\)

B. \((3x+3y)^2\)

C.\( (6x−6y)^2\)

D. \((6x+6y)^2\)

Câu 4: Which of the following is an equivalent form of: \((2.3x+3.1)^2−(6.5x^2-9.6)\)?

A. \(−4.6x^2+6.2x−1.44\)

B. \(−1.21x^2-14.26x+19.21\)

C. \(−4.6x^2-6.2x+1.44\)

D.  \(−1.21x^2+14.26x-19.21\)

Đáp án

Câu 1: D. \(-6(2x^2-4xy+5y^2)\)

Gợi ý giải: Lưu ý đến các dấu.

Câu 2: B. (x+4) (3x−1)

Gợi ý giải: Phân tích biểu thức bậc hai ở dạng.

Câu 3: \((3x−3y)^2\)

Gợi ý giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

\(4z+8y=4(a^2+b^2)+8(ab) = 4a^2+8ab+4b^2=(2a+2b)^2\)

Câu 4: B. \(−1.21x^2-14.26x+19.21\)

Gợi ý giải: 

1. Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ với biểu thức \((2.3x+3.1)^2\)

2. Cẩn thận dấu trừ khi bỏ ngoặc

3. Nhóm chung các hệ số và hằng số tương đồng nhau

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Heart of Algebra trong SAT Math: Chiến lược hiệu quả

• Cách làm dạng bài Problem Solving and Data Analysis trong SAT Math

Tổng kết

Phần thi SAT Math kéo dài trong 70 phút, đòi hỏi người học phải giữ vững tâm lý và nắm chắc kiến thức để hoàn thành thật tốt. Hy vọng với những chiến lược giải quyết dạng bài Factoring quadratic and polynomial expressions, người học đã nâng cao khả năng làm bài của mình. Đừng quên làm bài tập ứng dụng để củng cố và áp dụng ngay các phương pháp vừa học.

Học sinh được hỗ trợ giải đáp thắc mắc, chữa bài tập trên diễn đàn ZIM Helper bởi các Giảng viên chuyên môn đang giảng dạy tại ZIM.