Tích của một vecto với một số - Lý thuyết và bài tập Toán 10
Key takeaways
Bản chất: Tích \(k\overrightarrow{a}\)\(\)\(\) là một vectơ có độ dài bằng \(|k||\overrightarrow{a}|\).
Hướng: Cùng hướng \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k<0\).
Tính chất: Tuân theo quy luật phân phối và kết hợp đại số.
Ứng dụng: Là công cụ cốt lõi để xét điều kiện cùng phương, ba điểm thẳng hàng và phân tích một vectơ trên mặt phẳng.
Tích của một vectơ với một số là phép nhân vectơ với một số thực để tạo ra vectơ mới có độ dài thay đổi theo giá trị tuyệt đối của số đó. Hai vectơ cùng hướng khi số nhân dương, ngược hướng khi số nhân âm và nhận vectơ-không khi số nhân bằng 0.
Bài viết hệ thống kiến thức Bài 9 Toán 10 về tích của một số với một vectơ, các tính chất, cách biểu diễn vectơ, điều kiện cùng phương và bài tập vận dụng thường gặp.
Định nghĩa tích của một vectơ với một số
Định nghĩa tích của một vectơ với một số được phát biểu nguyên văn như sau:
Cho vectơ \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\)\(\) và số thực \(k\ne0\). Tích của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với số k là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\), cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu k > 0, ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu k < 0 và có độ dài bằng \(|k||\overrightarrow{a}|\) .
Song song với định nghĩa tổng quát, để bao quát toàn bộ các trường hợp đặc biệt khi số thực bằng 0 hoặc gặp phải vectơ vô hướng, ta có lưu ý như sau :
Ta quy ước \(k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) nếu k = 0 hoặc \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) .
Để làm rõ sự biến đổi hình học về độ lớn cũng như chiều hướng dưới tác động của các hệ số số thực khác nhau, chúng ta cùng xét ví dụ trực quan sau:
Ví dụ minh họa: Cho trước một vectơ \(\overrightarrow{a}\) có độ dài \(|\overrightarrow{a}|=3\) và có hướng cố định từ trái sang phải. Hãy xác định đặc điểm của các vectơ sau: \(2\overrightarrow{a},-1\overrightarrow{a},\frac12\overrightarrow{a}\).
Lời giải:
Đối với vectơ \(2\overrightarrow{a}\): Hệ số k = 2 > 0, do đó vectơ \(2\overrightarrow{a}\) sẽ cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) ban đầu (từ trái sang phải). Độ dài của nó tăng lên gấp đôi, cụ thể bằng: \(|2||\overrightarrow{a}|=2\cdot3=6\).
Đối với vectơ \(-1\overrightarrow{a}\): Vì k = -1 < 0 nên vectơ \(-1\overrightarrow{a}\) sẽ ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) (đổi thành hướng từ phải sang trái). Độ dài của nó bằng: \(|-1||\overrightarrow{a}|=1\cdot3=3\). Đây chính là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{a}\).
Đối với vectơ \(\frac12\overrightarrow{a}\): Hệ số \(k=\frac12>0\), suy ra vectơ này cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\). Về mặt kích thước, độ dài của nó bị thu hẹp lại một nửa, bằng: \(|\frac12||\overrightarrow{a}|=\frac12\cdot3=\frac32\).
Các tính chất của phép nhân vectơ với một số
Với hai vectơ bất kỳ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) và các số thực k, m tùy ý, ta luôn có:
Tính chất 1: \(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)
Tính chất 2: \((k+m)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{a}\)
Tính chất 3: \(k(m\overrightarrow{a})=(km)\overrightarrow{a}\)
Tính chất 4: \(1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\)
Lưu ý: Với điểm M bất kỳ, ta có:
Cho đoạn thẳng AB. I là trung điểm đoạn thẳng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
Cho tam giác ABC. G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).
Điều kiện cùng phương và điều kiện thẳng hàng qua phép nhân vectơ
Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của phép toán này là cung cấp các tiêu chí định lượng chính xác để nhận biết và xử lý các bài toán vị trí tương đối trong hình học phẳng.
Điều kiện hai vectơ cùng phương
Mối liên hệ giữa khái niệm "cùng phương" và phép nhân vectơ được phát biểu rõ nét qua mệnh đề toán học tương đương:
Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k để \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\).
Sự khác biệt cần lưu ý: Điều kiện cùng phương chỉ bắt buộc giá của hai vectơ song song hoặc trùng nhau, hoàn toàn không ràng buộc chúng phải cùng hướng. Do đó, tham số kết nối k có thể âm hoặc dương tùy ý. Nếu k > 0 thì hai vectơ cùng hướng, ngược lại nếu k < 0 thì hai vectơ cùng phương nhưng ngược hướng.
Điều kiện ba điểm thẳng hàng
Phát triển từ nền tảng điều kiện cùng phương, ta có một nhận xét như sau:
Ba điểm phân biệt M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại một số thực \(k\ne0\) sao cho \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{MP}\).
Bản chất của mệnh đề này nằm ở chỗ: Khi hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{MP}\) cùng phương nhờ thỏa mãn hệ thức nhân số thực, mà chúng lại cùng xuất phát từ một điểm chung duy nhất là M, thì hai giá của chúng buộc phải trùng nhau. Hệ quả là ba điểm M, N, P cùng nằm trên một đường thẳng.
Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{AM}=\frac13\overrightarrow{AC}+\frac23\overrightarrow{AB}\). Chứng minh 3 điểm M, B, C thẳng hàng.
Lời giải:
Ta chứng minh \(\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC}\).
Từ giả thiết, ta có \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\frac13\overrightarrow{AC}+\frac23\overrightarrow{AB}\).
Hay \(\overrightarrow{BM}=\frac13\overrightarrow{AC}+\frac23\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\frac13\overrightarrow{AC}-\frac13\overrightarrow{AB}\).
Vậy \(\overrightarrow{BM}=\frac13(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac13\overrightarrow{BC}\). Do đó ba điểm M, B, C thẳng hàng.
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Phân tích một vectơ là một trong những nội dung quan trọng của chương trình, chuẩn bị trực tiếp cho việc xử lý các bài toán tọa độ vectơ ở các bài học sau.
Theo cấu trúc kiến thức trong sách giáo khoa:
"Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Với mỗi vectơ \(\overrightarrow{c}\) đều tìm được một cặp số thực m, n duy nhất sao cho \(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\).
Ý nghĩa khoa học: Định lý này khẳng định rằng trên một mặt phẳng phẳng, ta luôn có thể chọn ra hai vectơ làm hệ quy chiếu cơ sở. Mọi đối tượng vectơ khác xuất hiện trong hệ thống đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng các tích của hai vectơ gốc đó với các số thực thích hợp.
Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC.Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB=3MC. Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{AM}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).
Lời giải:
Ta có \[\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac34(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac14\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}\].
Các dạng bài tập về tích của một vectơ với một số và phương pháp giải
Để giúp người học tự ôn tập hiệu quả trước các kỳ thi đánh giá năng lực, phần này tổng hợp và hướng dẫn chi tiết phương pháp giải cho 4 dạng toán điển hình.
Dạng 1: Tính độ dài của một biểu thức vectơ chứa phép toán nhân một số
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa để tính độ dài các vectơ đơn lẻ dạng \(|k\overrightarrow{a}|=|k||\overrightarrow{a}|\). Trong trường hợp biểu thức bên trong dấu trị tuyệt đối là một tổ hợp tổng hoặc hiệu như \(m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\), học sinh cần tiến hành dựng hình học cụ thể (vẽ hình bình hành hoặc tam giác phụ), kết hợp với định lý Pythagore hoặc định lý cosin trong tam giác để tính độ dài đoạn thẳng kết quả.
Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 3, AC = 4. Tính độ lớn của vectơ \(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).
Lời giải:
Dựng vectơ \(\overrightarrow{AB^{\prime}}=2\overrightarrow{AB}\) trên tia AB. Do AB = 3 nên AB' = 6.
Khi đó biểu thức vectơ trở thành: \(\overrightarrow{AB^{\prime}}+\overrightarrow{AC}\).
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB' vuông góc với AC tại A. Theo quy tắc hình bình hành, ta dựng hình chữ nhật AB'DC. Lúc này, \(\overrightarrow{AB^{\prime}}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\) và độ dài của vectơ chính là độ dài đoạn thẳng đường chéo AD.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AB'D (vuông tại B' với B'D = AC = 4), ta có:
\(AD=\sqrt{AB^{\prime2}+B^{\prime}D^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}\)
Vậy \(|2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|=AD=2\sqrt{13}\).
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\).
Đáp án: \(\sqrt2\)
Câu 2: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của vectơ \(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\).
Đáp án: \(a\sqrt5\)
Câu 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\) (với M là một điểm bất kì).
Đáp án: \(2a\)
Dạng 2: Xét tính thẳng hàng của ba điểm hoặc chứng minh điểm thuộc đường thẳng
Phương pháp giải: Chọn một điểm làm gốc chung (thường chọn luôn một trong ba điểm cần xét), tính toán hai vectơ tạo thành từ ba điểm đó theo một cặp vectơ cơ sở chung của bài toán. Biến đổi đại số để tìm ra hằng số k thỏa mãn \(\overrightarrow{V_1}=k\overrightarrow{V_2}\).
Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh AB và K là một điểm thuộc cạnh AC sao cho AK = 2KC. Điểm M được xác định sao cho \(\overrightarrow{BM}=-2\overrightarrow{MC}\). Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.
Lời giải:
Ta chứng minh \(\overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{IK}\).
Ta sẽ phân tích \(\overrightarrow{IM},\overrightarrow{IK}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\).
Ta có
\[\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{AB}+2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac32\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=3(-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC})\] (1)
\(\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AK}=-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(k=\frac{\overrightarrow{IM}}{\overrightarrow{IK}}=\frac{3(-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC})}{-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}}=3\)
Vậy \(\overrightarrow{IM}=3\overrightarrow{IK}\). Do đó ba điểm I, M, K thẳng hàng.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho tam giác ABC có hai điểm M, N thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AN}=\frac25\overrightarrow{AC}\). Chứng minh rằng ba điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC.
Đáp án: \(\overrightarrow{MG}=\frac56\overrightarrow{MN}\)
Câu 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho \(CI=\frac14CA\). Điểm J thỏa mãn đẳng thức vectơ \(\overrightarrow{BJ}=\frac12\overrightarrow{AC}-\frac23\overrightarrow{AB}\). Chứng minh ba điểm B, I, J thẳng hàng.
Đáp án: \(\overrightarrow{BI}=\frac32\overrightarrow{BJ}\)
Câu 3: Cho tam giác ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi \(\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IC},\overrightarrow{JC}=-\frac12\overrightarrow{JA},\overrightarrow{KA}=-\overrightarrow{KB}\). Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Đáp án: \(\overrightarrow{IJ}=-2\overrightarrow{JK}\)
Dạng 3: Tìm vị trí một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ có chứa hệ số
Phương pháp giải: Chọn một điểm cố định làm gốc (ví dụ đỉnh A của tam giác), chèn điểm này vào tất cả các vectơ có chứa điểm chưa biết trong hệ thức. Sau đó áp dụng tính chất phân phối để cô lập vectơ chứa điểm cần tìm về một vế, đưa các vectơ đã biết hằng số về vế còn lại nhằm định vị điểm.
Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC. Hãy xác định vị trí chính xác của điểm M thỏa mãn hệ thức vectơ sau: \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\).
Lời giải:
Thực hiện chèn điểm cố định A vào vectơ \(\overrightarrow{MB}\) của phương trình:
\(\overrightarrow{MA}+2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{0}\)
\(3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\)
\(-3\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\)
Hay \(\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AB}\).
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho tam giác ABC. Tìm vị trí điểm M thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\) .
Đáp án: I là trung điểm AB và J là trung điểm IC. Khi đó M trùng J.
Câu 2: Cho tam giác ABC. Xác định vị trí điểm K thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\) .
Đáp án: I là trung điểm AC, J là trung điểm BC. L thuộc đoạn IJ sao cho LI=2LJ. Khi đó K trùng L.
Dạng 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ cho trước không cùng phương
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt quy tắc tam giác (quy tắc xen điểm) hoặc tính chất hình học của trung điểm, trọng tâm tam giác để phân tích liên tiếp vectơ mục tiêu thành các đoạn nhỏ có tỉ lệ đại số bám sát theo các cạnh cơ sở đề bài yêu cầu.
Ví dụ minh họa: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\).
Lời giải:
Do M là trung điểm của BC, nên
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\)
Chia cả hai vế của phương trình cho số thực 2, ta thu được kết quả phân tích:
\(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\).
Hay \[\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}\].
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, và N thuộc cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phân tích vectơ \(\overrightarrow{AK}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).
Đáp án: \(\overrightarrow{AK}=\frac14\overrightarrow{AB}+\frac16\overrightarrow{AC}\)
Câu 2: Cho hình bình ABCD. Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\). Biểu diễn \(\overrightarrow{DI}\) theo vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) với I là trung điểm BC.
Đáp án: \(\overrightarrow{DI}=\frac12(-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a})\)
Những lỗi sai thường gặp khi làm bài tập tích vectơ với một số
Để tối ưu hóa điểm số và tránh những lỗi mất điểm đáng tiếc trong các bài thi học kỳ, học sinh cần lưu ý kiểm soát các lỗi tư duy mang tính hệ thống dưới đây:
Nhầm dấu hướng khi hệ số k mang giá trị âm: Đây là lỗi sai phổ biến nhất của học sinh lớp 10. Khi biến đổi ra hệ thức đại số \(\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\), khi thể hiện lên hình vẽ vẽ minh họa, nhiều học sinh vẫn vẽ hai vectơ này song song và cùng chiều với nhau, bỏ quên thuộc tính hình học cốt lõi: dấu âm biểu thị sự ngược hướng.
Quên lấy giá trị tuyệt đối khi tính độ dài: Xuất phát từ đẳng thức vectơ \(\overrightarrow{u}=-3\overrightarrow{v}\), nhiều người lập tức suy ra độ lớn hình học \(|\overrightarrow{u}|=-3|\overrightarrow{v}|\). Do độ dài của một phân đoạn thẳng luôn luôn là một số thực không âm, học sinh buộc phải lấy trị tuyệt đối của hệ số đứng trước: \(|\overrightarrow{u}|=|-3||\overrightarrow{v}|\).
Nhầm lẫn giữa điều kiện cùng phương và điều kiện cùng hướng: Hiểu sai rằng cứ hai vectơ cùng phương thì bắt buộc hệ số tỉ lệ k phải là số dương. Cần ghi nhớ sâu sắc rằng cùng phương bao gồm cả hai trường hợp hướng đối lập nhau (k < 0 và k > 0).
Phân tích sai hệ số biểu diễn do phá vỡ tính duy nhất: Quá trình chèn điểm tự do không tuân theo quy tắc đóng mở ngoặc hoặc phân phối sai dấu dẫn đến việc đồng nhất các hệ số đại số m, n bị sai lệch so với mô hình cấu trúc hình học ban đầu.
Qua bài viết, chúng ta đã làm chủ toàn diện các định nghĩa về độ lớn, hướng của vectơ phụ thuộc vào số thực k, tính chất của phép nhân vectơ với một số cùng phương pháp phân tích tổ hợp tuyến tính sẽ tạo bàn đạp vững chắc giúp học sinh giải quyết trọn vẹn các bài toán hình học phẳng phức tạp trong đề thi học kỳ. Từ đó có thể thấy rằng, tích của một vectơ với một số là phần tri thức nền móng có tính ứng dụng cực kỳ cao trong phân môn Hình học lớp 10. Để mở rộng khả năng tự học, người học có thể tham khảo chuyên mục bài giảng Toán 10 tại website ZIM Academy.
Bình luận - Hỏi đáp