Tiên đề Euclid: Nguồn gốc và vai trò trong phát triển hình học phẳng

Tiên đề euclid đã từ lâu được phổ cập trong chương trình học Trung học cơ sở tại Việt Nam, giúp cung cấp những kiến thức và kĩ năng (ở mức độ suy luận logic) về các quan hệ hình học và một số hình phẳng thông dụng.

Bài viết dành cho học sinh chuyên Toán, sinh viên các ngành Khoa học tự nhiên và người yêu thích có nhu cầu tìm hiểu về lịch sử Toán học.

Khái quát về Euclid và tác phẩm “Elements”

Tóm tắt tiểu sử Euclid - Nhà toán học Hy Lạp cổ đại

Euclid, hay Euclid của thành Alexandria, là một nhà toán học lỗi lạc được mệnh danh là “cha đẻ” của bộ môn hình học. Ông được biết tới rộng rãi qua tác phẩm “Elements” - nơi ông hệ thống hoá hệ thống hình học.

Ghi chép về cuộc đời của Euclid không nhiều: ông sinh ra vào khoảng thế kỷ 3 TCN và có thông tin cho rằng quê hương của ông nằm ở vùng đất Tyre (nay thuộc Lebannon) song thông tin này chưa được xác thực [1].

Giới thiệu chung về “Elements” - tác phẩm nền tảng của hình học

Elements, hay Cơ sở của hình học [2] được Euclid viết hơn 2000 năm trước, đã trở thành tác phẩm toán học kinh điển nổi tiếng và có tuổi đời lớn nhất. Qua tác phẩm này, con người nhìn lại được quá trình phát triển lâu dài và đột phá của toán học nói chung và hình học nói riêng.

Nói về tác phẩm này, Giáo sư Ngô Bảo Châu nhận xét":

“…học sinh vẫn cần đọc Euclid vào một thời điểm nào đó trong cuộc đời mình, vẫn cần có Cơ sở của hình học trên giá sách” [2]

Bản gốc của tác phẩm bao gồm 13 Quyển với tổng cộng 465 mệnh đề. Sau này, một số tác giả đã thêm vào “Elements” một số quyển, ví dụ như Quyển XIV có 8 mệnh đề của Hypsicles vào thế kỷ II TCN.

Bản dịch tiếng Việt của tác phẩm này bao gồm 06 Quyển có nội dung như sau:

1. Quyển 1 - Cơ sở hình học phẳng và đường thẳng.

2. Quyển 2 - Cơ sở của đại số hình học

3. Quyển 3 - Cơ sở hình học về hình tròn

4. Quyển 4 - Phép dựng các hình thẳng ở trong và xung quanh hình tròn

5. Quyển 5 - Tỉ lệ thức

6. Quyển 6 - Hình đồng dạng

Euclid còn bổ sung một tài liệu nữa được đặt tên là “Data”, bao gồm 94 mệnh đề, để đi kèm với tác phẩm chính “Elements”.

Vai trò của “Elements” trong việc đưa ra hệ thống tiên đề và định lý

Euclid đã xây dựng một cách chặt chẽ toàn bộ hệ thống kiến thức hình học, đi từ tiên đề tới định nghĩa, định lý và rút ra hệ quả. Đây cũng là cấu trúc logic thường thấy trong các bộ môn hình học phẳng.

Quyển I mở đầu bằng các khái niệm sơ bộ cần thiết, cùng với các định đề và tiên đề. Định đề và tiên đề là những mệnh đề buộc phải thừa nhận khi ta lần ngược một mệnh đề về các mệnh đề làm cơ sở suy ra nó; quá trình truy ngược này đến một điểm nhất định phải dừng lại. Những mệnh đề được xem là các ‘khái niệm thông thường’ được gọi là ‘tiên đề’ — những chân lý tự hiển nhiên.

Năm tiên đề Euclid cơ bản nhất nằm trong Quyển I, là “điểm sáng” của tác phẩm và cũng là trọng tâm của bài viết. Nhìn chung, ba tiên đề đầu tiên là về dựng hình. Tiên đề thứ tư khẳng định sự bằng nhau của tất cả các góc vuông. Tiên đề thứ năm được Euclid vận dụng để xây dựng toàn bộ lý thuyết về các đường song song. [3]

Điều đáng chú ý khiến “Elements” mang giá trị vượt thời gian nằm ở Tiên đề cuối cùng - Tiên đề song song. Cuộc tranh cãi về tiên đề này đã khai sinh ra hệ thống hình học không tuân theo tiên đề này, tức hình học phi Euclid.

Năm tiên đề cơ bản của Euclid

Tiên đề số 1: Đường thẳng nối hai điểm bất kỳ

Tiên đề cơ bản đầu tiên cho rằng: Với hai điểm bất kỳ, vẽ duy nhất được một đường thẳng.

Tiên đề này trước tiên ngụ ý khẳng định sự tồn tại của đường và điểm, cũng như mối quan hệ cơ bản giữa đường và điểm. Đồng thời, khẳng định tính duy nhất của một đường thẳng khi biết hai điểm thuộc nó.

Tiên đề Euclid số 2: Đoạn thẳng có thể kéo dài vô tận

Tiên đề này cho biết tính vô hạn của một đường thẳng, cho phép mở rộng các đoạn thẳng đã cho. Tiên đề này nối tiếp tiên đề trên, khẳng định cách hình thành nên đường thẳng.

Tiên đề Euclid số 3: Có thể vẽ một vòng tròn bất kỳ với tâm và bán kính cho trước

Tiên đề thứ ba cho rằng có thể vẽ một vòng tròn bất kỳ với tâm và bán kính cho trước. Tiên đề này không chỉ định nghĩa đường tròn dựa trên hai yếu tố cơ bản là tâm và bán kính, mà còn cho phép vẽ và nghiên cứu tính chất của đường tròn.

Tiên đề Euclid số 4: Tất cả các góc vuông đều bằng nhau

Tiên đề thứ tư khẳng định tất cả các góc vuông đều bằng nhau. Tiên đề này đảm bảo sự đồng nhất của các góc vuông, tạo nền tảng cho việc đo đạc và so sánh.

Tiên đề Euclid số 5: Tiên đề song song

Tiên đề số 5, hay còn gọi là Tiên đề song song là một điểm độc đáo và gây tranh cãi nhất trong công trình nghiên cứu của Euclid. Tiên đề này có nội dung như sau:

“Nếu một đường thẳng (gốc) cắt hai đường thẳng khác tạo thành các góc trong về cùng một phía có tổng nhỏ hơn hai góc vuông, thì hai đường thẳng đó khi được kéo ra dài vô hạn sẽ cắt nhau ở phía của đường thẳng gốc mà tổng hai góc trong nhỏ hơn hai góc vuông, chứ không cắt ở phía bên kia”.

Hiểu đơn giản, có thể nói rằng qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Một cách phát biểu khác tương đương là tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180° [4].

Trong hàng ngàn năm, nhiều nhà toán học đã cố gắng chứng minh tiên đề thứ năm này từ bốn tiên đề đầu tiên, nhưng tất cả đều thất bại. Mãi cho tới thế kỷ 19, việc chứng minh tiên đề này mới chấm dứt và từ đó hình học phi Euclid ra đời khi người ta nhận thấy tổng ba góc của một tam giác có thể lớn hơn 180° trên mặt cầu.

Ý nghĩa và tầm quan trọng của năm tiên đề Euclid trong hình học Euclid

Vai trò của tiên đề trong chứng minh logic và tạo nền tảng cho hình học phẳng

Để hiểu được tầm quan trọng của năm tiên đề Euclid, cần phải biết được vai trò của tiên đề (postulate) trong chứng minh logic và nghiên cứu hình học phẳng.

Tinh thần của phương pháp tiên đề là ban đầu một số khái niệm nguyên thuỷ (không định nghĩa) và một số mệnh đề ( không chứng minh ) gọi là hệ tiên đề được chọn trước, rồi từ đó dùng phép suy diễn suy ra tất cả những mệnh khác, và các khái niệm khác phải được định nghĩa.

Đây cũng là một phần lý do khiến một vài tiên đề nghe như điều hiển nhiên, ví dụ như tiên đề số 4 - tất cả các góc vuông đều bằng nhau.

Một hệ tiên đề cần bảo đảm một số tính chất:

• Tính nhất quán: từ một hệ tiên đề, không thể dùng suy diễn logic để suy ra một kết quả mà mâu thuẫn với một tiên đề nào đó hay có hai kết quả mâu thuẫn.

• Tính độc lập: không có một tiên đề nào trong hệ là hệ quả của các tiên đề còn lại.

• Tính đầy đủ: yêu cầu của tính chất này là mọi định lý có thể chứng minh bằng suy diễn logic, tức không dựa vào trực giác, cảm tính.

Tóm lại, tiên đề là thứ được mặc nhiên coi là đúng, không cần phải chứng minh. Đây là nền tảng để suy ra các định lý - những thứ phải chứng minh, làm “bàn đạp” cho các suy luận logic khác và cho cùng là hệ thống lý thuyết toán học.

Để dễ hiểu hơn, trong cuộc sống có những giáo điều được mặc định là chính xác và phải làm theo. Nó có thể hình thành từ thế giới tự nhiên hay qua quá trình sinh sống của con người. Ví dụ như con cái phải hiếu thảo với cha mẹ, không được giết người, gây thiệt hại thì phải đền bù, có yêu cầu thì phải chứng minh. Những điều hiển nhiên này đặt nền tảng cho đạo đức và luật pháp.

Xem thêm: Logic là gì – Các kiểu lập luận theo tư duy phi logic phổ biến

Ảnh hưởng của năm tiên đề tới việc phát triển các định lý nổi tiếng

Năm tiên đề Euclid nói riêng và tác phẩm Elements nói chung đã truyền cảm hứng cho nhiều học giả nổi tiếng để phát triển các định lý nổi tiếng.

Thực chất, những định lý nổi tiếng mà cho tới ngày nay học sinh vẫn được học dựa trên năm tiên đề này trước tiên đến từ chính Euclid trong Elements.

Dựa trên năm giả thuyết này, Euclid đã chứng minh hàng loạt các định lý trong hình học tam giác, chứng minh bằng phản chứng cho sự tồn tại của vô hạn những số nguyên tố, thuật toán Euclid tìm ước số chung lớn nhất cho tới chứng minh không tồn tại khối đều nào khác ngoài năm khối đều của Platon.

Đặc biệt, có những công trình dựa trên Euclid nhưng lại không nằm trong lĩnh vực hình học, đủ để cho thấy sức ảnh hưởng mạnh mẽ của năm tiên đề này.

Nhà triết học người Hà Lan Spinoza đã viết tác phẩm Đạo đức học (Ethics) của mình với cấu trúc bám sát cấu trúc triển khai của Elements, cụ thể là bắt đầu với các tiên đề. Ông trình bày từng “mệnh đề” - tương tự các tiên đề, rồi tiếp theo là phần chứng minh đàng hoàng. Mỗi “định lý” về đạo đức đều được Spinoza chứng minh rành mạch như vậy.

Nhà bác học thiên tài Albert Einstein gọi quyển I trong Elements là “kỳ quan thứ hai” đối với ông. Thuyết tương đối hẹp và rộng do ông phát triển đã nhắc đến hình học Euclid như một nguồn cảm hứng lớn.

Hay tổng thống Mỹ Abraham Lincoln thường nói đến “các định lý và định đề của dân chủ” và so sánh chúng với các tiên đề của Euclid.

Tiên đề thứ năm như điểm đặc biệt và chủ đề tranh luận lớn trong lịch sử

Tiên đề thứ năm của Euclid, hay còn được biết tới là tiên đề Song song là một chủ đề tranh cãi lâu dài nhất trong lịch sử hình học không gian. Xuất phát từ việc không thể chứng minh được tiên đề này, các nhà toán học đã xây dựng nên một hệ thống hình học mới mà trong đó ít nhất một tiên đề của Euclid là không chính xác - đó chính là hình học phi Euclid.

Điều này cho thấy tính dự đoán cao của tác phẩm Elements, thể hiện ở việc tạo ra “lỗ hổng” để thúc đẩy tranh luận nhằm khai phá các vùng đất mới trong toán học.

Sự phát triển và tranh luận về tiên đề song song - nền tảng hình học phi Euclid

Mở đầu các cuộc tìm kiếm chứng minh tiên đề thứ 5

Thời kỳ Khai sáng (1637 - 1804), mặc dù có nhiều đột phá về đa lĩnh vực bao gồm triết học và toán học, lại dành ít sự chú ý cho vấn đề chứng minh tiên đề cơ bản này của Euclid.

Năm 1733, nhà toán học Saccheri của Đại học Pavia, Ý đã sử dụng tứ giác Omar Khayyam để đưa ra các giả thuyết về các góc lớn hơn 90 độ và góc 90 độ trong tứ giác đó trong mối liên hệ với tiên đề thứ 5 [5].

Saccheri đã giả sử tiên đề 5 sai, và hy vọng tìm thấy mâu thuẫn để chứng minh tính đúng đắn của tiên đề này. Nhưng rồi ông chẳng tìm thấy mâu thuẫn nào, mà ngược lại chỉ thu được kết quả khác thường: có thể có hơn một đường thẳng đi qua một điểm cho trước song song với một đường thẳng cho trước.

Tuy nhiên, nhà toán học vĩ đại Carl Friedrich Gauss (1777-1855) mới là người đầu tiên chỉ ra rằng có thể xây dựng một hệ thống hình học mà không tuân theo tiên đề thứ 5 của Euclid - tiên đề song song. Nhưng ông lại không xây dựng thành một công trình nghiên cứu hoàn chỉnh mà chỉ thêm vào các bài giảng và cuộc thảo luận như ý kiến riêng.

Hai nhà toán học trẻ thời đó - Nikolay Ivanovich Lobachevsky (1792–1856) và János Bolyai (1802–1860) đã xuất bản tác phẩm hình học đầu tiên của nhân loại về hình học phi Euclid, song chưa đạt được nhiều sự quan tâm. Tác phẩm năm 1855 về ý tưởng của Gauss về hình học phi Euclid (xuất bản sau khi ông qua đời) đã thu hút sự chú ý lớn của các thế hệ toán học sau này.

Sự ra đời của hình học phi Euclid (Lobachevsky, Bolyai, Riemann).

Hình học phi Euclid ra đời dựa trên nhiều yếu tố, song quan trọng hơn cả là việc các nhà toán học chấp nhận sự xuất hiện của hình cầu và qua đó cho phép sự xuất hiện của không gian ba chiều trong hình học Euclidean, nhưng chưa phải là hình học phi Euclid.

Tiếp theo đó, học trò của Gauss - Bernhard Riemann (1826–1866) bắt đầu khiêm tốn với một không gian gọi là quasi-Euclidean space (tạm dịch: không gian bán Euclid) rồi cùng với phát triển của quá trình khai phá Trái Đất và tiến trình khoa học kỹ thuật. Hình học phi Euclid hay hình học Bolyai-Lobachevsky-Gauss ra đời.

Loại hình học phát triển dựa trên 4 tiên đề đầu và phủ định của tiên đề 5 là Hình học phi Euclid (non-Euclidean Geometry). Khi phủ định tiên đề 5 ta được:

•  Tiên đề 5'. Cho một đuờng thẳng l và một điểm P không thuộc l, không tồn tại đường thẳng m đi qua P và song song với l.

 hoặc:

• Tiên đề 5". Cho một đuờng thẳng l và một điểm P không thuộc l, tồn tại ít nhất 2 đường thẳng m đi qua P và song song với l. 

Theo đó:

• Loại hình học phát trỉển dựa trên các tiên đề 1, 2, 3, 4 và 5' là hình học spherical / elliptic (hình cầu - hình ê-líp) (theo Riemann).

• Loại hình học phát trỉển dựa trên các tiên đề 1, 2, 3, 4 và 5" là hình học hyperbolic (hypebol) (theo Lobachevski – Bolyai - Gauss).

Ý nghĩa của việc khám phá hệ hình học mới đối với toán học hiện đại.

Hình học phi Euclid là rất khó tưởng tượng về mặt trực giác, tuy nhiên nó lại cho thấy tính ứng dụng cao trong công cuộc tìm hiểu về không gian thực và vũ trụ.

Công trình nghiên cứu nổi tiếng nhất với nền tảng là hình học phi Euclid chính là Thuyết tương đối của Albert Einstein, đề cập tới độ cong hình học của không gian nhiều chiều. Thuyết tương đối của Albert Einstein đặt nền tảng cho vật lý thiên văn hiện đại và lý giải nhiều hiện tượng, sự vật trong cuộc sống hàng ngày.

Một số ứng dụng phổ biến của hình học phi Euclid bao gồm:

• Mô hình vũ trụ trong Thuyết tương đối của Einstein: Trong không gian, không gian và thời gian không còn phẳng như hình học Euclid nữa do bị bẻ cong bởi khối lượng và năng lượng. Hình học phi Euclid được dùng để mô tả độ cong này.

• Mô phỏng môi trường phi tuyến tính trong máy tính, giúp tạo ra hình ảnh chân thật hơn.

• Tính khoảng cách giữa hai điểm trên bề mặt Trái Đất (hình cầu), tạo điều kiện cho ngành hàng hải, hàng không phát triển.

• Tính quỹ đạo của hành tinh, vì sao trong vũ trụ.

• Định vị GPS.

Ứng dụng tiên đề Euclid để giải các bài toán liên quan trong SAT Math

Thí sinh có thể ứng dụng tiên đề Euclid trong phần thi Geometry and Trigonometry (Hình học và Lượng giác) trong bài thi SAT Math. Cụ thể ở một số dạng bài sau:

Hình học phẳng (Plane geotremetry)

Các dạng bài dựa trên Tiên đề song song.

• Tính chất đường thẳng song song

  Góc đồng vị, góc so le trong, góc trong cùng phía.

  Xác định góc, thiết lập quan hệ góc

• Tam giác

  Góc trong tam giác bằng 180°

  Tam giác đồng dạng, tam giác vuông, quan hệ cạnh–góc.

• Đa giác

  Tổng góc trong của đa giác lồi (n−2)×180°.

Xem thêm: SAT 1400 có khó không? Tiêu chí đạt điểm SAT 1400

Quan hệ đường thẳng – góc (Lines & Angles)

Những dạng bài dựa trên Tiên đề 5 - Tiên đề song song của Euclid và các tiên đề còn lại.

• Xác định góc khi hai đường cắt nhau.

• Xác định góc khi hai đường song song bị cắt bởi một đường thẳng.

• Chứng minh hai đường song song (sử dụng góc đồng vị hoặc so le trong).

Đồng dạng (Similarity)

Các bài dựa trên Tiên đề 5 - tiên đề song song của Euclid và các tiên đề còn lại.

• Tỉ lệ cạnh trong tam giác đồng dạng.

• Sử dụng tam giác đồng dạng để tính chiều cao, khoảng cách, độ dài.

Định lý dùng trong các bài này – AA Similarity Criterion, về bản chất dựa trên tiên đề song song của Euclid.

Định lý Pythagoras và các hệ quả

Định lý Pythagoras là định lý độc lập, nhưng việc chứng minh nó trong hình học phải sử dụng hệ tiên đề Euclid.

Dạng bài áp dụng:

• Tính cạnh tam giác vuông.

• Khoảng cách giữa hai điểm (distance formula).

• Đường tròn trong tọa độ (x – a)² + (y – b)² = r².

Hình học tọa độ (Coordinate Geometry)

Ngay cả khi được quy đổi sang dạng đại số, dạng bài này vẫn dựa trên hình học Euclid phẳng:

• Midpoint, slope, distance formula → xuất phát từ cạnh tam giác (Euclid hai chiều).

• Chứng minh hai đường song song hoặc vuông góc bằng slope.

Xem thêm: Coordinate Geometry - Dạng toán Hình học tọa độ trong SAT Math

Bài tập áp dụng kiến thức về năm tiên đề Euclid

Bài tập chứng minh các định lý cơ bản dựa trên tiên đề.

Bài viết sẽ gợi ý một số định lý cơ bản mà học sinh, sinh viên có thể luyện tập chứng minh dựa trên các tiên đề: [2][6]

Định lý 1: Hai đường thẳng phân biệt có nhiều nhất là một điểm chung.

Định lý 2: Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, và góc xen giữa hai cạnh bằng nhau thì hai tam giác cũng sẽ có cạnh đáy này bằng cạnh đáy kia, tam giác này sẽ bằng tam giác kia, và các góc còn lại bị chắn bởi các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

Định lý 3: Với các tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau, và nếu hai cạnh bằng nhau được kéo dài sẽ tạo ra hai góc phía dưới đáy cũng bằng nhau.

Gợi ý hướng giải để củng cố nền tảng.

Gợi ý lời giải chứng minh Định lý 1: Nếu hai đường thẳng phân biệt có hai điểm chung thì theo tiên đề số 1 chúng phải trùng nhau nghĩa là chúng không phải là hai đường thẳng phân biệt nữa và điều này trái với giả thiết. [6]

Gợi ý lời giải chứng minh Định lý 2: [2]

Gọi ABC và DEF là hai tam giác với hai cạnh AB và AC tương ứng với DE và DF. Tức là, AB bằng DE và AC bằng DF. Đặt góc BAC bằng EDF.

Có thể nói cạnh đáy BC bằng cạnh đáy EF, tam giác ABC sẽ bằng tam giác DEF, và các góc còn lại bị chắn bởi cạnh tương ứng nhau thì bằng nhau, tức là góc ABC bằng góc DEF và góc ACB bằng góc DFE.

Bởi vì nếu tam giác ABC được xếp chồng lên tam giác DEF, điểm A được đặt lên trên điểm D, đoạn thẳng AB trên DE, thì điểm B sẽ trùng với E vì AB đã trùng với DE. Do đó, từ AB trùng với DE, và hơn nữa góc BAC bằng góc EDF, ta sẽ có đoạn thẳng AC cũng bằng DF. Thêm nữa, vì AC bằng DF, điểm C cũng sẽ trùng với điểm F.

Nhưng rõ ràng là B trùng với E, đáy BC thì sẽ trùng với đáy EF. Vì nếu B trùng với E, C trùng với F, mà đáy BC không trùng EF, thì hai đoạn thẳng này sẽ tạo thành hình có kích thước. Điều này là không thể theo Tiên đề 1. Đáy BC do đó sẽ trùng với EF, và bằng nó. Kết quả là cả tam giác ABC sẽ trùng với tam giác DEF, và bằng nó Các góc còn lại cũng sẽ tương ứng trùng nhau, và bằng nhau . Tức là, ABC bằng DEF, ACB bằng DFE

Như vậy, nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, và góc xen giữa chúng bằng nhau, thì cạnh đáy tam giác này cũng bằng với cạnh đáy tam giác kia, tam giác này sẽ bằng tam giác kia, và các góc còn lại bị chắn bởi các cạnh tương ứng bằng nhau cũng bằng nhau. Đây chính là điều cần phải chứng minh.

Gợi ý lời giải chứng minh Định lý 3: [2]

Gọi ABC là tam giác cân có cạnh AB bằng cạnh AC, BD và CE lần lượt là các đoạn thẳng được kéo dài của AB và AC theo Tiên đề 2. Có thể phát biểu rằng góc ABC bằng góc ACB, góc CBD bằng BCE.

Chọn điểm F tùy ý trên BD, và gọi AG là đoạn được cắt từ đoạn lớn hơn AE và bằng AF. Kẻ đoạn thẳng nối FC và GB.

Thực tế, vì AF bằng AG, AB bằng AC, nên FA và AC lần lượt bằng GA và AB. Chúng cũng cùng chứa chung góc FAG. Do đó, đáy FC bằng đáy BG, tam giác AFC bằng tam giác AGB, và các góc còn lại bị chắn bởi các cạnh tương ứng bằng nhau thì cũng bằng nhau Tức là, ACF bằng ABG, AFC bằng AGB.

Và vì toàn bộ đoạn AF bằng toàn bộ đoạn AG, mà trong nó đoạn nhỏ AB bằng đoạn nhỏ AC nên phần còn BF và CG do đó cũng bằng nhau. Nhưng FC cũng được chứng minh bằng GB. Do đó hai đoạn thẳng BF, FC tương ứng bằng với CG, GB; góc BFC bằng góc CGB với BC là cạnh đáy chung. Do đó, tam giác BFC bằng tam giác CGB, và các góc còn lại bị chắn bởi các cạnh tương ứng bằng nhau cũng bằng nhau

Tức là, FBC bằng GCB, BCF bằng CBG. Vì toàn bộ góc ABG đã được chứng minh bằng góc ACF, các góc con CBG, BCF của chúng bằng nhau, các góc còn lại ABC và ACB do đó cũng bằng nhau. Đây là các góc tại đáy của tam giác ABC. Điều đó cũng chứng tỏ rằng hai góc FBC, GCB bằng nhau và lại là hai góc nằm dưới cạnh đáy.

Như vậy, trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau, và nếu hai cạnh bằng nhau được kéo dài thì các góc nằm dưới đáy sẽ bằng nhau. Đây chính là điều cần phải chứng minh.

Năm tiên đề cơ bản của Euclid đóng vai trò quan trọng trong lịch sự lâu dài của phát triển hệ thống hình học với tác phẩm Elements đã được tái bản tới hàng nghìn lần suốt hơn hai nghìn năm qua.

Hiện nay, rất nhiều các giáo trình và sách giáo khoa toán học được xây dựng dựa trên nội dung và cấu trúc lập luận mà Euclid phát triển. Ông là nguồn cảm hứng dồi dào cho nhiều học giả, nhà hoạt động ở nhiều lĩnh vực khác nhau.

Tiên đề Euclid còn đóng vai trò gợi mở và khai sinh ra một hệ hình học khác biệt - hình học phi Euclid. Học sinh, sinh viên đam mê với toán học nên tiếp tục mày mò khám phá thêm về các hệ hình học khác biệt để trau dồi kiến thức và góc nhìn.