Tiếp tuyến là gì? Tính chất và dấu hiệu nhận biết Toán 9
Key takeaways
Tiếp tuyến chỉ có một điểm chung với đường tròn; điểm chung được gọi là tiếp điểm.
Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm, đồng thời cách tâm một khoảng bằng bán kính.
Hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm ngoài đường tròn có độ dài bằng nhau.
Tiếp tuyến là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9, thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến đường tròn. Vậy tiếp tuyến là gì, đường tiếp tuyến là gì và tiếp tuyến của đường tròn là gì? Bài viết trình bày định nghĩa tiếp tuyến đường tròn, tính chất, dấu hiệu nhận biết, cách dựng tiếp tuyến, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng các dạng bài tập có lời giải, giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng hiệu quả khi giải toán.
Tiếp tuyến là gì? Tiếp tuyến của đường tròn là gì?
Tiếp tuyến là đường thẳng có đúng một điểm chung với đường tròn. Trong Toán 9, đường thẳng này được gọi là tiếp tuyến của đường tròn, còn điểm chung duy nhất được gọi là tiếp điểm [1].
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống d, đồng thời đặt \(h=OH\). Vị trí của d đối với đường tròn phụ thuộc vào quan hệ giữa h và R.
Điều kiện | Số điểm chung | Vị trí tương đối |
|---|---|---|
\(h\) | 2 | d là cát tuyến |
\(h=R\) | 1 | d là tiếp tuyến |
\(h>R\) | 0 | d không cắt đường tròn |
Như vậy, tiếp điểm là điểm duy nhất mà đường thẳng và đường tròn cùng đi qua. Nếu d tiếp xúc với (O) tại H thì có thể nói “d là tiếp tuyến của (O) tại H”.
Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn
Tính chất 1: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm
Nếu d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H thì:
\(d\perp OH\)
Trong đó OH là bán kính đi qua tiếp điểm. Đây là tính chất quan trọng nhất vì nó tạo ra tam giác vuông trong nhiều bài toán [1].
Tính chất 2: Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến bằng bán kính
Vì OH vuông góc với d nên OH là khoảng cách từ O đến d. Mặt khác, H thuộc đường tròn nên \(OH=R\). Do đó:
Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến bằng bán kính.
Tính chất 3: Hai tiếp tuyến cắt nhau
Cho P nằm ngoài đường tròn (O). Từ P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với A và B là hai tiếp điểm. Khi đó \(PA=PB\); PO là tia phân giác của góc APB; OP cũng là tia phân giác của góc AOB.
Có thể chứng minh bằng hai tam giác vuông OAP và OBP: OA = OB vì cùng là bán kính, còn OP là cạnh huyền chung. Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là gì?
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tia tiếp tuyến và cạnh còn lại chứa một dây cung của đường tròn. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa số đo của cung bị chắn. Do đó, trong cùng một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, học sinh có thể lựa chọn một trong ba dấu hiệu sau tùy dữ kiện đề bài.
Dấu hiệu 1: Dựa vào số điểm chung
Nếu chứng minh được đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến. Dấu hiệu này phù hợp khi bài toán đã cho phương trình hoặc quan hệ giao điểm.
Dấu hiệu 2: Dựa vào quan hệ vuông góc
Nếu H thuộc đường tròn (O), đường thẳng d đi qua H và \(d\perp OH\) thì d là tiếp tuyến tại H.
Khi trình bày, cần nêu đủ cả hai ý: H thuộc đường tròn và d vuông góc với bán kính OH. Chỉ có một trong hai điều kiện thì chưa đủ kết luận.
Dấu hiệu 3: Dựa vào khoảng cách từ tâm
Nếu khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d đúng bằng bán kính R thì d là tiếp tuyến. Cách này hữu ích khi đề cho sẵn đường vuông góc từ tâm xuống đường thẳng.
Trong bài chứng minh hình học, dấu hiệu vuông góc thường thuận lợi nhất. Học sinh có thể kết hợp với kiến thức tam giác vuông để chứng minh một góc bằng 90°.
Cách vẽ tiếp tuyến của đường tròn
Cách 1: Vẽ tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn
Cho H thuộc đường tròn (O). Các bước dựng tiếp tuyến của đường tròn tại H gồm:
Nối O với H để có bán kính OH.
Qua H, dựng đường thẳng d vuông góc với OH.
Theo dấu hiệu nhận biết, d là tiếp tuyến của (O) tại H.
Cách 2: Vẽ tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn
Cho P nằm ngoài (O). Có thể dựng hai tiếp tuyến từ P bằng đường tròn đường kính OP:
Nối O với P và xác định trung điểm M của OP.
Vẽ đường tròn tâm M bán kính MO.
Gọi A, B là hai giao điểm của đường tròn phụ với (O).
Nối P với A và P với B.
Vì A, B nằm trên đường tròn đường kính OP nên \(\angle OAP=\angle OBP=90^\circ\). Do đó PA và PB là hai tiếp tuyến cần dựng.
Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn có lời giải
Bài 1: Chứng minh tiếp tuyến
Đề bài: Cho H thuộc đường tròn (O). Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với OH. Chứng minh d là tiếp tuyến của (O).
Phân tích: H thuộc đường tròn nên OH là bán kính. Dữ kiện còn lại cho đúng quan hệ vuông góc tại H.
Lời giải: Vì H thuộc (O) và \(d\perp OH\) tại H, theo dấu hiệu nhận biết, d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H.
Bài 2: Tính độ dài tiếp tuyến
Đề bài: Từ P ngoài đường tròn (O; 5 cm), kẻ tiếp tuyến PT tại T. Biết OP = 13 cm. Tính PT.
Phân tích: Vì PT là tiếp tuyến nên OT vuông góc PT. Tam giác OPT vuông tại T, có OP là cạnh huyền.
Lời giải: Theo định lý Pythagore:
\[PT^2=OP^2-OT^2=13^2-5^2=144\]
Do PT > 0 nên \(PT=12\text{ cm}\).
Bài 3: Hai tiếp tuyến cắt nhau
Đề bài: Từ P ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến PA, PB. Chứng minh PA = PB và PO là tia phân giác của góc APB.
Phân tích: Hai bán kính OA, OB vuông góc với các tiếp tuyến tương ứng, từ đó xuất hiện hai tam giác vuông OAP và OBP.
Lời giải: Ta có \(OA\perp PA\) và \(OB\perp PB\). Hai tam giác OAP, OBP vuông, có OA = OB và OP chung.
Do đó hai tam giác bằng nhau theo cạnh huyền - cạnh góc vuông. Suy ra \(PA=PB\) và \(\angle APO=\angle OPB\). Vậy PO là tia phân giác góc APB.
Những lỗi sai khi làm bài tiếp tuyến của đường tròn
Nhầm tiếp tuyến với cát tuyến
Cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm, còn tiếp tuyến của đường tròn chỉ có một điểm chung. Không nên kết luận chỉ dựa vào hình vẽ.
Quên kiểm tra vị trí của điểm ngoài
Một điểm ngoài đường tròn cho hai tiếp tuyến; một điểm trên đường tròn chỉ có một tiếp tuyến tại chính điểm đó; điểm nằm trong đường tròn không kẻ được tiếp tuyến thực.
Bỏ sót điều kiện vuông góc
Trong bài chứng minh, chỉ nêu “H thuộc đường tròn” chưa đủ. Cần chứng minh thêm đường thẳng vuông góc với bán kính OH tại H.
Nhầm bán kính với đường kính
Trong tam giác tạo bởi tâm O, tiếp điểm T và điểm ngoài P, OT bằng bán kính R chứ không phải đường kính 2R. Sai dữ kiện này sẽ làm toàn bộ phép tính độ dài bị sai.
Tham khảo thêm:
Tiếp tuyến của đường tròn chỉ có một điểm chung với đường tròn và luôn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Khi làm bài, cần xác định đúng tiếp điểm, chứng minh đủ điều kiện và phân biệt bán kính với đường kính. Các bài học đường tròn và chuyên đề Toán 9 khác được tổng hợp tại chuyên mục bài giảng Toán lớp 9 của ZIM Academy.
Nguồn tham khảo
“SGK Toán 9 – Tập 1, Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.” Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Accessed 17 September 2026.
Bình luận - Hỏi đáp