Tính chất dãy tỉ số bằng nhau | Công thức và bài tập Toán 7

Trong chương trình Toán 7 Kết nối tri thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau là nội dung quan trọng của phần tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Học sinh cần nắm được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng và cách áp dụng tổng hoặc hiệu để tìm các đại lượng chưa biết. Việc thành thạo cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sẽ giúp giải chính xác các dạng bài tập lớp 7.

Dãy tỉ số bằng nhau là gì?

Một tỉ lệ thức có dạng \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), trong đó \(b\neq 0\) và \(d\neq 0\). Khi mở rộng cách viết này sang ba hoặc nhiều tỉ số, ta được một dãy tỉ số bằng nhau. Ví dụ, với ba cặp số tương ứng, người học có thể viết:

\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\]

Cách viết này nghĩa là cả ba tỉ số có cùng một giá trị. Ta cũng nói ba số \(a\), \(c\), \(e\) tỉ lệ với ba số \(b\), \(d\), \(f\). Do đó, cần kiểm tra từng tỉ số trước khi áp dụng các biến đổi tiếp theo.

Bài tập minh họa: Nhận biết dãy tỉ số bằng nhau.

Đề bài: Cho dãy tỉ số \(\frac{6}{3}=\frac{10}{5}=\frac{14}{7}\). Hỏi đây có phải là dãy tỉ số bằng nhau không? Vì sao?

Phân tích đề bài: Đề bài đã cho ba tỉ số và yêu cầu nhận diện chúng. Ta cần tính giá trị của từng tỉ số; nếu cả ba giá trị giống nhau thì đây là dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính từng tỉ số đã cho.

\[\frac{6}{3}=2;\quad \frac{10}{5}=2;\quad \frac{14}{7}=2\]

Bước 2: So sánh ba kết quả. Cả ba tỉ số đều bằng \(2\), nên chúng có cùng một giá trị.

Bước 3: Kết luận theo định nghĩa dãy tỉ số bằng nhau.

Đáp án/Kết luận: Đây là dãy tỉ số bằng nhau vì \(\frac{6}{3}=\frac{10}{5}=\frac{14}{7}=2\).

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau

Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), ta có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để suy ra:

\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\]

Điều kiện: Các tỉ số trong công thức phải có nghĩa, tức các mẫu số tương ứng đều khác 0.

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng

Với dãy gồm ba tỉ số bằng nhau, tính chất trên được mở rộng thành:

\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}\]

Nhờ đó, nếu đề bài cho tổng hoặc hiệu của các số hạng chưa biết, ta tìm được giá trị chung của cả dãy.

Bài tập minh họa: Dùng tổng để tìm hai số hạng.

Đề bài: Tìm hai số \(x\) và \(y\), biết \(\frac{x}{4}=\frac{y}{7}\) và \(x+y=66\).

Phân tích đề bài: Đề bài cho hai số hạng tỉ lệ với 4 và 7, đồng thời cho tổng \(x+y=66\). Dấu hiệu này phù hợp với tính chất này, vì ta có thể thay thế \(x+y\) bằng \(4+7\) để tìm giá trị chung.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Áp dụng tính chất này với tổng hai số hạng.

\[\frac{x}{4}=\frac{y}{7}=\frac{x+y}{4+7}=\frac{66}{11}=6\]

Bước 2: Tìm \(x\) từ tỉ số \(\frac{x}{4}=6\).

\[x=6\cdot 4=24\]

Bước 3: Tìm \(y\) từ tỉ số \(\frac{y}{7}=6\).

\[y=6\cdot 7=42\]

Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện đề bài: \(24+42=66\).

Đáp án/Kết luận: \(x=24\) và \(y=42\).

Cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với ba số hạng

Khi bài toán có ba đại lượng liên quan, trước hết hãy gọi ba số cần tìm là \(x\), \(y\), \(z\). Nếu chúng tỉ lệ với \(a\), \(b\), \(c\), ta lập dãy:

\[\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\]

Sau đó, nếu đề bài cho tổng \(x+y+z=S\), ta nối dãy với tổng tương ứng:

\[\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{S}{a+b+c}\]

Từ giá trị chung này, nhân lần lượt với \(a\), \(b\), \(c\) để tìm \(x\), \(y\), \(z\). Nếu đề bài cho hiệu, ta cũng làm tương tự nhưng phải giữ đúng thứ tự và dấu của hiệu.

Bài tập minh họa: Tìm ba số hạng khi biết tỉ lệ và tổng.

Đề bài: Tìm ba số \(x\), \(y\), \(z\), biết \(\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}\) và \(x+y+z=300\).

Phân tích đề bài: Ba số hạng tỉ lệ với 3, 5, 7 và có tổng bằng 300. Vì dữ kiện gồm cả tỉ lệ và tổng, cách hợp lý nhất là áp dụng tính chất mở rộng của dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Áp dụng tính chất với tổng ba số hạng.

\[\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=\frac{x+y+z}{3+5+7}=\frac{300}{15}=20\]

Bước 2: Tìm \(x\).

\[x=20\cdot 3=60\]

Bước 3: Tìm \(y\).

\[y=20\cdot 5=100\]

Bước 4: Tìm \(z\).

\[z=20\cdot 7=140\]

Bước 5: Kiểm tra: \(60+100+140=300\).

Đáp án/Kết luận: \(x=60\), \(y=100\) và \(z=140\).

Các dạng bài tập về dãy tỉ số bằng nhau thường gặp

Dạng 1: Tìm hai hoặc ba số khi biết tỉ lệ và tổng, hiệu

Bài toán thường cho tỉ lệ kèm tổng hoặc hiệu. Ta lập dãy tỉ số, thay dữ kiện đã cho, tìm giá trị chung rồi nhân ngược lại.

Bài tập minh họa 1: Tìm hai số khi biết tỉ lệ và hiệu.

Đề bài: Tìm hai số \(x\) và \(y\), biết \(\frac{x}{9}=\frac{y}{11}\) và \(x-y=8\).

Phân tích đề bài: Đề bài cho tỉ lệ giữa \(x\) và \(y\), đồng thời cho hiệu \(x-y=8\). Vì 9 và 11 tương ứng với \(x\) và \(y\), ta dùng hiệu \(9-11\) để tìm giá trị chung của dãy.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Áp dụng tính chất với hiệu hai số hạng.

\[\frac{x}{9}=\frac{y}{11}=\frac{x-y}{9-11}=\frac{8}{-2}=-4\]

Bước 2: Tìm \(x\).

\[x=(-4)\cdot 9=-36\]

Bước 3: Tìm \(y\).

\[y=(-4)\cdot 11=-44\]

Bước 4: Kiểm tra: \((-36)-(-44)=8\).

Đáp án/Kết luận: \(x=-36\) và \(y=-44\).

Dạng 2: Chia một đại lượng thành các phần theo tỉ lệ

Dạng này thường yêu cầu chia một số tiền, khối lượng, số sản phẩm hoặc độ dài thành ba phần tỉ lệ với các số cho trước. Ta gọi từng phần là \(x\), \(y\), \(z\), lập dãy tỉ số rồi dùng tổng của toàn bộ đại lượng để giải.

Bài tập minh họa 2: Chia số tiền theo tỉ lệ.

Đề bài: Một quỹ lớp có 360 nghìn đồng được chia thành ba phần tỉ lệ với 2, 3 và 4. Tính số tiền mỗi phần.

Phân tích đề bài: Tổng số tiền là 360 nghìn đồng và ba phần tỉ lệ với 2, 3, 4. Đây là bài toán chia một đại lượng theo tỉ lệ, nên ta gọi ba phần lần lượt là \(x\), \(y\), \(z\) nghìn đồng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi ba phần cần tìm lần lượt là \(x\), \(y\), \(z\) nghìn đồng, với \(x\gt 0\), \(y\gt 0\), \(z\gt 0\).

Bước 2: Theo đề bài, ta có \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\) và \(x+y+z=360\).

Bước 3: Áp dụng tính chất này.

\[\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{360}{9}=40\]

Bước 4: Tính từng phần.

\[x=40\cdot 2=80;\quad y=40\cdot 3=120;\quad z=40\cdot 4=160\]

Đáp án/Kết luận: Ba phần tiền lần lượt là 80 nghìn đồng, 120 nghìn đồng và 160 nghìn đồng.

Dạng 3: Bài toán thực tế áp dụng dãy tỉ số bằng nhau

Bài toán thực tế thường mô tả việc chia học bổng, sách vở hoặc vật tư cho nhiều nhóm. Cần xác định các phần cần tìm, tỉ lệ và tổng.

Bài tập minh họa 3: Chia suất học bổng cho ba lớp.

Đề bài: Một trường nhận 180 suất học bổng và chia cho ba lớp theo tỉ lệ 5, 6 và 7. Hỏi mỗi lớp nhận bao nhiêu suất?

Phân tích đề bài: Số suất học bổng là đại lượng cần chia, tổng bằng 180 suất, còn tỉ lệ của ba lớp là 5, 6, 7. Ta cần tìm ba số nguyên dương ứng với ba lớp.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi số suất học bổng của ba lớp lần lượt là \(x\), \(y\), \(z\) suất, với \(x\gt 0\), \(y\gt 0\), \(z\gt 0\).

Bước 2: Theo tỉ lệ, ta có \(\frac{x}{5}=\frac{y}{6}=\frac{z}{7}\).

Bước 3: Theo tổng số suất, ta có \(x+y+z=180\).

Bước 4: Áp dụng tính chất này.

\[\frac{x}{5}=\frac{y}{6}=\frac{z}{7}=\frac{x+y+z}{5+6+7}=\frac{180}{18}=10\]

Bước 5: Tính số suất của từng lớp.

\[x=10\cdot 5=50;\quad y=10\cdot 6=60;\quad z=10\cdot 7=70\]

Đáp án/Kết luận: Ba lớp lần lượt nhận 50 suất, 60 suất và 70 suất học bổng.

Những nhầm lẫn thường gặp khi áp dụng dãy tỉ số bằng nhau

Thứ nhất, học sinh cần kiểm tra tổng hoặc hiệu có tương ứng với các số hạng trong dãy hay không. Ví dụ, nếu dãy là \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\) thì tổng ở tử phải là \(x+y+z\), còn tổng ở mẫu phải là \(2+3+4\).

Thứ hai, cần phân biệt đại lượng tỉ lệ thuận với cách lập dãy tỉ số. Nếu \(x\) và \(y\) tỉ lệ thuận với 2 và 3, ta viết \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\), không viết \(\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\).

Thứ ba, khi bài toán có số âm, phải giữ nguyên dấu của tổng hoặc hiệu. Đồng thời, mọi mẫu số đều phải khác 0 trước khi áp dụng tính chất.

Bài tập dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 có lời giải

Bài 1. Tìm ba số khi biết dãy tỉ số và tổng

Đề bài: Tìm ba số \(x\), \(y\), \(z\), biết \(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{9}\) và \(x+y+z=315\).

Phân tích đề bài: Ba số tỉ lệ với 5, 7, 9 và có tổng bằng 315. Dữ kiện này khớp với tính chất mở rộng cho tổng ba số hạng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Áp dụng tính chất này.

\[\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{9}=\frac{x+y+z}{5+7+9}=\frac{315}{21}=15\]

Bước 2: Tính \(x\).

\[x=15\cdot 5=75\]

Bước 3: Tính \(y\).

\[y=15\cdot 7=105\]

Bước 4: Tính \(z\).

\[z=15\cdot 9=135\]

Bước 5: Kiểm tra: \(75+105+135=315\).

Đáp án/Kết luận: \(x=75\), \(y=105\) và \(z=135\).

Bài 2. Chia khối lượng gạo theo tỉ lệ cho trước

Đề bài: Một kho có 450 kg gạo được chia cho ba căn tin theo tỉ lệ 4, 5 và 6. Tính khối lượng gạo của mỗi căn tin.

Phân tích đề bài: Tổng khối lượng gạo là 450 kg và ba căn tin nhận phần tỉ lệ với 4, 5, 6. Ta cần chia một đại lượng thành ba phần theo tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi khối lượng gạo của ba căn tin lần lượt là \(x\), \(y\), \(z\) kg, với \(x\gt 0\), \(y\gt 0\), \(z\gt 0\).

Bước 2: Theo đề bài, ta có \(\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}\) và \(x+y+z=450\).

Bước 3: Áp dụng tính chất này.

\[\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}=\frac{x+y+z}{4+5+6}=\frac{450}{15}=30\]

Bước 4: Tính khối lượng gạo của từng căn tin.

\[x=30\cdot 4=120;\quad y=30\cdot 5=150;\quad z=30\cdot 6=180\]

Đáp án/Kết luận: Ba căn tin lần lượt nhận 120 kg, 150 kg và 180 kg gạo.

Bài 3. Bài toán thực tế theo chương trình Toán 7 Kết nối tri thức

Đề bài: Một trường dùng 96 lít nước để tưới ba khu vườn theo tỉ lệ 3, 4 và 5. Hỏi mỗi khu vườn dùng bao nhiêu lít nước?

Phân tích đề bài: Tổng lượng nước là 96 lít và ba khu vườn dùng nước theo tỉ lệ 3, 4, 5. Đây là bài toán thực tế về chia phần, nên ta gọi lượng nước của từng khu vườn là \(x\), \(y\), \(z\) lít.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi lượng nước của ba khu vườn lần lượt là \(x\), \(y\), \(z\) lít, với \(x\gt 0\), \(y\gt 0\), \(z\gt 0\).

Bước 2: Theo tỉ lệ, ta có \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\).

Bước 3: Theo tổng lượng nước, ta có \(x+y+z=96\).

Bước 4: Áp dụng tính chất này.

\[\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{3+4+5}=\frac{96}{12}=8\]

Bước 5: Tính lượng nước của từng khu vườn.

\[x=8\cdot 3=24;\quad y=8\cdot 4=32;\quad z=8\cdot 5=40\]

Đáp án/Kết luận: Ba khu vườn lần lượt dùng 24 lít, 32 lít và 40 lít nước.

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau giúp người học chuyển dữ kiện về tỉ lệ và tổng hoặc hiệu thành một giá trị chung, từ đó tìm nhanh từng số hạng. Khi giải bài, học sinh nên đọc kỹ đơn vị, lập dãy tỉ số đúng thứ tự, kiểm tra mẫu số khác 0 và thay kết quả vào đề để xác nhận. Đây cũng là kiến thức nền tảng trong chuyên đề Toán học 7, hỗ trợ học sinh xử lý các bài toán về tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ.