Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math là những bài tập khó mà nhiều bạn học viên thường vướng mắc trong quá trình ôn luyện cho kì thi SAT. Qua bài viết này, tác giả hi vọng có thể tóm tắt lý thuyết các giải các giải bài tập dạng này và cung cấp cho học viên các bài tập để luyện tập.

Tóm tắt lý thuyết Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

Phương trình tuyến tính là gì?

Trước hết về vấn đề tên gọi, Linear equations được gọi là các phương trình tuyến tính, hay có lẽ sẽ quen thuộc với các học viên hơn với tên gọi khác là phương trình bậc nhất trong chương trình toán ở Việt Nam. Các phương trình này là các phương trình có dạng y = Ax + b, hay còn có thể được trình bày theo dạng Ax + By = C [1]

Khi hàm số bậc nhất (Linear Equation) được viết theo dạng y = Ax + b thì ta có:

Y = hàm số

x (Variable): Biến số

A (Slope/Coefficient): Hệ số góc

B (Constant): thừa số

Còn khi phương trình bậc nhất được trình bày theo dạng Ax + By = C thì ta hiểu như sau:

x, y (Variable): Biến số

A, B (Slope/Coefficient): Hệ số góc

C (Constant): thừa số

Kiểu phương trình này có đặc điểm:

• Luôn có dạng là một đường thẳng trong hệ Oxy.

• Thể hiện mối quan hệ tỉ lệ thuận/ tỉ lệ nghịch giữa hai biến.

Phương trình này có thể được viết theo hai dạng:

Ví dụ:
y= 2x + 3 , ta có 2 là hệ số góc của phương trình, và phương trình này giao với trục tung tại điểm (0;3).

y - 2 = 3 (x - 4), ta có 3 là hệ số góc của phương trình, và ta biết phương trình này đi qua một điểm có tọa độ là (2;3).

Công thức tính hệ số góc trong Bài tập dạng bài phương trình tuyến tính trong SAT Math

Hệ số góc sẽ góp phần thể hiện được độ lớn và tỉ lệ giữa hai đại lượng trong hàm số khi một trong hai đại lượng tăng hoặc giảm 1 đơn vị. Công thức tính hệ số góc là một công thức quan trọng sẽ sử dụng nhiều trong dạng bài này và được tính dựa theo thông tin về tọa độ hai điểm đã được cung cấp nằm trên cùng một hàm số. Một khi đề bài cung cấp tọa độ của hai điểm A(x1, y1) và B (x2, y2) cùng thuộc vào một đường thẳng hàm số, ta có thể dựa vào đó để biết được hệ số góc (slope) của hàm số đó dựa trên công thức được đặt ở trên.

Đọc thêm:

• Cách làm dạng bài Linear equations in one variable trong SAT Math

• Graph of a linear function trong SAT Math: Chiến lược làm bài hiệu quả

Bài tập dạng bài phương trình tuyến tính trong SAT Math (Linear equations problem)

Dạng bài này ở trong bài thi SAT sẽ thường là các dạng bài word problem – các dạng bài này sẽ mô tả một tình huống cụ thể bằng lời và qua đó, học viên phải suy luận và tìm ra được những dữ kiện cần thiết để giải quyết vấn đề của bài toán.

Học viên để có thể giải những bài toán theo dạng này cần có khả năng đọc hiểu tình huống tốt, có khả năng phân tích và xác định các biến, mối quan hệ giữa các biến để từ đó thiết lập các phương trình dựa theo các mối quan hệ và dữ liệu đã biết để giải biến chưa biết.

Thường dạng bài này sẽ bao gồm những câu hỏi hỏi về những ví dụ thực tế như các bài toán về chi phí, số lượng, khoảng cách giữa các điểm, lợi nhuận, v.v Mà ta có thể xây dựng được mối quan hệ giữa các biến đó theo mối quan hệ tuyến tính.

Chiến lược làm bài tập dạng bài phương trình tuyến tính trong SAT Math

• Bước 1: Đọc và phân tích đề bài -> Xác định được số liệu từ những yêu cầu đề bài.

• Bước 2: Chọn một biến đại diện cho những số được mô tả trong đề bài và đặt điều kiện cho biến.

• Bước 3: Lập phương trình biểu thị quan hiệu giữa đại lượng chưa biết và đại lượng đã biết.

• Bước 4: Giải phương trình.

• Bước 5: Kiểm tra lại trong các nghiệm giải được của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của biến, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của biến rồi kết luận.

Ví dụ:

Linda bought x shirts for $3 each. She then print on them and sell all but 25 of them for $15 each. If she made a profit of $825 from the shirts, what is the value of x ?

(Linda mua x cái áo với giá $8 một cái. Sau đó Linda đem áo đi in và bán tất cả số áo với giá $15 mỗi cái, chỉ còn thừa 25 cái áo. Giả sử Linda thu được lợi nhuận là $825 từ việc bán áo, hỏi giá trị của x là?)

1. Đề bài cho giá áo mua vào là $3, bán ra là $15, và thu được tổng lợi nhuận là $825, còn thừa 25 cái áo. Đề bài hỏi số áo Linda mua vào từ đầu.

2. Đặt x là số áo mà Linda mua vào (x >25)

3. Tổng doanh thu = Số áo bán ra x Giá bán ra = (x − 25) × 15

Tổng chi phí = Số áo mua vào x Giá mua vào = x × 3 = 3x

Lợi nhuận = Tổng doanh thu - Tổng chi phí = (x − 25) × 15 − 3x = 825

4. (x − 25) × 15 − 3x = 825

⇔ 15x - 375 - 3x = 825

⇔ 12x - 375 = 825

⇔ 12x = 1200

⇔ x = 100

5. Số áo bán ra là 100 cái.

Bài tập

VD1: A car rental company charges a flat fee of $50 plus $0.25 per mile driven. If you rent a car and drive 200 miles, what will the total cost be?

(Dịch: Một công ty cho thuê xe tính phí cố định là 50 đô la cộng với 0,25 đô la cho mỗi dặm lái xe. Nếu bạn thuê xe và lái xe 200 dặm, tổng chi phí sẽ là bao nhiêu?) 

Đáp án: Gọi mỗi dặm lái xe là x. Phương trình ban đầu để tính tổng chi phí là: y = $50 + $0,25x

Thực tế đi 200 dặm -> Tổng chi phí là: y = $50 + $0,25x200 = $100.

VD2: Emma is buying notebooks for school. Each notebook costs $3.50, and she also needs a one-time $5 folder. If she spent a total of $22.50, how many notebooks did she buy?

(Dịch: Emma đang mua vở cho trường. Mỗi vở có giá 3,50 đô la và cô ấy cũng cần một tập đựng 5 đô la một lần. Nếu cô ấy chi tổng cộng 22,50 đô la, cô ấy đã mua bao nhiêu vở?) 

Đáp án: Gọi số vở Emma mua là x -> Tổng chi phí mua vở và tập đựng là: y= $3,5x + 5 

Mà Emma mua hết $22,5 -> Số vở Emma mua được là: $22,5 = $3,5x + 5 -> x = 5 

VD3: If 4x+5 = 37, what is the value of 6x-3 ?

(Dịch: Nếu 4x + 5 = 37 thì 6x - 3 = ? ) 

Đáp án: 4x + 5 = 37 <=> x = 8. Thay x = 8 vào phương trình => 6x8 - 3 = 45. 

VD4: A gym membership costs $20 to sign up plus $15 per month. How many months will it take for the total cost to reach $155?

(Dịch: Phí thành viên phòng tập thể dục là 20 đô la để đăng ký cộng thêm 15 đô la mỗi tháng. Phải mất bao nhiêu tháng thì tổng chi phí mới đạt 155 đô la?)

Đáp án: 

Gọi số tháng là x ->y= $20 + $15x 

$155 = $20 + $15x -> x= 9 (tháng) 

VD5: Line a is defined by y = -125 x + 6. Line b is perpendicular to line a on the xy-plane. What is the slope of line b?

(Dịch: Đường thẳng a có phương trình y = -125 x + 6. Đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a trên mặt phẳng xy. Hệ số góc của đường thẳng b là bao nhiêu?) 

Đáp án:

Gọi phương trình đường thẳng b là y = ax + b.

Ta có a x -125 = -1 => a = 1/125.

Vậy hệ số góc của đường thẳng b là 1/125.

VD6: The function f is defined by f(x) = 7x + 5 . For what value of x does f(x) = 75

(Dịch: Hàm f có dạng f(x) = 7x + 5. Với giá trị nào của x thì f(x) = 75) 

Đáp án: x = 10. 

VD7: The table gives the coordinates of two points on a line in the xy-plane:

The y-intercept of the line is (m−4,c), where m and c are constants. What is the value of c?

(Dịch: Bảng này cung cấp tọa độ của hai điểm trên một đường thẳng trong mặt phẳng xy: 

Giao điểm y của đường thẳng là (m−4,c), trong đó m và c là hằng số. Giá trị của c là bao nhiêu?) 

Đáp án: Từ bảng ta có:

Hệ số góc của phương trình:

\[\frac{y2-y1}{x2-x1}=\frac{\left(-8\right)-10}{\left(m+6\right)-m}\]

= -3.

Vậy phương trình có dạng y = -3x + b (1)

Mà ta biết phương trình giao với trục tung Ox tại (m-4,c). 

-> m -4 = 0 -> m = 4.
Thay giá trị m = 4 vào phương trình (1) 

-> -3 x 4 + b = 10 -> hằng số b của phương trình (1) = 22. => Giá trị của c sẽ trùng với hằng số b và bằng 22, do khi giao với trục tung thì -3x=0. 

VD8: The function h is defined by h(x) = 3x + 21. The graph of y = h(x) in the xy-plane has an x-intercept at (a,0) and a y-intercept at (0,b), where a and b are constant. What is the value of a + b?

(Dịch: Hàm h được định nghĩa bởi h(x) = 3x + 21. Đồ thị của y = h(x) trong mặt phẳng xy có giao điểm x tại (a,0) và giao điểm y tại (0,b), trong đó a và b là hằng số. Giá trị của a + b là bao nhiêu?) 

Đáp án: Thay (a,0) vào hàm số h(x) -> a = -7
Thay (0,b) vào hàm số h(x) -> b = 21
Vậy a + b = 14

VD9: For line h, the table shows three values of x and their corresponding values of y. Line k is the result of translating line h down 4 units in the xy-plane. What is the x-intercept of line k?

(Dịch: Đối với đường thẳng h, bảng hiển thị ba giá trị x và các giá trị y tương ứng của chúng. Đường thẳng k là kết quả của việc dịch chuyển đường thẳng h xuống 4 đơn vị trong mặt phẳng xy. Giao điểm x của đường thẳng k là bao nhiêu?)

Đáp án: 

Dựa vào bảng, ta có hàm số h(x): y = 15x+10 là hàm số cho đường thẳng h. 

Đường thẳng k được thể hiện qua hàm số k(x)= h(x) - 4 ⇔ k(x) = 15x + 6
Vậy giao điểm với trục Ox của đường thẳng k là -2/5

VD 10:

\[4\left(mx+31\right)=13x+8\]In the given equation, m is a constant. The equation has no solution. What is the value of m?

(Trong phương trình bên trên, m là một tham số. Phương trình trên không có nghiệm. Vậy giá trị của m là gì?)

Đáp án:

Một phương trình dưới dạng ax + b = cx + d với a,b,c,d là tham số chỉ không có nghiệm khi a = c và b ≠ d.

4mx + 124 = 13 x + 8

<=> mx + 31 = 13x +8.

Để phương trình không có nghiệm => m = 13.

VD 11:

\[3\left(mx-p\right)=-\frac{4}{13}x-\frac{13}{12}\]In the given equation, m and p are constants, and p >1. The equation has no solution. What is the value of m?

(Trong phương trình bên trên, m và p đều là tham số với p >1. Phương trình không có nghiệm. Giá trị của m là?)

Đáp án:

Chia cả hai vế của phương trình cho 3 ta có
\[mx-p=-\frac{4}{39}x-\frac{13}{36}\]Để phương trình không có nghiệm => m = -4/39 (Do p>1, mà -13/36 bé hơn 1).

VD 12:

\[3mx+24=15x+24\]In the given equation, m is a constant. At what value of m does the equation have an infinite number of solutions?

(Trong phương trình bên trên, m là tham số. m bằng bao nhiêu để phương trình có vô số nghiệm?)

Đáp án:

Chia cả hai vế cho 3, ta có

\[mx+8=5x+8\]Để phương trình ax + b = cx + d có vô hạn nghiệm ta cần phương trình thỏa mãn hai điều kiện: a = c và b = d.

Vậy m = 5.

Tổng kết

Qua bài viết, tác giả hi vọng các học viên có thể hiểu một cách tổng quan về các kiến thức của các bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math và từ đó đạt được điểm số mong muốn trong kì thi này.

Để chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi SAT, đặc biệt là phần SAT Math, học viên có thể tham gia khóa học SAT tại ZIM. Khóa học cung cấp lộ trình luyện tập chi tiết, tập trung vào các dạng bài quan trọng như Phương trình tuyến tính, cùng sự hướng dẫn từ đội ngũ giảng viên giàu kinh nghiệm. Đây là giải pháp hiệu quả giúp học viên nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tự tin đạt điểm cao trong kỳ thi.