Cách làm dạng bài Linear equations in one variable trong SAT Math

Dạng câu hỏi về Linear equations in one variable (phương trình tuyến tính 1 ẩn) thuộc nhóm Algebra (đại số). Đây là một trong số những dạng câu hỏi cơ bản nhất, kiểm tra kiến thức nền tảng trong đại số của thí sinh. Nắm vững kiến thức về các phương trình bậc nhất rất quan trọng vì những câu hỏi này không chỉ xuất hiện trực tiếp trong bài thi mà còn là cơ sở để hiểu các khái niệm đại số phức tạp hơn. Bài viết dưới đây sẽ giúp thí sinh nhận biết, hiểu và áp dụng thành thạo dạng bài này.

Linear equations in one variable là gì?

Theo Khan Academy, linear equations hay phương trình tuyến tính được tạo nên từ các hằng số và biến số. Phương trình tuyến tính sử dụng dấu “=” (bằng), và phần lớn những câu hỏi về dạng này chỉ chứa một biến.
Trong dạng bài Linear equations in one variable, thí sinh thường thấy các câu hỏi về phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0 (với a, b là hằng số và a ≠ 0), yêu cầu áp dụng các kĩ thuật giải toán cơ bản như các phép toán nghịch đảo, chuyển vế đổi dấu, quy đồng phân số, tối giản phân số,…

Dạng bài tập này có thể xuất hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, từ các bài toán đơn giản, thuần về phương trình cho đến các bài toán kết hợp văn bản và chữ số, đòi hỏi khả năng suy luận logic và kỹ năng giải quyết vấn đề cao, nhằm thể hiện một ví dụ thực tế nào đó. Dạng bài này xuất hiện với cả 3 độ khó tăng dần: Easy, Medium và Hard.

Đây là một trong những dạng bài đánh giá khả năng nắm vững kiến thức đại số cơ bản của thí sinh, là nền tảng để hiểu các khái niệm đại số nâng cao hơn như hệ phương trình, bất phương trình, đồ thị hàm số... Các dạng bài thường gặp trong Linear equations in one variable có thể là bài tập giải phương trình; tìm giá trị ẩn để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm; lập phương trình từ bài toán thực tế,...

Xem thêm: SAT Math formulas - Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

Một số khó khăn khi làm dạng bài Linear equations in one variable

• Đề bài có thể gây khó hiểu, đặc biệt với dạng đề bài kết hợp văn bản và chữ số, từ đó thời gian giải mỗi câu bị kéo dài quá mức cần thiết.

• Dạng bài đa dạng, không chỉ đơn thuần yêu cầu giải phương trình mà còn kết hợp với các kiến thức khác như hình học, đại số, và các bài toán thực tế.

• Dễ sai sót trong quá trình biến đổi các phép tính đại số đơn giản, như nhầm lẫn dấu, sai quy tắc chuyển vế đổi dấu, tính sai giá trị tuyệt đối,… •

• Khó khăn trong việc xác định ẩn số bởi không phải lúc nào ẩn số cũng được đặt tên rõ ràng, thí sinh cần tự xác định ẩn dựa vào ngữ cảnh của bài.

• Một số câu hỏi được thiết kế để đánh lừa thí sinh, đặc biệt là với các đáp án xấp xỉ đáp án đúng, khiến thí sinh dễ nhầm lẫn.

Các phương pháp làm dạng bài Linear equations in one variable

Ngay cả trong dạng bài Linear equations in one variable, thí sinh cũng có nhiều cách làm bài khác nhau, tương ứng với các kiểu câu hỏi khác nhau. Dưới đây là một số phương pháp cơ bản thí sinh cần nắm vững để có thể vận dụng cho dạng bài này.

Phương pháp chuyển vế

Phương pháp chuyển vế nhằm cô lập biến (thường là x) về một vế, các số hạng không chứa biến về vế còn lại.

Khi thực hiện chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia, thí sinh cần đổi dấu của số hạng đó.

Ví dụ:

• 2x + 5 = 3x - 2

• 2x - 3x = - 2 - 5

  (ở đây 3x từ vế phải khi chuyển sang vế trái đã trở thành - 3x, 5 ở vế trái khi chuyển sang vế phải đã trở thành - 5)

• -x = -7

• x = 7

Phương pháp nhóm hạng tử

Khi cần nhóm hạng tử, thí sinh cần tìm các hạng tử có nhân tử chung để nhóm lại, tạo điều kiện để rút gọn biểu thức.

Để thực hiện phương pháp nhóm hạng tử, thí sinh áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Ví dụ:

• 3(x + 2) + 2(x - 1) – 4(x + 2) = 5

(ở đây 3(x + 2) và -4(x + 2) có cùng nhân tử chung là (x + 2), thí sinh thực hành nhóm hai hạng tử lại để rút gọn)

• (3 - 4) (x + 2) + 2(x - 1) = 5

• -(x + 2) + 2(x - 1) = 5

• - x - 2 + 2x - 2 = 5

• - x + 2x = 5 + 2 + 2

• x = 9

Phương pháp quy đồng mẫu số

Khi phương trình có chứa phân số, thí sinh cần quy đồng mẫu số các phân thức để khử mẫu.

Để thực hiện quy đồng mẫu số, trước hết thí sinh cần tìm mẫu số chung, sau đó nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với thừa số phụ sao cho tất cả các phân thức có cùng mẫu số.

Ví dụ:
(ở đây mẫu số chung của hai hạng tử là 6, cần tiến hành nhân cả tử và mẫu của phân thức đầu với thừa số phụ là 2, và nhân cả tử và mẫu của phân thức sau với thừa số phụ là 3 sao cho cả hai phân thức đều có mẫu là 6)

• 2(x + 2) - 3(2x - 1) = 5

• 2x + 4 - 6x + 3 = 5

• -4x = -2

• x = 1/2

Lưu ý:

• Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, thí sinh cần tìm điều kiện xác định để mẫu khác 0, bởi khi mẫu bằng 0 thì phương trình vô nghiệm.

• Sau khi tìm được nghiệm, thí sinh hãy thay lại vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem điều kiện có thỏa mãn hay không.

Ví dụ:

Giải phương trình:
Điều kiện xác định: x ≠ 2

• 2x + 1 = 3(x - 2)

• 2x + 1 = 3x - 6

• 2x - 3x= - 6 - 1

• - x = - 7x

• x = 7 (thỏa mãn điều kiện)

Xem thêm:

• Graph of a linear function trong SAT Math: Chiến lược làm bài hiệu quả

• Linear equation word problems SAT Math (bài toán về phương trình tuyến tính)

Bài tập vận dụng

Bài 1:

1. What value of a satisfies the equation 4a + 215 = 610?

A. 12.25

B. 46.5

C. 98.75

D. 112.75

2. 3x – 5 = 13 Which equation has the same solution as the given equation?

A. 5x = 100

B. 5x = 80

C. 5x = 45

D. 5x = 30

3. The sum of twice a number x and 5 is 17. Which equation represents this situation?

A. 2x + 5 = 17

B. x + 5 = 17

C. 2(x + 5) = 17

D. x + 2(5) = 17

4. Emily bought a bicycle by paying an upfront fee and then making equal monthly installments. If Emily paid a total of $450 for the bicycle, made an initial payment of $90, and then continued to pay $30 each month, which equation represents this situation?

A. 30m + 90 = 450

B. 90m + 30 = 450

C. 30m - 90 = 450

D. 90m - 30 = 450

5. A phone plan charges a one-time activation fee of $20 and a monthly fee of $35. After at least how many months will a customer have been charged a total of $145?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

6. A car starts with a full tank of 50 liters of gas. After driving for 2 hours, there are 32 liters of gas remaining. What is the average gas consumption rate of the car, in liters per hour?

A. 4 liters/hour

B. 6 liters/hour

C. 9 liters/hour

D. 12 liters/hour

7. Lily receives a $25 gift card to spend at the bookstore. She buys a book for $12.50 and wants to spend the rest on buying pencils that cost $0.50 each. How many pencils can Lily buy?

A. 15

B. 25

C. 50

D. 100

8. A teacher has 36 pencils to distribute to a class of students. If she gives each student 3 pencils, she will have 6 pencils left over. How many students are in the class?

A. 10

B. 12

C. 15

D. 18

Bài 2

1. A group of friends went to a restaurant and ordered pizzas. Each pizza cost the same amount. They also had to pay a $5 delivery fee. If they ordered 4 pizzas and the total cost was $37, what was the price of each pizza, in dollars?

2. 5x + 26 = 5x + 2k

In the given equation, k is a constant. The equation has infinitely many solutions. What is the value of k?

3. Emily has a $50 gift card to spend at a bookstore. She buys a book for $18 and a magazine for $5. If she spends the rest of the gift card on buying comics that cost $4 each, how many comics can she buy at most?

Đáp án chi tiết

Bài 1:

1. C

Có phương trình:

• 4a + 215 = 610

• 4a = 610 - 215 = 395

• a = 395/4 = 98.75

2. D

Có phương trình (1):

• 3x - 5 = 13

• 3x = 13 + 5 = 18

• x = 18/3 = 6

Phương trình của đáp án D:

• 5x = 30

• x = 30/5 = 6

Vậy hai phương trình trên có nghiệm giống nhau.

3. A

Tổng của 2 lần x và 5 là 17, từ đó lập được phương trình: 2x + 5 = 17

4. A

Emily đã trả số tiền đầu tiên là $90 và sau đó trả góp $30 mỗi tháng, với tổng số tiền đã trả là $450. Gọi số tháng Emily cần để trả hết giá tiền của xe đạp là m (m > 0), từ đó lập được phương trình: 30m + 90 = 450

5. B

Giá của điện thoại bao gồm phí kích hoạt 1 lần là $20 và trả góp mỗi tháng $35. Gọi số tháng cần trả hết tiền mua điện thoại là m (m > 0), số tiền cần trả được viết theo phương trình: 20 + 35m

Khi khách hàng đã trả tổng cộng $145, phương trình trở thành: 20 + 35m = 145

• 35m = 145 - 20 = 125

• m = 125/35 = ~ 3.57

Số tháng phải là số tự nhiên dương, vậy cần ít nhất 4 tháng thì khách hàng mới trả hết số tiền mua điện thoại.

6. C

Số gas đã tiêu thụ trong 2 giờ: 50 - 32 = 18 (lít)

Mức ga tiêu thụ trung bình: (số ga)/(số giờ) = 18/2 = 9 (lít/giờ)

7. B

Số tiền còn lại sau khi Lily mua sách: 25 - 12.50 = 12.50 (đô)

Số bút chì Lily có thể mua với số tiền còn lại: 12.50/0.50 = 25 (cái)

8. A

Sau khi đưa mỗi học sinh 3 bút chì, giáo viên còn lại 6 bút. Vậy tổng số bút giáo viên đã đưa cho các học sinh: 36 - 6 = 30 (bút)

Số học sinh trong lớp: 30/3 = 10 (học sinh)

Bài 2:

1. 8

Tổng giá tiền pizza sau khi trừ phí vận chuyển: 37 - 5 = 32 (đô).

Giá tiền mỗi pizza: 32/4 = 8 (đô).

2. 13

Để một phương trình có vô số nghiệm, hai vế của phương trình phải bằng nhau.

Khi đó có phương trình: 5x + 26 = 5x + 26.

• 2k = 26

• k = 26/2 = 13

3. 6

Số tiền còn lại sau khi Emily mua sách và tạp chí: 50 - 18 - 5 = 27 (đô).

Số cuốn truyện Emily có thể mua với số tiền còn lại: 27/4 = 6.75 (cuốn).

Số cuốn truyện phải là số tự nhiên dương, vậy Emily chỉ mua được tối đa 6 cuốn truyện.

Tổng kết

Nắm vững dạng Linear equations in one variable - phương trình bậc nhất một ẩn - là bước đầu nền tảng và quan trọng để vận dụng các dạng bài tập toán, đặc biệt trong các kỳ thi như SAT. Bằng cách nhận biết, hiểu rõ các phương pháp giải cơ bản của dạng bài này và thực hành thường xuyên, thí sinh có thể vượt qua các khó khăn và đạt kết quả tốt.